廣西梧州市2025屆聯(lián)盟“測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)：，，為其左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)的右支交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，若，則直線(xiàn)的斜率為()A． B． C． D．2．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象恒在軸的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多5．公比為2的等比數(shù)列中存在兩項(xiàng)，，滿(mǎn)足，則的最小值為（）A． B． C． D．6．當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．7．若集合，，則（）A． B． C． D．8．一個(gè)頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有（）A． B． C． D．9．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則A． B．C． D．10．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．11．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位12．在空間直角坐標(biāo)系中，四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：．假設(shè)螞蟻窩在點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，需要在，上分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回點(diǎn)．那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_______．14．已知，復(fù)數(shù)且（為虛數(shù)單位），則__________，_________．15．的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，則________.16．已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程以及曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)、曲線(xiàn)在第一象限交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的面積.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，平面，且，．（）求與平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的右焦點(diǎn)為（，為常數(shù)），離心率等于0.8，過(guò)焦點(diǎn)、傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)．⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵若時(shí)，，求實(shí)數(shù)；⑶試問(wèn)的值是否與的大小無(wú)關(guān)，并證明你的結(jié)論．20．（12分）已知函數(shù)，直線(xiàn)是曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)．（1）求證：無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明．21．（12分）心形線(xiàn)是由一個(gè)圓上的一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個(gè)圓周上滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)定點(diǎn)的軌跡，因其形狀像心形而得名，在極坐標(biāo)系中，方程（）表示的曲線(xiàn)就是一條心形線(xiàn)，如圖，以極軸所在的直線(xiàn)為軸，極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中.已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線(xiàn)與相交于、、三點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng).22．（10分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.設(shè)直線(xiàn)l的方程x＝my+，m＞0，設(shè)，，即y1＝﹣3y2①，聯(lián)立直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直線(xiàn)的斜率.【詳解】雙曲線(xiàn)C：，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，則F2（，0），設(shè)直線(xiàn)l的方程x＝my+，m＞0，∵雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為x＝±2y，∴m≠±2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，聯(lián)立①②得，聯(lián)立①③得，，即：，，解得：，直線(xiàn)的斜率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，屬于中檔題．2．A【解析】

化簡(jiǎn)為，求出它的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式，利用所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)列方程即可求得，問(wèn)題得解。【詳解】函數(shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。3．B【解析】

函數(shù)的圖象恒在軸的上方，在上恒成立.即，即函數(shù)的圖象在直線(xiàn)上方，先求出兩者相切時(shí)的值，然后根據(jù)變化時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)，從而得的范圍．【詳解】由題在上恒成立.即，的圖象永遠(yuǎn)在的上方，設(shè)與的切點(diǎn)，則，解得，易知越小，圖象越靠上，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，最后由極限位置直線(xiàn)與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值，然后得出參數(shù)范圍．4．D【解析】

根據(jù)兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察比較，即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】在A中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%，所以是正確的；在B中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的，所以是正確的；在C中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分別餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分別條形圖得到：，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80后多，所以是正確的；在D中，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后所占比例為，所以不能判斷互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定，以及統(tǒng)計(jì)圖表中餅狀圖和條形圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出關(guān)系，即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，注意為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取到等號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，直至不滿(mǎn)足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A，由集合性質(zhì)表示形式即可求得，進(jìn)而可知滿(mǎn)足.【詳解】依題意，；而，故，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用，集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.8．B【解析】

計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，因此，樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

因?yàn)椋?，故選B．10．B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當(dāng)，即時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.11．C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識(shí)得到答案.【詳解】由圖象知：，∴.又時(shí)函數(shù)值最大，所以.又，∴，從而，，只需將的圖象向左平移個(gè)單位即可得到的圖象，故選C.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求．12．C【解析】

將四面體沿著劈開(kāi)，展開(kāi)后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開(kāi)，展開(kāi)后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)，由可得，整理得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．又點(diǎn)到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為，所以當(dāng)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得．14．【解析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴，故答案為，15．【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進(jìn)而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線(xiàn)，如下圖所示，因?yàn)楹瘮?shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，所以由圖象可知，，，所以．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】

（1）先把曲線(xiàn)的參數(shù)方程消參后，轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用求得極坐標(biāo)方程.將，化為，再利用求得曲線(xiàn)的普通方程.（2）設(shè)直線(xiàn)的極角，代入，得，將代入，得，由，得，即，從而求得，，從而求得，再利用求解.【詳解】（1）依題意，曲線(xiàn)，即，故，即.因?yàn)?，故，即，?（2）將代入，得，將代入，得，由，得，得，解得，則.又，故，故的面積.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)的幾何意義，還考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.18．(1).(2).【解析】分析：（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出面的法向量和已知線(xiàn)的向量，再結(jié)合向量的夾角公式求解即可；（2）先分別得出兩個(gè)面的法向量，然后根據(jù)向量交角公式求解即可.詳解：（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，，即，，兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，∴，∴，故與平面所成角的正弦值為．（）由（）可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，∴，∴，故二面角的余弦值為．點(diǎn)睛：考查空間立體幾何的線(xiàn)面角，二面角問(wèn)題，一般直接建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量夾角公式求解即可，但要注意坐標(biāo)的正確性，坐標(biāo)錯(cuò)則結(jié)果必錯(cuò)，務(wù)必細(xì)心，屬于中檔題.19．（1）（2）（3）為定值【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法可得，橢圓方程為；（2）我們要知道=的條件應(yīng)用，在于直線(xiàn)交橢圓兩交點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為，這樣代入橢圓方程，容易得到，從而解得；（3）需討論斜率是否存在．一方面斜率不存在即=時(shí)，由（2）得；另一方面，當(dāng)斜率存在即時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的斜率為，得直線(xiàn)MN：，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理和焦半徑公式，就能得到，所以為定值，與直線(xiàn)的傾斜角的大小無(wú)關(guān)試題解析：（1），得：，橢圓方程為（2）當(dāng)時(shí)，，得：，于是當(dāng)=時(shí)，，于是，得到（3）①當(dāng)=時(shí)，由（2）知②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，，則直線(xiàn)MN：聯(lián)立橢圓方程有，，，=+==得綜上，為定值，與直線(xiàn)的傾斜角的大小無(wú)關(guān)考點(diǎn)：（1）待定系數(shù)求橢圓方程；（2）橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；（3）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)20．（1）見(jiàn)解析，（2）函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出切線(xiàn)方程，根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).（2）由（1）求出函數(shù)，令方程可轉(zhuǎn)化為記，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)，由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】所以直線(xiàn)方程為即，恒過(guò)點(diǎn)將代入直線(xiàn)方程，得考慮方程即，等價(jià)于記，則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理，屬于難題.21．（1）（）；（2）.【解析】

（1）化簡(jiǎn)得到直線(xiàn)方程為，再利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案.（2）聯(lián)立方程計(jì)算得到，，計(jì)算得到答案.【詳解】（1