思想04采納轉(zhuǎn)化與化歸方法以高效解決數(shù)學(xué)問題

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航.................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航.................................................3

03知識梳理?方法技巧................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測................................................5

05核心精講?題型突破................................................15

題型一：運(yùn)用“熟悉化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題15

題型二：運(yùn)用“簡單化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題20

題型三：運(yùn)用“直觀化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題26

題型四：運(yùn)用“正難則反原則”轉(zhuǎn)化化歸問題30

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

高考命題中，以知識為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)

性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值.高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的

組合，二是著眼于對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查.如果說數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號來

記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識，重在領(lǐng)會、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用于對數(shù)學(xué)問題的

認(rèn)識、處理和解決.高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)

化與化歸思想等.

〃用識導(dǎo)圖?思維引航\\

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

將問題進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化時，一般應(yīng)遵循以下幾種原則：

1、熟悉化原則：許多數(shù)學(xué)問題的解決過程就是將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用已

有知識、方法以及解題經(jīng)驗來解決.在具體的解題過程中，通常借助構(gòu)造、換元、引入?yún)?shù)、建系等方

法將條件與問題聯(lián)系起來，使原問題轉(zhuǎn)化為可利用熟悉的背景知識和模型求解的問題.

2、簡單化原則：根據(jù)問題的特點轉(zhuǎn)化命題，使原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)、易于解決的新問題.借助特

殊化、等價轉(zhuǎn)化、不等轉(zhuǎn)化等方法常常能獲得直接、清晰、簡潔的解法，從而實現(xiàn)通過對簡單問題的解

答，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的.

3、直觀化原則：將較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，數(shù)學(xué)問題的特點之一便是它具有抽象性，

有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要借助數(shù)形結(jié)合法、圖象法等手段把它轉(zhuǎn)化為具體的、更為

直觀的問題來解決.

4、正難則反原則：問題直接求解困難時，可考慮運(yùn)用反證法或補(bǔ)集法或用逆否命題間接地解決問

題.一般地，在含有“至多”、“至少”及否定詞的問題中，若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很

少，此時從反面考慮較簡單.

0

心真題砒標(biāo)?精御皿\\

1.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ASCD是邊長為4的正方形,

PA=PB=4,PC=PD=2^2?該棱錐的為().

A.1B.2C.梃D.73

【答案】D

【解析】如圖，底面ABCD為正方形，

當(dāng)相鄰的棱長相等時，不妨設(shè)PA=PB=AB=4,PC=PO=2&,

分別取AB,CD的中點E,尸，連接PE,PF,EF,

則P￡_LAB,EFJ_AB,且PEcEF=E,PE,EFu平面「印，

可知AB_L平面PEb,且ABu平面A2CD,

所以平面PEF±平面ABCD,

過P作EF的垂線，垂足為0,即PO_LM,

由平面PEBCl平面ABCD=EF,尸Ou平面PEF,

所以PO_L平面ABC。，

由題意可得：PE=2』,PF=2,EF=4,則PE?+「產(chǎn)=后尸，即尸石,所，

則一=—PO-E尸，可得尸0=----------=6

22EF

所以四棱錐的高為后.

故選：D.

2.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)〃x)=sin0x(o>O).已知/&)=-!,f(x2)=l,且居一目的最

7T

小值為；，則。=（）

2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題意可知：為為/（%）的最小值點，/為〃%）的最大值點，

則上一%扁=（=5,即7=兀，

2兀

且＜y＞0,所以＜w=^^=2.

故選：B.

3.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）漢代劉歆設(shè)計的“銅嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其

中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面

直徑依次為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為_

mm.

57.5/：

【答案】23

【解析】設(shè)升量器的高為由,斗量器的高為外（單位都是mm）,則

/22=23mm,4=《-mm.

故答案為：23mm，羋mm.

2

4.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角a與角￡均以Qr為始邊，它們的終邊關(guān)于

JT7T

原點對稱.若ae,貝"os尸的最大值為______.

o3

【答案】-；/《5

【解析】由題意尸=。+九+2E,左GZ,從而cos/?=cos（a+7i+2E）=—cosa,

JTIT

因為ae,所以cosa的取值范圍是g,與，COS6的取值范圍是一白，-；

63_

TT41T

當(dāng)且僅當(dāng)夕=m，即￡=可+2防UreZ時，cos6取得最大值，且最大值為-g.

故答案為：一萬.

5.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知集合

M={億j,Kw)|iw{l,2},/€{3,4},%€{5,6},卬€{7,8},且7+/+%+卬為偶數(shù)},給定數(shù)列A:%,外,…,網(wǎng),和序

列。：4Z，…&其中4=氏/,&,叱)€〃?=1,2-.,5),對數(shù)列A進(jìn)行如下變換：將A的第4,九?！表椌?/p>

加1,其余項不變，得到的數(shù)列記作1(4);將4(A)的第/九附噸項均加1,其余項不變，得到數(shù)列記作

砧⑷;……；以此類推,得到小也?、?簡記為0(A).

(1)給定數(shù)列A：1,3,2,4,6,3,1,9和序列C:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出。(A)；

(2)是否存在序列O,使得。(A)為a1+2,出+6,%+4,4+2,%+8,4+2,%+4,%+4,若存在，寫出一■個符

合條件的。；若不存在，請說明理由；

(3)若數(shù)列A的各項均為正整數(shù)，且4+4+%+%為偶數(shù)，求證：“存在序列。，使得。(A)的各項都相等”

的充要條件為“al+a2=a3+a4=a5+a6=aJ+as”.

【解析】(1)因為數(shù)列A：L3,2,4,6,3,1,9,

由序列工(1,3,5,7)可得小4):2,3,3,4,7,329；

由序列4(2,4,6,8)可得44(A):2,4,3,5,7,4,2,10；

由序列4(1,3,5,7)可得TJH⑷:3,4,4,5,8,4,3,10；

所以儀4):3,4,4,5,8,4,3,10.

(2)解法一：假設(shè)存在符合條件的C,可知。(A)的第1,2項之和為為+g+s,第3,4項之和為

(a,+2)+(2+6)=4+s

則二〉《，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，

+4)+(%+2)=03+4+5

故不存在符合條件的Q；

解法二：由題意可知：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4,

假設(shè)存在符合條件的。，且。(A)：偽也，…&，

.生2+6+4+2+8+2+4+4。

因為---------------------二8，即序列。共有8項,

4

由題意可知：(b211T+4“)一+a2n)=8,77=1,2,3,4,

檢驗可知：當(dāng)〃=2,3時，上式不成立，

即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的Q.

(3)解法一：我們設(shè)序列7；…也⑷為{4,“}(1。48),特別規(guī)定%

必要性:

若存在序列。:4弓…卻使得O(A)的各項都相等.

貝!J4,1=4,2=4,3=4,4=4,5=4,6=4,7=4,8，所以4,1+as,2=4,3+4,4=4,5+4,6=4,7+4,8-

根據(jù)（A）的定乂，顯然有4,2/一1+4,2/=4-+4—1,2/+1,這里，=1,2,3,4,s=l,2,....

所以不斷使用該式就得到％+%=。3+%=%+4=%+。8=4,1+4,2-5,必要性得證.

充分性：

若Q]+。2=。3+。4=。5+〃6=。7+。8.

由已知，。1+。3+。5+。7為偶數(shù)，而〃1+。2=“3+。4=。5+。6=%+。8，所以

%+%+4+/=4（4+%）—（q+/+%+%）也是偶數(shù).

我們設(shè)4…（A）是通過合法的序列Q的變換能得到的所有可能的數(shù)列Q（A）中，使得

|%1-41+|久3-4,4|+|45-4,6|+|。"7最小的一個.

上面已經(jīng)說明4,2j-1+4,2j~4—1,2j-1+%幻+1，這里j=l,2,3,4,5=1,2,....

從而由q+g=%+%=%+,=%+4可得as,i+4,2=4,3+“印=4.5+4,6=4.7+4,8=4+%+s.

同時,由于乙+[+%+”總是偶數(shù)，所以%+縱5+和%+44+4,6+4,8的奇偶性保持不變,從而

as.l+as,3+as,5+as,l和as,2+asA+4,6+4,8都是偶數(shù).

下面證明不存在/=L2,3,4使得同吩「久2心2.

假設(shè)存在，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)J=l,as,2j-\~as,2j22,即

情況1：若[4,3—4,/+14,5—4,61+〔4,7—4,81=。，則由4,1+4,3+4,5+4：和4,2+4,4+4,6+4,8都是偶數(shù)，

知41_4”4.

對該數(shù)列連續(xù)作四次變換（2,3,5,8）,（2,4,6,8）,（2,3,6,7）,（2,4,5,7）后，新的

14+4,1—4+4,21+14+4,3—4+4,41+14+4,5—4+4,61+14+4,7—4+4,8|相比原來的

I，一4/+|%3—4,1+|%5—編+/一％81減少4，這與|%1-4/+|4,3-4,/+|%5-4,6|+|4,7-％81的最小

性矛盾；

情況2：若[4,3-4,4|+|4,5-4,6|+|4,7-4,8|>。，不妨設(shè)|%3一41>°.

情況2-1：如果4廠4,心1,則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換（2,4,5,7）,（2,4,6,8）后，新的

|見+2]-4+2,21+14+2,3—4+2,41+14+2,5—4+2,6114+2,7—4+2,8|相比原來的

|qJ_qj+|4,3-4.」+|4,5一%小+何，至少減少2,S1^,1-as21+1<2,,3-as41+|aSj5-as61+\asJ-asS|的

最小性矛盾；

情況2-2：如果%4-心21,則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換（2,3,5,8）,（2,3,6,7）后，新的

14+2,1—4+2,21+14+2,3-4+2,41+14+2,5-4+2,6|+14+2,7-4+2,8|相比原來的

|%1_4/+|4,3_qj+|4,5_%6|+|4,7一%/至少減少2，這與I&J_4』+|%3一%/+|4.5_4/+|4,7一4/的

最小性矛盾.

這就說明無論如何都會導(dǎo)致矛盾，所以對任意的）=1,2,3,4都有-4214L

假設(shè)存在j=1,2,3,4使得屋JT-《2,|=1，則42“+4刃是奇數(shù)，所以

as,i+4,2=4,3+asA=4,5+4,6=a“7+4,8都是奇數(shù)，設(shè)為2N+L

則此時對任意j=1,2,3,4,由除-/幻］<1可知必有｛%2尸1，4幻｝=｛N,N+1｝.

a

而4」+4,3+4.5+4.7和％+4/+4.6+s,s都是偶數(shù)，故集合｛Hasm=N｝中的四個元素i,j,k,w之和為偶

數(shù)，對該數(shù)列進(jìn)行一次變換?,/,￡?）,則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的

14+1J_4+1,21+14+1,3_4+1.41+14+1,5_4+1,61+14+1,7_4+1,8|等于零，比原來的

-a』+|a*3+|%5一4小+|4,7一4」更小，這與舊,1—a』+|a*3+|《,5—qj+|&,7-a5的最小性

矛盾.

綜上，只可能—4）=°（，=1，2,3,4）,jfjjasl+as2=as3+asA=as5+as6=asl+asi,故｛4,“｝=Q（A）是

常數(shù)列，充分性得證.

解法二：由題意可知：。中序列的順序不影響。（A）的結(jié)果，

且（4%），3，%），（45,46），（分，/）相對于序列也是無序的，

（i）若q+4=。3+。4=。5+。6=%+。8，

不妨設(shè)生?。3?。54。7，貝!J%>"4牝N/，

（T）當(dāng)q=%=。5=。7，則％=〃6="4=”2，

分別執(zhí)行生個序列（2,4,6,8）、a2個序列（1,3,5,7）,

可得％+%,%+。2，。1+%，4+。2,4+。2嗎+〃2，q+。2，%+%，為常數(shù)列，符合題意；

②當(dāng)％,4，%,%中有且僅有三個數(shù)相等，不妨設(shè)％=。3=。5，則。2=。4=。6,

分別執(zhí)行0個序列(1,3,5,7)、％個序列(2,4,6,8)

口J彳、jI,^^2?^3^7,I^^2,^^2?,^Z]Id>2,^^2?CI7,^^2I^^7,ClqI^ZQ,

即％+。2，。2+〃7，％+4，〃2+%，+〃2，〃2+%，。2+〃7，％+〃2，

因為4+/+%+%為偶數(shù)，即3%+%為偶數(shù)，

可知對%的奇偶性相同，則%”eN*,

分別執(zhí)行"五個序列(1,3,5,7),(1,3,6,8),(2,3,5,8),(1,4,5,8),

可得

3%+2%—43%+2%—43%+2%—q3%+2%—13%+2%—q3%+2%—63%+2%—q3%+2%—4

2'2'2'2'2'2'2'2

為常數(shù)列，符合題意；

若=〃3<〃5=〃7，貝U%=。4>〃6=〃8，即。],。2，〃1，〃2，"5，"6，"5，"6，

分別執(zhí)行。5個(136,8)、4個(2,4,5,7),

可得%+。5，%+。2，01+。5，01+。2，%+。5，。5+。6，%+〃5，。5+〃6，

因為％+%=%+〃6，

可得q+%,4+%，+。5，01+。2，4+。5，4+。2，01+“5，4+。2，

即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；

④當(dāng)q,%,%,%中有且僅有兩個數(shù)相等，不妨設(shè)4=%，則%=%,

即,。2,,a?，"5'"6'“79“8，

分別執(zhí)行q個(2,4,5,7)、%個(1，3,6,8),

可得〃[+%,+〃2，01+%，01+。2，01+%，05+。6，%+。7，〃5+。8，

且4+%=%+。6，可得%+%，%+〃2，%+。5，01+。2，+〃5，%+〃2，%+。7，〃5+。8，

因為卬+%+%+。7=2%+%+%為偶數(shù)，可知〃5，%的奇偶性相同，

貝ij(q+%)+(4+%)+(4+%)+(%+%)=44+3%+。7為偶數(shù)，

且4+%=%+。5=%+。5<%+%，即轉(zhuǎn)為②，可知符合題意；

⑤若％<a3<a5<a7,則%>%>%>08，即%,出，/，〃4M5,4,%，4，

分別執(zhí)行q個(2,3,5,8)、&個。，4,6,7),

可得%+%,%+。2，%+〃3，。3+〃4，%+〃5，〃3+〃6，。3+。7，%+〃8，

且％+4=%+。4，可得4+。3，。1+〃2嗎+。3嗎+。2嗎+。5,13+16，。3+%，〃1+。8，

因為％+%+%+%為偶數(shù)，

貝!](q+%)+(q+/)+(q+%)+(/+%)=2(%+/)+(q+%+%+%)為偶數(shù)，

且〃1+4=%+。3<4+。5<。3+%，即轉(zhuǎn)為④，可知符合題意；

綜上所述：若%+%=%+%=/+%=%+/，則存在序列。，使得C(A)為常數(shù)列；

(ii)若存在序列。，使得Q(A)為常數(shù)列，

因為對任意O(A)：4也,…也，

均有伯+&)-(%+%)=(4+%)-(/+%)=(4+%)-(%+%)=(4+4)-3+/)成立，

若。(A)為常數(shù)列，則4+b2=b3+b4=b5+b6=b7+bs,

所以Q]+〃2=。3+〃4=〃5+〃6=。7+4；

綜上所述：“存在序列。，使得C(A)為常數(shù)列”的充要條件為“6+%=4+%=4+4=%+%”.

6.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)在VABC中，內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,b,c,—A為鈍角，a=7,

■oRV3,

sin2n=——pcosn.

7

⑴求上4；

⑵從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VABC存在，求VABC的面積.

條件①：6=7；條件②：cosB=j|；條件③：csinA=|V3.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

【解析】(1)由題意得2sin2cosB=36cosB,因為A為鈍角，

7

廠b_2_〃_7廠

貝ljcos3w。，則2sin3=//?,則sin86sinAsinA,解得sinA=N,

7—2

因為A為鈍角，則A=?~.

(2)選擇①匕=7,則sinB=皿6=Ex7=3,因為A=亭，則B為銳角，則8=g,

1414233

此時4+5=兀，不合題意，舍棄;

13

選擇②cosB=—因為B為三角形內(nèi)角,

貝1代入251115=^^得2*3^8=^^，解得Z?=3,

7147

sinC=sin(A+5)=sin+B=sin——cosB+cos——sinB

33

貝1JsABc=!absinC=Lx7x3x^=^^.

AABC22144

選擇③csinA=gV^,則有C速解得c=5,

22

35

a_2_=sG

則由正弦定理得，即若sinC,解得sinC=-----

sinAsinC14

2

11

因為C為三角形內(nèi)角，貝！JcosC==—j

14

貝IsinB=sin(A+C)=sin——+C=sin——cosC+cos——sinC

3色

IT

則S%c=Lcsin8」x7x5xM=M

△ABC22144

7.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,AD=3,點E在

AD上，且PEJ.AD,PE=DE=2.

p

（1）若尸為線段PE中點，求證：3/〃平面PCD.

（2）若AB_L平面尸AD,求平面RIB與平面尸CD夾角的余弦值.

【解析】（1）取PO的中點為S,接SRSC,則"〃E￡>,Sf=gEO=l,

而ED//BC,ED=2BC,故SFUBC,SF=BC,故四邊形SEBC為平行四邊形,

故班7/SC,而平面PCD,SCu平面尸CD,

所以8P〃平面PCD.

因為ED=2,故AE=1,AE//BC,AE—BC,

故四邊形AECB為平行四邊形，故CEHAB,所以CEL平面尸AD,

而尸瓦E￡（u平面上位），故而PELED,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

BiJA（0,-1,0）,B（l,-1,0）,C（l,0,0）,0（0,2,0）,P（0,0,2）,

則麗=（0,T-2）,麗=（1,-1,-2）,陪（1,0,-2）,而=（0,2,-2）,

設(shè)平面E鉆的法向量為沅=（x,y,z）,

m-PA=0~y2z=0/、

則由9一可得-z=。,取沆=（°，一2，1），

m?PB=0

設(shè)平面PCD的法向量為為=（a/,c）,

n-PC=Qa-2b=0

則由，可得取萬=（2』,1）,

n-PD=02b—2c=0

故""二八=-%

故平面P鉆與平面PCD夾角的余弦值為叵

30

題型一：運(yùn)用“熟悉化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題

【典例1-1］（多選題）圖形由錢接的薄片構(gòu)成，則下列五個點不動（固定），所有連桿會固定的選項是

（）

A.A,B,C,D,0

B.A,B,C,D,F

C.K,L,M,N,0

D.K,L,M,N,E

【答案】ACD

【解析】對于A,如圖示:

AC固定則G固定；氏。固定則H固定；3固定則尸固定;

0，C固定則/固定；尸,”固定則L固定；G,/固定則〃固定；

A。固定則J固定；尸,/固定則E固定；J,G固定則K固定；

固定則N固定；所有連桿會固定；

對于B,如圖示:

A，C固定則G固定；氏。固定則H固定；4。固定則J固定;

J,G固定則K固定；F,“固定則L固定；固定則N固定；

其它點無法固定;

對于C,如圖示:

固定則G固定；LN固定則H固定；K,N固定則J固定;

J,G固定則A固定；固定則。固定；。,加固定則/固定;

/,G固定則C固定；。，工固定則尸固定；尸，”固定則B固定；

￡/固定則E固定；所以所有連桿會固定；

對于D,如圖示：

K,M固定則G固定；LN固定則H固定；K,N固定則J固定;

固定則/固定；尸,”固定則8固定；J,G固定則A固定；

J,H固定則。固定；固定則/固定；歹/固定則。固定；

G,/固定則C固定；所有連桿會固定；

故選：ACD.

【典例1-2】在VA5c中，。是邊AC的中點，若AB=3,AC=6,BC=8,貝|3￡)=

【答案]^U2/17no

22

如圖，過點A作BC的平行線，過點C作的平行線，兩平行線交于點E,

則四邊形A3CE為平行四邊形，AB=CE,BC=AE,ZABC+ZBCE=180°,

cos?ABC-cos?BCE,

,BD=-BE=-^BC2+CE2-2BC-CE-cosZBCE

22

=iVBC2+AB2+2BC-AB-cosZABC

2

-2J-f七產(chǎn)

=1y]2(AB2+BC2)-AC2=172(32+82)-62=.

2^10

故答案為:

2

【變式7】若Sin2(")=3sin2y,則黑去?

【答案】1/0.5

【解析】由sin2(a+￡)=3sin27得:

sin[(a+/?+7)+(a+尸一7)]=3sin[(a+￡+力一(a+6一7)],

所以sin(a+/7+7)cos(a+4-7)+cos(a+4+7)sin(a+￡-/)

=3sin(cr+y5+7)cos(6Z+?0-/)-3cos(cr+y0+/)sin(cr+/?-/)

化簡得到：

4cos(&+/?+y)sin(a+尸一力=2sin(a+6+7)cos(a+￡-/),

所以2tan(a+/?-/)=tan(a+/7+7)；

所以詈盧

tan(a+7+，)2

故答案為：

jrjrjI

【變式1-2](1)設(shè)0<a<g,求~~f—刀的最小值.

22cosasina-sinp-cosp

(2)設(shè)A,B,。是VABC的三個內(nèi)角，^cuEsin—sin—sin—<-.

2228

【解析】(1)暫不考慮傘的變化，只對夕進(jìn)行“放縮

原式二——十丁^—二^--->~~r~+-7(當(dāng)￡=/時“=”號成立).

cosasma?sinp-cospcosasmal4

再研究a對函數(shù)值的影響.

―H=sec2。+4cse2[=5+tan2a+4cot26Z>5+2“=9.

cosasina

(當(dāng)a=arctanA/2時"="號成立)

故原函數(shù)的最小值為9.

ABC

(2)證明：令丁usinm.sinm.sin,,視A為常量，B,。為變量，于是有

,A\(B-CB+Cy1.A(B-C.

y=sin------cos------------cos--------=—sin-cos----------sin一,

22(22)22(22)

R_r1A（A\

顯然B,C在變化中取相等的值時，cos號取最大值1,因此有yW5sin,[l-sin^J.

下面考查A的變化對y的值的影響，易知當(dāng)sing4=￡1,即7A=rg時，y取得最大值I:，即有yV：I.

根據(jù)兩次變化情況可知sin4-sinf-sin^l，

222o

IT

（當(dāng)且僅當(dāng)B=C=A=§時"=”號成立）.

命題預(yù)測事

1.在VABC中，角A氏C的對邊分別為〃也。，已知A=寧，/_/+°2+3°=0,VABC的面積為

身叵，求邊5C上的中線AD的長.

4

【解析】因為SABc=LAsinA=Lbcx^=M,所以秘=15,

aABC2224

因為余弦定理得cr=b2+c2-26ccosA=b2+c2+be>

又因為b?-a?+c?+3c=0，

可得bc=3c,即得6=3,c=5.

因為BC的中線AD,

可得2而=希+正，

（2AD）2=（AB+AC）2=AB2

所以?而上亭,

即如半

2.三等分角大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，它和“立方倍積問題”，“化圓為方問題”并稱為“古

代三大幾何難題公元六世紀(jì)時，數(shù)學(xué)家帕普斯曾證明用一固定的雙曲線可以解決“三等分角問題某同

學(xué)在學(xué)習(xí)過程中，借用帕普斯的研究，使某銳角的頂點與坐標(biāo)原點。重合，點8在第四象限，且點

B在雙曲線T：%2一產(chǎn)=。6>0）的一條漸近線上，而。&與T在第一象限內(nèi)交于點A.以點A為圓心，

210Al為半徑的圓與T在第四象限內(nèi)交于點尸，設(shè)AP的中點為。，則=若|圖=5,

|。9=6,則a的值為（）

36

A.—B.8D.10

5

【答案】C

“""上

設(shè)/。。八次。<”和直線以的傾斜角為彌

則/QOA=2a,直線。4的斜率為左=tan。，

???2為AP的中點，.?』4。|=J=5=|OA|,

OA2+OQ2-AQ2_25+36-25_3

=6,「.cos2。=

2OAOQ2x5x65

44

sinla--,tan2a=—

53

2tanor4兀1

,*/0<cr<—,「.tana￡(0,1),/.tan=—

l-tan2a342

41

—+—

/ANctan2cr+tancr11

/.tanZAOB=tan3a=-------3-----2-------

1-tan2atana]_"2

32

7Ttan0+1k+111

又/.tanZAOB=tan(6>+—)=

41-tan1-k2

9o

???左=為，二?直線Q4的方程為y=

2169

9x-----a

y=——xg88

聯(lián)立13,得

281

x2—y2=ay=——a

88

?.?儂=5,:.x2+y2=25,gp—a+—a=25,

8888

44

CL------

5

故選：C.

題型二：運(yùn)用“簡單化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題

【典例2-1】已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，體積相等，且它們的側(cè)面積之比為1:3,則圓錐的高與底面

半徑之比為（）

rV3D.友

Bk_z.-----------

-133

【答案】C

【解析】設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為「，高分別為九，生，

錐=§兀/均，%］柱=兀/4

所以（1）

圓柱的側(cè)面積5=2兀，九，（2）

圓錐的側(cè)面積S2=,（3）

S1

又因為U=”代入⑴但）⑶，

解得：3后42,即&=3=走，

rA/33

故選：C.

【典例2-2】如圖，正方體ABCD-A由GR的棱長為2,點。為底面ABC。的中心，點尸在側(cè)面B瓦CC的

邊界及其內(nèi)部運(yùn)動.給出下列四個結(jié)論：?DtO±AC.②存在一點尸，。。//用尸；③若。。，。尸，則

△2GP面積的最大值為百；④若尸到直線D?的距離與到點B的距離相等，則P的軌跡為拋物線的一部

分.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

【答案】C

【解析】對于①，連接A2，C2，由正方體的性質(zhì)知△AC2為等邊三角形,

由于0為底面ABC。的中心，故為AC中點，故ACLD0,故①正確；

對于②，R。進(jìn)行平移到過耳點，使之具有公共頂點，根據(jù)立體圖像判斷,

NC平面CB4G,即無論如何也不可能滿足gN平行或重合于與尸,

所以。0不可能平行于用P,故②錯誤;

對于③，取BBX的中點E,連接OE,EC,BD,DtE,

22

則OE=:DB}=V3,r>lO=76,D1E=3,滿足。爐+DQ=DtE,:.OE_LDXO,

又0<?_1820(7_10。1,;.0(7_1面8。〃耳，DQu面BDRB],

所以O(shè)C_L，。，OC7OEO,所以RO,平面OEC,

所以尸在線段EC上運(yùn)動，當(dāng)點P到點E位置時，GP最大，

此時△￡>?「面積最大為：倉也出=君.所以③正確；

對于④，尸到直線。G的距離為線段PG的長度，所以|尸。=|尸固，判定出P點位置為直線BG的垂直平

分線，故④錯誤.

故選:C.

【變式2-1]在四面體ABCO中，夕在面A3C內(nèi)，。在面5C。內(nèi)，且滿足

________%s

AP^xAB+yAC,AQ^sAB+tAC+uAD,若二=一，則線段公。與。尸的關(guān)系是()

yt

A.A。與DP所在直線是異面直線

B.AQ與DP所在的直線平行

C.線段4。與。尸必相交

D.線段AQ與小延長后相交

【答案】C

【解析】若x=s=0,貝l]Q=y；W,湎=二/+〃礪，

AQ^-AC+uAD,所以A。,。,尸四點共面.

y

又AQ與。p不平行；

???線段AQ與線段DP相交.

LXsst

右xwO且swO,?.?一=—；,

y%%y

不妨設(shè)'=則s=/U,￡=%y,

xy

AQ=sAB+tAC+uAD=AxAB+AyAC+juAD=丸+yAC?)+juAD=AAP+juAD,

即而=2而+〃而,.1AQ,2P四點共面，

又AQ與DP不平行；.?.線段4。與線段OP相交.

故選：C.

A

【變式2-2】《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)有一“陽馬

P-ABCD,平面ABC。，PA=AB=AD^2,M為底面ABCD及其內(nèi)部的一個動點且滿足

1PMi=石，則麗.麗的取值范圍是()

A.[1-2A/2,1+272]B.[-1,1+2@

C.[-1-V2,-1]D.[1-2A/2,-1]

【答案】D

【解析】PA_L平面ABCD,PA=AB=AD^2,連接PM,AM,由1PMi=石，可得

|AM|=^|PM|2-|PA|2=1,

四邊形ABCD為矩形，以A民AD,AP為％V，z軸建立如圖所示坐標(biāo)系，

則8(2,0,0),0(0,2,0),設(shè)M(cose,si",0),6>e0,|-,

則DM=(cossin6*-2,0),BM=(cos6*-2,sin0,0),

所以DM-BM=cose(cos6-2)+(sin6-2)sine

=cos20+sin2e-2(sind+cos。)=1-2后sin[e+：]

因為0。,m，則。+3[吊，則sin1e+N%1,

所以麗■?麗e[1-20,-1].

故選：D

命題預(yù)測

1.在棱長為1的正方體ABC。-A4G2中，P為底面ABC。內(nèi)（包括邊界）的動點，滿足直線RP與直

線CG所成角的大小為則線段。尸掃過的面積的大小為（）

6

A.—71B—.-兀C一.一兀

1263

【答案】A

【解析】由題意得：正方體中，易得DDJ/CQ,

要使直線D,P與直線CG所成角的大小為g,

0

7T

只需DDi與直線2P所成角的大小為:，

0

所以2尸繞。2以;夾角旋轉(zhuǎn)為錐體的一部分，如圖所示:

6

所以tanNDRP=^^=*,即DP=*~,

所以點P的軌跡是以。為圓心，在為半徑的四分之一圓,

3

2

故線段上掃過的面積的大小為:兀，2兀X71

~12

故選：A.

2.正方體ABCD-A與G2的棱長為1，M是面BCC4內(nèi)一動點，且。N是棱C&上一動點,

則AZWN周長的最小值為（）

A.2B.V3+1C.也+2D.逅+巫

22

【答案】B

【解析】點M在線段BG上運(yùn)動，即動線段次f在ABG。內(nèi)運(yùn)動，

動線段DN在AOCG內(nèi)運(yùn)動，動線段MN在A8CC1內(nèi)運(yùn)動，

以ABCG為基準(zhǔn)，將ABCQ和ADCC翻折使其與ABCJ共面，如圖所示：

其中ABCQ翻折至△BG2，ADCQ翻折至△C￡2，

△DMN的周長等于D2M+MN+ND3，最小值等于DR

在四邊形CR=CR=夜，ZUQDj=150°,

由余弦定理可求得便可=2+2-2x應(yīng)x0x=4+2』，

所以22=1+6,

故ADMN的周長最小值等于1+6,

故選：B.

題型三：運(yùn)用“直觀化原則”轉(zhuǎn)化化歸問題

【典例3-1]若函數(shù)/（X）=gsin2x-Qcos%在（0,兀）上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是（