數(shù)學(xué)

貴州專版2025第三章函數(shù)微專題二次函數(shù)幾何問題(8年3考：2022·24(3)，2021·24(2)，2019·24(2))欄目導(dǎo)航二次函數(shù)與線段問題類型一二次函數(shù)與面積問題類型二例1如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4(a≠0)與x軸交于A(4，0)和B(－1，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是直線AC下方的拋物線上一動點(diǎn).典例精析典例精析二次函數(shù)與線段問題類型一根據(jù)有關(guān)信息求函數(shù)表達(dá)式(1)求拋物線及直線AC的表達(dá)式；

(1)求拋物線表達(dá)式：把A(4，0)，B(－1，0)代入y＝ax2＋bx－4，解方程組即可求得；求直線AC的表達(dá)式：通過拋物線表達(dá)式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線的表達(dá)式為y＝kx＋b1，把A(4，0)，C(0，－4)代入，即可求得；利用表達(dá)式表示并計(jì)算線段長度(2)過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，求線段PE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；解：令P(m，m2－3m－4)，則E(m，m－4)，∴PE＝(m－4)－(m2－3m－4)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4.∴當(dāng)m＝2時(shí)，PE有最大值為4.∴P(2，－6).(2)設(shè)P(m，m2－3m－4)，則E(m，m－4)，則PE＝－(m－2)2＋4，由此求出最值即可；垂直于一次函數(shù)的線段最大值問題(3)若過點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F，求線段PF的最大值；

長度之和最小問題(4)若P是該拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，求出使△PBC周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).

(4)聯(lián)系“將軍飲馬“模型，連接PA，由A，B關(guān)于對稱軸l對稱，得BC＋PB＋PC＝BC＋PA＋PC≥BC＋AC，則AC與對稱軸l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).1.確定線段長關(guān)系式(根據(jù)已知線段關(guān)系求點(diǎn)坐標(biāo))：①先在圖中找出對應(yīng)線段，弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn).②再聯(lián)立二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù).③繼而表示出線段的長度(如果該線段與坐標(biāo)軸平行的話，則利用橫、縱坐標(biāo)相加減確定；如果與坐標(biāo)軸不平行的話，先轉(zhuǎn)化為有邊在與坐標(biāo)軸平行的三角形中，再利用勾股定理，銳角三角函數(shù)或相似確定).方法指導(dǎo)2.線段數(shù)量關(guān)系問題：根據(jù)前面所得的線段長的關(guān)系式，結(jié)合題干列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的方程，解方程求解即可(注意排除不符合題意的數(shù)值).3.線段最值問題：①求一條線段的最值時(shí)，首先想到用二次函數(shù)表示出線段的長度，進(jìn)而求得最值.②求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，首先聯(lián)想到“將軍飲馬“等模型.例2如圖，拋物線y＝ax2＋3x＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－2，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，8)，P為直線BC上方拋物線上的動點(diǎn)，連接CP，PB，直線BC與拋物線的對稱軸l交于點(diǎn)E.典例精析典例精析二次函數(shù)與面積問題類型二根據(jù)有關(guān)信息求函數(shù)表達(dá)式(1)求拋物線與直線BC的表達(dá)式；

(1)求拋物線表達(dá)式：把A(－2，0)，C(0，8)代入y＝ax2＋3x＋c(a≠0)，解方程組即可求得；求直線BC的表達(dá)式：通過拋物線表達(dá)式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)直線的表達(dá)式為y＝kx＋b，把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可求得；已知面積求拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)(2)當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上什么位置時(shí)，滿足S△ABP＝60，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)求出線段AB的長度，再根據(jù)S△ABP＝60，求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，把縱坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；拋物線內(nèi)接三角形的面積問題(3)是否存在點(diǎn)P，使△BCP與△ABC的面積相等？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(4)求△BCP的面積最大值.

解法一：設(shè)出動點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用代數(shù)式表達(dá)各線段的長.通過公式計(jì)算，表示出三角形的面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.此