高中數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)策略?摘要：本文詳細(xì)闡述了高中數(shù)學(xué)中的主要思想方法，包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。深入分析了這些思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，并針對每種思想方法提出了相應(yīng)的教學(xué)策略，旨在幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)思維能力，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供有益的參考。一、引言高中數(shù)學(xué)作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，不僅傳授數(shù)學(xué)知識，更注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它貫穿于數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中。掌握數(shù)學(xué)思想方法能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高分析問題和解決問題的能力，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)高度重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟和運用數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、高中數(shù)學(xué)主要思想方法（一）函數(shù)與方程思想函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想則是通過列方程（組）來解決問題，把未知量用方程的形式表示出來，通過解方程（組）求出未知量的值。函數(shù)與方程思想相互聯(lián)系，函數(shù)問題可以通過方程求解，方程問題也可以通過函數(shù)的性質(zhì)來解決。例如，在解決實際問題中的最值問題時，常常可以建立函數(shù)模型，利用函數(shù)的單調(diào)性或求導(dǎo)等方法求出最值。如某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是$R(x)=\begin{cases}400x\frac{1}{2}x^{2},&0\leqx\leq400\\80000,&x\gt400\end{cases}$，求年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)獲得的利潤最大？設(shè)利潤為$L(x)$，則$L(x)=R(x)100x20000$，當(dāng)$0\leqx\leq400$時，$L(x)=400x\frac{1}{2}x^{2}100x20000=\frac{1}{2}x^{2}+300x20000$，通過求二次函數(shù)的最值可得當(dāng)$x=300$時，$L(x)$取得最大值；當(dāng)$x\gt400$時，$L(x)=80000100x20000=60000100x$，$L(x)$隨$x$增大而減小，所以當(dāng)$x=300$時，利潤最大。這里就是將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質(zhì)求解最值。（二）數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。例如，在解不等式$|x1|+|x2|\gt3$時，可以利用絕對值的幾何意義來求解。$|x1|$表示數(shù)軸上點$x$到點1的距離，$|x2|$表示數(shù)軸上點$x$到點2的距離，那么$|x1|+|x2|$表示數(shù)軸上點$x$到點1和點2的距離之和。通過數(shù)軸直觀地可以看出，當(dāng)$x\lt0$或$x\gt3$時，這個距離之和大于3，所以不等式的解集為$(\infty,0)\cup(3,+\infty)$。這就是典型的"以形助數(shù)"。又如，在研究函數(shù)$y=\sinx$與$y=\frac{2x}{\pi}$的圖象交點個數(shù)時，通過畫出兩個函數(shù)的圖象，可以直觀地看到它們有三個交點。這里是"以數(shù)解形"，借助函數(shù)的表達(dá)式準(zhǔn)確地畫出圖象，從而解決交點個數(shù)問題。（三）分類討論思想分類討論思想是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。例如，在等比數(shù)列$\{a_n\}$中，已知$a_1=1$，$a_{n+1}=qa_n$，求其前$n$項和$S_n$。當(dāng)$q=1$時，數(shù)列$\{a_n\}$是常數(shù)列，$a_n=1$，則$S_n=n$；當(dāng)$q\neq1$時，根據(jù)等比數(shù)列求和公式$S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}=\frac{1q^n}{1q}$。這里就需要對$q$進(jìn)行分類討論，因為$q=1$和$q\neq1$時，等比數(shù)列的求和公式不同，所以要分別討論這兩種情況才能得出正確的結(jié)果。（四）化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化思想是將待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個已解決或容易解決的問題，最終使原問題得到解決。例如，在立體幾何中，求異面直線所成角的問題，通常通過平移其中一條直線，使其與另一條直線相交，將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，再利用解三角形的方法求解。又如，將分式方程化為整式方程來求解，將復(fù)雜的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)公式來解決等。三、高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性（一）有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，它能幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識的內(nèi)在聯(lián)系。例如，函數(shù)思想貫穿于高中數(shù)學(xué)的各個章節(jié)，通過函數(shù)思想可以將不同類型的數(shù)學(xué)問題統(tǒng)一起來，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的整體，從而加深對數(shù)學(xué)知識的理解和記憶。（二）提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力數(shù)學(xué)思想方法為學(xué)生提供了解決數(shù)學(xué)問題的思路和方法。當(dāng)學(xué)生面對一個新的數(shù)學(xué)問題時，能夠運用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式，然后選擇合適的方法去解決。如在解決實際問題時，學(xué)生可以運用函數(shù)與方程思想建立數(shù)學(xué)模型，運用化歸與轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜問題簡單化，運用分類討論思想全面考慮各種情況，從而提高解決實際問題的能力。（三）培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法具有開放性和靈活性，它鼓勵學(xué)生從不同的角度思考問題，尋求多種解決問題的途徑。在運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程中，學(xué)生的創(chuàng)新思維得到鍛煉，數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷提高。例如，在運用數(shù)形結(jié)合思想時，學(xué)生需要將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，這就要求學(xué)生具有較強(qiáng)的想象力和創(chuàng)造力，能夠從不同的角度對圖形進(jìn)行觀察和分析，從而找到解決問題的最佳方法。四、高中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略（一）函數(shù)與方程思想的教學(xué)策略1.注重概念教學(xué)，滲透函數(shù)與方程思想在講解函數(shù)概念時，要讓學(xué)生理解函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，它反映了兩個變量之間的相互依存關(guān)系。通過具體的實例，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，讓學(xué)生體會函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖象，感受函數(shù)思想在解決實際問題中的應(yīng)用。在講解方程概念時，要強(qiáng)調(diào)方程是含有未知數(shù)的等式，通過解方程可以求出未知數(shù)的值。例如，在講解一元二次方程時，可以通過實際問題引入，如求矩形面積為一定值時，矩形邊長的關(guān)系，讓學(xué)生列出方程并求解，從而讓學(xué)生理解方程思想在解決實際問題中的作用。2.強(qiáng)化例題講解，培養(yǎng)學(xué)生運用函數(shù)與方程思想解題的能力選擇典型的例題，引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)與方程思想進(jìn)行分析和解答。例如，對于二次函數(shù)$f(x)=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$，可以通過分析其圖象與$x$軸的交點情況，來解決方程$ax^{2}+bx+c=0$的根的問題，以及函數(shù)的最值問題等。在講解例題時，要注重引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的條件和問題，找出其中的函數(shù)關(guān)系或方程關(guān)系，然后運用相應(yīng)的方法進(jìn)行求解。同時，要鼓勵學(xué)生思考不同的解法，拓寬解題思路，加深對函數(shù)與方程思想的理解。3.開展實踐活動，讓學(xué)生在實際問題中運用函數(shù)與方程思想布置一些與實際生活相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生運用函數(shù)與方程思想建立數(shù)學(xué)模型并求解。例如，讓學(xué)生調(diào)查某商場某種商品的銷售情況，分析銷售利潤與售價之間的函數(shù)關(guān)系，制定最優(yōu)售價方案；或者讓學(xué)生研究某地區(qū)人口增長情況，建立人口增長的函數(shù)模型，預(yù)測未來人口數(shù)量等。通過這些實踐活動，讓學(xué)生感受到函數(shù)與方程思想在解決實際問題中的重要性，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。（二）數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)策略1.加強(qiáng)圖形教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識在教學(xué)過程中，要注重培養(yǎng)學(xué)生的識圖、畫圖能力。對于幾何圖形，要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖形的特征，分析圖形中的數(shù)量關(guān)系；對于函數(shù)圖象，要讓學(xué)生理解函數(shù)圖象與函數(shù)表達(dá)式之間的對應(yīng)關(guān)系，能夠根據(jù)函數(shù)表達(dá)式畫出函數(shù)圖象，也能從函數(shù)圖象中獲取函數(shù)的性質(zhì)和信息。例如，在講解一次函數(shù)$y=kx+b$的圖象時，可以通過改變$k$和$b$的值，讓學(xué)生觀察圖象的變化情況，理解$k$和$b$對函數(shù)圖象的影響，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識。2.巧妙運用例題，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的方法選擇一些既可以用代數(shù)方法解決，又可以用幾何方法解決的例題，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題。例如，在解不等式$\sqrt{x^{2}2x3}\gtx1$時，可以先畫出函數(shù)$y=\sqrt{x^{2}2x3}$和$y=x1$的圖象，通過觀察圖象的位置關(guān)系，找出滿足不等式的$x$的取值范圍。在講解這類例題時，要詳細(xì)地分析解題思路，讓學(xué)生明白如何將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，以及如何從幾何圖形中獲取代數(shù)信息，從而掌握數(shù)形結(jié)合的方法。3.鼓勵學(xué)生自主探究，提高學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想的能力布置一些探究性的問題，讓學(xué)生自主運用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行思考和探索。例如，讓學(xué)生探究函數(shù)$y=|x1|+|x2|$的最小值，并通過畫出函數(shù)圖象來驗證；或者讓學(xué)生探究方程$x^{2}+y^{2}=4$與$y=x+b$有兩個交點時，$b$的取值范圍等。通過這些探究活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。（三）分類討論思想的教學(xué)策略1.明確分類標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生掌握分類討論的方法在教學(xué)中，要向?qū)W生明確分類討論的原則和方法，讓學(xué)生掌握如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)。一般來說，分類標(biāo)準(zhǔn)要根據(jù)問題的性質(zhì)和要求來確定，要做到不重不漏。例如，在討論含參數(shù)的方程或不等式時，通常根據(jù)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論；在討論幾何圖形的位置關(guān)系時，通常根據(jù)圖形的不同情況進(jìn)行分類討論。通過具體的例題，讓學(xué)生體會如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)，如何進(jìn)行分類討論。2.規(guī)范解題步驟，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S在講解分類討論的例題時，要規(guī)范解題步驟，讓學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣。一般解題步驟包括：明確分類對象；確定分類標(biāo)準(zhǔn)；逐類進(jìn)行討論；歸納總結(jié)得出結(jié)論。例如，在討論函數(shù)$f(x)=ax^{2}+(2a1)x3(a\neq0)$在區(qū)間$[1,3]$上的最值問題時，要先對$a$的取值進(jìn)行分類討論，當(dāng)$a\gt0$時，根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系再分三種情況討論；當(dāng)$a\lt0$時，同樣根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況討論，最后歸納總結(jié)出函數(shù)在區(qū)間$[1,3]$上的最值情況。通過規(guī)范解題步驟，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力。3.加強(qiáng)練習(xí)鞏固，提高學(xué)生運用分類討論思想解題的熟練度布置適量的練習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)行鞏固練習(xí)。練習(xí)題要涵蓋不同類型的分類討論問題，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)問題，以及幾何圖形的分類討論問題等。通過練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握分類討論思想的運用方法，提高解題的準(zhǔn)確性和速度。同時，要及時對學(xué)生的練習(xí)情況進(jìn)行反饋和評價，針對學(xué)生出現(xiàn)的問題進(jìn)行個別輔導(dǎo)，幫助學(xué)生不斷提高運用分類討論思想解題的能力。（四）化歸與轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)策略1.引導(dǎo)學(xué)生分析問題，尋找化歸與轉(zhuǎn)化的途徑在教學(xué)中，要注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生從問題的條件和結(jié)論出發(fā)，尋找化歸與轉(zhuǎn)化的途徑。例如，在解決立體幾何問題時，可以引導(dǎo)學(xué)生通過平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等方法，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形來解決；在解決數(shù)列問題時，可以引導(dǎo)學(xué)生通過通項公式、求和公式等，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題或方程問題來解決。通過具體的例題，讓學(xué)生體會如何分析問題，如何尋找化歸與轉(zhuǎn)化的方法。2.總結(jié)常見的化歸與轉(zhuǎn)化模型，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗在教學(xué)過程中，要及時總結(jié)常見的化歸與轉(zhuǎn)化模型，如將高次方程化為低次方程，將分式方程化為整式方程，將無理方程化為有理方程，將立體幾何問題化為平面幾何問題，將實際問題化為數(shù)學(xué)模型等。讓學(xué)生熟悉這些常見的化歸與轉(zhuǎn)化模型，在遇到問題時能夠迅速聯(lián)想到相應(yīng)的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例如，在講解一元二次方程的解法時，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧將一元二次方程配方化為完全平方式的過程，總結(jié)出將二次方程化為一次方程的化歸方法，為學(xué)生解決其他類似問題提供經(jīng)驗。3.鼓勵學(xué)生一題多解，拓寬學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思路對于一些典型的例題，鼓勵學(xué)生嘗試多種解法，從不同的角度進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化。例如，在解不等式$\frac{x+1}{x1}\gt0$時，可以通過分析分子分母同號的情況，將其轉(zhuǎn)化為不等式組$\begin{cases}x+1\gt0\\x1\gt0\end{cases}$或$\begin{cases}x+1\lt0\\x1\lt0\end{cases}$來求解；也可以通過將不等式變形為$(x+1)(x1)\gt0$，利用二次函數(shù)的圖象來求解。通過一題多解，拓寬學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思路，讓學(xué)生能夠根據(jù)問題的特點選擇最優(yōu)的化歸與轉(zhuǎn)化方法，提高解題效率。五、結(jié)論高中數(shù)學(xué)思想方法是高中數(shù)