2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)、選擇性必修第二冊(cè)第四章～第五章第2節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，則9是該數(shù)列的（）A.第42項(xiàng) B.第41項(xiàng) C.第9項(xiàng) D.第8項(xiàng)【正確答案】B【分析】由遞推得到通項(xiàng)公式，然后計(jì)算即可.【詳解】由已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，即，，，，，…，，…，則數(shù)列的第項(xiàng)為，令，解得，所以9是該數(shù)列的第41項(xiàng).故選：B.2.據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組列車全長236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個(gè)商務(wù)座、28個(gè)一等座、642個(gè)二等座，最高運(yùn)行時(shí)速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車開出站一段時(shí)間內(nèi)，速度與行駛時(shí)間的關(guān)系為，則當(dāng)時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】通過求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求瞬時(shí)變化率求解．【詳解】因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，，即時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為，故選：B3.已知直線，?，，則（）A.或 B. C.或 D.【正確答案】B【分析】由兩直線平行和垂直的條件，列方程求解.【詳解】已知直線，由，得，且，解得，由，得，故.故選：B.4.已知函數(shù)，則（）A.6 B.3 C. D.【正確答案】D【分析】先求出，通過賦值法求得代入，即可得.【詳解】因?yàn)椋?，令，得，∴，所以，故故選：D.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.20 B.16 C.7 D.2【正確答案】C【分析】根據(jù)成等差數(shù)列，得到方程，求出答案.【詳解】由題意得成等差數(shù)列，故，即，解得.故選：C6.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，且，，則C的漸近線方程為()A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義及已知得，再應(yīng)用余弦定理得到雙曲線參數(shù)的齊次方程，進(jìn)而求漸近線.【詳解】由雙曲線定義知，又，則，，在中，，，則，所以，可得，則，所以的漸近線方程為.故選：C.7.經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則線段的長為（）A. B. C.2 D.【正確答案】B【分析】先求得直線故直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長公式求解.【詳解】解：中，，，所以，即，故左焦點(diǎn)為，而，故直線的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，，由韋達(dá)定理得，，則由弦長公式得．故選：B．8.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前200項(xiàng)和為（）A.42602 B.42609 C.42770 D.42762【正確答案】D【分析】應(yīng)用累加法得出，進(jìn)而得出,再根據(jù)等差及等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)為1，且，所以，即得，所以，則數(shù)列的前200項(xiàng)和為數(shù)列的前208項(xiàng)的和減去數(shù)列的前8項(xiàng)的和，即數(shù)列的前200項(xiàng)和為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D正確.故選：AD10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線，則下列說法正確的是()A.若曲線表示圓，則實(shí)數(shù)取值范圍是B.存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)在曲線內(nèi)C.若，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，則線段的長度為D.若，則過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為或【正確答案】ACD【分析】根據(jù)計(jì)算的取值范圍，判斷A；根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，列出不等式，計(jì)算判斷B；首先計(jì)算圓心到直線的距離，再利用垂徑定理判斷C；根據(jù)切線的斜率是否存在，分別討論判斷D.【詳解】已知曲線，對(duì)于A選項(xiàng)，若曲線表示圓，，即，故，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，要使得點(diǎn)在曲線內(nèi)，只需，即不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線為圓，即，設(shè)圓心到直線的距離為，則，又因?yàn)榘霃剑氏议L，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，即，圓心，半徑，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)直線和圓相切；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，由直線與圓相切可得圓心到直線的距離，解得，此時(shí)切線方程為，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長均為1的平行六面體中，平面，分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，若，則C.當(dāng)時(shí)，直線與直線所成角的大小為D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積的最大值為【正確答案】ABD【分析】利用直棱柱的性質(zhì)，以及空間向量的有關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，分別是線段和線段的中點(diǎn)，所以也是中點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，，，滿足，故B正確；對(duì)于C，過作交于，可知面，與直線成角即為，當(dāng)時(shí)，，在中，則，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知是正三角形，三棱錐體積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是，分析得是正三角形，從而得到所需各線段長，從而利用三棱錐的體積公式即可得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_________．【正確答案】2【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，以及等差數(shù)列下標(biāo)之和的性質(zhì)，可直接求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?故2.13.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為________.【正確答案】【分析】直線為兩個(gè)圓心的中垂線，分別求圓心，利用點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線為兩個(gè)圓心的中垂線，的圓心為，的圓心為.，中點(diǎn)為可得直線為，整理得.故答案為.14.已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，在上，且，則的最小值為______.【正確答案】11【分析】由題意作圖，根據(jù)已知點(diǎn)求得拋物線方程，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，寫出韋達(dá)定理，利用斜率表示所求代數(shù)式，可得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，所以，解得，所以.顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由，得，所以，解得，所以，同理可得，所以，所以的最小值是11，此時(shí)，解得.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15已知函數(shù).（1）求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）求這個(gè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即；【小?詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，且，所以切線方程為，即.16.已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)出公比后代入計(jì)算即可得；（2）借助錯(cuò)位相減法求和.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，所以，解得或（舍）．又，所以．【小問2詳解】由（1）得，所以，所以，，兩式相減，得，所以．17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）分別取的中點(diǎn)為，連接，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離；（2）利用空間向量法求兩平面夾角.【小問1詳解】分別取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榈酌媸钦叫?，分別為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)閭?cè)面是等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則．即點(diǎn)到平面的距離為．【小問2詳解】由（1），得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．18.已知粗圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的上頂點(diǎn)，，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）已知，若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），求證：直線的斜率之和為0．【正確答案】（1）（2）證明見詳解【分析】（1）根據(jù)的幾何意義，結(jié)合銳角三角函數(shù)，三角形的面積公式列方程，解得的值，即可得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，消去后得關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，再結(jié)合斜率公式表示出斜率之和，將代入上式，通過計(jì)算可得.【小問1詳解】由題意，得，，，其中，因?yàn)?，的面積為，所以，且，解得，所以，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，由，得，所以，解得，由韋達(dá)定理得，；因?yàn)閮牲c(diǎn)異于點(diǎn)，所以，所以，又，所以，將，代入上式，得，因此，直線的斜率之和為0.19.在數(shù)列中，記，若為等差數(shù)列，則稱為二階等差數(shù)列.（1）若，判斷是否為二階等差數(shù)列？并說明理由；（2）已知二階等差數(shù)列滿足，，.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若，記的前項(xiàng)和為，證明.【正確答案】（1）是，理由見解析（2）①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)二階等差數(shù)列的概念計(jì)算，從而判斷；（2）①根據(jù)二階