PAGE1-4.5增長速度的比較[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．函數(shù)y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均改變率是()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2解析：選C.依題意，所求平均改變率為eq\f(（1＋Δx）2－12,Δx)＝2＋Δx，故選C.2．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44解析：選B.Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝(2.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.故選B.3．小明騎車上學(xué)，起先時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事務(wù)吻合得最好的圖像是()解析：選C.小明勻速運(yùn)動時，所得圖像為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，故解除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學(xué)校的距離不變，故解除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故解除B.故選C.4．某學(xué)校開展探討性學(xué)習(xí)活動，某同學(xué)獲得一組試驗數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：選D.法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5，3.5，4.5，6，基本上是漸漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個函數(shù)值的大小，可以采納特別值代入法．可取x＝4，經(jīng)檢驗易知選D.5．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖像大致是()解析：選D.設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意知，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以y＝f(x)的圖像大致為D中圖像．6．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長較快的一個是________．解析：當(dāng)x變大時，x比lnx增長要快，所以x2要比xlnx增長得快．答案：y＝x27.在某種金屬材料的耐高溫試驗中，溫度y(℃)隨著時間t(min)改變的狀況由計算機(jī)記錄后顯示的圖像如圖所示．現(xiàn)給出下列說法：①前5min溫度增加的速度越來越快；②前5min溫度增加的速度越來越慢；③5min以后溫度保持勻速增加；④5min以后溫度保持不變．其中正確的說法是________．解析：因為溫度y關(guān)于時間t的圖像是先凸后平，所以前5min每當(dāng)t增加一個單位，相應(yīng)的增量Δy越來越小，而5min后y關(guān)于t的增量保持為0，則②④正確．答案：②④8．生活閱歷告知我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時間內(nèi)進(jìn)水量相同)時，水的高度隨著時間的改變而改變，在下圖中請選擇與容器相匹配的圖像，A對應(yīng)________；B對應(yīng)________；C對應(yīng)________；D對應(yīng)________．解析：A容器下粗上細(xì)，水高度的改變先慢后快，故與(4)對應(yīng)；B容器為球形，水高度改變?yōu)榭臁?，?yīng)與(1)對應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的改變速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的改變?yōu)镃容器快，與(3)對應(yīng)，D容器慢，與(2)對應(yīng)．答案：(4)(1)(3)(2)9．同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝x＋5和y＝2x的圖像，并比較x＋5與2x的大?。猓阂罁?jù)函數(shù)y＝x＋5與y＝2x的圖像增長差異得：當(dāng)x＜3時，x＋5＞2x，當(dāng)x＝3時，x＋5＝2x，當(dāng)x＞5時，x＋5＜2x.10．某國2024年至2024年國內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬億元)如下表所示：年份2024202420242024x(年份代碼)0123生產(chǎn)總值y(萬億元)8.20678.94429.593310.2398(1)畫出函數(shù)圖像，猜想y與x之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式；(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實際生產(chǎn)總值比較；(3)利用關(guān)系式預(yù)料2033年該國的國內(nèi)生產(chǎn)總值．解：(1)畫出函數(shù)圖像，如圖所示．從函數(shù)的圖像可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上，設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b(k≠0)．把直線經(jīng)過的兩點(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.所以函數(shù)關(guān)系式為y＝0.6777x＋8.2067.(2)由得到的函數(shù)關(guān)系式計算出2024年和2024年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為0．6777×1＋8.2067＝8.8844(萬億元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(萬億元)．與實際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過0.1萬億元．(3)2033年，即x＝17時，由(1)得y＝0.6777×17＋8.2067＝19.7276，即預(yù)料2033年該國的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為19.7276萬億元．[B實力提升]11．在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下，當(dāng)電流通過圓柱形的電線時，其電流強(qiáng)度I與電線半徑r的三次方成正比，若已知電流通過半徑為4毫米的電線時，電流強(qiáng)度為320安，則電流通過半徑為3毫米的電線時，電流強(qiáng)度為()A．60安 B．240安C．75安 D．135安解析：選D.由已知，設(shè)比例常數(shù)為k，則I＝k·r3.由題意，當(dāng)r＝4時，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝eq\f(320,64)＝5，所以I＝5r3.故當(dāng)r＝3時，I＝5×33＝135(安)．故選D.12．某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)峻，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關(guān)于年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：選C.將x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分別代入驗算．13．某品牌汽車的月產(chǎn)能y(萬輛)與月份x(3＜x≤12且x∈N)滿意關(guān)系式y(tǒng)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋b.現(xiàn)已知該品牌汽車今年4月、5月的產(chǎn)能分別為1萬輛和1.5萬輛，求該品牌汽車7月的產(chǎn)能為多少萬輛．解：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b＝1，,\f(1,4)a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))則y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－4)＋2，當(dāng)x＝7時，y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋2＝1.875.故該品牌汽車7月的產(chǎn)能為1.875萬輛．[C拓展探究]14．某鞋廠從今年1月份起先投產(chǎn)，并且前四個月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式受歡迎，前幾個月的產(chǎn)品銷售狀況良好．為了使推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，須要估測以后幾個月的產(chǎn)量．以這四個月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系，模擬函數(shù)有三個備選：①一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，③指數(shù)型函數(shù)m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，b≠1)．廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)嫻熟和理順了生產(chǎn)流程．廠里也短暫不打算增加設(shè)備和工人，假如你是廠長，將會采納什么方法估計以后幾個月的產(chǎn)量？解：將已知前四個月的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系記為A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)．①對于一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)，將B，C兩點的坐標(biāo)代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.所以f(1)＝1.1，與實際誤差為0.1，f(4)＝1.4，與實際誤差為0.03.②對于二次函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，將A，B，C三點的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，))故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，與實際誤差為0.07.③對于指數(shù)型函數(shù)m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，b≠1)，將A，B，C三點的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4.))故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35