2025屆廣西欽州市高中畢業(yè)班第二次診斷性檢側(cè)（數(shù)學(xué)試題文）試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是虛數(shù)單位，則（）A．1 B．2 C． D．2．己知集合，，則（）A． B． C． D．3．若實數(shù)、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．4．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為，則（）A．3 B． C． D．6．已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個很搶眼，他們就是院?？蒲蟹疥?他們是由軍事科學(xué)院、國防大學(xué)、國防科技大學(xué)聯(lián)合組建．若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學(xué)校，學(xué)歷分別有學(xué)士、碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學(xué)院的；②來自軍事科學(xué)院的不是博士；③乙不是軍事科學(xué)院的；④乙不是博士學(xué)位；⑤國防科技大學(xué)的是研究生．則丙是來自哪個院校的，學(xué)位是什么()A．國防大學(xué)，研究生 B．國防大學(xué)，博士C．軍事科學(xué)院，學(xué)士 D．國防科技大學(xué)，研究生8．如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）A． B． C． D．9．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．210．已知向量，（其中為實數(shù)），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．12．已知數(shù)列中，，且當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，．則此數(shù)列的前項的和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點，且圓心在直線上的圓的半徑為__________．14．設(shè)為正實數(shù)，若則的取值范圍是__________．15．設(shè)、、、、是表面積為的球的球面上五點，四邊形為正方形，則四棱錐體積的最大值為__________.16．已知平面向量、的夾角為，且，則的最大值是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動，治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急．為此，某藥企加大了研發(fā)投入，市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用（百萬元）和銷量（萬盒）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：研發(fā)費用（百萬元）2361013151821銷量（萬盒）1122.53.53.54.56（1）求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01，并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合？（規(guī)定：時，可用線性回歸方程模型擬合）；（2）該藥企準備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型，，，并對其進行兩次檢測，當(dāng)?shù)谝淮螜z測合格后，才能進行第二次檢測．第一次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，，第二次檢測時，三類劑型，，合格的概率分別為，，．兩次檢測過程相互獨立，設(shè)經(jīng)過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附：（1）相關(guān)系數(shù)（2），，，．18．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大??；（2）求的最大值.19．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最小值為，正實數(shù)、滿足，求證：.20．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F(xiàn)，G分別是棱AA1，AC和A1C1的中點，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.（1）求異面直線AC與BE所成角的余弦值；（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．21．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（Ⅰ）求的極坐標方程和的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)分別交于兩點（與原點不重合），求的最小值.22．（10分）古人云：“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀，建設(shè)書香中國，校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學(xué)生一周課外讀書的時間，從全校學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生進行問卷調(diào)査，統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間（單位：）的數(shù)據(jù)如下：一周課外讀書時間/合計頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求，，的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).（2）如果讀書時間按，，分組，用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù)；②若從，中抽出的學(xué)生中再隨機選取2人，求這2人不在同一層的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出，再由模長公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

先化簡，再求.【詳解】因為，又因為，所以，故選：C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算，還考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，得，可得點，由得，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點時，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故選：D.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．4．D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．5．D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：，漸近線方程為：，一條漸近線的傾斜角為，，解得：.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.6．B【解析】

由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長為2的正方形，如圖建立空間直角坐標系，由題意：，，，，，為的中點，.，，，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學(xué)院的，③乙不是軍事科學(xué)院的；則丙來自軍事科學(xué)院；由②來自軍事科學(xué)院的不是博士，則丙不是博士；由⑤國防科技大學(xué)的是研究生，可知丙不是研究生，故丙為學(xué)士.綜上可知，丙來自軍事科學(xué)院，學(xué)位是學(xué)士.故選：C.【點睛】本題考查了合情推理的簡單應(yīng)用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式和對數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為，所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選：A【點睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前項和公式應(yīng)用，屬于中檔題9．D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時,等式不是雙曲線的方程；當(dāng)時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.10．A【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標表示，將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由，則，所以；而當(dāng)，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本小題考查平面向量的運算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識.11．C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用，考查計算能力．12．A【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前項和公式求出前項的奇數(shù)項的和，利用等比數(shù)列的前項和公式求出前項的偶數(shù)項的和，進而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，，則數(shù)列奇數(shù)項是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，，則數(shù)列中每個偶數(shù)項加是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A【點睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項和公式、等比數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,結(jié)合圓心所在直線方程,即可求得圓心坐標.由兩點間距離公式,即可得半徑.【詳解】因為圓經(jīng)過點則直線的斜率為所以與直線垂直的方程斜率為點的中點坐標為所以由點斜式可得直線垂直平分線的方程為,化簡可得而弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,且圓心在直線上,設(shè)圓心所以圓心滿足解得所以圓心坐標為則圓的半徑為故答案為:【點睛】本題考查了直線垂直時的斜率關(guān)系,直線與直線交點的求法,直線與圓的位置關(guān)系,圓的半徑的求法,屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

根據(jù)，可得，進而，有，而，令，得到，再用導(dǎo)數(shù)法求解，【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，令，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以當(dāng)時，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值，還考查了運算求解的能力，屬于難題，15．【解析】

根據(jù)球的表面積求得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為，求得四棱錐的表達式，利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑，設(shè)球心到四棱錐底面的距離為，棱錐的高為，底面邊長為，的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：【點睛】本小題主要考查球的表面積有關(guān)計算，考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法，屬于中檔題.16．【解析】

建立平面直角坐標系，設(shè)，可得，進而可得出，，由此將轉(zhuǎn)化為以為自變量的三角函數(shù)，利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標系如圖所示，設(shè)，，以、為鄰邊作平行四邊形，則，設(shè)，則，，且，在中，由正弦定理，得，即，在中，由正弦定理，得，即.，，則，當(dāng)時，取最大值.故答案為：.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積最值的計算，將問題轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于難題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）0.98;可用線性回歸模型擬合．（2）【解析】

（1）根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出，代入相關(guān)系數(shù)公式求出，根據(jù)的大小來確定結(jié)果；（2）求出藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率，發(fā)現(xiàn)它們相同，那么經(jīng)過兩次檢測后，，三類劑型合格的種類數(shù)為，服從二項分布，利用二項分布的期望公式求解即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，由公式，，∴與的關(guān)系可用線性回歸模型擬合；（2）藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率分別為，，，由題意，，.【點睛】本題考查相關(guān)系數(shù)的求解，考查二項分布的期望，是中檔題.18．（1）（2）2【解析】

（1）轉(zhuǎn)化條件得，進而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.19．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的的解集；（2）利用絕對值三角不等式可求得函數(shù)的最小值為，進而可得出，再將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式求得的最小值，進而可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）當(dāng)時，由，得，即，解得，此時；當(dāng)時，由，得，即，解得，此時；當(dāng)時，由，得，即，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以.所以，即.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了利用基本不等式證明不等式成立，涉及絕對值三角不等式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題.20．（1）.（2）.【解析】

（1）先根據(jù)空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.（2）分別求得平面BFC1的一個法向量和平面BCC1的一個法向量，再利用面面角的向量方法求解.【詳解】規(guī)范解答（1）因為AB＝1，AA1＝2，則F(0，0，0)，A，C，B，E，所以＝(－1，0，0)，＝記異面直線AC和BE所成角為α，則cosα＝|cos〈〉|＝＝，所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.（2）設(shè)平面BFC1的法向量為=(x1，y1，z1)．因為＝，＝，則取x1＝4，得平面BFC1的一個法向量為＝(4，0，1)．設(shè)平面BCC1的法向量為＝(x2，y2，z2)．因為＝，＝(0，0，2)，則取x2＝得平面BCC1的一個法向量為＝(，－1，0)，所以cos〈〉＝=根據(jù)圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角，所以二面角F-BC1-C的余弦值為.【點睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，面面角的求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21．（Ⅰ）直線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，的直角坐標方程為；（Ⅱ）2.【解析】

（Ⅰ）由定義可直接寫出直線的極坐標方程，對曲線同乘可得：，轉(zhuǎn)化成直角坐標為；（Ⅱ）分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程，由得，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)即可求解；【詳解】（Ⅰ）直線的極