甘肅省張掖市山丹縣一中2025年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，，則（）A． B．C． D．2．三棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．定義在R上的函數(shù)y=fx滿足fx≤2x-1A． B． C． D．4．已知x,y滿足不等式組,則點(diǎn)所在區(qū)域的面積是()A．1 B．2 C． D．5．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊方法數(shù)為（）.A．432 B．576 C．696 D．9606．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．7．中國的國旗和國徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且，則（）A． B． C． D．8．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．9．如圖，在等腰梯形中，，，，為的中點(diǎn)，將與分別沿、向上折起，使、重合為點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積是（）A． B．C． D．10．對某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計得到折線圖，下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分析．①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績?yōu)?30分；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間110,120內(nèi)；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)；④乙同學(xué)連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進(jìn)步．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．111．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．12．要排出高三某班一天中，語文、數(shù)學(xué)、英語各節(jié)，自習(xí)課節(jié)的功課表，其中上午節(jié)，下午節(jié)，若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且，則的最小值是______.14．有編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機(jī)取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為_______________.15．現(xiàn)有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）16．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，在進(jìn)場購物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)？若在購物體驗滿意的問卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券．若在獲得了元購物券的人中隨機(jī)抽取人贈其紀(jì)念品，求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．18．（12分）選修4—5；不等式選講．已知函數(shù)．(1)若的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若正數(shù)滿足，為（1）中m可取到的最大值，求證：．19．（12分）如圖，已知正方形所在平面與梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)N到平面CDM的距離．20．（12分）記為數(shù)列的前項和，N.（1）求；（2）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項和.21．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.22．（10分）等差數(shù)列的前項和為，已知，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及前項和為；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前項的和，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因為，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.2．B【解析】由題，側(cè)棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵．3．D【解析】

根據(jù)y=fx+1為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱，排除AB，計算f1.5≤【詳解】y=fx+1為奇函數(shù)，即fx+1=-f-x+1，函數(shù)關(guān)于f1.5≤2故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)關(guān)于1,0中心對稱是解題的關(guān)鍵.4．C【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖：直線的斜率為，直線的斜率為，所以兩直線垂直，故為直角三角形，易得，，，，所以陰影部分面積.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力，屬于常考題.5．B【解析】

先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類時，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.6．D【解析】由題意得，函數(shù)點(diǎn)定義域為且，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選D.7．A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問題．【詳解】解：.故選：A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．8．A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．9．A【解析】

由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積．【詳解】由題意等腰梯形中，又，∴，是靠邊三角形，從而可得，∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體，設(shè)是的中心，則平面，，，外接球球心必在高上，設(shè)外接球半徑為，即，∴，解得，球體積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求球的體積，解題關(guān)鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體．10．C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學(xué)的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績?yōu)榈陀?30分，①錯誤；②根據(jù)甲同學(xué)成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，估計該同學(xué)平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi)，②正確；③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試次號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確；④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用，線性相關(guān)以及平均分的求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12．C【解析】

根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午；②語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類加法計數(shù)原理可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午，要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰，將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁，然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午，由于節(jié)英語課不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種；②語文和數(shù)學(xué)都一個安排在上午，一個安排在下午.語文和數(shù)學(xué)一個安排在上午，一個安排在下午，但節(jié)語文課不加以區(qū)分，節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分，節(jié)英語課也不加以區(qū)分，此時，排法種數(shù)為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．8【解析】

利用的代換，將寫成，然后根據(jù)基本不等式求解最小值.【詳解】因為（即取等號），所以最小值為.【點(diǎn)睛】已知，求解（）的最小值的處理方法：利用，得到，展開后利用基本不等式求解，注意取等號的條件.14．【解析】試題分析：從編號分別為1，1，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機(jī)取出4個，有種不同的結(jié)果，由于是隨機(jī)取出的，所以每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；設(shè)事件為“取出球的編號互不相同”，則事件包含了個基本事件，所以.考點(diǎn)：1.計數(shù)原理；1．古典概型.15．36【解析】

先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.【點(diǎn)睛】排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特，計算量龐大，對結(jié)果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細(xì)膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.16．【解析】

先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖，再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，如圖所示長方體對角線長為，所以三棱錐外接球半徑為，故所求外接球的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積，考查學(xué)生空間想象能力以及基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)；.【解析】

由題得，根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)；獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有個，其中僅有1人是女顧客的基本事件有個，進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析：由題得所以，有的把握認(rèn)為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)．獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共個．其中僅有1人是女顧客的基本事件有：，，，，，，，，共個．所以獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．【點(diǎn)睛】本小題主要考查統(tǒng)計案例、卡方分布、概率等基本知識，考查概率統(tǒng)計基本思想以及抽象概括等能力和應(yīng)用意識，屬于中檔題．18．(1);(2)見解析.【解析】試題分析：（1）討論三種情況去絕對值符號，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，，所以，因為，要證，只需證，即證，只需證即可得結(jié)果.試題解析：（1）去絕對值符號，可得所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由（1）知，，所以．因為，所以要證，只需證，即證，即證.因為，所以只需證，因為，∴成立，所以解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy設(shè)：證明：x+y-2xy==令，∴原式====當(dāng)時，19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因為正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，平面平面，，所以平面ABMN，因為平面ABMN，平面ABMN，所以，，因為，所以，因為，所以，所以，因為在直角梯形ABMN中，，所以，所以，所以，因為，所以平面．（2）如圖，取BM的中點(diǎn)E，則，又BM∥AN，所以四邊形ABEN是平行四邊形，所以NE∥AB，又AB∥CD，所以NE∥CD，因為平面CDM，平面CDM，所以NE∥平面CDM，所以點(diǎn)N到平面CDM的距離與點(diǎn)E到平面CDM的距離相等，設(shè)點(diǎn)N到平面CDM的距離為h，由可得點(diǎn)B到平面CDM的距離為2h，由題易得平面BCM，所以，且，所以，又，所以由可得，解得，所以點(diǎn)N到平面CDM的距離為．20．（1）；（2）證明見詳解，【解析】

（1）根據(jù)，可得，然后作差，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，用取代，得到新的式子，然后作差，可得結(jié)果