(兩個(gè)重要極限)教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能夠理解兩個(gè)重要極限的概念、證明過程及幾何意義。熟練掌握兩個(gè)重要極限的形式，并能運(yùn)用它們求解相關(guān)函數(shù)的極限。2.過程與方法目標(biāo)通過對(duì)兩個(gè)重要極限的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維能力。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用極限的思想方法解決實(shí)際問題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)兩個(gè)重要極限的概念、形式及應(yīng)用。利用兩個(gè)重要極限求解函數(shù)的極限。2.教學(xué)難點(diǎn)兩個(gè)重要極限的證明思路及推導(dǎo)過程。如何引導(dǎo)學(xué)生正確運(yùn)用兩個(gè)重要極限解決復(fù)雜的極限問題。三、教學(xué)方法1.講授法：講解兩個(gè)重要極限的概念、證明過程和應(yīng)用方法，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)。2.演示法：通過多媒體演示兩個(gè)重要極限的幾何意義和推導(dǎo)過程，幫助學(xué)生直觀地理解抽象的概念。3.討論法：組織學(xué)生討論兩個(gè)重要極限的應(yīng)用實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維。4.練習(xí)法：布置適量的練習(xí)題，讓學(xué)生通過練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高運(yùn)用能力。四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）通過一個(gè)有趣的實(shí)際問題引入：假設(shè)你有一張足夠大的紙，厚度為0.1毫米，將它對(duì)折30次后，你能想象它有多厚嗎？讓學(xué)生思考并嘗試回答，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這與指數(shù)增長有關(guān)，從而引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的兩個(gè)重要極限，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和好奇心。（二）講解新課（30分鐘）1.重要極限一：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)概念引入利用多媒體展示單位圓，設(shè)圓心角\(\angleAOB=x\)（弧度），\(0<x<\frac{\pi}{2}\)。過點(diǎn)\(A\)作圓的切線與\(OB\)的延長線相交于點(diǎn)\(C\)，過點(diǎn)\(B\)作\(BD\perpOA\)，垂足為\(D\)。引導(dǎo)學(xué)生觀察：\(\sinx=BD\)，\(x=\overset{\frown}{AB}\)，\(\tanx=AC\)。從圖形中可以看出\(S_{\triangleAOB}<S_{扇形AOB}<S_{\triangleAOC}\)，即\(\frac{1}{2}\sinx<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tanx\)。同除以\(\frac{1}{2}\sinx\)，得到\(1<\frac{x}{\sinx}<\frac{1}{\cosx}\)，即\(\cosx<\frac{\sinx}{x}<1\)。當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\cosx\to1\)，根據(jù)夾逼準(zhǔn)則可得\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)。幾何意義通過動(dòng)畫演示，讓學(xué)生直觀感受當(dāng)\(x\)趨近于\(0\)時(shí)，\(\frac{\sinx}{x}\)的變化趨勢(shì)，理解其幾何意義：在單位圓中，當(dāng)圓心角趨近于\(0\)時(shí)，弦長與弧長的比趨近于\(1\)。應(yīng)用舉例例1：求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)解：令\(t=3x\)，則當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(t\to0\)。\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\sint}{\frac{t}{3}}=3\lim\limits_{t\to0}\frac{\sint}{t}=3\times1=3\)例2：求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)解：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{1}{\cosx}=1\times1=1\)2.重要極限二：\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\)概念引入首先給出一個(gè)數(shù)列\(zhòng)(a_n=(1+\frac{1}{n})^n\)，計(jì)算\(n\)取不同值時(shí)\(a_n\)的值：當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(a_1=(1+1)^1=2\)；當(dāng)\(n=2\)時(shí)，\(a_2=(1+\frac{1}{2})^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}=2.25\)；當(dāng)\(n=3\)時(shí)，\(a_3=(1+\frac{1}{3})^3=(\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}\approx2.37\)；......通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，隨著\(n\)的增大，\(a_n\)的值逐漸增大，但增加的速度越來越慢，并且趨近于一個(gè)常數(shù)\(e\)（\(e\approx2.71828\)）。然后利用二項(xiàng)式定理展開\((1+\frac{1}{n})^n\)：\((1+\frac{1}{n})^n=1+n\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n1)}{2!}\cdot(\frac{1}{n})^2+\frac{n(n1)(n2)}{3!}\cdot(\frac{1}{n})^3+\cdots+(\frac{1}{n})^n\)\(=1+1+\frac{1}{2!}(1\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1\frac{1}{n})(1\frac{2}{n})+\cdots+\frac{1}{n!}(1\frac{1}{n})(1\frac{2}{n})\cdots(1\frac{n1}{n})\)當(dāng)\(n\to\infty\)時(shí)，\((1\frac{k}{n})\to1\)（\(k=1,2,\cdots,n1\)），所以\(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots=e\)。推廣形式\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)應(yīng)用舉例例3：求\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x\)解：令\(t=\frac{x}{2}\)，則當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，\(t\to\infty\)。\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=\lim\limits_{t\to\infty}[(1+\frac{1}{t})^{t}]^2=e^2\)例4：求\(\lim\limits_{x\to0}(13x)^{\frac{1}{x}}\)解：令\(t=3x\)，則當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(t\to0\)。\(\lim\limits_{x\to0}(13x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{t\to0}[(1+t)^{\frac{1}{t}}]^{3}=e^{3}\)（三）課堂練習(xí)（15分鐘）1.求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin5x}{2x}\)2.求\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan4x}{3x}\)3.求\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{3}{x})^{2x}\)4.求\(\lim\limits_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}\)讓學(xué)生在練習(xí)本上完成，然后請(qǐng)幾位同學(xué)上臺(tái)展示解題過程，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和講解，及時(shí)糾正學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤。（四）課堂小結(jié)（5分鐘）1.請(qǐng)學(xué)生回顧兩個(gè)重要極限的概念、形式、證明思路和幾何意義。2.總結(jié)利用兩個(gè)重要極限求解函數(shù)極限的方法和技巧。3.強(qiáng)調(diào)在運(yùn)用兩個(gè)重要極限時(shí)需要注意的問題，如變量代換、等價(jià)變形等。（五）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)：教材課后習(xí)題中與兩個(gè)重要極限相關(guān)的題目。2.拓展作業(yè)：思考兩個(gè)重要極限在其他學(xué)科或?qū)嶋H生活中的應(yīng)用，并寫一篇簡(jiǎn)短的報(bào)告。五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對(duì)兩個(gè)重要極限