第3講拋體運(yùn)動(dòng)

【目標(biāo)要求】1.掌握運(yùn)動(dòng)的合成與分解，掌握解決曲線運(yùn)動(dòng)的一般方法。2.會(huì)靈活分解平拋、斜拋運(yùn)動(dòng)及解決三

維空間中拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的方法。

考點(diǎn)一運(yùn)動(dòng)的合成與分解

例1(多選)(2024?安徽卷?9)一傾角為30。足夠大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立。孫

直角坐標(biāo)系，如圖甲所示。從仁0開(kāi)始，將一可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊從。點(diǎn)由靜止釋放，同時(shí)對(duì)物塊

施加沿x軸正方向的力B和尸2,其大小與時(shí)間/的關(guān)系如圖乙所示。已知物塊的質(zhì)量為1.2kg,

重力加速度g取10m/s2,不計(jì)空氣阻力。貝lj()

甲乙

A.物塊始終做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

B./=ls時(shí)，物塊的y坐標(biāo)值為2.5m

C.t=ls時(shí)，物塊的加速度大小為5V3m/s2

D.Z=2s時(shí)，物塊的速度大小為10V2m/s

答案BD

解析根據(jù)題圖乙可得Fi=4-Z(N),F2=3Z(N),故兩力的合力為R=4+2f(N)

物塊在)，軸方向受到的力不變，為mgsin30°,x軸方向受到的力R在改變，合力在改變，故物塊做的不是

勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；

沿y軸方向物塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為

2

為,=襁曹30=gsin30°=5m/s

故Z=1s時(shí)，物塊的y坐標(biāo)值為

y弓a/=2.5m

故B正確；

仁1s時(shí)，F(xiàn)-6N,故a--=5m/s2

xxm

222

貝lja=Jax+ay=5y/2m/s

故C錯(cuò)誤；

沿x軸正方向，對(duì)物塊根據(jù)動(dòng)量定理得

Fxt=mvx-O

由于E與時(shí)間，成線性關(guān)系，故可得

(4+2X0)；(4+2X2)x2=L2也

解得v%=10m/s

此時(shí)y軸方向速度大小為

vy=gsin300-Z=5x2m/s=10m/s

故此時(shí)物塊的速度大小為

2

v=Juj+vy=10y/2m/s

故D正確。

考點(diǎn)二平拋運(yùn)動(dòng)

1.平拋運(yùn)動(dòng)及研究方法

過(guò)初速度沿水平方向，只受重力作用

豆前是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)

平

拋運(yùn)國(guó)籍勻速直線運(yùn)動(dòng)匚/

運(yùn)動(dòng)

福源自由落體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)

動(dòng)的

合

成

方法

與以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)?/p>

分

解特殊分解法直角坐標(biāo)系,將加速度a分

一解為酸、％,初速度如分解

為a、vy,然后在x、y方向

列方程求解

2.平拋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)推論

(1)設(shè)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的速度方向與水平方向的夾角為仇位移方向與水平方向的夾角為(p,

則有tan敘2tang如圖甲所示。

(2)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過(guò)此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，如圖乙所示。

例2（2024?浙江1月選考⑹如圖所示，小明取山泉水時(shí)發(fā)現(xiàn)水平細(xì)水管到水平地面的距離為水桶

高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無(wú)阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為九直徑

為。，重力加速度為g,則水離開(kāi)出水口的速度大小為（）

細(xì)水管

'9_

2h

D.(V2+1)DA

解析設(shè)出水口到水桶口中心距離為x,則Y,落到桶底A點(diǎn)時(shí)x+沁衿,解得v凸咔.

故C正確。

例3（多選）（2024?湖南株洲市一模）為了鍛煉兒童的協(xié)調(diào)性，父子倆一起玩投擲小球的游戲。如圖

所示，父子分別從43兩點(diǎn)水平拋出一個(gè)小球，小球均能從立在地面上的豎直管子的管口O落

入管中，A、B、。三點(diǎn)恰在一條直線上，且A3：80=2：3。從A點(diǎn)拋出的小球初速度大小為0，

在O點(diǎn)的速度與水平方向的夾角為a,從3點(diǎn)拋出的小球初速度大小為丫2,在。點(diǎn)的速度與水平

方向的夾角為6,空氣阻力不計(jì)，則下列判斷正確的是（）

A.o>BB.a=0

C.vi:V2=3:2D.vi:V2=V5:V3

答案BD

解析連接ABO,設(shè)AO所在直線與水平面的夾角為e,由平拋運(yùn)動(dòng)的推論有2tand=tana=tan夕，所以a=Q,

22

故A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有hA=^gtA,hB=1gtB,tana=tan…必,所以也=幺=婚=*,

22Viv2v2tByjhBV3

故C錯(cuò)誤，D正確。

例4（2024?遼寧省二模）如圖所示，傾角為37。的斜面體固定在水平面上，小球A在斜面底端正上

方以速度VI向右水平拋出，同時(shí)，小球B在斜面頂端以速度V2向左水平拋出，兩球拋出點(diǎn)在同一

水平線上，結(jié)果兩球恰好落在斜面上的同一點(diǎn)，且A球落到斜面上時(shí)速度剛好與斜面垂直，不計(jì)

小球的大小，sin37°=0.6,cos37°=0.8。則叨:也等于（）

A.4：3B,5：4C.8：7D.9：8

答案D

解析小球A垂直打在斜面上，如圖所示：

根據(jù)幾何關(guān)系可得tan37。=也,對(duì)于小球B:tan37。=逆二爭(zhēng)，聯(lián)立得也：也=9：8,故選D。

r多題歸一」

大多數(shù)平拋運(yùn)動(dòng)與斜面（曲面）的綜合問(wèn)題，最終可轉(zhuǎn)化為

對(duì)平拋物體位移方向、速度方向分析，對(duì)位移、速度分

解、計(jì)算，從而解決問(wèn)題。

已知速度垂直落在斜面上

無(wú)碰撞地進(jìn)入圓弧形軌道

考點(diǎn)三斜拋運(yùn)動(dòng)

斜拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)

性質(zhì)

軌跡是拋物線

研究」

運(yùn)動(dòng)的合成與分解、逆向思維法

方法

基本

規(guī)律

（以斜

上拋（1）水平方向:vox=vocos0,/合％=0；x=vo^cos9

運(yùn)動(dòng)（2）豎直方向：voy=vosin0,方合尸Mg；y=vo^sin0-

為例）?產(chǎn)

常見(jiàn)

圖例

例5（2024?重慶市一模）一學(xué)生用兩個(gè)顏色不同的球做斜拋運(yùn)動(dòng)游戲，如圖所示，第一次出手，紅

色球的初速度與豎直方向的夾角為a=60。；第二次出手，橙色球的初速度與豎直方向的夾角為

后30。。兩次出手的位置在同一豎直線上，結(jié)果兩球正好到達(dá)相同的最高點(diǎn)C,則紅色球、橙色球

運(yùn)動(dòng)的高度之比為（）

一

A.2-B.i1C.-3D.-3

3345

答案B

解析兩個(gè)不同顏色的球做斜拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)相同的最高點(diǎn)，可將其逆運(yùn)動(dòng)看成水平向左的平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)

軌跡如圖所示，兩平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移相同，設(shè)為x,速度的反向延長(zhǎng)線均過(guò)水平位移的中點(diǎn)，相交于同

一點(diǎn)。

設(shè)兩球下落的高度分別為hi、h2,則

tana=—,tan^=—

解得普=巴更弓,故選Bo

h2tana3

r遷移?歸一」

逆向思維法在物理中的應(yīng)用

運(yùn)動(dòng)示例已知條件逆向思維

物體做斜拋運(yùn)動(dòng)，末

斜拋運(yùn)動(dòng)物體做平拋運(yùn)動(dòng)

速度水平

勻減速直物體做勻減速直線運(yùn)物體做初速度已知的

線運(yùn)動(dòng)動(dòng)，末速度已知?jiǎng)蚣铀僦本€運(yùn)動(dòng)

例6（2024?廣東深圳市模擬）小齊在投籃時(shí)，投了一個(gè)“過(guò)橋”?；@球從距離籃筐的左側(cè)邊緣

x=54cm處越過(guò)籃筐，從右側(cè)的對(duì)稱位置落下，當(dāng)籃球球心與籃筐等高度時(shí)，球心與籃筐中心在一

條直線上，俯視如圖。已知籃球在最高點(diǎn)時(shí)球心距籃筐的高度無(wú)=45cm,籃筐的外圈直徑為

D-47.4cm,籃球的直徑為d=24.6cm,重力加速度g=10m/s?。不計(jì)空氣阻力和籃球的自轉(zhuǎn)，求:

(1)籃球球心在籃筐上方飛行的時(shí)間t;

(2)籃球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小vo；

(3)球心經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大小VA0

答案(1)0.6s(2)3m/s(3)3V2m/s

2

解析(1)根據(jù)題意，籃球在最高點(diǎn)時(shí)球心距籃筐的高度〃=45cm,豎直方向：h=1gt0

解得r0=0.3s

則籃球球心在籃筐上方飛行的時(shí)間:t=2to=Q.6s

(2)水平方向：~+|+x=vofo

解得vo=3m/s

(3)球心經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度

vy=gto=3m/s

球心經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大小

VA=Ju/+Vy2=3>/2m/s

例7(多選)(2024?山東卷［2)如圖所示，工程隊(duì)向峽谷對(duì)岸平臺(tái)拋射重物，初速度vo大小為20m/s,

與水平方向的夾角為30。，拋出點(diǎn)P和落點(diǎn)。的連線與水平方向夾角為30。，重力加速度大小取

lOmd,忽略空氣阻力。重物在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是()

A.運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2bs

B.落地速度與水平方向夾角為60°

C.重物離PQ連線的最遠(yuǎn)距離為10m

D.軌跡最高點(diǎn)與落點(diǎn)的高度差為45m

答案BD

解析解法一以P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖甲所示(PQ為x軸)

將為沿兩個(gè)坐標(biāo)軸分解，則有

vo^=vocos60°=10m/s,vo^vosin60°=10V3m/s

將重力加速度沿兩個(gè)坐標(biāo)軸分解，則有

Q%=gsin30。=5m/s2

的二geos30°=5V3m/s2

從尸點(diǎn)拋出至落到。點(diǎn)的過(guò)程中，由對(duì)稱性可知仁2替=4s,A錯(cuò)誤；

重物距PQ連線最遠(yuǎn)距離r=^=10V3m,C錯(cuò)誤；

落至。點(diǎn)時(shí)vx=vox+axt=3Om/s

由對(duì)稱性得V^VO^IOVBm/s

落至。點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸夾角設(shè)為0

tan0=—=—,貝lj。=30。

vx3

又因尸。與水平方向夾角為30°,

則落地速度方向與水平方向夾角a=60。，B正確；

重物從拋出到最高點(diǎn)所用時(shí)間為公鱉電竺=1s

9

從最高點(diǎn)到落地所用時(shí)間為/2二"九二3S

2

則軌跡最高點(diǎn)與落點(diǎn)的高度差為A=igt2=45m,D正確。

解法二以P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)椋?，軸，如圖乙所示，P，與P等

高

y

vox=vocos30°=10V3m/s

voy=vosin30°=10m/s

從尸一P'

片2=2s

g

XI=VOX^I=2OA/3m

v^=vo%=lOV3m/s

v尸0尸10m/s,

從P—Q

X2=Vxt2

12

y=Vytl+-gt2^

由幾何關(guān)系知：

tan30。=^^=當(dāng)2+5?

Xt+%220V3+10V3t2

解得:t2=2S

t總二九十力=4S

A錯(cuò)誤；

從最高點(diǎn)至。點(diǎn)時(shí)間為%=/總今=3s

Vy'=g/3=30m/s

tan=V3,Q=60°,B正確；

〃=）「32=45m,D正確；

離PQ連線最遠(yuǎn)點(diǎn)速度方向與PQ平行，即垂直于PQ連線的分速度為0,最遠(yuǎn)距離。=羋=乎曙=10b

2aj_2gcos30

m,C錯(cuò)誤。

■總結(jié)提升

當(dāng)速度方向與斜面平行,

艮17*二tan0,￡巨斜面

最遠(yuǎn)

兩水平方向?yàn)閤軸,

種當(dāng)位移方向與斜面平行,

建豎直方向?yàn)閥軸

即一■二tan0,落在斜

系

方

法面上

專題強(qiáng)化練［分值：60分］

1~6題每題4分，7題14分，8題16分，9題6分，共60分

［保分基礎(chǔ)練］

1.（2023?遼寧卷J）某同學(xué)在練習(xí)投籃，籃球在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中虛線所示，籃球所受合力廠的示意圖

可能正確的是（）

答案A

解析籃球做曲線運(yùn)動(dòng)，所受合力指向運(yùn)動(dòng)軌跡的凹側(cè)，故選A。

2.（2024.江蘇卷4）噴泉“、6形成如圖所示的形狀，不計(jì)空氣阻力，則噴泉.、6的（）

A.加速度相同B.初速度相同

C.最高點(diǎn)的速度相同D.在空中的時(shí)間相同

答案A

解析不計(jì)空氣阻力，噴泉噴出的水在空中只受重力，加速度均為重力加速度，A正確；設(shè)噴泉噴出的水

\2h

豎直方向的分速度為,水平方向的分速度為%,豎直方向，根據(jù)對(duì)稱性可知在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=2

可知tb>ta,D錯(cuò)誤；最高點(diǎn)的速度等于水平方向的分速度,由于水平方向的位移大小關(guān)系未知，無(wú)法

判斷最高點(diǎn)的速度大小關(guān)系，根據(jù)速度的合成可知無(wú)法判斷初速度的大小關(guān)系，B、C錯(cuò)誤。

3.（多選）（2024.江西卷.8）一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖所示，以小

魚躍出水面處為坐標(biāo)原點(diǎn)，龍軸沿水平方向建立坐標(biāo)系，小魚的初速度為血，末速度v沿x軸正方向。在

此過(guò)程中，小魚可視為質(zhì)點(diǎn)且只受重力作用。關(guān)于小魚的水平位置X、豎直位置y、水平方向分速度以和

豎直方向分速度力與時(shí)間f的關(guān)系，下列圖像可能正確的是（）

Oto

CD

答案AD

解析小魚在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受重力作用，則小魚在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即％為定值，則有水平位

移，故A正確，C錯(cuò)誤；小魚在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，則尸/刎，v^Vy0-gt,且最高點(diǎn)時(shí)豎

直方向的分速度為0,故B錯(cuò)誤，D正確。

4.（2024?福建泉州市模擬）如圖所示，相對(duì)且緊挨著的兩個(gè)斜面固定在水平面上，傾角分別為a=60。，夕=30。。

在斜面。4上某點(diǎn)將a、b兩小球分別以速度也、也同時(shí)向右水平拋出，a球落在M點(diǎn)、b球垂直打在斜面

OC上的N點(diǎn)（“、N在同一水平面上）。不計(jì)空氣阻力，則也、也的大小之比為（)

A.1：2B,2：3C,3：4D,3：5

答案A

解析由題可知兩小球做平拋運(yùn)動(dòng)下落的高度相同，所以兩小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，設(shè)為f,由題意

及幾何關(guān)系可知，小球a落在斜面上時(shí)，位移方向與水平方向的夾角為60°，小球b落在斜面上時(shí)，速度

方向與水平方向的夾角為60%根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)小球a有tan60。=逆L盧，對(duì)小球b有tan60。=空,

vrt2%v2

則也=；,故選Ao

v22

5.（2023?江蘇卷40）達(dá)?芬奇的手稿中描述了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：一個(gè)罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運(yùn)動(dòng),

沿途連續(xù)漏出沙子。若不計(jì)空氣阻力，則下列圖中能反映空中沙子排列的幾何圖形是（）

解析以罐子為參考系，沙子在水平方向向左做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做自由落體運(yùn)

動(dòng)，合加速度恒定，沙子在空中排列在一條斜向左下的直線上，故選D。

6.（2024?湖南衡陽(yáng)市二模）將一物體以某一初速度沿與水平方向成37。角從A點(diǎn)斜向上拋出，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速

度與水平方向的夾角為53。。已知A、8之間的水平距離為3忽略空氣阻力的影響，重力加速度為g,sin

53°=0.8,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.從A點(diǎn)拋出時(shí)的速度大小為督

B.從A到B過(guò)程中速度的最小值為看眉Z

C.從A到3的時(shí)間為怪

D.A、3之間的高度差為名

答案A

解析設(shè)水平方向分速度為w,物體在A、8位置的速度分解如圖甲、乙所示

由速度分解可知VAy=votan37°=7VO,VB尸otan53°=小0,豎直方向：地尸網(wǎng)+g1,解得仁等2,水平方向：

4312g

L=vot,解得項(xiàng)，則A點(diǎn)的拋出速度為出=$=寫，故A正確；A到B過(guò)程中當(dāng)豎直方向速度為

0時(shí)，速度最小，Vminfogj初，故B錯(cuò)誤；將均代入/中可得f=^x|73^L=f隹，故C錯(cuò)誤；根據(jù)速

度關(guān)系可知知=8|病匚*聞:,根據(jù)豎直方向位移關(guān)系可知h=-vAyt+^，代入數(shù)據(jù)可得〃=",故D

錯(cuò)誤。

［爭(zhēng)分提能練］

7.(14分X2024.湖南長(zhǎng)沙市調(diào)研)作為研制新一代飛行器的搖籃，我國(guó)JF-22超高速風(fēng)洞可以創(chuàng)造出高度達(dá)幾

十千米、速度達(dá)約三十倍聲速的飛行條件。若將一小球從風(fēng)洞中地面上的A點(diǎn)以初速度vo豎直向上彈出，

小球受到大小恒定的水平風(fēng)力作用，到達(dá)最高點(diǎn)3時(shí)的動(dòng)能為初始點(diǎn)A動(dòng)能的白，小球最后落回到地面上

的C點(diǎn)，如圖。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g,求：

(1)(4分)小球從彈出到落地所用的時(shí)間；

(2)(6分)小球運(yùn)動(dòng)的加速度大??；

(3)(4分)小球在空中的最小速度。

答案⑴等(2)1(3)|為

解析(1)豎直方向上，小球只受重力作用,到達(dá)最高點(diǎn)3所用的時(shí)間f±=曳

9

根據(jù)對(duì)稱性，從最高點(diǎn)到落地的時(shí)間”="

9

則小球從彈出到落地所用的時(shí)間t=t±+r下=也

9

(2)到達(dá)最高點(diǎn)3時(shí)的動(dòng)能與A點(diǎn)的動(dòng)能之比為9：16,則速度之比為u水平：vo=3:4

在最高點(diǎn)豎直方向速度為0,由⑴知r=”

9

V水平=〃水平，上,

得a水平二：g

小球運(yùn)動(dòng)的加速度大小為q=Ja水平2+g2

聯(lián)立解得a=：g

4

(3)小球在重力和風(fēng)力作用下做類斜拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球速度方向與重力和風(fēng)力的合力方向垂直時(shí)，速度最小，

合力與豎直方向夾角正切值為

tan3=4-

最小速度Vmin=vosin0=|vo

8.(16分X2020?山東卷?16)單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其場(chǎng)地可以簡(jiǎn)化為如圖甲所示的模型：

U形滑道由兩個(gè)半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個(gè)中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2。。某

次練習(xí)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員以VM=10m/s的速度從軌道邊緣上的M點(diǎn)沿軌道的豎直切面A3CD滑出軌道，速度

方向與軌道邊緣線AD的夾角a=72.8。，騰空后沿軌道邊緣的N點(diǎn)進(jìn)入軌道。圖乙為騰空過(guò)程左視圖。該運(yùn)

動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度的大小g=10m/s2,sin72.8°=0.96,cos72.8°=0.30。求：

(1)(8分)運(yùn)動(dòng)員騰空過(guò)程中離開(kāi)AD的距離的最大值d；

(2)(8分)M、N之間的距離L。

答案(1)4.8m(2)12m

解析(1)在M點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在A3C。面內(nèi)垂直AD方向的分速度為vi,由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律得

Vi=VA^in72.8°①

設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABC。面內(nèi)垂直AD方向的分加速度為ai,由牛頓第二定律得

mgcosn.2°=mai②

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得占華③

2al

聯(lián)立①②③式，代入數(shù)據(jù)得

d=4.8m