第20頁（共20頁）2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之因式分解一．選擇題（共10小題）1．（2025?金安區(qū)校級一模）下列因式分解正確的是（）A．x2+9＝（x+3）2 B．a(chǎn)2+2a+4＝（a+2）2 C．a(chǎn)3﹣4a2＝a2（a﹣4） D．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x）2．（2025?慈利縣一模）下列多項(xiàng)式不能進(jìn)行因式分解的是（）A．a(chǎn)2+4a B．a(chǎn)2+9 C．a(chǎn)2﹣2a+1 D．a(chǎn)2﹣13．（2025?管城區(qū)一模）若k為任意整數(shù)，則（k+3）2﹣（k﹣2）2的值總能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除4．（2025?廣西模擬）已知xy＝﹣1，x+y＝2，則12A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．45．（2025?葉縣模擬）已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2﹣b2＝bc﹣ac，則△ABC為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形6．（2024?云南）分解因式：a3﹣9a＝（）A．a(chǎn)（a﹣3）（a+3） B．a(chǎn)（a2+9） C．（a﹣3）（a+3） D．a(chǎn)2（a﹣9）7．（2024?六盤水二模）將ma+mb+mc因式分解的結(jié)果是（）A．mabc B．m（a+b+c） C．m（a+b）+mc D．a(chǎn)bc8．（2024?益陽一模）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對于多項(xiàng)式x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，則各個(gè)因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對于多項(xiàng)式x3﹣xy2，取x＝50，y＝20，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（）A．503070 B．507030 C．307040 D．7030509．（2024?復(fù)興區(qū)校級模擬）利用因式分解計(jì)算2023×2024﹣20232＝（）A．1 B．2023 C．2024 D．2023210．（2024?邱縣一模）對于任何整數(shù)a（a≠0），多項(xiàng)式（3a+5）2﹣4都能（）A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除二．填空題（共5小題）11．（2025?四川模擬）分解因式：7x4﹣7x2＝．12．（2025?南崗區(qū)模擬）把多項(xiàng)式ab2﹣6ab+9a分解因式的結(jié)果是．13．（2025?拱墅區(qū)模擬）因式分解：3a2﹣9a＝．14．（2025?石家莊一模）若mn＝2，m﹣n＝﹣1，則代數(shù)式m2n﹣mn2的值是．15．（2025?歷下區(qū)一模）因式分解：3x2﹣3＝．三．解答題（共5小題）16．（2025?鎮(zhèn)坪縣一模）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“相鄰兩個(gè)正整數(shù)的積N能否表示為x2﹣x（x為正整數(shù)）”的問題．（1）指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（n為正整數(shù)）：Nx2﹣x（x為正整數(shù)）1×22×33×44×55×6…22﹣232﹣342﹣452﹣562﹣6…n（n+1）按如表規(guī)律，完成下列問題：（Ⅰ）6×7＝（）2﹣；（Ⅱ）n（n+1）＝；（用含n的式子表示）（Ⅲ）證明（Ⅱ）中的結(jié)論．（2）興趣小組還猜測：像1×4，2×5，3×6，4×7，…這些形如n（n+3）（n為正整數(shù)）的正整數(shù)N不能表示為x2﹣x（x為正整數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：假設(shè)n（n+3）＝x2﹣x，其中x為正整數(shù)．分下列兩種情形分析：①若x為奇數(shù)，設(shè)x＝2k+1，其中k為正整數(shù)，則x2﹣x＝（2k+1）2﹣（2k+1）＝4k2+4k+1﹣2k﹣1＝4k2+2k＝2k（2k+1）為相鄰兩個(gè)正整數(shù)的積，矛盾．故x不可能為奇數(shù)．②若x為偶數(shù)，設(shè)x＝2k，其中k為正整數(shù)，則x2﹣x＝（2k）2﹣2k＝為相鄰兩個(gè)正整數(shù)的積，矛盾．故x不可能為偶數(shù)．由①②可知，猜測正確．閱讀以上內(nèi)容，請?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫所缺內(nèi)容．17．（2025?遵化市校級一模）“字母表示數(shù)”被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍，用字母表示數(shù)可以從特殊到一般的表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律．請觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式：第1個(gè)等式：22＝1+12+2；第2個(gè)等式：32＝2+22+3；第3個(gè)等式：42＝3+32+4；第4個(gè)等式：52＝4+42+5；（1）請用此方法拆分20252．（2）請你用上面的方法歸納一般結(jié)論，列出第n個(gè)等式（n為正整數(shù)），并借助運(yùn)算證明這個(gè)結(jié)論是正確的．18．（2025?慈利縣一模）把下面各式分解因式：（1）3x2﹣12；（2）ax2﹣4axy+4ay2．19．（2025?旺蒼縣一模）閱讀與思考：配方法是指將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和．巧妙的運(yùn)用“配方法”能對一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）（1）解決問題，運(yùn)用配方法將下列的形式進(jìn)行因式分解；x2﹣2x﹣15．（2）深入研究，說明多項(xiàng)式x2﹣6x+11的值總是一個(gè)正數(shù)；（3）拓展運(yùn)用，已知a、b、c分別是△ABC的三邊，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．20．（2025?峰峰礦區(qū)校級一模）數(shù)學(xué)課上老師給出規(guī)定：如果兩個(gè)數(shù)的平方差能被4整除，我們稱這個(gè)算式是“佳偶和諧式”．小亮寫出如下算式：82﹣62＝7×4；142﹣122＝13×4；1062﹣1042＝105×4．發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”．（1）驗(yàn)證：222﹣202是“佳偶和諧式”；（2）證明：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；（3）小紅通過小亮的結(jié)論推廣得到一個(gè)命題：任意兩個(gè)偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳偶和諧式”，直接判斷此命題是真命題還是假命題．

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之因式分解參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CBCAAABCBC一．選擇題（共10小題）1．（2025?金安區(qū)校級一模）下列因式分解正確的是（）A．x2+9＝（x+3）2 B．a(chǎn)2+2a+4＝（a+2）2 C．a(chǎn)3﹣4a2＝a2（a﹣4） D．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x）【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】計(jì)算題；整式；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】利用提公因式法、公式法逐個(gè)分解得結(jié)論．【解答】解：A．x2+9≠x2+6x+9＝（x+3）2，故選項(xiàng)A分解錯(cuò)誤；B．a(chǎn)2+2a+4≠a2+4a+4＝（x+2）2，故選項(xiàng)B解錯(cuò)誤；C．a(chǎn)3﹣4a2＝a2（a﹣4），故選項(xiàng)C分解正確；D．1﹣4x2＝（1+2x）（1﹣2x）≠（1+4x）（1﹣4x），故選項(xiàng)D分解錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2025?慈利縣一模）下列多項(xiàng)式不能進(jìn)行因式分解的是（）A．a(chǎn)2+4a B．a(chǎn)2+9 C．a(chǎn)2﹣2a+1 D．a(chǎn)2﹣1【考點(diǎn)】因式分解的意義．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的方法，注意判斷，即可解答．【解答】解：A、利用提公因式法，可得a2+4a＝a（a+4），故A不符合題意；B、a2+9無法因式分解，故B符合題意；C、利用完全平方公式，可得a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故C不符合題意；D、利用平方差公式，可得a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），故D不符合題意，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解題的關(guān)鍵．3．（2025?管城區(qū)一模）若k為任意整數(shù)，則（k+3）2﹣（k﹣2）2的值總能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】運(yùn)用乘法公式展開，再根據(jù)整式的加減運(yùn)算得到5（2k+1），結(jié)合k為任意整數(shù)，得到2k+1是整數(shù)，由此即可求解．【解答】解：原式＝k2+6k+9﹣（k2﹣4k+4）＝10k+5＝5（2k+1），由條件可知2k+1是整數(shù)，∴（k+3）2﹣（k﹣2）2的值總能被5整除，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握乘法公式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．4．（2025?廣西模擬）已知xy＝﹣1，x+y＝2，則12A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】先對所求的式子進(jìn)行因式分解，再整體代入計(jì)算即可．【解答】解：∵xy＝﹣1，x+y＝2，∴1=12xy（x2+2xy+y=12xy（x+y=1＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．5．（2025?葉縣模擬）已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2﹣b2＝bc﹣ac，則△ABC為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】對等式兩邊分別進(jìn)行因式分解，找出相同項(xiàng)，即可求解．【解答】解：a2﹣b2＝bc﹣ac，（a+b）（a﹣b）＝﹣c（a﹣b），∵a+b≠﹣c，∴a﹣b＝0，∴a＝b．∴△ABC為等腰三角形．故選：A．【點(diǎn)評】考查了因式分解和平方差公式，得出兩邊相等，從而推出△ABC為等腰三角形．6．（2024?云南）分解因式：a3﹣9a＝（）A．a(chǎn)（a﹣3）（a+3） B．a(chǎn)（a2+9） C．（a﹣3）（a+3） D．a(chǎn)2（a﹣9）【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣9）＝a（a﹣3）（a+3），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查提公因式法與公式法因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2024?六盤水二模）將ma+mb+mc因式分解的結(jié)果是（）A．mabc B．m（a+b+c） C．m（a+b）+mc D．a(chǎn)bc【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】利用提公因式法因式分解即可．【解答】解：原式＝m（a+b+c），故選：B．【點(diǎn)評】本題考查提公因式法因式分解，找到正確的公因式是解題的關(guān)鍵．8．（2024?益陽一模）在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶方便．原理是：如對于多項(xiàng)式x4﹣y4，因式分解的結(jié)果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，則各個(gè)因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對于多項(xiàng)式x3﹣xy2，取x＝50，y＝20，用上述方法產(chǎn)生的密碼不可能是（）A．503070 B．507030 C．307040 D．703050【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；因式分解的意義．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】先提公因式x，然后根據(jù)平方差公式因式分解，進(jìn)而代入字母的值即可求解．【解答】解：∵x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），∵x＝50，y＝20，則各個(gè)因式的值為x＝50，x+y＝70，x﹣y＝30，∴產(chǎn)生的密碼不可能是307040，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．9．（2024?復(fù)興區(qū)校級模擬）利用因式分解計(jì)算2023×2024﹣20232＝（）A．1 B．2023 C．2024 D．20232【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專題】因式分解；應(yīng)用意識．【答案】B【分析】提取公因式2023，再化簡，整理即可．【解答】解：2023×2024﹣20232＝2023（2024﹣2023）＝2023×1＝2023．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查因式分解的應(yīng)用．找到公因式并合理提取是解決本題的關(guān)鍵．10．（2024?邱縣一模）對于任何整數(shù)a（a≠0），多項(xiàng)式（3a+5）2﹣4都能（）A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a﹣1整除【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．【專題】計(jì)算題．【答案】C【分析】多項(xiàng)式利用平方差公式分解，即可做出判斷．【解答】解：原式＝（3a+5+2）（3a+5﹣2）＝3（3a+7）（a+1），則對于任何整數(shù)a，多項(xiàng)式（3a+5）2﹣4都能被a+1整除．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025?四川模擬）分解因式：7x4﹣7x2＝7x2（x+1）（x﹣1）．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】7x2（x+1）（x﹣1）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式提取公因式可得：7x4﹣7x2＝7x2（x2﹣1）＝7x2（x+1）（x﹣1）．故答案為：7x2（x+1）（x﹣1）．【點(diǎn)評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．12．（2025?南崗區(qū)模擬）把多項(xiàng)式ab2﹣6ab+9a分解因式的結(jié)果是a（b﹣3）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】因式分解；運(yùn)算能力．【答案】a（b﹣3）2．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：ab2﹣6ab+9a＝a（b2﹣6b+9）＝a（b﹣3）2，故答案為：a（b﹣3）2．【點(diǎn)評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2025?拱墅區(qū)模擬）因式分解：3a2﹣9a＝3a（a﹣3）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】因式分解；運(yùn)算能力．【答案】3a（a﹣3）．【分析】利用提公因式法分解因式即可．【解答】解：3a2﹣9a＝3a（a﹣3），故答案為：3a（a﹣3）．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握公因式的確定方法是解題的關(guān)鍵．14．（2025?石家莊一模）若mn＝2，m﹣n＝﹣1，則代數(shù)式m2n﹣mn2的值是﹣2．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】﹣2．【分析】先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值．【解答】解：∵mn＝2，m﹣n＝﹣1，∴m2n﹣mn2＝mn（m﹣n）＝2×（﹣1）＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查代數(shù)式求值．熟練掌握因式分解的方法是關(guān)鍵．15．（2025?歷下區(qū)一模）因式分解：3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1）．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】3（x﹣1）（x+1）．【分析】首先提公因式3，再利用平方差進(jìn)行分解即可．【解答】解：原式＝3（x2﹣1）＝3（x﹣1）（x+1），故答案為：3（x﹣1）（x+1）．【點(diǎn)評】此題主要考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解．三．解答題（共5小題）16．（2025?鎮(zhèn)坪縣一模）數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動，研究了“相鄰兩個(gè)正整數(shù)的積N能否表示為x2﹣x（x為正整數(shù)）”的問題．（1）指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（n為正整數(shù)）：Nx2﹣x（x為正整數(shù)）1×22×33×44×55×6…22﹣232﹣342﹣452﹣562﹣6…n（n+1）按如表規(guī)律，完成下列問題：（Ⅰ）6×7＝（7）2﹣7；（Ⅱ）n（n+1）＝（n+1）2﹣（n+1）；（用含n的式子表示）（Ⅲ）證明（Ⅱ）中的結(jié)論．（2）興趣小組還猜測：像1×4，2×5，3×6，4×7，…這些形如n（n+3）（n為正整數(shù)）的正整數(shù)N不能表示為x2﹣x（x為正整數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：假設(shè)n（n+3）＝x2﹣x，其中x為正整數(shù)．分下列兩種情形分析：①若x為奇數(shù)，設(shè)x＝2k+1，其中k為正整數(shù)，則x2﹣x＝（2k+1）2﹣（2k+1）＝4k2+4k+1﹣2k﹣1＝4k2+2k＝2k（2k+1）為相鄰兩個(gè)正整數(shù)的積，矛盾．故x不可能為奇數(shù)．②若x為偶數(shù)，設(shè)x＝2k，其中k為正整數(shù)，則x2﹣x＝（2k）2﹣2k＝2k（2k﹣1）為相鄰兩個(gè)正整數(shù)的積，矛盾．故x不可能為偶數(shù)．由①②可知，猜測正確．閱讀以上內(nèi)容，請?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫所缺內(nèi)容．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；有理數(shù)的混合運(yùn)算；列代數(shù)式；代數(shù)式求值；規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【專題】計(jì)算題；閱讀型；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）（I）72，7．（Ⅱ）（n+1）2﹣（n+1）．（Ⅲ）證明過程見解答．（2）2k（2k﹣1）．【分析】根據(jù)因式分解的提公因式法，將數(shù)字代入或進(jìn)行代數(shù)推理，可容易得到答案．【解答】解：（1）（I）72，7．（Ⅱ）（n+1）2﹣（n+1）．（Ⅲ）證明：∵等式左邊＝n2+n，等式右邊＝n2+2n+1﹣n﹣1＝n2+n，∴等式左邊＝等式右邊，∴等式成立．（2）x2﹣x＝（2k）2﹣2k＝2k（2k﹣1）．故答案為：2k（2k﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解—提公因式法的相關(guān)知識，通過閱讀材料明確規(guī)律，并掌握整式的乘法與因式分解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2025?遵化市校級一模）“字母表示數(shù)”被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍，用字母表示數(shù)可以從特殊到一般的表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律．請觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式：第1個(gè)等式：22＝1+12+2；第2個(gè)等式：32＝2+22+3；第3個(gè)等式：42＝3+32+4；第4個(gè)等式：52＝4+42+5；（1）請用此方法拆分20252．（2）請你用上面的方法歸納一般結(jié)論，列出第n個(gè)等式（n為正整數(shù)），并借助運(yùn)算證明這個(gè)結(jié)論是正確的．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；列代數(shù)式．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】（1）20252＝2024+20242+2025；（2）n2＝（n﹣1）+（n﹣1）2+n，證明見解析．【分析】（1）依據(jù)材料中等式的規(guī)律解答即可；（2）根據(jù)依據(jù)材料中發(fā)現(xiàn)等式的規(guī)律寫出含n的等式證明成立即可．【解答】解：（1）依據(jù)材料中等式的規(guī)律可得：第1個(gè)等式：22＝1+12+2；第2個(gè)等式：32＝2+22+3；第3個(gè)等式：42＝3+32+4；第4個(gè)等式：52＝4+42+5；∴20252＝2024+20242+2025；（2）依據(jù)材料中等式的規(guī)律可得：第1個(gè)等式：22＝1+12+2；第2個(gè)等式：32＝2+22+3；第3個(gè)等式：42＝3+32+4；第4個(gè)等式：52＝4+42+5；則含n的等式是n2＝（n﹣1）+（n﹣1）2+n．理由：∵右邊＝n﹣1+n2﹣2n+1+n＝n2，左邊＝n2，∴左邊＝右邊，∴n2＝（n﹣1）+（n﹣1）2+n成立．【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律型問題，還考查了整式的混合運(yùn)算和乘法公式．熟練掌握等式所反映的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．18．（2025?慈利縣一模）把下面各式分解因式：（1）3x2﹣12；（2）ax2﹣4axy+4ay2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】整式．【答案】（1）3（x+2）（x﹣2）；（2）a（x﹣2y）2．【分析】（1）先提取公因式3，再利用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）3x2﹣12＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）；（2）ax2﹣4axy+4ay2＝a（x2﹣4xy+4y2）＝a（x﹣2y）2．【點(diǎn)評】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．19．（2025?旺蒼縣一模）閱讀與思考：配方法是指將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和．巧妙的運(yùn)用“配方法”能對一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）（1）解決問題，運(yùn)用配方法將下列的形式進(jìn)行因式分解；x2﹣2x﹣15．（2）深入研究，說明多項(xiàng)式x2﹣6x+11的值總是一個(gè)正數(shù)；（3）拓展運(yùn)用，已知a、b、c分別是△ABC的三邊，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）△ABC是等邊三角形，理由見解析．【分析】（1）仿照例子運(yùn)用配方法進(jìn)行因式分解即可；（2）利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行說明即可；（3）展開后利用分組分解法因式分解后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定三角形的三邊的關(guān)系即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝x2﹣2x+1﹣1﹣15＝（x﹣1）2﹣42＝（x+3）（x﹣5）；（2）x2﹣6x+11＝x2﹣6x+9+2＝（x﹣3）2+2，∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+2＞0，∴多項(xiàng)式x2﹣6x+11的值總是一個(gè)正數(shù)；（3）由條件可知2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ac，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+a2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀材料理解配方的方法．20．（2025?峰峰礦區(qū)校級一模）數(shù)學(xué)課上老師給出規(guī)定：如果兩個(gè)數(shù)的平方差能被4整除，我們稱這個(gè)算式是“佳偶和諧式”．小亮寫出如下算式：82﹣62＝7×4；142﹣122＝13×4；1062﹣1042＝105×4．發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”．（1）驗(yàn)證：222﹣202是“佳偶和諧式”；（2）證明：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；（3）小紅通過小亮的結(jié)論推廣得到一個(gè)命題：任意兩個(gè)偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳偶和諧式”，直接判斷此命題是真命題還是假命題．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；命題與定理．【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）該命題是真命題．【分析】（1）直接根據(jù)“佳偶和諧式”的定義，即可求解；（2）設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為2n，2n+2，再根據(jù)平方差公式，以及“佳偶和諧式”的定義，即可求解；（3）設(shè)任意兩個(gè)偶數(shù)分別為2a，2b，再根據(jù)平方差公式，以及“佳偶和諧式’的定義，即可求解．【解答】解：（1）證明：∵222﹣202＝21×4，∴222﹣202是“佳偶和諧式”；（2）證明：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為2n，2n+2，則（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝2（4n+2）＝4（2n+1），∴任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；（3）設(shè)任意兩個(gè)偶數(shù)分別為2a，2b，∴（2a）2﹣（2b）2＝（2a+2b）（2a﹣2b）＝4（a+b）（a﹣b），∴任意兩個(gè)偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳偶和諧式”，∴該命題是真命題．【點(diǎn)評】本題主要考查的是因式分解的應(yīng)用和命題與定理，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．2．有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個(gè)數(shù)，分母相同的兩個(gè)數(shù)，和為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個(gè)數(shù)分別結(jié)合為一組求解．3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡便．3．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運(yùn)算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級運(yùn)算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號，什么時(shí)要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問題1．在同一個(gè)式子或具體問題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．4．代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計(jì)算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．5．規(guī)律型：數(shù)字的變化類探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式．（2）利用方程解決問題．當(dāng)問題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程．6．因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式．因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘