2024-2025學(xué)年陜西省西安市灞橋區(qū)高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.是四邊形構(gòu)成平行四邊形的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由充分條件和必要條件定義判斷即可【詳解】解：由，可知，所以四邊形一定能構(gòu)成平行四邊形；當(dāng)四邊形構(gòu)成平行四邊形，則有，且與同向，所以，所以是四邊形構(gòu)成平行四邊形的充要條件，故選：A2.下面給出的關(guān)系式中，正確的個數(shù)是（）①；②；③；④；⑤．A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的概念以及公式即可得正確的個數(shù).【詳解】所以①錯；都等于，②正確；，③正確；因?yàn)閿?shù)量積是一個數(shù)，所以，，，④錯誤；當(dāng)時，⑤錯誤.故選：C3.對于非零向量，下列命題中正確的是A.B.在上的投影向量為是與方向相同的單位向量）C.D.【正確答案】C【分析】利用向量的數(shù)量積判斷；利用向量的投影向量判斷；向量垂直的充要條件判斷；向量的數(shù)量積判斷；【詳解】解：對于A：，所以不正確；對于B：在上的投影向量為：是與方向相同的單位向量），所以不正確．對于C：，所以正確；對于D：由，則，因?yàn)?，所以，即在方向上的投影相等，故得不到，所以不正確；故選：．4.已知：，，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所?故選：D.5.在中，是角分別所對的邊，，則一定是（）A.底邊和腰不相等的等腰三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形【正確答案】D【分析】利用余弦定理可得，結(jié)合可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理有，整理得，即，為等腰三角形，又，所以為等邊三角?故選：D6.已知向量，不共線，且向量與的方向相反，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B. C.1或 D.-1或【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，得出且，化簡后得出，，即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：由題可知，，不共線，且向量與的方向相反，則，即，則，即，解得：或（舍去）.即實(shí)數(shù)值為.故選：B.本題考查平面向量共線的定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（）A1 B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，得到，然后結(jié)合，求出的值.【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∴，故選：D.8.若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則B的解的個數(shù)是（）A.2 B.1 C.0 D.不確定【正確答案】A【分析】通過正弦定理求得，分別判斷在銳角和鈍角時，是否存在即可.【詳解】由正弦定理知，，即，解得，又，由三角函數(shù)性質(zhì)知角B由兩個解，當(dāng)角B為銳角時，滿足，即存在；當(dāng)角B為鈍角時，，，則滿足，即存在；故有兩個解.故選：A關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)正弦值可以取兩個解時，需要討論其存在情況.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．[2024·江西豐城高一期未]9.已知向量，則（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】計(jì)算以及的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)判斷平行與垂直關(guān)系來判斷AB選項(xiàng)，以及求模公式來判斷CD選項(xiàng).【詳解】，則，故A正確，B錯誤；，則，又，則C錯誤，D正確；故選：AD10.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若的面積為，且，則角A的大小可能是（）A. B. C. D.【正確答案】BD【分析】根據(jù)面積公式即可求解.【詳解】由三角形的面積公式可得，故，故，由于為三角形的內(nèi)角，所以或，故選：BD11.數(shù)學(xué)家歐拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)、、分別的外心、重心、垂心，且為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】利用重心的幾何性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；由可得，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，再結(jié)合可判斷B選項(xiàng)；利用可判斷C選項(xiàng)；利用三角形外心的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)闉榈闹匦?，則且，，，所以，，故，A錯；對于B選項(xiàng)，由題意可知，，，因?yàn)?，則，，，B對；對于C選項(xiàng)，，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)闉榈耐庑?，則，D對.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．請將答案填在對應(yīng)題號的位置上．）12.若向量，則與平行的單位向量是________．【正確答案】或【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)，可得，計(jì)算即可得出與平行的單位向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，所以，則與平行的單位向量的坐標(biāo)是：或，故或.13.已知向量，，且，則的坐標(biāo)是___________.【正確答案】或【分析】根據(jù)題意可知，設(shè)，由，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示得出，由，得出，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得出，即可求出和，從而求得的坐標(biāo).【詳解】解：由題可知，，可設(shè)，則，由于，且，則，即：，即：，解得：或，所以的坐標(biāo)是：或.故或.本題考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的模和向量垂直的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力.14.是鈍角三角形，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則最大邊c的取值范圍是____________．【正確答案】【分析】由題意可得，由余弦定理結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)槭氢g角三角形，最大邊為，所以角為鈍角，在中，由余弦定理可得：，可得，又因?yàn)椋?，所以最大邊的取值范圍是：，故答案?四、解答題（本大題共5小題，共56分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知向量，，其中，．（1）求，；（2）求與的夾角的余弦值．【正確答案】（1）10，（2）【分析】（1）根據(jù)題干中已知條件，用坐標(biāo)表示與，用坐標(biāo)法求解即可.（2）設(shè)與的夾角為，分別求得與，利用平面向量的數(shù)量積即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，，則，，，故，【小問2詳解】設(shè)與的夾角為，由（1）得，，則.16.如圖，已知為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，，．（1）求兩點(diǎn)與的坐標(biāo)；（2）求向量在向量上的投影向量．【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）結(jié)合圖象以及已知條件求得的坐標(biāo).（2）利用投影向量公式計(jì)算出投影向量【詳解】（1）過作軸，垂足為；過作軸，垂足為；過作，垂足為，如圖所示.依題意可知，，，，則，，所以.（2），所以向量在向量上的投影向量為.17.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由平行向量的坐標(biāo)公式代入化簡結(jié)合正弦定理即可得出答案；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而結(jié)合三角形的面積公式可得出答案.【小問1詳解】因?yàn)?，，且，則.，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，可得，?且，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得，或（舍），所以面積.18.在中，角所對的邊分別為，已知.（1）若，求角的大?。唬?）若，求邊上的高.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理求得，再判斷角的范圍,即可求得角；（2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函數(shù)的定義計(jì)算即得.【小問1詳解】由正弦定理，，即，因，故,即是銳角，故；【小問2詳解】如圖，由余弦定理，，知角是銳角，則，作于點(diǎn)，在中，,即邊上的高是.19.已知村莊B在村莊A的東北方向，且村莊A，B之間的距離是千米，村莊C在村莊A的北偏西方向，且村莊A，C之間的距離是，現(xiàn)要在村莊B的北偏東方向建立一個農(nóng)貿(mào)市場D，使得農(nóng)貿(mào)市場D到村莊C的距離是到村莊B的距離的倍．（1）求村莊B、C之間的距離；（2）求農(nóng)貿(mào)市場D到村莊B、C的距離之和．【正確答案】（1）干米（2）千米【分析】（1）由余弦定理求得；（2）由正弦定理求得，知