19.2.1菱形的性質(zhì)第19章矩形、菱形與正方形華東師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********理解矩形、菱形、正方形的概念，掌握它們與平行四邊形之間的關(guān)系。探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理和判定定理，能運(yùn)用這些定理解決簡(jiǎn)單的幾何問題。通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力和演繹推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，感受矩形、菱形、正方形在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和合作精神。二、教學(xué)重難點(diǎn)（一）教學(xué)重點(diǎn)矩形、菱形、正方形的定義、性質(zhì)和判定定理。運(yùn)用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行計(jì)算和證明。（二）教學(xué)難點(diǎn)矩形、菱形、正方形性質(zhì)和判定定理的證明過程，尤其是添加輔助線的方法和思路。區(qū)分矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定方法，靈活運(yùn)用它們解決綜合性問題。三、教學(xué)方法講授法、探究法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）回顧平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定方法。展示生活中矩形、菱形、正方形的圖片，如窗戶、黑板、菱形掛飾、正方形地磚等，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些圖形與平行四邊形的異同點(diǎn)。提問：這些特殊的圖形有什么獨(dú)特的性質(zhì)和判定方法呢？從而引出本節(jié)課的主題——矩形、菱形與正方形。（二）講授新課（30分鐘）矩形矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形的性質(zhì)探究：讓學(xué)生觀察矩形紙片，猜想矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有哪些特殊性質(zhì)。學(xué)生匯報(bào)猜想，教師引導(dǎo)學(xué)生從邊、角、對(duì)角線等方面進(jìn)行分析。證明矩形的性質(zhì)：性質(zhì)1：矩形的四個(gè)角都是直角。已知：四邊形ABCD是矩形，∠A=90°。證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以∠A=∠C，∠B=∠D，AD∥BC。又因?yàn)椤螦=90°，所以∠C=90°。因?yàn)锳D∥BC，所以∠A+∠B=180°，所以∠B=90°，∠D=90°。性質(zhì)2：矩形的對(duì)角線相等。已知：四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O。證明：在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，BC=CB，所以△ABC≌△DCB（SAS），所以AC=BD?？偨Y(jié)矩形的性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線相等。練習(xí)1：在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)。答案：根據(jù)勾股定理，AC=√(AB2+BC2)=√(32+42)=5。矩形的判定探究：引導(dǎo)學(xué)生從矩形的性質(zhì)定理的逆命題角度進(jìn)行猜想。猜想1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。證明：已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。因?yàn)椤螦+∠B+∠C+∠D=360°，所以∠D=90°。所以∠A=∠C，∠B=∠D，所以四邊形ABCD是平行四邊形。又因?yàn)椤螦=90°，所以四邊形ABCD是矩形。學(xué)習(xí)目標(biāo)了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系.探索并證明菱形的性質(zhì)定理.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計(jì)算或證明問題.5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解平行四邊形有哪些性質(zhì)？邊角對(duì)角線對(duì)稱性平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分中心對(duì)稱圖形前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí),成為什么圖形?(矩形,由角變化得到)

如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,又會(huì)得到什么特殊的四邊形呢?情境引入

在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊的長(zhǎng)度，請(qǐng)仔細(xì)觀察和思考，在這變化過程中，哪些關(guān)系沒變？哪些關(guān)系變了？平行四邊形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形.菱形鄰邊相等菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.下列哪個(gè)圖形能夠反映四邊形、平行四邊形、菱形的關(guān)系的是（）DC四邊形菱形平行四邊形四邊形菱形平行四邊形四邊形菱形平行四邊形平行四邊形菱形四邊形ABC生活中的實(shí)例有同學(xué)是這樣做的：將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可.你知道其中的道理嗎？如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個(gè)菱形的紙片？BDAC菱形是軸對(duì)稱圖形(2)從圖中你能得到哪些結(jié)論?并說明理由.提示:從邊、角、對(duì)角線、面積等方面來探討.

(1)觀察得到的菱形,它是中心對(duì)稱圖形嗎?它是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是，有幾條對(duì)稱軸?對(duì)稱軸之間有什么位置關(guān)系?菱形是中心對(duì)稱圖形由于平行四邊形的對(duì)邊相等，而菱形的鄰邊相等，故：菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì).菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊都相等.∵四邊形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD已知：菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，如下圖，證明：∵四邊形ABCD是菱形ABCDO在△ABD中，又∵BO=DO∴AB=AD（菱形的四條邊都相等）∴AC⊥BD，AC平分∠BAD同理：AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC求證：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC命題：菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.菱形的性質(zhì)2：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADCABCDO如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.（2）有哪些特殊的三角形？（1）圖中有哪些線段是相等的？哪些角是相等的？相等的線段：相等的角：等腰三角形：直角三角形：全等三角形：已知四邊形ABCD是菱形.AB=CD=AD=BCOA=OCOB=OD∠DAB=∠BCD∠ABC=∠CDA∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°

∠1=∠2=∠3=∠4∠5=∠6=∠7=∠8△ABC△DBC△ACD△ABDRt△AOBRt△BOCRt△CODRt△DOARt△AOB≌Rt△BOC≌Rt△COD≌Rt△DOA△ABD≌△BCD△ABC≌△ACD問題1菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計(jì)算菱形ABCD的面積嗎?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對(duì)角線互相垂直,那么能否利用對(duì)角線來計(jì)算菱形ABCD的面積呢?能.過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,則S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E問題2如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O,試用對(duì)角線表示出菱形ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的面積=

底×高=

對(duì)角線乘積的一半例1：四邊形ABCD是菱形，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，已知AB=5cm，AO=4cm，求對(duì)角線BD的長(zhǎng).ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∴OB=3∴BD=2OB=6cm543有關(guān)菱形問題可轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形的問題來解決.已知:如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形,其中對(duì)角線BD長(zhǎng)10cm.求:(1).對(duì)角線AC的長(zhǎng)度;(2).菱形的面積解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,=2×△ABD的面積∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE例2如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，求證：AE＝AF.證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.【點(diǎn)睛】菱形是軸對(duì)稱圖形，它的兩條對(duì)角線所在的直線都是它的對(duì)稱軸，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角．例3如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.ABCDOE證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD=BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB

，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

又∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA

，∴AO＝BE.例4如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形兩組對(duì)邊的距離相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝.【點(diǎn)睛】菱形的面積計(jì)算有如下方法：(1)一邊長(zhǎng)與兩對(duì)邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半．1.[2024淄博期末]

菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是(

)CA.對(duì)角線互相平分

B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相垂