大題預(yù)測04（A組）

（建議用時：60分鐘滿分：75分）

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（14分）在AaBC中，a,仇c分別為角4所對的邊，且gc=6-acosC,角A的平分線交BC于

且BD=2DC.

⑴求角A；

（2）若&C=3,求4。的長.

【解析】（1）由gc=6-acosC和正弦定理，可得gsinC=sinB-sinA-cosC,

因sin8=sin（7i—A—C）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

貝iJ^sinC=sinA-cosC+sinC-cosA-sinA-cosC,

2

即—sinC=sinCcosA,

2

因為siziCW0,則得cosZ=I，

因0V4V7T,則4=g.（6分）

（2）

如圖，因力。是4sB的平分線，則吃=等=2,解得48=6,

又SAABC—S^ABD+S"CD，

則'48?AC?sin-=--AB-AD-sin-+--AC-AD-sin-,

232626

即3x6x且=6-AD2+3?A。,，解得A￡>=2g.（14分）

222

16.（15分）設(shè)%為數(shù)列｛廝｝的前幾項和，已知的=1,｛粉是公差為I的等差數(shù)列.令%=

”為數(shù)列也｝的前"項和.

I3（1rLm為偶數(shù)

⑴求數(shù)列｛an｝的通項公式；

（2）證明：當(dāng)n>3時，Tn>Sn.

,_S,r小1n+l

【解析】(1)由題意得，」=l,2=l+5—1”不二二丁

axan22

2Sn=(n+l)an①，

當(dāng)ri>2時,2s九_1=nan_r(2)

由①一②得：2an=(n+l)an-nan.19即B~=上(幾之2)

a2a3a4an_234n

axa2a3an_x123n-\

-=?,an=n(?>2),

ax

又71=1時，Qi=1滿足4=〃,「.〃〃=孔.(6分)

（n-2”為奇數(shù)n2+n

(2)由的=71得%3r力=----

t為偶數(shù)n2

①當(dāng)"為偶數(shù)時，Tn=巴x(—l)+哭^X2+巴X6+?X6="

712v72222

此時，7；一5“=生±-日*=W>0,故〃>Sn

nn222

②當(dāng)w為奇數(shù)時o>3),m,=網(wǎng)告土匕1+〃一2=常丁3

2〃2-〃-3一〃2—〃(〃—3)5+1)

**.4-3〃=----------------=----------->U

〃〃22

綜上，當(dāng)幾>3時，Tn>Sn,（15分）

17.（15分）如圖1,在面積為竽的等腰梯形ABC。中，4B〃CD,點E為CD的中點，AB=1,CD=

4,把△BCE與AADE分另ij沿BE,AE折起,使點C,。重合于點P,如圖2.

E

⑴求證：PE14B；

（2）求直線PE與平面B43所成角的正弦值.

【解析】（1）證明：在面積為延的等腰梯形ABC。中，因為4B=1,CD=4,

4

設(shè)梯形ABC。的高為"則l±lx/z=述，所以九=立，

242

則4E=BE=J(y)2+(|)2=1=.

7T

所以△ABE是正三角形，NAEB=NBEC=ZAED=-.

在三棱錐P—4BE中，AE=BE,AP=BP,

取AB的中點F,連接PF,EF,貝IJPFIAB,EFlZB,

因為PFClEF=F,PF,EFu平面尸ER所以AB_L平面PEF,

因為PEu平面PE—所以PE148.（7分）

法二：在面積為逋的等腰梯形ABC。中，因為4B=LCD=4,

4

設(shè)梯形ABC。的高為"則l±lx/7=%m,所以八=交，

242

則4E=BE=佰『+（J=1=幅

JT

所以△4BE是正三角形，NAEB=ZBEC=ZAED=-.

延長EA到M,使得比4=AM,延長EB到N,使得EB=BN,

連接PM,PN,MN,則四面體EPMN是棱長為2的正四面體.

作E。！平面PMM垂足為0,以點。為原點，在平面PMN內(nèi)過點。與垂直的直線為x軸,

過點。與平行的直線為y軸，直線OE為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則pg,—l,0）,M停,1,0）,N（—言,0,0）,E（0,0考）,

因為48分別為EM,EN的中點，所以4作彳,手），8（—今0,彳）.

⑴證明：屈=（一今1,嗡,同=（-?,—1,0）,

所以而?福=（一日）X（一日）+1x（一1）+乎x0=0,

所以PE14B.（7分）

（2）由（1）知，48_L平面PEF,

因為4Bu平面P4B,所以平面PEF1平面R4B,

所以點E在平面P4B上的射影在尸P上，

所以/EZV是直線PE與平面P4B所成的角.

由（1）知A4BE是邊長為1的正三角形，EF=立,PE=2,

2

在八P4E中，PA=^PE2+AE2-2P￡-AEcos|=^4+l-2x2xlx-1=V3,

PF=yJPA2--AF2=小3一3=乎，

.113

--PE2+PF2-EF24+J-43

在APEF中，-sZEPF=2pEpF=

X乂不

所以sinZEPF=A/1-cos2Z￡P(guān)F=立Z.

11

所以直線尸E與平面BAB所成角的正弦值為名.（15分）

11

法二:由⑴知麗=（一泉1考）,屈=（-今/°），用=（-今1，野

（滴AD—Af———X--V=0,

設(shè)平面B4B的一個法向量元=（x,y,z）,則；竺一口，即122

ln-PA=0,一立％+三y+^z=0,

I62，3

令x=l,得丫=一百，z=苧，所以元=（1,一窩,警），

設(shè)直線PE與平面PAB所成角為8,貝卜譏6=|cos（方，元>|=器襦=膏.

即直線PE與平面/MB所成角的正弦值為衛(wèi).（15分）

11

18.（15分）如圖，矩形4BCD中，AB=8,BC=4舊,&尸6”分別是矩形四條邊的中點，設(shè)

____________22

OP=WF,CQ^^CF,其中0<4<1,直線EP和GQ的交點K在橢圓L++色=l（a>b>0）上.

⑴求橢圓L的方程；

(2)設(shè)R(0,-過點R的動直線與橢圓L交于M,N兩點，直線GM,GN分別交

圓4:f+⑶一6)2=3于S,T兩點,設(shè)直線GM,GN的斜率分別為的,k2.

①求證：匕?%為定值;

②直線ST是否恒過定點，若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，說明理由.

【解析】(1)由題可知E(0,-2招),G(0,26),尸(4尢0),0(4,2/Q-㈤),

直線PE的方程為：y=Bx_2?？苫癁閥+2g=4L,

242A

直線GQ的方程為：y=-半X+2石，可化為了_26=-學(xué)-

3丫22

則兩式聯(lián)立得y-12=-；尤2,所以橢圓方程為匕+匕=1.(4分)

41612

（2）①設(shè)直線MN的方程為：y=fcx-V3,M（乙,%）,W（x2,y2）,

22

與橢圓L的方程：土+匕=1聯(lián)立消去y可得:（3+4k2/2-8V3/cx-36=0,

1612

8限-36

則4>0,

X1+2=-3-+-4〃7,否/1-=--3-+-4-二T，

所以k-k=41-28.y?_2陋_kXi-3色._A_3V3\.ffc_遞）

12

Xi%2%1%2VXi/\X2J

=k2—3V3fcf-+-）+--fc2-3??,

x2/%1%2%1%2

代入國+%=8百%=_型可得上/=-*（9分）

123+4k2123+4k24

②設(shè)直線ST的方程為：y=mx+n,S(%3，y3)，丁(第4，丫4)，

聯(lián)立直線ST與圓％的方程，

消去y可得（1+m2）%2+（2mn—2V3m）x+n2—2V3n=0,

2

m,ilyf3m-2mnn-26n

貝I」X+%4=---2—,%/=----，

31+m1+m

y-2V3mx+n-2y/3mx+n-2y[3

所以七?七=紇逋4-3------=-----4----------------------

%4%3%4

n—2V3/n(n-2V3)2

mH--?--m--H--——=m2+m(n—2A/3)+—

4)\X3X4

2

=m2+m(n—2V3)?X3+X4+(n-2V3)9

%3%4X3X44

2出m-2nmn2-2y/3n，可得.當(dāng)

代入x+x=

341+m2341+m2

綜上，直線ST恒過定點(0,警).(15分)

19.(16分)已知aWO,函數(shù)f(%)=(a%+1)》(a%+1)在％=-^-處取得極值.

⑴求a；

(2)證明：對任意的機(jī)，ne(0,+00),都有f(根+九)>/(m)+/(幾)；

⑶若存在實數(shù)%>0,使得(七一2)%-1>/(%)成立，求左的最小整數(shù)值.

【解析】(1)f(x)=aIn(ax+1)+(ax+1)—=aIn(ax+1)+a,

因為/(%)在第=一處取得極值,

所以/'=aln(a,+l+a=O,所以——F1=

解得a=1.

經(jīng)驗證當(dāng)。=1時，/(%)在％=/處取得極小值，符合題意，

故a=1.(4分)

(2)對任意的機(jī)，nG(0,+00),設(shè)0(%)=/(%+幾)一/(%),則“(%)=/'(%+九)一/'(%),

由(1)知尸(%)="(％+1)+1,則尸(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)％E(0,+8)時，尸(x+n)>產(chǎn)(x),即/(%)>0,所以9(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為zu>0,所以0(m)>9(0),即f(TH+九)—/(m)>f(n)—/(O)=/(n),

故f(??i+n)>/(m)+/(n).(8分)

(3)存在實數(shù)％>0,使得(k-2)x-1>/(%)成立，即k>(X+】)E(；)+2X+I成立.

令g(x)_(x+1)Zn(x+l)+2x+l%>0,則g'(x)=T=§^,%>0,

x

令九(%)=x—1—ln(x+1),則九'(%)=士>0在(0,+8)上恒成立,

故以功在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又九(2)=1-伍3<0,/i(3)=2-Zn4>0,

故存在唯一的％oe(2,3),使得以%0)=0，即3-1=仇(%0+1).

當(dāng)OV%<%o時，/i(x)<0,即g，(%)V0,當(dāng)％>%o時，h(x)>0,即g'(%)>0,

所以g(x)在(0,&)上單調(diào)遞減，在(%o+8)上單調(diào)遞增，

(%o+l)l7i(%o+l)+2%o+l(XQ+1)(XQ-1)+2XQ+1

故g(%)(3)

Omin

故k>%o+2,結(jié)合%oE(2,3),得%0+2￡(4,5),

故k的最小整數(shù)值為5.(16分)

大題預(yù)測04(B組)

(建議用時：60分鐘滿分：75分)

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(14分)如圖，在平面四邊形ABCD中，DA±AB,DE=l,EC=/i,EA=2,ZADC=—,且

3

NCBE,ZBEC,NBCE成等差數(shù)列.

⑴求sin"ED;

⑵求BE的長.

【解析】(1)設(shè)/CED=a.

因為NCBE,NBEC,ZBCE成等差數(shù)歹!],所以2NBEC=/CBE+/BCE,又乙CBE+乙BEC+乙BCE=n,所

以NBEC=

22

在小CDE中，由余弦定理得E(72=CD+DE-2CD-DEcoszEOC,

即7=CO2+i+o即C￡)2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).

在ACDE中’由正弦定理得曰=嬴'

2;RA/3

于是.a=孫君=2〉萬&T,即NCED=W.(7分)

sinuEC—l=二—sin7

477

2

(2)由題設(shè)知0<a<]由(1)知cosa=Vl-sina=Jl^

又NAEB=n-NBEC-a=^-a,

3

cos27r,.2TT12\[7,V3VHV7

所以cos%EB=(g—a)=—+sin—cir?a=—x---1—x—=

rCnOcS3COS3Sin272714

在RtAEHB中，N4EB=^=2=立，所以BE=4?.（14分）

KlBEBE14

16.（15分）已知數(shù)列｛%J的前n項和立=誓,｛3｝為等比數(shù)列,公比為2,且瓦,b2+l,為為等差數(shù)

列.

⑴求｛%J與｛與｝的通項公式；

⑵把數(shù)列｛即｝和｛6?｝的公共項由小到大排成的數(shù)列記為｛%｝,求數(shù)列｛%｝的前幾項和〃.

【解析】（1）由Sn=鄴尹得，

當(dāng)九二1時，a】=Si=2,

當(dāng)?1>2時，an=Sn-Sn_i=3n—1,

當(dāng)？i=l時，上式也成立，所以%i=3九-1.

依題意，瓦+/=2（厲+1）,瓦+瓦?2?=2（瓦?2+1）,

解得d=2,所以g=2（6分）

（2）設(shè)％=am=瓦，則%=3?n—1==3m=2亡+1,其中tEN*

注意到當(dāng)左為正奇數(shù)，2之+1=（2+-2k-2+2k-3-24+…+23一22+1）

能被3整除，貝lj2k+1=33tEN*,此時21+1+1=2（2k+1）-1=6t-1不能被3整除.

k為正偶數(shù)時，2上+1=2上一1+2=3（4+42+…+4?）+2不能被3整除，

則d=其中f為正奇數(shù)，

則數(shù)列和｛如｝的公共項從小到大依次為：21,23,25,27,

所以2】，23,25,27,…構(gòu)成首項為2,公比為4的等比數(shù)列，

n

所以Q=2X4T,則4t=q+C2+--FCn="14'=1）（15分）

17.（15分）已知四棱錐F—ABCD中，AD〃BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上一點，

PELAD.爾

⑴若尸是尸￡中點，證明：BF〃平面PCD

（2）若48，平面PAD,求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.

【解析】（1）

p

BC

取尸。的中點為s,連接防，sc,PW7/ED,SF=[ED=I,

而ED〃BC,ED=2BC,^SF//BC,SF=BC,故四邊形SFBC為平行四邊形，

故BF//SC,而BF回平面PC。，SCu平面PC。，所以8尸〃平面PCD(7分)

(2)因為ED=2,故4E=1,i^AE//BC,AE=BC,

故四邊形AECB為平行四邊形，

tkCE//AB,所以CE1平面BW,

而尸E,￡'。<=平面外。，故CE1PE,CE1ED,而PE1ED,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(O,-1,0),B(l,-1,0),C(l,0,0),D(0,2,0),尸(0,0,2),

則PA=(0,-1,-2),PB=(1,-1,-2),PC=(1,0,-2),PD=(0,2,-2),

設(shè)平面PAB的法向量為萬=(x,y,z),

則由產(chǎn)更=o,可得[-取加=Q_2,1),

設(shè)平面PCD的法向量為元=(a,瓦c),

則由2,曳=。,可得以一于U，

取元=(2,1,1),故cos〈小〃〉=廠、=一^^~,

v5x<630

故平面與平面PCD夾角的余弦值為迤.(15分)

30

18.(15分)已知函數(shù)/(%)=a%+1.

⑴斜率為3的直線與/(%)的圖象相切，且與工軸交點的橫坐標(biāo)為-1,求a的值；

⑵若了(尤)是工e］上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

【解析】(1)函數(shù)/(%)定義域為(0,+8).

,.,/(%)=ax+—Znx,?'?/(%)=a-2一%

設(shè)切點橫坐標(biāo)為%o,則/(%o)=口g+/一加久o,f(%o)=Q=3,

x0xox0

.-.ax0=3x0+—+l,切線方程為y-ax0--+lnx0=3(%-x0),

Mx°

r切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為—1,二一附)—^+Inx=3(—1—x),

x000

f3%o4-----F--------FInXQ=3(—1—Xg)，艮［HM%。----1-2=0,

X%o，％o%O

??.函數(shù)y=lnx,y=一|在(0,+8)上為增函數(shù)，.?.g(%)=Inx-|+2在(0,+8)上為增函數(shù)，

2c1?

???^(1)=In1-----1-2=0,x0=1,代入〃%0=3%+—+1得，a=5.(7分)

1xo

(2)由(1)得，f(x)———'-3

當(dāng)/(x)是［l,e］上的單調(diào)遞增函數(shù)時，/(%)>0在％e［l,e］上恒成立，

之(2+J^emax，

令(=3貝棄6卜,1］,函數(shù)九?)=/+［對稱軸為直線t=一右九Q)在卜1］上單調(diào)遞增，

?,?八⑴⑵⑴G)苗.，

，

\eeeminmax

?,.a>2.

當(dāng)/(X)是［l,e］上的單調(diào)遞減函數(shù)時，/。)40在乂6［1,0］上恒成立，

、

(正1+1三)16疝?，由八⑴I/嬴1加得a1+17

綜上得，。22或。32+與(15分)

e乙e

19.(16分)已知點4(2,1)在橢圓C：9+［=1上，直線I與C交于P,Q兩點，直線AP,2Q的斜率之和為

0,點4關(guān)于y軸的對稱點為4,線段尸。的中點為

(1)證明：A',0,H三點共線；

⑵求△4PQ面積的最大值.

【解析】(1)點2(2,1)代入橢圓方程得2+1=1，解得。2=8,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+二=1

82

設(shè)P(x1,yi),Q(x2,y2)<

當(dāng)直線尸。斜率不存在時，可設(shè)其方程為x=3則Q(t,—月)，

由k4P+I^AQ=0,得—2=0,舍去，

當(dāng)直線尸。斜率存在時，可設(shè)其方程為y=kx+m,

(y=kx+m,

聯(lián)立2整理得(4/+1)/+8km%+4根2-8=0,

I—I—y=1.

I82

由4>0,得/<8/+2,

由韋達(dá)定理得，%+9=-黑彳，/右=鏟

4k+11z4/c2+l

由kAP+kAQ=0,得算工+套工=0,

整理得(%2-2)(%-1)+%-2)。2-1)=0,

2kx1x2+(m—1—2/c)(%i+%2)—4(m—1)=0,

韋達(dá)定理代入，得2k-+(m—1—2k)(—金：1)—4(6—1)=0,

化簡得(2/c—l)(2/c—1+TTI)=0,

當(dāng)機(jī)=1-2左時，直線過點4(2,1),舍去；

所以2左—1=0,即憶=5

此時，直線P。的方程為y=[x+m,

%1+x=所以久H=包券1

2-^~^=-2m,—m,yH=-m,

1

-mi

所以七H2_=_±

-m2

又因為4(—2,1),k0A^~l

所以koH=k04，，所以4,0,H三點共線.(7分)

2

(2)由(1)可得，+x2=-2m,xrx2=2m—4,

點4(2,1)到直線PQ的距離d=巴浮=詈

\PQ\—Jl+：山一%21=苧?V16-4m2=V5-V4—m2,

所以S—PQ=|,|PQ|-d=|-V5,V4—m2-=V4m2—m4,

令7n2=3則由(i)可得owe<4,

設(shè)/(t)=—t?+4t,tG0,4),

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)t=2時，/(t)(2)max，

所以AAPQ面積的最大值為2.(16分)

大題預(yù)測04（C組）

（建議用時：60分鐘滿分：75分）

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（14分）在AABC中，已知角4B,C的對邊分別為a,4c,NB4C的平分線交BC于點D,XABD,XACD,X

ABC的外接圓的半徑分別為此,7?2，凡且&+R2=R.

-I

（1）證明：BC=2Rsin-ABAC；

（2）求NBAC；

⑶若a=2g,求4。的取值范圍.

【解析】（1）

BD

BD2%,

在△ABD中，由正弦定理得,sin*4c

1;.1

.-.BD=2R^-^BAC,同理得，DC=2R^-/_BAC,

o1i1n12oiii22n

(4^)

：.BD+DC=(/?!+R2)-2o^11n1-2^BAC,^BC=2R3Q1：1n1-2^BAC.

BC

(2)在△ABC中，由正弦定理得，r=2R,：.BC=2R^BAC,

sinABACw

0'?^^Z.BAC=sin—Z-BAC,?P2sin2^"^^^cos3乙BAC=—Z-BAC,

-1

由NB4CG(0°,180°)得，Sin-^BAC豐0,

.■.rn^-ABAC=故工NB4C=60°,：./.BAC=120".(8分)

LU、222

(3)設(shè)"。=由S-BO+S—co=SUBC，得/MsinG。。+/7nsin60°=不b'sinl20°，故7n=

44ZUTC

Z.22_2

,-a=2A/3,cosZBAC=--------,--b2+c2+Z?c=12,故(b+c)2=12+be,

be

：.m=,,

y/12+bc

令"2+be=t,則zn='：2=t—y,

,??12=b2+c2-i-be>36c,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，<be<4,故te2百,4,

...Tn=t一早在2但4上單調(diào)遞增，當(dāng)［=28時，？n=0,當(dāng)t=4時，m=1,

M0的取值范圍是(0』.(14分)

16.(15分)設(shè)｛。九｝是等差數(shù)列，其前幾項和％,｛,｝是等比數(shù)列，且的=瓦=3,a4=b2,S3=15.

⑴求｛即｝與也｝的通項公式；

anbn，n為奇數(shù)

⑵設(shè)分=(3-4n)bn八為偶數(shù)求數(shù)列｛4｝的前2九項和72九；

'-^n-l，an+l

⑶若對于任意的neN*不等式n(an+1)-A(an-l)(n+2)-12<。恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛&J的公差為小等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

由S3=15,=>3al+3d=15,又。1=3,=>3+d=5,=d=2,

由。4—Z72f—a】+3d—b、q,—b1=3,n3+3d—3q,=q=3,

n-1n

=3+2(〃-1)=2〃+l,bn—33=3,

n

即a九=2n+1,bn=3.(4分)

n

(2)當(dāng)九為奇數(shù)時，cn=anbn=(2n+l)3,

記力n=q+。3+C5+,"+?271-1，則有

352n_1

4n=3X3+7X3+11X3+?■?+(4n-1)X3(i),

2n+1

94rl=3x33+7x35+11x37+--+(4n-1)x30,

①-②得：

2n-12n+1

-8An=9+4x(33+35+37+…+3)-(4n-1)X3,

2n+1

n-8Xn=9+4x4空白_(4n-1)x3,

n4n

nnn

(3-4n)bn_(3-471)31,33+2、

當(dāng)九為偶數(shù)時，Cn==_Xk(---------■7),

an-ian+l(2n-l)(2n+3)42n-l2n+3

記&=+C4++…+C2n,

132341343613638132n3271+2

=>B=zx(------)d--X(-------)4--X(-------+…H—X(------------)=>B

7t13774v71174411574v4n-14n+37n

13232n+2

4X(T-4^3)

n39n+1

=Bn=--------，

n416n+12

n

^T2n=An+Bn=-+X9-(9分)

161616n+12

(3)由％=2n+1與71(%!+1)——l)(n+2)-12<0恒成_\￡,

可得幾(2幾+2)-22n(n+2)-12<0恒成立，

今2>咚T恒成立，即求"”-6的最大值，

於+2九/+2〃

、幾rr、n2+n-6yn+6

設(shè)/(n)=HT=l一而而，

f(n+1)-f(n)=—(n：：+=-re>0

1vJ'(n+l)(n+3)n(n+2)n(n+l)(n+2)(n+3)

???/(〃)單調(diào)遞增,

n+6

>0,

又???n(n+2)

n+6

/(n)=n(n+2)<1,

.-.A>1.(15分)

17.(15分)如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面4BCD為菱形，AABC=60°,AB=AP=PC=2,平面

APC1平面力BCD,點、E,F分另U是棱2P,PC的中點.

⑴求平面尸與平面PCD夾角的余弦值;

(2)已知點M在棱PD上，且PM=APD(0<A<1),平面2CM〃平面

BEF,求三棱錐P-ACM的體積.

【解析】(1)如圖，連接8。，ACBD=O,連接OP,

,??四邊形4BCD為菱形，二4C1B0,0為AC,BD的中點.

VAABC=60",：.^ABC,△ACD為等邊三角形，

■■OA=0C=1,OB=0D=V3,

■.-AP=PC,.-.OP1AC,：.OP=V22-l2=V3.

???平面4PCJ_平面4BCD,平面4PCn平面4BCD=4C,OPu平面4PC,

：.PO1平面ABCD,

以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(b,0,0),￡>(-V3,0,0),X(0,-l,0),C(0,l,0),

P(。，。，⑼，E(O,，f)，尸(。，渭)，

.-.BF=EF=(0,1,0),PC=(0,1,-V3),CD=(-V3,-l,0).

設(shè)平面8印的法向量為沅=zj,貝0亙圮=°,即卜痔1+6+中Zi=0,

(EF,Til=0%=0

令%1=1,則%=0,Z1=2,即平面B即的一個法向量為沅=(1,0,2),

設(shè)平面PCD的法向量為元=(x2ly2,z2),貝嚼,,二：，即｛姿;=:

令冷=1，則%=—百，Z2=—l,即平面PCD的一個法向量為元=。,一百,一1)，

一-I\m-n\11

COSm>nl=|m|.|n|=V5XV5=s'

.??平面與平面PCD的夾角的余弦值為，(6分)

由(1)得，PD=(-V3,0,-V3),P(0,0,V3),

■■.PM=APD=(-V3A,0,-V3A),故“(一如/1,0,V3-V3A),

■■.CM=(-V3A,-1,V3-V3/l),AM=(-V32,1,V3-V32).

?.■平面BEF〃平面4MC,

.但.眄=0,即一包1+2(百一84)=0,

-CM=0

.?/=|e(0,1),即由=|而.

22

:^P-ACM=^M-PAC=^D-PAC=3^P-ACD?

","^P-ACD=3,S“cD，OP=孑*5*2xXy/3=1,

???三棱錐P-/CM的體積為|.(15分)

18.(15分)已知8(-1,0),。(1,0)為448。的兩個頂點，尸為的重心，邊上的兩條中線長度之

和為6.

⑴求點P的軌跡。的方程.

(2)已知點N(-3,0),E(-2,0),F(2,0),直線PN與曲線C的另一個公共點為Q,直線EP與FQ交于點M,求證：

當(dāng)點P變化時，點M恒在一條定直線上.

【解析】(1)因為P為△ABC的重心，且邊4C,4B上的兩條中線長度之和為6,

所以|P8|+|PC|=：X6=4>|BC|,

故由橢圓的定義可知P的軌跡C是以8(-1,0),C(l,0)為焦點的橢圓(不包括長軸的端點),

且a=2,c=L所以。=百，

所以P的軌跡C的方程為=+9=l(xK±2)；(5分)

(2)設(shè)直線PQ的方程為:x=my-3,4看,無),。(孫黑),

x=my—3

x2y2得：(3m2+4)y2—18my+15=0,

{T+T=1

貝屯+y?=-18mViy?=———,

人“1丁723m2+4'71723m2+4，

所以2四/1%=|(%+丫2)，

又直線PE的方程為：丫=六0+2)=意工0+2),

又直線QF的方程為：、=含(％-2)=就工(％-2),

--(%+2)

y=

‘明-1/日_2(2myy-y2-5yi)

聯(lián)立方程X-12

用:一為+5%

y=-^MX-2)

my2-5

把2nly,2=|(71+乃)代入上式得：

x=2②學(xué)1)=約2-5%)=_4(

-、2+5yi-y2+5yi3

所以當(dāng)點P運動時，點M恒在定直線％=上(15分)

19.(16分)已知函數(shù)/(%)=竺詈，g(x)=?.

⑴若對任意的根,九e(0,+8)都有/(m)<t<g(n)f求實數(shù)t的取值范圍；

⑵若占，無2?(。,+勾且的力如靖2-%=學(xué)，證明：xl+xl>2.

X1

6

【解析】(1)由/(%)='1+1(%>o)，g(%)=§(%>0),得f'(x)=三容,g(峰="：:),

當(dāng)OV%<1時，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，當(dāng)％>1時,/z(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以“X)max=/⑴=L

當(dāng)0<%vl時，gfM<0,g(%)單調(diào)遞減，當(dāng)％>1時，grM>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(%in=g(D=e，

所以lWCWe,即實數(shù)/的取值范圍為(6分)

(2)由C%2Tl=*可得e%2Tl,琢2=球1,兩邊取對數(shù)并整理，得第2(伍％1+1)=%1(仇％2+1)，

XQ

InXt+1_Inx+l

即2，即/(/)=f(X2]

X2

.、1

不妨設(shè)%1<%2，得到*<%1<1<X2,

由(1)知，函數(shù)/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，/(%)max=/(l)=l,

而f0=0,且當(dāng)％>1時，/(%)>0恒成立，

記以％)=/(%)-/(2—久)，xGQ,1^,

則八'(X)=尸(x)+尸(2-x)=一警一警萼〉一警一絲等=」[.(1]>0,

所以函數(shù)h(x)在C，1)上單調(diào)遞增，

所以九(%)<九⑴=0,即f(%)<f(2-x),于是/(支2)=/(%1)<f(2-%1),

又f(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以％2>2-玉，即％I+%2>2.

所以婢+xf>xf+(2—/尸=8—12%1+6xf=6(石—l)2+2>2,得證.(16分)

大題預(yù)測04（A組）

（建議用時：60分鐘滿分：75分）

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（14分）在AaBC中，a,仇c分別為角4所對的邊，且gc=6-acosC,角A的平分線交BC于

且BD=2DC.

⑴求角A；

（2）若&C=3,求的長.

16.（15分）設(shè)為為數(shù)列｛廝｝的前w項和，己知的=L氏｝是公差為扣勺等差數(shù)列.令%=

IF一2'為數(shù)列也｝的前"項和?

I3（1rlm為偶數(shù)

⑴求數(shù)列｛廝｝的通項公式；

（2）證明：當(dāng)n>3時，Tn>Sn.

17.（15分）如圖1,在面積為蜉的等腰梯形ABC。中，AB“CD,點E為CD的中點，AB=1,CD=

4,把ABCE與△2DE分別沿BE,AE折起，使點C,。重合于點P,如圖2.

⑴求證：PE1AB；

圖1

⑵求直線PE與平面BLB所成角的正弦值.

18.（15分）如圖，矩形力BCD中，48=8,BC=4g,E,F,G,H分別是矩形四條邊的中點，設(shè)

OP^WF,CQ=ZCF,其中。<2<1,直線"和GQ的交點K在橢圓L：2+箕=l(a>b>0)上.

⑴求橢圓L的方程；

⑵設(shè)R(0,-右)，過點R的動直線與橢圓L交于M,N兩點，直線GM,G