PAGEPAGE1三平面與圓錐面的截線課時(shí)過(guò)關(guān)·實(shí)力提升基礎(chǔ)鞏固1已知圓錐的頂角為50°,圓錐的截面與軸線所成的角為30°,則截線是()A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線解析由已知α=50°2=25°,β=30°,β>故截線是橢圓,故選B.答案B2已知平面π與圓錐的軸線平行,圓錐母線與軸線夾角為60°,則平面與圓錐交線的離心率是()A.2 B.12 C.32 D.解析設(shè)平面與軸線夾角為β,母線與軸線夾角為α,由題意,知β=0°,α=60°,故e=cosβcosα答案A3若以圓錐曲線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓和相應(yīng)準(zhǔn)線相切,則這樣的圓錐曲線是()A.不存在的 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線解析由圓錐曲線的定義知截線是拋物線,應(yīng)選D.答案D4已知雙曲線的兩條準(zhǔn)線把兩個(gè)焦點(diǎn)所連線段三等分,則它的離心率為()A.2 B.3 C.62 D.2解析設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c.由題意知2c=2a2c·3,故答案B5已知圓錐母線與軸夾角為60°,平面π與軸夾角為45°,則平面π與圓錐交線的離心率是,該曲線的形態(tài)是.

解析∵e=cos45°cos60°=2答案2雙曲線6設(shè)圓錐面是由直線l'繞直線l旋轉(zhuǎn)而得,l'與l交點(diǎn)為V,l'與l的夾角為α(0°<α<90°),不經(jīng)過(guò)圓錐頂點(diǎn)V的平面π與圓錐面相交,設(shè)軸l與平面π所成的角為β,則當(dāng)時(shí),平面π與圓錐面的交線為圓;

當(dāng)時(shí),平面π與圓錐面的交線為橢圓;

當(dāng)時(shí),平面π與圓錐面的交線為雙曲線;

當(dāng)時(shí),平面π與圓錐面的交線為拋物線.

答案β=90°α<β<90°β<αβ=α7一圓錐面的母線和軸線成30°角,當(dāng)用一個(gè)與軸線成30°角的不過(guò)頂點(diǎn)的平面去截圓錐面時(shí),所截得的截線是.

解析由題意知β=30°,α=30°,則β=α.則截線是拋物線,如圖.答案拋物線8已知一圓錐面S的軸線為Sx,軸線與母線的夾角為30°,在軸上取一點(diǎn)O,使SO=3cm,球O與這個(gè)錐面相切,求球O的半徑和切點(diǎn)圓的半徑.解如圖,OH=12SO=3HC=OHsin60°=32×所以球O的半徑為32cm,切點(diǎn)圓的半徑為33實(shí)力提升1已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為10,雙曲線上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的肯定值為6,則雙曲線的離心率為()A.35 B.45 C.1 D解析設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c.由題意知,2c=10,2a=6,故e=ca答案D2線段AB是拋物線的焦點(diǎn)弦,F為焦點(diǎn).若點(diǎn)A,B在拋物線準(zhǔn)線上的正射影分別為點(diǎn)A1,B1,則∠A1FB1等于()A.45° B.60° C.90° D.120°解析如圖,由拋物線定義,知AA1=AF,∴∠AA1F=∠AFA1.又AA1∥EF,∴∠AA1F=∠A1FE,∴∠AFA1=∠A1FE,∴FA1是∠AFE的平分線.同理,FB1是∠BFE的平分線,∴∠A1FB1=12∠AFE+12=12(∠AFE+∠BFE)=90°答案C3如圖,F1,F2是橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在其次、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是(A.2 B.3 C.32 D.解析橢圓C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=23.又因?yàn)樗倪呅蜛F1BF2為矩形,所以∠F1AF2=90°.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,解得|AF1|=2-2,|AF2|=2+2.所以在雙曲線C2中,2c=23,2a=|AF2|-|AF1|=22,故e=ca=答案D4已知橢圓兩條準(zhǔn)線間的距離為20,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,則短軸長(zhǎng)為.

解析設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c.由2a=10,2a2則2b=2a2-c2答案535已知一平面與圓柱面的母線成45°角,平面與圓柱面的截線橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,則圓柱面內(nèi)切球的半徑為.

解析由2a=6,得a=3.又e=cos45°=22∴c=e·a=22×3=3∴b=a2∴圓柱面內(nèi)切球的半徑r=32答案36如圖,拋物線的焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為A,準(zhǔn)線為l,過(guò)點(diǎn)F作PF⊥AF.求證:AF=12PF.證明如圖,過(guò)點(diǎn)P作PB⊥l于點(diǎn)B.由拋物線的定義知PB=PF,AH=AF,又HF=BP,故AF=12HF=12BP=1★7如圖,已知圓錐母線與軸的夾角為α,平面π與軸線夾角為β,Dandelin球的半徑分別為R,r,且α<β,R>r,求平面π與圓錐面交線的焦距F1F2,軸長(zhǎng)G1G2.分析由β>α知截線為橢圓,通過(guò)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化到相應(yīng)平面上求解.解連接O1F1,O2F2,O1O2交F1F2于點(diǎn)O,在Rt△O1F1O中,OF1=O1在Rt△O2F2O中,OF2=O2則F1F2=OF1+OF2=R+同理