難點與易錯點03方程與不等式中的參數(shù)問題（6大題型）

題型盅點0

題型一：分式方程的增根問題

題型二：分式方程的無解問題

題型三：分式方程的特殊解問題

題型四：一元二次方程根的情況判斷

題型五：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

題型六：不等式組的整數(shù)解問題

題型突跑N.精淮提分

題型一：分式方程的增根問題

:指I點I迷I津

!增根問題的解題關(guān)鍵

：.分式方程有增根是指解分式方程時,在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一

個可能使分母為零的整式.

【中考母題學方法】

【典例1】（2023?湖南永州?中考真題）若關(guān)于x的分式方程」14m=1（冽為常數(shù)）有增根，則增根

x—44—x

是.

【變式1-1］（2024?上海松江?三模）若分式方y(tǒng)_|程_7弋k有增根，則人的值為_________

x-1x-l

【變式1-2］難點分情況討論x的值,使方程兩邊同乘的整式為零

（2024?山東蒲澤?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程：一3三+^^ct二x二三4有增根，貝1）〃=______.

x-3x-9x+3

【中考模擬即學即練】

1.（2024?云南?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程一一-2=旦有增根，則加的值為____

x-3x-3

2.（2023?四川成都?二模）若關(guān)于x的分式方程===-2有增根，則。的值是（）

X+lX+1

A.-2B.-1C.0D.1

3.（2024?寧夏銀川?三模）下面是某同學解分式方程的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的學習任務(wù)：

x-3_1

----+2二----

x—22—x

解：去分母，得x-3+2（x-2）=l.......第一步

去括號，得x-3+2x-4=1.......第二步

移項、合并同類項，得3x=8.......第三步

Q

解得X.......第四步

O

經(jīng)檢驗：X=|是原分式方程的解.......第五步

（1）上面的解題過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是.

（2）上面解題過程的第五步是檢驗分式方程是否產(chǎn)生增根，增根指的是（文字敘述）

（3）請你幫這個同學正確解答這個分式方程.

題型二：分式方程的無解問題

指I點I迷I津

無解問題的解題關(guān)鍵

分式方程無解是指不論未知數(shù)取何值,都不能使方程兩邊的值相等,它包含兩種情形①原方程化去分母

后的整式方程無解;②原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0.它是原方程

的增根,從而原方程無解.

【中考母題學方法】

【典例2】（2024?四川達州?中考真題）若關(guān)于尤的方程士-"=1無解，則左的值為______.

x-2x-2

【變式2-1】易錯點去分母后未知數(shù)的系數(shù)含參，需分類討論

（2024?山東荷澤?三模）若關(guān)于x的分式方程*="孝+1無解，則〃7=

【變式2-2］易錯點去分母后未知數(shù)的系數(shù)含參，需分類討論

（2024?廣東梅州?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程T+無解，則。的值為__________.

x-22-尤

【中考模擬即學即練】

1.（2024?貴州黔東南，一模）若關(guān)于x的分式方程，；+1=-二無解，貝！I。的值為（）

x-1x-1

A.-1B.0C.1D.-2

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的分式方程弋=：+1無解，則左的值為.

x-14

3.（2024?江蘇宿遷?二模）若關(guān)于x的分式方程二=口-3無解，貝匹的取值是.

x—22—x

4.（2022?浙江溫州?模擬預(yù)測）設(shè)a,b為實數(shù)，關(guān)于x的方程上三+=1="8無實數(shù)根，求代數(shù)式

x-1XX-X

8a+46+|80+4加51的值.

X—，Z7

5.（2022?廣西梧州?一模）已知關(guān)于x的分式方程J=——+2無解.

x-1x-1

⑴求。的值；

3

（2）先化簡，后求值：（。-1）+（---1）.

題型三：分式方程的特殊解問題

指I點I迷I津

特殊解問題的解題思路

分式方程的特殊解是指題中已知解為負數(shù)或非負數(shù)等,通常先將解用含參數(shù)的代數(shù)式表示出來,再根據(jù)

解為特殊解求解參數(shù)的范圍，注意分式方程的解不能使分母為零。

【中考母題學方法】

【典例3】（2024?四川遂寧?中考真題）分式方程2二=1-/一m的解為正數(shù)，則用的取值范圍（）

x—1x—1

A.m>-3B.加>一3且加W-2

C.m<3D.加＜3且加。一2

【變式3-1].（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關(guān)于x的分式方程七1一」m\=0的解是負數(shù)，那么實數(shù)加

的取值范圍是（）

A.機<1且機/0B.m<\C.m>1D.且加片一1

【變式3-2].（2024?甘肅金昌?三模）若有六張完全一樣的卡片正面分別寫有T,-2,-3,0,1,2,3,

現(xiàn)背面向上，任意抽取一張卡片，其上面的數(shù)字作為左的值能使關(guān)于x的分式方程㈡=2的解為正數(shù)，且

x-1

使反比例函數(shù)歹=*圖象過第一、三象限的概率為.

X

【變式3-31.（2023?四川成都?模擬預(yù)測）使關(guān)于x的分式方程—=2的解為非負數(shù)，且使反比例函數(shù)

x-1

'=」的圖象經(jīng)過一，三象限，則滿足條件的所有整數(shù)左的和=.

x

【變式3-4]（2023?浙江?模擬預(yù)測）已知關(guān)于%的方程3=—4~=竺的方程恰好有一個實數(shù)解，求上的

x-1X-xX

值及方程的解.

【變式3-51.（2022?四川成都?一模）在V/BC中，AB=6,AC=4,4。是邊上的中線，記40=加且加

為正整數(shù).則小使關(guān)于X的分式方程等匚+4=」二有正整數(shù)解的概率為_____.

3-xx-3

【中考模擬即學即練】

1.（2024?安徽?模擬預(yù)測）關(guān)于x的方程匚的解為非負數(shù)，則小的取值范圍是______.

x-11-x

2.（2024?四川宜賓?二模）若分式方程段=1-一三的解為負數(shù)，則。的取值范圍是.

3.（23-24九年級下?四川成都?期中）若正整數(shù)。使得關(guān)于x的分式方程2+，7有正整數(shù)解，那么

x-4x-4

符合條件的所有正整數(shù)。的個數(shù)有個.

4.（2024?江蘇宿遷?三模）若關(guān)于x的方程—<+==2的解為正數(shù)，則正的取值范圖是________.

x-11-x

5.（2024?江蘇揚州?模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程3=2-4有一個正數(shù)解，則機的取值范

x-33-x

圍.

x-a<Q

6.（2024?重慶?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式組x+3…x-1有解，且關(guān)于x的分式方程=+1=乙的

12X—11—X

[2-------3

解為非負數(shù)，則滿足條件的整數(shù)。的值的和為

題型四：一元二次方程根的情況判斷

，指I點I迷I津

;判別式判斷法

用一元二次方程根的判別式6-4ac與0的大小判斷，其判別式用符號“A”表示若△>0,一元二次方程有

兩個不相等的實數(shù)根:若△=0,一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根:若△<0,一元二次方程沒有實數(shù)根.

【中考母題學方法】

【點例3】（2024?山東泰安?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2--3x+后=0有實數(shù)根，則實數(shù)上的取值范圍

是（）

9999

A.k<—B.kW—C.kN—D.k<—

8888

【變式3-1]（2024?江蘇南通?中考真題）已知關(guān)于％的一元二次方程/一2%+左=0有兩個不相等的實數(shù)根.請

寫出一個滿足題意的左的值：.

【變式3-2】難點結(jié)合根的情況求參數(shù)的范圍

（2024?四川綿陽?二模）若關(guān)于x的分式方程/-=1有解，且關(guān)于y的方程/-2y+m=0有實數(shù)根，則機

3-x

的范圍是.

【變式3-3】難點根的情況與三角形的綜合應(yīng)用

（2024?廣東廣州"一模）關(guān)于x的方程--25+/+/=0有兩個相等的實數(shù)根，若。,6,c是V/8C的三邊長，

則這個三角形一定是（）

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【變式3-4].（2024?吉林長春?中考真題）若拋物線了=/-x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點，則c的取值

范圍是.

【中考模擬即學即練】

1.（2025?河南?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程辦2-x+l=0有實數(shù)根，貝"的取值范圍是（）

A.aG—且B.aG—C.—且D.—

4444

2.（2024?四川達州?一模）對于實數(shù)〃,6定義新運算：a^b=ab2-b,若關(guān)于％的方程左※％=1有兩個不相等

的實數(shù)根，則上的取值范圍（）

A.k>—B.k<—C.k>—且左D.k>—且左，0

4444

3.（2024?湖北隨州?一模）定義：如果一元二次方程"2+6x+c=0（a*0）滿足。=。+1,那么稱這個方程為“奇

妙方程已知加+隊+1=0（"0）是"奇妙方程”，且有兩個相等的實數(shù)根，則6的值為.

4.（2024?四川眉山?中考真題）已知方程/+》-2=0的兩根分別為X],x2,則,+—的值為_____.

再x2

5.（2024?上海寶山?一模）若二次函數(shù)y=-（x-，7+46+l圖像與一次函數(shù)y=f+5（-14x45）只有一交

點，則6的取值范圍為.

6.（2024?新疆克孜勒蘇?一模）已知關(guān)于x的方程x?+（2機+l）x+加（加+1）=0.求證：方程總有兩個不相等

的實數(shù)根

7.（2023?湖北黃岡?模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+b）f+2cx+（b-a）=0,其中“、b、c分別

為V/8C三邊的長.

（1）如果x=-l是方程的根，試判斷V/2C的形狀，并說明理由；

（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷V/BC的形狀，并說明理由；

⑶如果VABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.

題型五：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系

指I點I迷I津

如果一元二次方程a/+Z?X+C=0（Qw0）的兩個實數(shù)根是玉，x2,

/bc

那么X]+X-----，X]%二一?

2aa

注意它的使用條件為a#0,A20.

【中考母題學方法】

【典例5】（2024?四川巴中?中考真題）已知方程/-2x+左=0的一個根為一2,則方程的另一個根為.

【變式5-1］利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值

（2024?山東煙臺?中考真題）若一元二次方程2--4x-l=0的兩根為m,n,則3/-4機+/的值為.

【變式5-2］（2024?四川南充?中考真題）已知為，工?是關(guān)于x的方程f-2Ax+/一斤+1=0的兩個不相等的

實數(shù)根.

（1）求左的取值范圍.

（2）若上<5,且左，4，%都是整數(shù)，求發(fā)的值.

【變式5-3］.（2023?浙江紹興?中考真題）已知關(guān)于x的方程/+3無+4=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3,且

關(guān)于X的方程化-l）f+3x-2a=0有實數(shù)根.當左為正整數(shù)時，求不等式一<_1的解.

/+3io

【中考模擬即學即練】

L（2024?四川內(nèi)江?中考真題）已知關(guān)于》的一元二次方程V+1=0（，為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)

根為和馬.

⑴填空：匹+%2=，中2=

111

⑵求—+—，石+―；

再

（3）已知才+君=2p+l,求。的值.

2.（2024?四川眉山?二模）已知關(guān)于x的一元二次方程——3x=l-3小有實數(shù)根.

⑴求機的取值范圍；

（2）設(shè)方程兩實數(shù)根分別為為、且滿足-再迎V15,求加的取值范圍.

題型六：不等式組的整數(shù)解問題

指I點I迷I津

?？碱愋图八悸?/p>

求不等式組的整數(shù)解及整數(shù)解的和與個數(shù)：先解不等式組，再根據(jù)解集判斷求解：已知不等式組有（無）

解,求參數(shù)的取值范圍：先用含參數(shù)的式子表示不等式組中各不等式的解集,再根據(jù)不等式組有（無）解構(gòu)

造關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解：已知不等式組的整數(shù)解個數(shù),求參數(shù)的取值范圍：先用含參數(shù)的式子表示

不等式組的解集,結(jié)合特殊解的個數(shù),確定具體的特殊解,再列不等式（組）求解.

【中考母題學方法】

4x①

【典例6】（2024?山東濟南?中考真題）解不等式組：尤+2x+5^，并寫出它的所有整數(shù)解?

----<——②

123

—F2x<x+4

【變式6-1］（2024?山東淄博?中考真題）解不等式組：22并求所有整數(shù)解的和.

x-3<1+2%

3(x-1)>x-6

【變式6-2].（2023?黑龍江大慶?中考真題）若關(guān)于x的不等式組有三個整數(shù)解，則實數(shù)”的

8—2x+2a>0

取值范圍為.

【變式6-3】難點不等式組與方程結(jié)合,確定參數(shù)情況

4x-l1

----<x+l

（2024?重慶?中考真題）若關(guān)于x的不等式組3至少有2個整數(shù)解，且關(guān)于V的分式方程

2（x+l）>-x+a

a-l3

--=2---的解為非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為______.

j-ii-y

【中考模擬即學即練】