第二章計算機繪圖基礎(chǔ)

本章主要內(nèi)容

概述

2.2基本圖元的生成

2.3基于高級語言的繪圖程序設(shè)計

2.4圖形變換

2.1概述

計算機輔助繪圖的實質(zhì)

一一應(yīng)用計算機通過程序和算法，在圖形顯示

和繪圖設(shè)備上，實現(xiàn)圖形的顯示及繪圖的輸出，

是CAD和CAM的重要組成部分。

?工程圖學(xué)

?應(yīng)用數(shù)學(xué)

?計算機科學(xué)

計算機繪圖系統(tǒng)的組成

■硬件

一一計算機及其圖形輸入及輸出等外圍設(shè)備

■軟件

一一用于圖形顯示、繪圖及圖形轉(zhuǎn)換等處理的

程序

計算機繪圖的研究內(nèi)容

如何用計算機來處理和繪制工程圖紙。

?圖形輸入

?圖形的生成、顯示和輸出

?圖形處理所需的數(shù)學(xué)處理方法和算法

?如何解決工程應(yīng)用中的圖形處理問題

?研究開發(fā)好的繪圖軟件和管理系統(tǒng)

計算機繪圖系統(tǒng)的功能

如何用計算機來處理和繪制工程圖紙。

?輸入功能

?交互功能

?計算功能

?存儲功能

?輸出功能

計算機輔助繪圖基本方法

□從用戶使用計算機進行繪圖的方法分

?通過高級語言的繪圖函數(shù)來編寫繪圖源程序

?使用現(xiàn)成的繪圖軟件包

□從計算機繪圖實現(xiàn)的方法分

?交互式繪圖—操作靈活，適應(yīng)性強

?參數(shù)化繪圖—效率較高、生成圖形速度快

圖形輸出設(shè)備

圖形輸出包括圖形的顯示和圖形的繪制。

一一圖形顯示指的是在屏幕上輸出圖形;

圖形繪制通常指把圖形畫在紙上，也稱硬拷貝。

打印機和繪圖儀是兩種最常用的硬拷貝設(shè)備。

「CRT圖形顯示器光柵掃描的圖形顯示器

顯示器＜

L液晶顯示器(LCD)

陰極射線管(CRT)

組成：包括電子槍、聚焦系統(tǒng)、加速電極、偏轉(zhuǎn)系

統(tǒng)、熒光屏

工作原理：電子槍發(fā)射電子束，經(jīng)過聚焦系統(tǒng)、加

速電極、偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)，轟擊到熒光屏的不同部位，被

其內(nèi)表面的熒光物質(zhì)吸收，發(fā)光產(chǎn)生可見的圖形。

工作原理

在光柵掃描系統(tǒng)中，電子束橫向掃描屏幕，一次一

行，從頂?shù)降醉槾芜M行。當電子束橫向沿每一行移

動時，電子束的強度不斷變化來建立亮點的圖案。

垂直回掃期

(a)(b)

(c)(d)

繪圖過程

幀緩沖器顯示屏幕

繪圖原理

基本術(shù)語

(1)像素(Pixel)

一構(gòu)成屏幕(圖像)的最小元素

(2)分辨率(Resolution)

CRT在水平或豎直方向單位長度上能識別的

最大像素個數(shù),單位通常為dpi(dotsperinch)

(3)刷新(Refresh)

——為了讓熒光物質(zhì)保持一個穩(wěn)定的亮度值

(4)刷新頻率

——每秒鐘重繪屏幕的次數(shù)

刷新頻率高到一定值后，圖象才能穩(wěn)定顯示

隔行掃描與逐行掃描

顯示器的顯示模式

文本模式圖形模式

口對于文本顯示方式，顯示分辨率用水平和垂直

方向上所能顯示的字符總數(shù)的乘積表示。

□對于圖形顯示方式，則用水平和垂直方向上所

能顯示的象素點總數(shù)的乘積表示。

顯示分辨率不同，它所對應(yīng)的象素點大小也不同。

構(gòu)成圖形的基本要素

■幾何要素

——刻畫對象的輪廓形狀等

■非幾何要素：

刻畫對象的顏色材質(zhì)等

計算機中表示圖形的方法

a點陣法是用具有顏色信息的點陣來表示圖形的

一種方法，它強調(diào)圖形由哪些點組成，并具有什么

灰度或色彩。

□參數(shù)法是以計算機中所記錄圖形的形狀參數(shù)與

屬性參數(shù)來表示圖形的一種方法。

?把點陣法描述的圖形叫做圖象（Image）

?把參數(shù)法描述的圖形叫做圖形（Graphics）

圖形的生成

—是在指定的輸出設(shè)備上，根據(jù)坐標描述構(gòu)造

二維幾何圖形。

|如何在指定的輸出設(shè)備上根據(jù)坐標來

工，.描述、構(gòu)造基本二維幾何圖形？

圖形的掃描轉(zhuǎn)換（光柵化）

在光柵顯示器等數(shù)字設(shè)備上確定一個最佳逼

近于圖形的象素集的過程。

點陣表示

頂點（參數(shù)）掃描轉(zhuǎn)換

表示的圖形的圖形

用戶顯示系統(tǒng)

用一系列的象素點來逼近直線

2.3基本圖元的生成

2.3.1直線段的掃描轉(zhuǎn)換算法

2.3.2圓弧的掃描轉(zhuǎn)換算法

2.3.3橢圓的掃描轉(zhuǎn)換算法

231直線段的掃描轉(zhuǎn)換算法

直線的掃描轉(zhuǎn)換

■確定最佳逼近于該直線的一組象素

■按掃描線順序，對這些象素進行寫操作

直線的繪制要求

?直線要直

?直線的端點要準確，即無定向性和斷裂情況

?直線的亮度、色澤要均勻

?畫線的速度要快

?要求直線具有不同的色澤、亮度、線型等

三個常用算法

1.數(shù)值微分法（DDA）

2.中點畫線法

3.Bresenham算法。

解決的問題

給定直線兩端點Po（Xo,y°）和P1（X1，yx）,畫出該直線。

一、數(shù)值微分法（DDA）

基本思想

已知過端點Po（Xo,y0）,P/Xpy?的直線段L

y=kx+b

直線斜率為k=，二）=—

%-xQAx

■從X的左端點X。開始，向X右端點步進。

■步長=1（個象素），計算相應(yīng)的y坐標y=kx+b；

■取象素點（x,round（y））作為當前點的坐標。

注意：round（x）=（int）（x+0.5）

(1)直接求交算法

a.劃分區(qū)間［x0,xj：%,玉,???，工〃,(%+i=玉+1)

b.計算縱坐標：y=kXj+b

C.取整：{(七，弘)陶二＞{(%,，6)}；=。

為,=round(y)=(int)(y.+0.5)

復(fù)雜度:

浮點數(shù)的乘法+加法+取整

（2）DDA算法（增量算法）

yi+}=kxM+b-k(Xj+Ax)+b

=kxi+b+kAx=y.+kAx

當△x=l；yi+1=yj+k

即：當x每遞增1,y遞增k（即直線斜率）；

復(fù)雜度：

浮點數(shù)的加法+取整

（租1，乂+m）

(xifroundly)

voidDDALine(intxO,intyO,intxl,intyl,intcolor)

{intx；

floatdx,dy,y,k;

dx=xl-xO,dy=yl-yO;

k=dy/dx,y=yO;

for(x=xO;x<xl,x++)

{putpixel(x,int(y+0.5),color);

y=y+k;

}

}

Q注意:

■上述分析的算法僅適用于|k|q的情形。在這種

情況下，x每增加1,y最多增加1。

■當|k|>l時，必須把x,y地位互換。

缺點:

?有浮點數(shù)取整運算

?效率低

?僅適用于|k|4的情形:x每增加1,y最多增加1

當因＞1時，必須把x,y互換。

DDA算法改進

xM=%+￡?Ax

y，+i=y+￡.△、

s=l/max(|Ax|

max(|Ax|,|Ay|)=|Ax|,即|k0的情況:

1

41=%+￡&"?+■^=xi+l

1Ax

A1A7

%+i=y+/Ay=y+A.△、=%土左

Ax

max(|Ax|?|Ay|)=|Ay|,此時|kRl：

11

無口=X.+6*-AAx=X；+1——r?Ax=x±—

|Ay|ik

%1=y.+￡?Ay=y.+占?Ay=%±1

DDA算法生成直線段

優(yōu)點:

a?增量算法

b.直觀、易實現(xiàn)

缺點:

有浮點數(shù)取整運算

例：畫直線段P0(0,0)??B(5,2)

△x=x/xo=5△y=y1-y0=2

k=Ay/Ax=0.4

Xint(y+0.5)y+o.5

000.0+0.5

100.4+0.5

210.8+0.5

311.2+0.5

421.6+0.5

522.0+0.5

二、中點畫線法

目標：消除DDA算法中的浮點運算

條件：同DDA算法

斜率：ke[0,1]

基本思想

當前象素點為(Xp,yp),則下一個象素點為Pl或P2。

設(shè)M=(Xp+l,yp+0.5),為pl與p2之中點，Q為理想直線與

x=x+1垂線的交點。將Q與M的y坐標進行比較。

a.當M在Q的下方，應(yīng)則P2為下一個象素點；

b.當M在Q的上方，應(yīng)取P1為下一個象素點；

c.當M與Q恰好重合，則約定取P1為下一個象素。

直線方程

F(x,y)=y-fci-Z?=O

甘山k4%一%

其中：左=丁=------

Axx{-x0

該直線方程將平面分為三個區(qū)域:

a.對于直線上的點，F(xiàn)(x,y)=O；

b.對于直線上方的點，F(xiàn)(x,y)>0；

c.對于直線下方的點，F(xiàn)(x,y)<Oo

直線將平面分為三個區(qū)域

基本原理

中點畫線法生成直線的原理

構(gòu)造判別式

d=F(xM,yM)=F^+l,%+0.5)=%+0.5—左(1+1)—。

則有:

y+i(d<0)

y=i

(d>0)

初始值d的計算

d0=F（x0+l,y0+0.5）

=y（）+0.5—k（x。+1）-b

——kx0-b—k+0.5

=0.5—k

誤差項的遞推

(a)d<0

d-F{xi+2,yi+1.5)

=y+1.5—k(Xj+2)—b

=y+0.5—k(Xj+1)—Z?+1—k(Xi+2?yi+1.5)

=d+1—k

(xi+i?yi+0.!i)

(xifyi)?

d<0

誤差項的遞推

(b)d>0

d-F{xi+2,yi+0.5)

—y.+0.5—+2)—b

—y.+0.5—k(Xj+1)—b—k

—■cl—k-ltxi+2,yi+0

(xi+i?yi+OJi)

d>=0

改進?

OSkWl時中點畫線法的算法步驟為:

o°

O

1.輸入直線的兩端點Po(Xo,y°)和P](X1，yx)o

2.計算初始值4x、Ay>d=0.5-k>x=xO>y=yO；

3.繪制點(x,y)。判斷d的符號：

若dvO,貝!!(x,y)更新為(x+1,y+1),d更新為|Ql?k；

否則(x,y)更新為(x+1,y),d更新為

4.當直線沒有畫完時，重復(fù)步驟3。否則結(jié)束。

d是x〃yp的線性函數(shù)，因此采用增量計算，提高運算效率

改進：用2d代替d

L輸入直線的兩端點Pod。,y°)和PRxi，yx)o

2.計算初始值^x、Ay>d=Z\x-2/^y、x=xO、y=yOo

3.繪制點(x,y)。判斷d的符號。

若dvO,貝！l(x,y)更新為(x+1,y+1),d更新為

d+2Z\xM^T|

否則(x,y)更新為(x+l,y),d更新為反2△為

4.當直線沒有畫完時，重復(fù)步驟3。否則結(jié)束。

優(yōu)點：只有整數(shù)運算，不含乘除法

例：用中點畫線法Po(0,0)Pi(5,2)

△x=xi-x0=5Ay=yi"y0=2

dO=Ax-2Ay=l;dl=-2Ay=-4；

d2=2Ax-2Ay=6

*xiyid

00013

110-32

22i31

3i-1

3o12345

4425

5521

voidMidpointLine(intxO,intyO,intxl,intyl,intcolor)

{inta,b,dl,d2,d,x,y;

a=yl-yO,b=xl-xO,d=b-2*a;

dl=?2*a,d2=2*(b-a);

x=xO,y=yO;

putpixel(x,y,color);

while(x<xl)

{if(d<0){x++,y++,d+=d2;}

else{x++,d+=dl;}

putpixel(x,y,color);

}/*while*/

}/*midPointLine*/

三、Bresenham算法

基本思想

過各行各列象素中心構(gòu)造一組虛擬網(wǎng)格線。按直線

從起點到終點的順序計算直線與各垂直網(wǎng)格線的交

點，然后根據(jù)誤差項的符號確定該列象素中與此交

點最近的象素。

Brensemham算法繪制直線的原理

設(shè)直線方程為:

%+1=*+3+1-%)=%+%

其中：k=dyIdx

■因為直線起始點在象素中心，所以誤差項d的初值d°=0

■x下標每增加1,d的值相應(yīng)遞增直線斜率值k,BPd=d+k

■當005接近于當前象素的右上方象素(xi+Lyi+l)

■當dv0.5,接近于當前象素的右方象素(xi+l,人)

■一旦dK)5就把它減去1,這樣保證|d|在0、1之間

假定直線段的叱依1

3+1

%+1(d>0.5)

y(d<0.5)

誤差項的計算

a.d初=0；

b.每走一步：d=d+k；

d=d-lo

算法步驟:

1.輸入直線的兩端點Po(x°,y°)和Pi(Xpyr)o

2.計算初始值A(chǔ)x、Ay>d=0>x=x0>y=y0o

3.繪制點(x,y)o

4.d更新為d+k,判斷d的符號：

若d>0.5,則(x,y)更新為(x+1,y+1),同時將d更新為

d-1；

否則(x,y)更新為(x+1,y)o

5.當直線沒有畫完時，重復(fù)步驟3和4。否則結(jié)束。

改進1：令e=d-0?5

玉+]=%

(e>0)

(e<0)

誤差項的計算

3*e初二-0?5,

b.每走一步有e=e+k。

c.if(e>0)thene=e-l

算法步驟:

1.輸入直線的兩端點Po(Xo,y°)和P"X1，yx)o

2.計算初始值^x、Ay>|e=-05>|x=xn>y=y0o

3.繪制點(x,y)o

4.e更新為國判斷e的符號：

若e>0,則(x,y)更新為(x+l,y+l),同時將e更新為

否則(x,y)更新為(x+1,y)o

5.當直線沒有畫完時，重復(fù)步驟3和4。否則結(jié)束。

例：用Brensemham算法畫線法P0(0,0)(5,2)

△x=xrx0=5△y=y1-y0=2

k=Ay/Ax=0.4

00-0.5

10-0.1

21-0.7

31-0.3

42-0.9

52-0.5

voidBresenhamline(intxOJntyO,intxl,intyl,intcolor)

intx,y,dx,dy;

floatk,e;

dx=xl-xO,dy=yl-yO,k=dy/dx;

e=-0.5,x=xO,y=yO;

for(i=0;i<dx;i++)

{putpixel(x,y,color);

x=x+1,e=e+k;

if(e>0)

{y++,e=e-l;}

改進2：用2eZ\x來替換e

誤差項的計算

a.e初二■△x,

b.每走一步有e=e+2/^y。

c.if(e>0)thene=e-2Ax

優(yōu)點：整數(shù)運算，速度快，精度高

算法步驟:

1.輸入直線的兩端點Po(x0,y0)和此區(qū),yx)o

2.計算初始值A(chǔ)y>|e=-2^x7]x=x0>y=y0o

3.繪制點(x,y)o

4.e更新為國國|判斷e的符號。

若e>0,則(x,y)更新為(x+1,y+1),同時將e更新為

e-2Ax；

否則(x,y)更新為(x+1,y)o

5.當直線沒有畫完時，重復(fù)步驟3和4。否則結(jié)束。

2.3.2園I弧的掃描轉(zhuǎn)換算法

解決的問題

繪出園心在原點，半徑為整數(shù)R的園

圓的特征

八對稱性。只要掃描轉(zhuǎn)換八分之一圓弧，就可以

求出整個圓弧的象素集。

、生成圓弧的隱函數(shù)方法

算法原理

利用其函數(shù)方程，直接離散計算。

圓的函數(shù)方程為：x2+y2=R2

Xi+}=xz+1XG

%+i=round

缺點：浮點運算，開方，取整。

二、生成圓弧的參數(shù)方程方法

元=Reos3

y=Rsin3

4+1=a+A8(A，為一固定角度步長)

%+1=round(Rcos6>+1)

yM=round(RsinUj+J

缺點：計算量大、所畫像素位置間的間距不_致

三、中點畫圓法

?對于圓內(nèi)的點,有F(x,y)<0

算法原理

M的坐標為：M（x+l,y/0?5）

當F（XM，yM）＜。時，取Pi（Xi+l，Yi）

當F（XM，yM）＞。時，取P2（Xi+l，"1）

當F（XM，yM）=o時，約定取Pl

中點畫圓法原理

構(gòu)造判別式

d=F(XM,)=F(xz+1,y—0.5)

222

=(XZ+1)+(X.-0.5)-7?

P=（xhyi）|P1I

當dWO時，下一點取Pi（Xj+l,y）；

當d>0時，下一點取P2（x+1,y「l）。0?-

初始值d的計算

痣=尸(1,尺—0.5)

=1+(H-0.5)2-R2

=1.25-R

P

誤差項的遞推__4___41________

yiJ、JQ9

?T__t

(a)d<0J9

yj.乙

d-F{x+2,y—0.5)

iXJX：L+1X：1+2

=(X,+2)2+(y-0.5)2-尺2⑸d〈二0的情況

222

=(玉+1)+(yz-0.5)-7?+2XZ.+3

=d+2x.+3

誤差項的遞推p

J

_____/\____g1____

yiiJ<9

(b)d>0

yi乙Q9

xi.X：+1X:i+2

d-F(xi+2,yi-1.5)

222(b)d>0的情況

=(XZ.+2)+(Z.-1.5)-7?

2

二(%,+l)2+(y_Q5)7?+(2x+3)+(-2y.+2)

=d+2(x.—y)+5

算法步驟:

1.輸入圓的半徑R。

2.計算初始值d=L25?R、x=0>y=Ro

3.繪制點(X,y)及其在八分同中的另外七個對稱點。

4.判斷d的符號。

若達0,則先將d更新為d+2x+3,再將(x,y)更新為

(x+1,y)；

否則先將d更新為d+2(x?y)+5,再將(x,y)更新為

(x+l,y-l)o

5.當xvy時，重復(fù)步驟3和4。否則結(jié)束。

MidPointCircle(intrintcolor)

intx,y;

floatd;

x=0;y=r;d=1.25-r;

circlepoints(x,y,color);〃顯示園弧上的八個對稱點

while(x<=y)

if(d<0)d+=2*x+3;

else{d+=2*(x-y)+5;y-;}

x++;

circlepoints(x,y,color);

改進2：用(L0.25代替d

算法步驟:

1.輸入圓的半徑R。

計算初始喉逑)

2.x=0>y=Ro

3.繪制點(x,y)及其在八分圓中的另外七個對稱點。

4.判斷d的符號:

若好0,則先將d更新為d+2x+3,再將(x,y)更新

為(x+1,y)；

否則先將d更新為d+2(x?y)+5,再將(x,y)更新為

(x+1,y-l)o

5.當xvy時，重復(fù)步驟3和4。否則結(jié)束。

233橢圓的掃描轉(zhuǎn)換算法

解決的問題

對標準橢因進行掃描轉(zhuǎn)換，繪出標準橢園

F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0

其中，a為沿x軸方向的長半軸長度；b為沿y軸方

向的短半軸長度；a、b均為整數(shù)。

橢圓的對稱性

■橢圓的對稱性，只考慮第一象限橢圓弧生成；

■分上下兩部分，以切線斜率為」的點作為分界點;

尸(羽j)=St+a1y2-c^b1-0

橢圓上一點(x,y)處的法向:

dF.dF.

N(x,y)

=2b2xi+2a2yj

□在上半部分，法向

量的y分量大

□在下半部分，法向

量的X分量大

■在當前中點處,法向量(2b2(Xp+l),2a2(Yp-0.5))

的y分量比x分量大，即：

22

b(Xp+1)<a(Yp-0.5)

■而在下一中點，不等式改變方向，則說明橢圓弧從

上部分轉(zhuǎn)入下部分

解決的思路

與園弧中點算法類似：確定一個象素后，接著在

兩個候選象素的中點計算一個判別式的值，由判

別式的符號確定更近的點。

□dl的初始條件:

橢園弧起點為(0,b)；第一個中點為(l,b?0.5)

40=/(1/_0.5)

=3_0.5)2-a2b2

=/+/(—b+0.25)

□先討論橢圓弧的上部分

設(shè)(Xp,Yp)已確定，則下一待選像素的中點是

(Xp+l,Yp-0.5)

4=F(%+l?p-0.5)

222

=b\xp+1)+a\yp-0.5)-ab

?若由＜0,中點在橢園內(nèi)，取正右方象素，判別

式更新為：

4'二萬(4+2,3_0.5)

222222

=b(xp+2)+a(yp-0.5)-ab

=4+/(2x〃+3)

M2

?若當dlK),中點在橢圓外，取右下方象素，更

新判別式：

4'=尸(壬+2,4―L5)

=/(%+2)2+/(%一1.5)2—Q2b2

=4+/(2%+3)+/(—2y〃+2)

M2

□再討論橢圓弧的下部分

轉(zhuǎn)入下一部分，下一象素可能是正下方或右下方,

此時判別式要初始化。

&二b(勺+°5%—1)

2222

=b\xp+0.5)+a\yp-1)-ab

M2

?若dzVO,取右下方像素，判別式更新為:

&'=/(4+1.5,2)

=d，2+(2Xp+2)+/(—2yp+3)

M2

?若當dzK),取正下方象素，更新判別式:

/(牛+。.5,%—2)

1

—+a(—2yp+3)

?下半部分弧的終止條件為y=0

MidpointEllipe(inta,intb,intcolor)

{intx,y;floatdl,d2;

x=0;y=b;

dl=b*b+a*a*(-b+0.25);

putpixel(x,y,color);

while(b*b*(x+l)<a*a*(y?0.5))

{if(dl<0){

dl+=b*b*(2*x+3);x++;}

else{dl+=(b*b*(2*x+3)+a*a*(?2*y+2))；

x++;y-;}

putpixel(x,y,color);

}〃上部分

d2=sqr(b*(x+0.5))+sqr(a*(y-l))-sqr(a*b);

while(y>0)

{if(d2<0){d2+=b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3);

x++；y-;}

else{d2+=a*a*(-2*y+3);y?;}

putpixel(x,y,color);}

)

2.4圖形變換

2.4.1圖形的幾何變換

2.4.2圖形的投影變換

2.4.1圖形的幾何變換

圖形變換的基本原理

二維圖形由點或直線段組成

直線段可由其端點坐標定義

二維圖形的幾何變換的實質(zhì)：

對點或?qū)χ本€段端點的變換

p=[xy]匚〉Pf=[xyf

一、二維基本變換

(1)平移變換(Translation)

，平行于x軸的方向上的移動量

Ty平行于y軸的方向上的移動量

幾何關(guān)系|

[x'=JC+T

矩陣形式I

目y']=[x小忙Ty

平移變換

（2）旋轉(zhuǎn)變換（Rotation）

點P繞原點逆時針轉(zhuǎn)。度角

（設(shè)逆時針旋轉(zhuǎn)方向為正方向）

J幾何關(guān)系[

]x=rcoscp

1K

[y=rsincp

x'=rcos（0+（p）=丫cos（pcos0~rsin9sin8

<

y'=rsin（0+（p）=rcos（psin。+廠sin9cos0

,4L\

%'=%cos3—ysin3

<

y'=xsine+ycos0

X

）矩陣形式]

rrJcos。sin0旋轉(zhuǎn)變換

\xy\=[xy\\______________________________

-sin6/cos”

(3)比例變換(Scale)

y

指相對于原點的比例變換

司平行于X軸的方向上的縮放量

邑平行于y軸的方向上的縮放量

幾何關(guān)系I相對于原點的比例變換

卜'=X*Sx

=y*s、

矩陣形式

s<o

[%'yr]=[%y]Ji

0Sy

比例變換的性質(zhì)

?當Sx=Sy時，變換前的圖形與變換后的圖形相似；

當Sx=SyX時，圖形將放大，并遠離坐標原點；

當0<Sx=SyVl時，圖形將縮小，并靠近坐標原點;

?當SxrSy時，圖形將發(fā)生畸變。

Sx=Sy<lSx>Sy

(a)Sx=Sy比例(b)SxrSy比例

齊次坐標

齊次坐標表示就是用n+1維向量表示一個n維向量o

,cox2,...，cox幾，co)

有n個分量的向量有n+1個分量的向量

啞元或標量因子

齊次坐標表示不是唯一的

3=1-A規(guī)格化的齊次坐標

齊次坐標技術(shù)的引入

平移、比例和旋轉(zhuǎn)等變換的組合變換處理形式

不統(tǒng)一，將很難把它們級聯(lián)在一起。

變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點

?便于變換合成

?便于硬件實現(xiàn)

基本幾何變換的齊次坐標表示

100

r

平移變換:xy'1]=xyi]o1。山）1]T（4W）

T,1

Sx00

比例變換:xy'1\=xy1]。Sy0=[xy1]S（邑，邑）

o01

cos。sin。0

旋轉(zhuǎn)變換:x'y'1]=xy1]-sin。cos。0=xyi]R⑻

逆時針為正001

整體比例變換

100

010

00s

(4)對稱變換(Symmetry)

對稱變換后的圖形是原圖形關(guān)于某一軸線或原點

的鏡像。

(b)關(guān)于y軸對稱(c)關(guān)于原點對稱

(a)關(guān)于x軸對稱

(d)關(guān)于x二y對稱

(e)關(guān)于x=-y對稱

(a)關(guān)于x軸對稱y

ioo-

O-1O=[x-y1]

001

(b)關(guān)于y軸對稱

--10o-

1]010=[-xy1]

001對稱變換(2)

(c)關(guān)于原點對稱y

對稱變換(3)

(d)關(guān)于y=x軸對稱

_對__稱___變__換__(_4_)__/

(e)關(guān)于產(chǎn)?x軸對稱

幾何關(guān)系|

尸=_y

矩陣形式

對稱變換(5)

\_____________________________________________________________，

0-10一

Nyi]=卜>i]-i00=[-y-X1]

001

(5)錯切變換(Shear)

錯切變換，也稱為剪切、錯位變換,用于產(chǎn)生彈

性物體的變形處理。

(a)原圖(b)沿x方向錯切(c)沿y方向錯切

(a)沿x軸方向關(guān)于y軸錯切

將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿x軸方向推成。角的傾

斜線，而保持y坐標不變。

幾何關(guān)系]

Jx'=*+Ax

Iy=y

令a=ctg3有Ax=yctgO=ay

代入得

ty=y

矩陣形式|錯切變換(1)

UL—1X._________________________________________________________________________

100

[xry'1]=[xy1]a10=x+ayyi]

001

(b)沿y軸方向關(guān)于x軸錯切

將圖形上關(guān)于x軸的平行線沿y軸方向推成6角的傾

斜線，而保持x坐標不變。

幾何關(guān)系

（x'=X

Ly'=y+Ay

令Z?=ctgcp有Ay=xctgcp

y+bx

錯切變換（2）

X____________________Z_________________________

b0

10xbx+y1]

01

二、二維復(fù)合變換

復(fù)合變換的特點

0任何一復(fù)雜的幾何變換都可以看作基本幾何變

換的組合形式。

0圖形作一次以上的幾何變換，變換結(jié)果是每次

變換矩陣的相乘。

復(fù)合變換具有形式

P'=PTt-T2-T3----Tn

=P(TiT1Tv---TJ=PT(n>l)

（1）二維復(fù)合平移

兩個連續(xù)平移是相加的

（&&）仃（熱，&）"（&+〃，&+&）

（2）二維復(fù)合比例

連續(xù)比例變換是相乘的

S=S（兀凡1）”（兀02）=義兀?％%?無

（3）二維復(fù)合旋轉(zhuǎn)

兩個連續(xù)旋轉(zhuǎn)是相加的

R=R（4）?R（%）=R（4+仇）

(4)相對任一參考點的二維幾何變換

相對某個參考點Pr(x「y1)作二維幾何變換，其

變換過程為：

■平移

■針對原點進行二維幾何變換

■反平移

關(guān)于任意參照點Pr(x°yj的旋轉(zhuǎn)變換

R(￡，K；。)=7(-％，-K)?R(8)?7(%,K)

關(guān)于任意參照點Pr（x°y1）的放縮變換

S（X，%；%,Sy）=T（f

例：點P(2,2)繞點C(l,1)逆時針旋轉(zhuǎn)。=45。，求

新點P*的坐標。

「1001

P,=PT（-1,-1）=[221]010=[111]

-1-11

cos45°sin45°O-

Pn=P,7?（45°）=[l11]-sin45°cos4500=[01.4141]

001

100一

P!=P"T（l,l）=[01.4141]010=[12.4141]

11

算法二:

T=T（-1,-1）7?（45°）T（1,1）

100cos45°sin45°olFi00

010-sin45°cos45°o010

-1-1ijLoo1111

0.7070.70701

-0.7070.7070

1-0.4141

0.7070.7070

p*=PT=[221]-0.7070.7070=[12.4141]

1-0.4141

（5）相對任意方向的二維幾何變換

相對任意方向作二維幾何變換，其變換的過程是:

■旋轉(zhuǎn)變換

■針對坐標軸進行二維幾何變換

■反向旋轉(zhuǎn)

三、三維幾何變換

三維齊次坐標

(x,y,z)點對應(yīng)的齊次坐標為：

(%力

，yh，2〃，mX](=hx,yh=hy,Zh=hz,/zw0

標準齊次坐標(x,y,z,1)AZ

右手坐標系J一飛

X

三維基本幾何變換都是相對于坐標原點和坐標軸

進行的幾何變換。

(1)平移變換

1000

0100

0010

TxTyTz1

(2)比例變換

tz000

0^00

a.局部比例變換Ts

0070

0001

1000

0100

b.整體比例變換

0010

0005

（3）旋轉(zhuǎn)變換

a.繞x軸旋轉(zhuǎn)

1000

0cos。sin。0

20

一sin。cos。0

0001

b.繞y軸旋轉(zhuǎn)

cos。0—sin。0

0100

TRY

sin。0COS00

0001

C.繞z軸旋轉(zhuǎn)

cos。sin。00

一sin。cos。00

TRZ

0010

0001

(4)對稱變換

a.關(guān)于坐標平面對稱變換

關(guān)于xoy平面進行對稱變換的矩陣計算形式為:

1

0

%=0

0

關(guān)于yoz平面進行對稱變換的矩陣計算形式為:

-1000

0100

0010

0001

關(guān)于ZOX平面進行對稱變換的矩陣計算形式為:

1000

0-100

0010

0001

b.關(guān)于坐標軸對稱變換

關(guān)于x軸進行對稱變換的矩陣計算形式為:

zG

1000

0-100

T=

FX00-10

0001

y

關(guān)于y軸進行對稱變換的矩陣計算形式為:

關(guān)于Z軸進行對稱變換的矩陣計算形式為:

-10

0-1

TFZ=

00

00

（5）錯切變換

a.沿x方向錯切

Z

X

y

沿x含y錯切沿X含Z錯切

1000

d100

g010

0001

b.沿y方向錯切

Z

沿y含x錯切沿y含z錯切

1b00

0100

TsHy

0h10

0001

C.沿Z方向錯切

zz

沿Z含X錯切沿z含y錯切

10c0

01f0

TSHZ=Q

010

0001

三維變換的一般形式

旋轉(zhuǎn)、比例、

錯切、對稱

O

o

O

(6)三維復(fù)合變換

三維復(fù)合變換是指圖形作一次以上的變換，變換

結(jié)果是每次變換矩陣相乘。

P'=P(7；ZZ…z)=尸T(〃〉1)

a.相對任一參考點的三維變換

相對于參考點F(Xf,丫自zj作比例、旋轉(zhuǎn)、錯切等

變換的過程分為以下三步：

?將參考點F移至坐標原點

?針對原點進行三維幾何變換

?進行反平移

例：相對于F(Xf,yf,zQ點進行比例變換。

相對參考點F的比例變換

b.相對任意方向軸的三維變換

針對任意方向軸的變換可用五個步驟來完成：

?使任意方向軸的起點與坐標原點重合，此時

進行平移變換；

?使方向軸與某一坐標軸重合，此時需進行旋

轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次；

?針對該坐標軸完成變換；

?用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向；

?用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。

問題：如何求出為TRAB。

z

P點繞AB軸旋轉(zhuǎn)

求解步驟:

?將坐標原點平移到A點；

?將O，B繞父軸逆時針旋轉(zhuǎn)a角，

則0rB旋轉(zhuǎn)到Mo"平面上;

?將O，B繞y，軸順時針旋轉(zhuǎn)0角，

則O，B旋轉(zhuǎn)到/軸上；

?經(jīng)以上三步變換后，AB軸與7

軸重合，此時繞AB軸的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換

為繞z軸的旋轉(zhuǎn)；

TRy的逆變

?最后，求幾,TRX,

換，回到AB原來的位置。

X

2.4.2圖形的投影變換

問題：在二維屏幕上如何顯示三維物體？

■顯示器屏幕、繪圖紙等是二維的

-顯示對象是三維的

?解決方法…-投影

投影變換一就是把三維立體（或物體）投

射到投影面上得到二維平面圖形。

平面幾何投影可分為兩大類

?透視投影

—投影中心到投影面之間的距離是有限的

?平行投影

一一投影中心到投影面之間的距離是無限的

(a)透視投影(b)正投影?斜投影

平面幾何投影的分類

主視圖

-側(cè)視圖

r三視圖-

匚俯視圖