空間兩條直線所成的角教學(xué)設(shè)計?一、教學(xué)目標1.知識與技能目標理解異面直線所成角的定義，能準確找出或作出異面直線所成的角。掌握異面直線所成角的范圍，會用向量法求異面直線所成的角。通過對異面直線所成角的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力。2.過程與方法目標通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、類比、猜想，得出異面直線所成角的定義，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力。在探究異面直線所成角的求解方法過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀感知到邏輯推理，從定性分析到定量計算的過程，體會化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)探究活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神。在合作交流中，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和數(shù)學(xué)審美意識，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴謹性和科學(xué)性。二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點異面直線所成角的定義和范圍。用向量法求異面直線所成的角。2.教學(xué)難點異面直線所成角的定義中，如何理解"空間任意一點"的選取不影響角的大小。用向量法求異面直線所成角時，如何正確建立空間直角坐標系，準確表示向量的坐標。三、教學(xué)方法1.講授法：講解異面直線所成角的定義、范圍及求解方法，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識。2.直觀演示法：利用多媒體動畫演示異面直線所成角的形成過程，幫助學(xué)生直觀地理解概念。3.討論法：組織學(xué)生討論問題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力和思維能力。4.練習(xí)法：通過適量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高運用知識解決問題的能力。四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.創(chuàng)設(shè)情境利用多媒體展示生活中的一些實例，如立交橋、書架等，讓學(xué)生觀察其中的異面直線。提出問題：如何刻畫異面直線的相對位置關(guān)系呢？2.引入課題引導(dǎo)學(xué)生回顧平面內(nèi)兩條相交直線所成角的概念，進而思考異面直線所成角的問題，引出本節(jié)課的課題空間兩條直線所成的角。（二）講解新課（25分鐘）1.異面直線所成角的定義結(jié)合實例，引導(dǎo)學(xué)生思考：能否通過平移異面直線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線所成的角來研究呢？利用多媒體動畫演示：在空間中，過空間任意一點\(O\)分別作異面直線\(a\)，\(b\)的平行線\(a'\)，\(b'\)，則\(a'\)與\(b'\)所成的銳角（或直角）叫做異面直線\(a\)與\(b\)所成的角（或夾角）。強調(diào)定義中的幾個要點：空間任意一點\(O\)：讓學(xué)生理解這一點的選取不影響異面直線所成角的大小。平行線：通過平移將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線。銳角（或直角）：明確角的范圍。2.異面直線所成角的范圍引導(dǎo)學(xué)生思考：異面直線所成角的范圍是多少？結(jié)合定義，讓學(xué)生得出異面直線所成角的范圍是\((0,\frac{\pi}{2}]\)。特別指出：當(dāng)異面直線所成角為\(\frac{\pi}{2}\)時，兩條異面直線互相垂直，記作\(a\perpb\)。3.異面直線所成角的求解方法平移法例1：在正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)中，求異面直線\(AB\)與\(A_1D_1\)所成的角。分析：利用正方體的性質(zhì)，\(A_1D_1\parallelAD\)，所以\(\angleBAD\)就是異面直線\(AB\)與\(A_1D_1\)所成的角。解：因為正方體中\(zhòng)(AB\perpAD\)，所以異面直線\(AB\)與\(A_1D_1\)所成的角為\(90^{\circ}\)?？偨Y(jié)：通過平移將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，找到異面直線所成的角，再利用平面幾何知識求解。向量法建立空間直角坐標系：以正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)為例，設(shè)正方體棱長為\(1\)，以\(D\)為原點，分別以\(DA\)，\(DC\)，\(DD_1\)所在直線為\(x\)軸，\(y\)軸，\(z\)軸建立空間直角坐標系。表示向量坐標：則\(A(1,0,0)\)，\(B(1,1,0)\)，\(A_1(1,0,1)\)，\(D_1(0,0,1)\)，可得\(\overrightarrow{AB}=(0,1,0)\)，\(\overrightarrow{A_1D_1}=(1,0,0)\)。計算向量夾角：根據(jù)向量的夾角公式\(\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow\rangle=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert}\)，可得\(\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A_1D_1}\rangle=\frac{(0,1,0)\cdot(1,0,0)}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}\times\sqrt{(1)^2+0^2+0^2}}=0\)，所以\(\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A_1D_1}\rangle=90^{\circ}\)，即異面直線\(AB\)與\(A_1D_1\)所成的角為\(90^{\circ}\)?？偨Y(jié)：用向量法求異面直線所成角的步驟為：建立空間直角坐標系，求出異面直線對應(yīng)的向量坐標，利用向量夾角公式求出向量夾角的余弦值，再根據(jù)異面直線所成角與向量夾角的關(guān)系得出異面直線所成角的大小。（三）課堂練習(xí)（15分鐘）1.基礎(chǔ)練習(xí)已知正方體\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)的棱長為\(a\)，求異面直線\(AC\)與\(BC_1\)所成角的大小。分析：通過平移\(BC_1\)到\(AD_1\)，則\(\angleCAD_1\)就是異面直線\(AC\)與\(BC_1\)所成的角。解：在正方體中，\(AC=\sqrt{2}a\)，\(AD_1=\sqrt{2}a\)，\(CD_1=\sqrt{2}a\)，所以\(\triangleCAD_1\)是等邊三角形，\(\angleCAD_1=60^{\circ}\)，即異面直線\(AC\)與\(BC_1\)所成角為\(60^{\circ}\)。2.鞏固練習(xí)如圖，在三棱錐\(ABCD\)中，\(AB=CD=2\)，\(E\)，\(F\)分別是\(BC\)，\(AD\)的中點，若異面直線\(AB\)與\(CD\)所成角為\(60^{\circ}\)，求\(EF\)的長度。分析：取\(BD\)中點\(G\)，連接\(EG\)，\(FG\)，則\(EG\parallelCD\)，\(FG\parallelAB\)，所以\(\angleEGF\)或其補角就是異面直線\(AB\)與\(CD\)所成的角。解：因為\(EG\parallelCD\)，\(FG\parallelAB\)，所以\(\angleEGF=60^{\circ}\)或\(120^{\circ}\)。當(dāng)\(\angleEGF=60^{\circ}\)時，\(EG=FG=1\)，由余弦定理可得\(EF^2=EG^2+FG^22EG\cdotFG\cdot\cos\angleEGF=1+12\times1\times1\times\frac{1}{2}=1\)，所以\(EF=1\)。當(dāng)\(\angleEGF=120^{\circ}\)時，同理可得\(EF^2=1+12\times1\times1\times(\frac{1}{2})=3\)，所以\(EF=\sqrt{3}\)。（四）課堂小結(jié)（5分鐘）1.知識總結(jié)回顧異面直線所成角的定義、范圍及求解方法。強調(diào)平移法和向量法在求解異面直線所成角中的應(yīng)用。2.思想方法總結(jié)體會化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線所成角來求解?？偨Y(jié)用向量法解決立體幾何問題的一般步驟和方法。（五）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)課本習(xí)題：P118練習(xí)第3題，P122習(xí)題2.1A組第7題。補充作業(yè)：已知正三棱柱\(ABCA_1B_1C_1\)的各棱長都為\(2\)，求異面直線\(AB_1\)與\(BC_1\)所成角的余弦值。2.拓展作業(yè)思考：在空間四邊形\(ABCD\)中，\(E\)，\(F\)，\(G\)，\(H\)分別是\(AB\)，\(BC\)，\(CD\)，\(DA\)的中點，若\(AC=BD=a\)，且\(AC\)與\(BD\)所成角為\(90^{\circ}\)，求四邊形\(EFGH\)的面積。要求：學(xué)生通過查閱資料或小組討論完成拓展作業(yè)，加深對異面直線所成角的理解和應(yīng)用。五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對異面直線所成角的概念有了較深刻的理解，掌握了異面直線所成角的求解方法。在教學(xué)過程中，通過創(chuàng)設(shè)情境、直觀演示、討論交流等