PAGEPAGE1第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例[最新考綱]1.會做兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖相識變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能依據(jù)給出的線性回來方程系數(shù)公式建立線性回來方程(線性回來系數(shù)公式不要求記憶).3.了解回來分析的基本思想、方法及其簡潔應(yīng)用.4.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的思想、方法及其初步應(yīng)用．1．相關(guān)性(1)線性相關(guān)若兩個變量x和y的散點(diǎn)圖中，全部點(diǎn)看上去都在一條直線旁邊波動，則稱變量間是線性相關(guān)的．(2)非線性相關(guān)若全部點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是一條直線)旁邊波動，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的．(3)不相關(guān)假如全部的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的．2．最小二乘估計(1)最小二乘法假如有n個點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表達(dá)式來刻畫這些點(diǎn)與直線y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式達(dá)到最小值的直線y＝a＋bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法．(2)線性回來方程方程y＝bx＋a是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的線性回來方程，其中a，b是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).,a＝\x\to(y)－b\x\to(x).))3．回來分析(1)定義：對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法．(2)樣本點(diǎn)的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點(diǎn)的中心．(3)相關(guān)系數(shù)r①r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))；②當(dāng)r>0時，稱兩個變量正相關(guān)．當(dāng)r<0時，稱兩個變量負(fù)相關(guān)．當(dāng)r＝0時，稱兩個變量線性不相關(guān)．4．獨(dú)立性檢驗(yàn)若一個2×2列聯(lián)表為：BAB1B2總計A1aba＋bA2cdc＋d總計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d則統(tǒng)計量χ2為：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).(1)當(dāng)χ2≤2.706時，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；(2)當(dāng)χ2>2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(3)當(dāng)χ2>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(4)當(dāng)χ2>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1．回來直線必過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．2．當(dāng)兩個變量的相關(guān)系數(shù)|r|＝1時，兩個變量呈函數(shù)關(guān)系．一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以說明為老師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系．()(2)通過回來直線方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))可以估計預(yù)報變量的取值和改變趨勢．()(3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測值都可以求得一個線性回來方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．()(4)事務(wù)X，Y關(guān)系越親密，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的觀測值越大．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√二、教材改編1．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回來方程可能是()A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4A[因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，解除選項C，D.又樣本中心(3,3.5)在回來直線上，解除B，選項A滿足．]2．下面是2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x2222547總計b46120則表中a，b的值分別為()A．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52C[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]3．為了推斷中學(xué)三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2的觀測值k＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性約為______．5%[χ2的觀測值k≈4.844，這表明小概率事務(wù)發(fā)生．依據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)當(dāng)斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種推斷出錯的可能性約為5%.]4．某同學(xué)家里開了一個小賣部，為了探討氣溫對某種冷飲銷售量的影響，他收集了一段時間內(nèi)這種冷飲每天的銷售量y(杯)與當(dāng)天最高氣溫x(℃)的有關(guān)數(shù)據(jù)，通過描繪散點(diǎn)圖，發(fā)覺y和x呈線性相關(guān)關(guān)系，并求得其回來方程eq\o(y,\s\up8(^))＝2x＋60.假如氣象預(yù)報某天的最高氣溫為34℃，則可以預(yù)料該天這種飲料的銷售量為__________杯．128[由題意x＝34時，該小賣部大約能賣出熱飲的杯數(shù)eq\o(y,\s\up8(^))＝2×34＋60＝128杯．]考點(diǎn)1相關(guān)關(guān)系的推斷判定兩個變量正、負(fù)相關(guān)的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r＞0時，正相關(guān)；r＜0時，負(fù)相關(guān)．(3)線性回來直線方程中：eq\o(b,\s\up8(^))>0時，正相關(guān)；eq\o(b,\s\up8(^))<0時，負(fù)相關(guān)．1.已知變量x和y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)C[由y＝－0.1x＋1，知x與y負(fù)相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負(fù)相關(guān)．]2．對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3A[由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點(diǎn)圖可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.]3．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若全部樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝－3x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－3 B．0C．－1 D．1C[在一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，全部樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝－3x＋1上，所以b＝－3<0，即這組樣本數(shù)據(jù)的兩個變量負(fù)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為－1.故選C.]4．x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法中全部正確命題的序號為________．①x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系；②在該相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時的相關(guān)系數(shù)為r1，用eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))擬合時的相關(guān)指數(shù)為r2，則|r1|＞|r2|；③x，y之間不能建立線性回來方程．①②[在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故①正確；由散點(diǎn)圖知用y＝c1ec2x擬合比用eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))擬合效果要好，則|r1|＞|r2|，故②正確；x，y之間可以建立線性回來方程，但擬合效果不好，故③錯誤．]相關(guān)關(guān)系的直觀推斷方法就是作出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有肯定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具有相關(guān)性．考點(diǎn)2回來分析線性回來分析求線性回來直線方程的步驟(1)用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)推斷兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)利用公式eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)求得回來系數(shù)；(3)寫出回來直線方程．如圖是某企業(yè)2012年至2024年的污水凈化量(單位：噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對應(yīng)年份2012～2024.(1)由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y和t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回來方程，預(yù)料2024年該企業(yè)的污水凈化量；(3)請用數(shù)據(jù)說明回來方程預(yù)報的效果．參考數(shù)據(jù)：eq\x\to(y)＝54，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝21，eq\r(14)≈3.74，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up8(^))i)2＝eq\f(9,4).參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2))，線性回來方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))t，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(t).反映回來效果的公式為：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi－\o(y,\s\up8(^))i2,\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2)，其中R2越接近于1，表示回來的效果越好．[解](1)由折線圖中的數(shù)據(jù)得，eq\x\to(t)＝4，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))(yi－eq\x\to(y))2＝18，所以r＝eq\f(21,\r(28×18))≈0.935.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.935，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，所以可以用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系．(2)因?yàn)閑q\x\to(y)＝54，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝eq\f(21,28)＝eq\f(3,4)，所以eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(t)＝54－eq\f(3,4)×4＝51，所以y關(guān)于t的線性回來方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))t＋eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\f(3,4)t＋51.將2024年對應(yīng)的t＝10代入得eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\f(3,4)×10＋51＝58.5，所以預(yù)料2024年該企業(yè)污水凈化量約為58.5噸．(3)因?yàn)镽2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))yi－\o(y,\s\up8(^))i2,\o(∑,\s\up8(7),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝1－eq\f(9,4)×eq\f(1,18)＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)＝0.875，所以“污水凈化量的差異”有87.5%是由年份引起的，這說明回來方程預(yù)報的效果是良好的．在線性回來分析中，只需利用公式求出回來直線方程并利用其進(jìn)行預(yù)料即可(留意回來直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)))，利用回來方程進(jìn)行預(yù)料，常把線性回來方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．[老師備選例題]某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表1：年份x20132014201520242024儲蓄存款y(千億元)567810表1為了探討計算的便利，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t＝x－2012，z＝y(tǒng)－5得到下表2：時間代號t12345z01235表2(1)求z關(guān)于t的線性回來方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回來方程；(3)用所求回來方程預(yù)料到2024年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)多少？(附：對于線性回來方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，其中eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x))[解](1)eq\x\to(t)＝3，eq\x\to(z)＝2.2，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))tizi＝45，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))teq\o\al(2,i)＝55，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(45－5×3×2.2,55－5×9)＝1.2，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(z)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(t)＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以eq\o(z,\s\up8(^))＝1.2t－1.4.(2)將t＝x－2012，z＝y(tǒng)－5，代入eq\o(z,\s\up8(^))＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2012)－1.4，即eq\o(y,\s\up8(^))＝1.2x－2410.8.(3)因?yàn)閑q\o(y,\s\up8(^))＝1.2×2022－2410.8＝15.6，所以預(yù)料到2024年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)15.6千億元．1.(2024·山東高考)為了探討某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其回來直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^)).已知eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))eq\o()xi＝225，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yi＝1600，eq\o(b,\s\up8(^))＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為()A．160 B．163C．166 D．170C[∵eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xi＝225，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xi＝22.5.∵eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yi＝1600，∴eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yi＝160.又eq\o(b,\s\up8(^))＝4，∴eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)＝160－4×22.5＝70.∴回來直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝4x＋70.將x＝24代入上式得eq\o(y,\s\up8(^))＝4×24＋70＝166.故選C.]2．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x萬元與銷售額y萬元的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：廣告費(fèi)用x(萬元)2345銷售額y(萬元)26m4954依據(jù)上表可得回來方程eq\o(y,\s\up8(^))＝9x＋10.5，則m的值為()A．36 B．37C．38 D．39D[由回來方程的性質(zhì)，線性回來方程過樣本點(diǎn)的中心，則eq\f(26＋m＋49＋54,4)＝eq\f(2＋3＋4＋5,4)×9＋10.5，解得m＝39.故選D.]可線性化的回來方程可線性化的回來方程的求法(1)依據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖．(2)依據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)．(3)作恰當(dāng)變換，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回來方程．(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)變換，即可得可線性化的回來方程．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚(yáng)費(fèi)，需了解年宣揚(yáng)費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣揚(yáng)費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，w]＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up8(8),\s\do14(i＝1))wi.(1)依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個相宜作為年銷售量y關(guān)于年宣揚(yáng)費(fèi)x的回來方程類型；(給出推斷即可，不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.依據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣揚(yáng)費(fèi)x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣揚(yáng)費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線eq\o(v,\s\up8(^))＝eq\o(α,\s\up8(^))＋eq\o(β,\s\up8(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))\o()ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up8(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up8(^))eq\x\to(u).[解](1)由散點(diǎn)圖可以推斷，y＝c＋deq\r(x)相宜作為年銷售量y關(guān)于年宣揚(yáng)費(fèi)x的回來方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的線性回來方程．由于eq\o(d,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up8(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的線性回來方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時，年銷售量y的預(yù)報值eq\o(y,\s\up8(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up8(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②依據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up8(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up8(^))取得最大值．故年宣揚(yáng)費(fèi)為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大．對于非線性回來分析問題，應(yīng)先進(jìn)行變量代換，求出代換后的回來直線方程，再求非線性回來方程．[老師備選例題]某地級市共有200000名中小學(xué)生，其中有7%的學(xué)生在2024年享受了“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個等次：一般困難、很困難、特殊困難，且人數(shù)之比為5∶3∶2，為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專項教化基金”，對這三個等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助1000元、1500元、2000元．經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)覺，當(dāng)?shù)厝司芍涫杖胼^上一年每增加n%，一般困難的學(xué)生中有3n%會脫貧，脫貧后將不再享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有2n%轉(zhuǎn)為一般困難，特殊困難的學(xué)生中有n%轉(zhuǎn)為很困難．現(xiàn)統(tǒng)計了該地級市2013年到2024年共5年的人均可支配收入，對數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計量的值，其中年份x取13時代表2013年，x與y(萬元)近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝c1·2c2x，其中c1，c2eq\x\to(y)eq\x\to(k)eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(ki－eq\x\to(k))2eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))·(ki－eq\x\to(k))2.31.23.14.621其中ki＝log2yi，eq\x\to(k)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))ki.(1)估計該市2024年人均可支配收入；(2)求該市2024年的“專項教化基金”的財政預(yù)算大約為多少．附：①對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線方程eq\o(v,\s\up8(^))＝eq\o(β,\s\up8(^))u＋eq\o(α,\s\up8(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up8(n),\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up8(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up8(^))eq\x\to(u).②參考數(shù)據(jù)：2－0.72－0.320.121.721.821.90.60.81.13.23.53.73[解](1)因?yàn)閑q\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(13＋14＋15＋16＋17)＝15，所以eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10.由k＝log2y得k＝log2c1＋c2x所以c2＝eq\f(\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)ki－\x\to(k),\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(1,10)，log2c1＝eq\x\to(k)－c2eq\x\to(x)＝1.2－eq\f(1,10)×15＝－0.3，所以c1＝2－0.3＝0.8，所以y＝0.8×2eq\f(x,10).當(dāng)x＝18時，y＝0.8×21.8＝0.8×3.5＝2.8(萬元)．即該市2024年人均可支配收入為2.8萬元．(2)由題意知2024年時該市享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生有200000×7%＝14000人，一般困難、很困難、特殊困難的中學(xué)生依次有7000人、4200人、2800人，2024年人均可支配收入比2024年增長eq\f(0.8×21.8－0.8×21.7,0.8×21.7)＝20.1－1＝0.1＝10%，所以2024年該市特殊困難的學(xué)生有2800×(1－10%)＝2520人．很困難的學(xué)生有4200×(1－20%)＋2800×10%＝3640人，一般困難的學(xué)生有7000×(1－30%)＋4200×20%＝5740人．所以2024年的“專項教化基金”的財政預(yù)算大約為5740×1000＋3640×1500＋2520×2000＝16240000(元)＝1624(萬元)．十九大報告指出，必需樹立“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，這一理念將進(jìn)一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展．以下是近幾年我國新能源汽車的年銷量數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖(如圖所示)：年份20132014201520242024年份代碼x12345新能源汽車的年銷量y/萬輛1.55.917.732.955.6(1)請依據(jù)散點(diǎn)圖推斷eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))與eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(c,\s\up8(^))x2＋eq\o(d,\s\up8(^))中哪個更相宜作為新能源汽車年銷量y關(guān)于年份代碼x的回來方程模型；(給出推斷即可，不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程，并預(yù)料2024年我國新能源汽車的年銷量．(精確到0.1)eq\o(c,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)2)，eq\o(d,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(c,\s\up8(^))eq\x\to(w).附：令wi＝xeq\o\al(2,i).eq\x\to(y)eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(wi－eq\x\to(w))2eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do14(i＝1))(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))22.7210374135.2851.2[解](1)依據(jù)散點(diǎn)圖得，eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(c,\s\up8(^))x2＋eq\o(d,\s\up8(^))更相宜作為年銷量y關(guān)于年份代碼x的回來方程．(2)依題意得，eq\o(w,\s\up8(－))＝eq\f(1＋4＋9＋16＋25,5)＝11，eq\o(c,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)wi－\o(w,\s\up8(－))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yi－\o(y,\s\up8(－)))),\i\su(i＝1,5,)wi－\o(w,\s\up8(－))2)＝eq\f(851.2,374)≈2.28，則eq\o(d,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(c,\s\up8(^))eq\o(w,\s\up8(－))＝22.72－2.28×11＝－2.36，∴eq\o(y,\s\up8(^))＝2.28x2－2.36.令x＝8，則eq\o(y,\s\up8(^))＝2.28×64－2.36＝143.56≈143.6，故預(yù)料2024年我國新能源汽車的年銷量為143.6萬輛．考點(diǎn)3獨(dú)立性檢驗(yàn)1.比較幾個分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法(1)通過計算χ2的大小推斷：χ2越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．(2)通過計算|ad－bc|的大小推斷：|ad－bc|越大，兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大．2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)依據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)計算χ2的觀測值k.(3)比較觀測值k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計推斷．(2024·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，其次組工人用其次種生產(chǎn)方式．依據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如圖所示的莖葉圖：(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式其次種生產(chǎn)方式(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)其次種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下：(i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用其次種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(以上給出了4種理由，答出其中隨意一種或其他合理理由均可)(2)由莖葉圖知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155其次種生產(chǎn)方式515(3)由于χ2＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．獨(dú)立性檢驗(yàn)是推斷兩個分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法．在推斷兩個分類變量之間是否有關(guān)系時，作出等高條形圖只能近似地推斷兩個分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以精確地得到牢靠的結(jié)論．[老師備選例題](2024·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法