第十三章軸對稱（易錯(cuò)與壓軸專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u易錯(cuò)專練 1【易錯(cuò)一求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】 1【易錯(cuò)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 3【易錯(cuò)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 5【易錯(cuò)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 7壓軸專練 11【題型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】 11【題型二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高線】 18【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 24【題型四共頂點(diǎn)的等邊三角形問題】 29【題型五共頂點(diǎn)的等腰直角三角形問題】 34【題型六共頂點(diǎn)的一般等腰三角形問題】 40易錯(cuò)專練【易錯(cuò)一求等腰三角形的周長時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：已知是等腰三角形，如果它的兩條邊的長分別為和，則它的周長為．【答案】【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)?shù)妊切蔚难L為，底邊長為時(shí)；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為，底邊長為時(shí)，利用三角形的三邊關(guān)系分別求解，即可得到答案．【詳解】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难L為，底邊長為時(shí)，，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L為，底邊長為時(shí)，，能構(gòu)成三角形，的周長為；綜上所述，的周長為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，解題關(guān)鍵是掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【變式訓(xùn)練】1．若的三邊長分別為，7，6，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的值為__________．【答案】3或4##4或3【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)即可．【詳解】解：∵為等腰三角形，∴當(dāng)時(shí)，解得，∴三邊長為6，6，7∵，∴符合三角形三邊的條件，當(dāng)時(shí)，解得，∴三邊長為7，7，6∵，∴符合三角形三邊的條件，∴的值為4和3．故答案為：4和3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義（兩邊相等的三角形），靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．2．用一條長為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，已知這個(gè)等腰三角形一邊長是另一邊長的1.5倍，則它的底邊長為______．【答案】12或7【分析】可設(shè)一邊為，則另一邊為，然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長，解出x，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：設(shè)一邊為，則另一邊為，①當(dāng)長為的邊為腰時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長分別為、、，由題意可列方程：，解得，此時(shí)三角形的三邊長分別為：、和，滿足三角形三邊之間的關(guān)系，符合題意；②當(dāng)長為的邊為底時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長分別為：、、，由題意可列方程：，解得：，此時(shí)三角形的三邊長分別為：、、，滿足三角形的三邊之間的關(guān)系，符合題意；∴這個(gè)三角形的底邊長為或．故答案為：12或7．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系，分情況討論且進(jìn)行三邊驗(yàn)證是解題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是，則它的底角的度數(shù)是．【答案】或【分析】分的角是是底角和頂角的情況分析，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r(shí)，則底角為，當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r(shí)，則底角為，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形的一個(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．【答案】或或【分析】設(shè)另一個(gè)角是，表示出一個(gè)角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)另一個(gè)角是，表示出一個(gè)角是，①是頂角，是底角時(shí)，，解得，所以，頂角是；②是底角，是頂角時(shí)，，解得，所以，頂角是；③與都是底角時(shí)，，解得，所以，頂角是；綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于分情況討論，特別是這兩個(gè)角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯(cuò)．2．在中，，，點(diǎn)D在邊上（不與B、C重合），連接，若是等腰三角形，則的度數(shù)為___________．【答案】或【分析】在中，根據(jù)，，得到，再根據(jù)是等腰三角形及三角形外角公式分類討論即可得到答案．【詳解】解：如圖所示,在中，∵，，∴，若是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，，，②當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述或．【點(diǎn)睛】本題考查利用等腰三角形性質(zhì)求角度及三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題關(guān)鍵是分析出的腰．【易錯(cuò)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：已知中，，，若沿射線方向平移m個(gè)單位得到，頂點(diǎn)A，B，C分別與頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)對應(yīng)，若以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則m的值是．【答案】或或【分析】分，，三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵，，∴，沿射線方向平移m個(gè)單位得到，∴，，點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，分三種情況①當(dāng)時(shí)：如圖，此時(shí)；

②當(dāng)時(shí)：如圖，

則：，在中，，即：，解得：；③當(dāng)時(shí)，如圖：

此時(shí)，∵，∴，∴；綜上：，或；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意，準(zhǔn)確的畫圖，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在中，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)將沿直線翻折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上若是等腰三角形，則的長是．【答案】或或【分析】分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到的值．【詳解】解：，，，，，分三種情況討論：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，，，即是等腰三角形，此時(shí)，；如圖所示，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，

，由折疊可得，，，又，是等腰直角三角形，設(shè)，則，中，，解得，舍去，；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，即是等腰三角形，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)是等腰三角形，畫出圖形進(jìn)行分類討論，解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．【易錯(cuò)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為和兩部分,則此三角形的底邊長為(

)A． B． C．或 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)，然后分兩種情況列出方程組求解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可求解．【詳解】解：如圖所示，根據(jù)等腰三角形的定義和三角形中線的性質(zhì)得：．可設(shè)，∴．由題意得：或，解得：或．當(dāng)時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關(guān)系，此情況成立；當(dāng)時(shí)，即此時(shí)等腰三角形的三邊為，，，，符合三角形的三邊關(guān)系，此情況成立．綜上可知這個(gè)等腰三角形的底邊長是或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì)．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)三角形的頂角為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分三角形是銳角三角形時(shí)，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時(shí)，利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時(shí)，

∵，∴頂角；如圖2，三角形是鈍角時(shí)，

∵，∴頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．2．在中，，是邊上的高，，則．【答案】或/或【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)然后再求出的度數(shù)；【詳解】如圖，當(dāng)在內(nèi)時(shí)

如圖當(dāng)在外時(shí)

故答案為或【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的角平分線、中線和高；三角形內(nèi)角和定理及推論此題難度不大，屬于中等題；3．在中，，上的中線把三角形的周長分成和兩部分，則底邊的長為______．【答案】或【分析】分兩種情況：；，可得的長，再由另一部周長即可求得底邊的長．【詳解】解：由題意得：；當(dāng)時(shí)，即，，，；當(dāng)時(shí)，即，，，；綜上，底邊的長為或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的含義，涉及分類討論．壓軸專練【題型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】例題：已知，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作，使得射線與射線分別交射線，于點(diǎn)，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，用等式表示線段，和之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【答案】(1)；(2)，理由見解析．【分析】（1）連接，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)可推導(dǎo)，進(jìn)而證明，即可得到線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）連接，利用（1）中的證明思路，再次證明，證得，即可利用等量代換得到．【詳解】（1）解：連接，∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)∴，且，平分，∴，，又∵∴∴∴（ASA）∴．（2），理由如下：連接，由（1）可知：，，∴在和中，∴（ASA）∴∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖1，在中，，，點(diǎn)P是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D，E分別在邊的延長線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出的度數(shù)（不用說理）；若不能，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，見解析(3)能成為等腰三角形，此時(shí)的度數(shù)為或或或【分析】（1）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，可得，可證得，即可求證；（2）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由∵，可得，可證得，即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分四種情況討論，即可求解．【詳解】（1）明∶連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：仍成立，理由如下：連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：能成為等腰三角形，①當(dāng)，點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，則，又∵，∴；②當(dāng)，點(diǎn)E在上時(shí)，則；③當(dāng)時(shí)，則，∴；④當(dāng)，點(diǎn)E和C重合，∴；綜上所述，能成為等腰三角形，的度數(shù)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．2．在中，，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和的延長線上時(shí)，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長線于F，連接，若，試求的長．【答案】(1)①見解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可證，可得；②由“”可證，可得，即可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）①證明：如圖1，連接，∵，，∴.∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如圖2，連接，同理可證：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：18；（2）解：如圖3，連接，過點(diǎn)O作，交的延長線于點(diǎn)H，∵，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【題型二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高線】例題：如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)90°．【分析】（1）作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF=CF，DF=EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，與△BCA均為等腰三角形，，且，為延長線上一點(diǎn)，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．【答案】(1)20°(2)見解析(3)【分析】（1）先，是等腰三角形性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求出，即可由求解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，，進(jìn)而求得，，即可得出，從而得出結(jié)論；（3）由（2）可知，，從而有，再根據(jù)，則有，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，設(shè)、交于點(diǎn)，則又，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）可知，，∴，∵，∴．．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，屬三角形綜合題目，難度適中．2．已知在中，，且=．作，使得．(1)如圖1，若與互余，則=__________(用含的代數(shù)式表示)；(2)如圖2，若與互補(bǔ)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；(3)若由與的面積相等，則與滿足什么關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論數(shù)．【答案】(1)；(2)見解析；(3)與相等或互補(bǔ)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等得，根據(jù)與互余得，由即可求出的度數(shù)；（2）作根據(jù)AAS證明≌,則，由等腰三角形三線合一可得，因此，問題得證；（3）由與的面積相等得高相等.情況①：作于,于,根據(jù)可得≌，則可得=；情況②:是鈍角三角形，作于，作垂直于的延長線于，根據(jù)可得≌，則可得，由于與互補(bǔ)，因此與互補(bǔ)．【詳解】（1）解：中，，且=,

．（2）如圖，過點(diǎn)作于E點(diǎn)，中，，，，中，，，,=，

．在和中，,,，∴≌，

∴，

∴．（3）①如圖，作于，于，∵與的面積相等，∴，又∵,∴≌(HL)∴即=

②如圖，作于，作垂直于的延長線于．則．∵，，∴，∵與的面積相等，∴．∴≌．∴．，∴，綜上，與相等或互補(bǔ)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，綜合能力較強(qiáng)，有一定難度.熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖：(1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為C，延長交于點(diǎn)B，可根據(jù)證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析(4)的面積是【分析】（1）證（），得，即可；（2）延長交于點(diǎn)F，由問題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）拓展延伸延長、交于點(diǎn)F，證（），得，再由問題情境可知，，即可得出結(jié)論；（4）實(shí)際應(yīng)用延長交于E，由問題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案為：；（2）解：如圖2，延長交于點(diǎn)F，由可知，，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：，證明如下：如圖3，延長、交于點(diǎn)F，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由問題情境可知，，∴；（4）解：如圖4，延長交于E，由問題情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面積是．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．【題型四共頂點(diǎn)的等邊三角形問題】例題：如圖所示，△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、A、E在同一直線上，連接BD交AC于M，連接CE交AD于N，連接MN．

(1)求證：BD=CE；(2)求證：△ABM≌△ACN；(3)求證：△AMN是等邊三角形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知條件等邊三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，進(jìn)一步求證∠BAD=∠CAE，從而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由點(diǎn)B、A、E共線，得∠CAN=60°=∠BAC，進(jìn)一步求證△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等邊三角形．【詳解】（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵點(diǎn)B、A、E在同一直線上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形判定和性質(zhì)；將等邊三角形的條件轉(zhuǎn)化為相等線段和等角，選擇合適的方法判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，、都是等邊三角形，、交于點(diǎn)M，、交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，連接，下列說法正確的個(gè)數(shù)有個(gè)．①；②；③；④；⑤若，則．

【答案】①②③④⑤【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，得到，，根據(jù)平行線的判定定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，故③正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，故②正確，推出，故④正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，得到是等邊三角形，求得，根據(jù)平行線的判定定理得到，故①正確；根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到．故⑤正確．【詳解】解：、都是等邊三角形，，，，，，，，，故③正確；在與中，，，，，，故②正確，在與中，，，故④正確；，是等邊三角形，，，，故①正確；，，．故⑤正確；故答案為：①②③④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連結(jié)．

求證：(1)；(2)為等邊三角形；【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知，從而可求出，即可利用“”證明，即得出；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知，AC=BC，即可求證．再根據(jù)可得出，利用“”證明，據(jù)此即可證明結(jié)論成立．【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，，，，∴，，；（2）證明：和是等邊三角形，，∴，∴．∴．∴∴．∴，又∵，∴為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定條件是解題關(guān)鍵．【題型五共頂點(diǎn)的等腰直角三角形問題】例題：如圖，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如圖1，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)【探究】：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)【拓展】：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，則的長是________．【答案】(1)，(2)成立，理由見解析(3)或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，再作差，得出，再用，即可得出結(jié)論；（2）先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得出，進(jìn)而判斷出，得出，，與交于M，與交于N，利用全等的性質(zhì)和對頂角相等進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用線段的加減即可得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖4，過點(diǎn)C作于N，求出，再由勾股定理求出根據(jù)勾股定理得，，利用線段的加減即可得出結(jié)論．【詳解】（1）和都是等腰直角三角形，，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，，故：，；（2）成立；如圖2，與交于M，與交于N，

由題意可知：，，，在與中：，，，又，，在中，，，，所以結(jié)論成立；（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)C作于M，

是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，；②當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖4，過點(diǎn)C作于N，

是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，，綜上，的長為或，故答案為:或．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等腰直角三角形和中，，點(diǎn)E在邊上，與交于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可證明，即可求證；（2）根據(jù)，可得，從而得到，即可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵和是等腰直角三角形，∴，在和中，，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_______，、所在直線的位置關(guān)系為________；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1），；（2），；理由見解析【分析】（1）延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)O．只要證明，即可解決問題；（2）由，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)O，∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案為：，．（2），；理由如下：如圖2中，∵和均為等腰直角三角形，，∴，∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，為斜邊上的高，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【題型六共頂點(diǎn)的一般等腰三角形問題】例題：如圖，與都是等腰三角形，相交于點(diǎn)．

(1)試說明：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由“”可證，可得；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算．【