3.4數(shù)學建模活動：決定蘋果的最佳出售時間點1．常見的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型形如y＝kx＋b(k≠0)的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．應用一次函數(shù)的性質(zhì)及圖像解題時，應注意：①一次函數(shù)有單調(diào)遞增(一次項系數(shù)為正)和單調(diào)遞減(一次項系數(shù)為負)兩種情況；②一次函數(shù)的圖像是一條直線．基礎知識(2)二次函數(shù)模型形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函數(shù)模型是二次函數(shù)模型．二次函數(shù)模型是重要的數(shù)學模型之一，依據(jù)實際問題建立二次函數(shù)的解析式后，利用配方法求最值簡單易懂，有時也可以依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，從而解決利潤最大、用料最省等問題．思考：一次、二次函數(shù)模型的定義域都是全體實數(shù)，在實際應用問題中，定義域一定是全體實數(shù)嗎？提示：不一定．在實際應用中，函數(shù)的自變量x往往具有實際意義，如x表示長度時，x≥0；x表示件數(shù)時，x≥0，且x∈Z等．在解答時，必須要考慮這些實際意義．教材知識探究牛頓(1642～1727)是英國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家，是17世紀最偉大的科學巨匠.然而，對于一些在自然科學上一知半解的人來說，牛頓的赫赫有名與其說來自于他的科學發(fā)現(xiàn)，毋寧說是來自于那個婦孺皆知的蘋果落地的傳說.那是1666年夏末的一個傍晚，在英格蘭林肯郡烏爾斯索普，一個腋下夾著一本書的年輕人走進了他母親家的花園，坐在一棵樹下，開始埋頭讀他的書.正在他翻動書頁時，他頭頂上的樹枝被風吹得晃動了起來.突然，“啪”的一聲，一只歷史上最著名的蘋果落了下來，恰好打在了這位青年的頭上.這位青年不是別人，正是牛頓.據(jù)說，牛頓當時正在苦苦思索著一個問題：是什么力量使月球保持在環(huán)繞地球運行的軌道上，又是什么力量使行星保持在其環(huán)繞太陽運行的軌道上？掉下來的蘋果打斷了他的思索，“為什么這只蘋果會墜落到地上呢？”牛頓轉而考慮起這個使他感到困惑不解的問題.有人說正是從這一問題的思考中，他找到了答案，并提出了萬有引力定律.問題1你認為牛頓是從“蘋果從樹上落下”這一問題的思考中很簡單的提出的萬有引力嗎？問題2你能想象一下牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力的過程嗎？提示樹上掉下蘋果也許的確給了牛頓某種啟示，但萬有引力的誕生絕非如此簡單，事實上它是幾代人努力的結果.即使不把哥白尼的工作計算在內(nèi)，若沒有開普勒的三大定律，牛頓也無法著手，不可能得出萬有引力.分析萬有引力的導出過程，可以看出數(shù)學建模在發(fā)現(xiàn)問題、研究問題并解決問題中的作用.學習目標從實際問題建立數(shù)學模型、運算求解、驗證模型、改進模型的全過程，掌握建模方法，培養(yǎng)數(shù)學建模、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)思考陜西省目前已經(jīng)是全球最大的連片種植蘋果區(qū)域，蘋果產(chǎn)量占全世界六分之一，種植面積高達1000多萬畝.2019年11月，小明家所在的村鎮(zhèn)蘋果豐收，可是當?shù)剞r(nóng)民卻發(fā)愁：是現(xiàn)在就把蘋果出售還是儲存起來，等冬季蘋果數(shù)量少價格高了再出售.利用數(shù)學建模方法解決：決定蘋果的最佳出售時間點1、一般情況下，影響商品價格的因素有哪些？2、如何用數(shù)學符號語言來描述上述討論的結果？3、如何建立蘋果收益的數(shù)學模型（函數(shù)）？4、如何確定函數(shù)模型中的參數(shù)？思考下列問題知識點1.數(shù)學建模的概念 對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題就是數(shù)學建模.2.數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，驗證結果、改進模型，最終解決實際問題.α1.數(shù)學建模的概念

對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題就是數(shù)學建模.2.數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，驗證結果、改進模型，最終解決實際問題.建模過程描述與介紹(1)發(fā)現(xiàn)問題當市面上的蘋果比較多時，蘋果的價格就會降低.這時，如果將蘋果利用一定的技術手段進行保鮮存儲，等到市面上的蘋果變少、價格上升之后再出售，則同樣多的蘋果就可以獲得比較高的銷售收入.不過，需要注意的是，保鮮存儲是有成本的，而且成本會隨著時間的延長而增大.(2)提出問題針對上述這種日常生活中的現(xiàn)象，我們可以探討的問題很多.例如，為什么會發(fā)生這些現(xiàn)象？什么情況下不會發(fā)生這樣的現(xiàn)象？能夠利用哪些技術手段進行保鮮存儲？哪種保鮮存儲的成本最低？等等.(3)用數(shù)學觀點對問題分析①類似的這些問題，因為不僅僅涉及量的關系，所以如果只用數(shù)學手段研究，將是十分困難的.②上述現(xiàn)象中，涉及了量的增大與減少的問題，這可以用數(shù)學符號和語言進行描述.(4)用數(shù)學知識描述問題，建立模型①定性描述，確立初步模型設市面上蘋果的量為x萬噸，蘋果的單價為y元.上述現(xiàn)象說明，y會隨著x的增大而減少，且y也會隨著x的減少而增大——也就是說，如果y是x的函數(shù)并記作y＝f(x)的話，f(x)是減函數(shù).同樣地，如果設保鮮存儲的時間為t天，單位數(shù)量的保鮮存儲成本為C元，且C是t的函數(shù)并記作C＝g(t)的話，g(t)是一個增函數(shù).由于市面上蘋果的量x會隨著時間t的變化而變化，因此可以認為x是t的函數(shù)，并記作x＝h(t).從上面這些描述不難看出，在第t天出售蘋果時，單位數(shù)量的蘋果所獲得的收益z元可以用t表示出來，即z＝y(tǒng)－C＝f(x)－g(t)＝f(h(t))－g(t).此時，如果f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，則能得到z與t的具體關系式.有了關系式之后，就能解決如下問題：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t為多少時z取最大值？②合理假設，確立模型怎樣才能確定上述f(x)，g(t)，h(t)呢？這可以通過合理假設來完成.例如，為了簡單起見，我們可以假設f(x)和g(t)都是一次函數(shù)，且f(x)＝k1x＋l1，g(t)＝k2t＋l2；并假設h(t)是一個二次函數(shù)，且h(t)＝at2＋bt＋c.則有z＝f(h(t))－g(t)＝k1at2＋(k1b－k2)t＋k1c＋l1－l2，其中k1<0，k2>0，a≠0.③收集數(shù)據(jù)確定參數(shù)上述各參數(shù)可以通過收集實際數(shù)據(jù)來確定.例如，如果我們收集到了如下實際數(shù)據(jù).x/萬噸8.47.6y/元0.81.2t/天12C/元0.110.12t/天123x/萬噸9.4629.3289.198利用待定系數(shù)法，根據(jù)前面的假設就可以確定出y＝f(x)＝－0.5x＋5，C＝g(t)＝0.01t＋0.1，x＝h(t)＝0.002t2－0.14t＋9.6，因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1.④問題解決與總結注意到上式可以改寫成z＝－0.001(t－30)2＋1，所以此時在t＝30時，z取最大值1.也就是說，在上述情況下，保鮮存儲30天時，單位商品所獲得的利潤最大，為1元.以上我們用敘述的方式，讓大家經(jīng)歷了一個簡單的數(shù)學建模全過程.在實際的數(shù)學建模過程中，為了向別人介紹數(shù)學建模的成果，給別人提供參考，我們還需要將建模結果整理成論文的形式.一般來說，數(shù)學建模論文的結構可以按照建模過程來確定.

一家報刊推銷員從報社買進報紙的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)內(nèi)有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進報紙的份數(shù)都相同，問應該從報社買多少份報紙才能使每月所獲得的利潤最大？并計算每月最多能賺多少錢．一次函數(shù)模型的應用類型一典例剖析典例1思路探究：本題所給條件較多，數(shù)量關系比較復雜，可以列表分析．則y＝6x＋750＋0.8x－200－6x＝0.8x＋550(250≤x≤400，x∈N＋)．∵函數(shù)y＝0.8x＋550在x∈[250,400]上是增函數(shù)，∴當x＝400時，y取得最大值870.即每天從報社買進400份報紙時，每月獲得的利潤最大，最大利潤為870元．歸納提升：實際問題中列出的函數(shù)關系式，要考慮實際問題對自變量的限制，即注意自變量的實際意義．對于與一次函數(shù)有關的最值問題通常借助一次函數(shù)的單調(diào)性結合定義域來處理．

某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，假設每箱售價不得低于50元且不得高于55元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關系；(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關系式；(3)當每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？二次函數(shù)模型的應用類型二典例剖析典例2思路探究：本題中平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)是一個一次函數(shù)關系，雖然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把問題看成一次函數(shù)模型的應用問題；平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)是一個二次函數(shù)關系，可看成是一個二次函數(shù)模型的應用題．解析：(1)根據(jù)題意，得y＝90－3(x－50)，化簡，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因為w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以當x＜60時，w隨x的增大而增大．