年上海市虹口區(qū)二模數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.2.本考試分設(shè)試卷和答題紙.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上的相應(yīng)位置，在試卷上作答一律不得分.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1．已知全集，若，則．2.不等式的解集是________．3．若，則．4．若某圓柱的底面半徑為，母線長為，則其側(cè)面積為________．(結(jié)果保留)5．若直線與直線平行，且經(jīng)過圓的圓心，則的方程為______．1013186238346．某公司為了解用電量（單位：千瓦時）與氣溫（單位：攝氏度）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，繪制了如右表格，由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程，則實數(shù)．7．若的三條邊的長分別為4、5、6，則的外接圓面積為______．(結(jié)果保留)8．已知是實系數(shù)一元二次方程的一個虛根，且，若在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在拋物線上，則．9.某工廠生產(chǎn)的零件長度（單位：毫米）服從正態(tài)分布，且，若對該工廠同批生產(chǎn)的個零件逐一檢查，則僅有個零件的長度大于毫米的概率為_____．10．已知9個小球的編號為1、2、…、9，從中有放回地摸取小球三次，并依次記錄其編號，若這三個編號按此順序成等差數(shù)列，則共有______種不同的摸取方法．11．1798年，人口學(xué)家馬爾薩斯假設(shè)：單位時間內(nèi)的人口增長量與人口數(shù)成正比，進(jìn)而建立馬爾薩斯人口增長模型．19世紀(jì)中葉的生物學(xué)家們發(fā)現(xiàn)由于人類生存條件的限制，存在人口最大瞬時增長率，當(dāng)達(dá)到時，人口增長率會隨著的增長而下降，因此需要改進(jìn)馬爾薩斯的假設(shè)．他們假設(shè)：①是隨著時間連續(xù)變化的函數(shù)；②存在最大人口數(shù)，人口數(shù)達(dá)到時，；③僅與和有關(guān)；④，那么在這些條件下建立的人口增長模型．（用含有、、的式子表示）12．記為有限集合中的元素個數(shù)．設(shè)，能被7整除，若對于任意實數(shù)和正整數(shù)，恒有，則實數(shù)的取值范圍是_____．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號涂黑.13．是實數(shù)，則“”是“”的（）條件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要14．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）．A．B．C．D．15．春節(jié)期間，小明和弟弟玩起了一種自定義游戲，規(guī)定先由弟弟擲一顆質(zhì)量均勻的骰子，若弟弟擲出的點數(shù)為6，則吃1顆花生；若擲出其他點數(shù)，則記下這個點數(shù)，然后由小明開始兩個人輪流擲這顆骰子，直至任意一方擲出這個記下的點數(shù)或者6，一次游戲結(jié)束．若擲出的是這個記下的點數(shù)，則弟弟吃1顆花生；若是6，則小明吃3顆花生．任意一次游戲中弟弟能吃到1顆花生的概率為()．A．B．C．D．16．在空間中，點、均為定點，且．設(shè)集合，則以下說法正確的是（）．①若在上的數(shù)量投影為，則線段在運動過程中所形成的幾何體體積為；②對于任意的以及任意的正實數(shù)，設(shè)，若，則．A．①是真命題，②是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①是假命題，②是假命題三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要步驟.17．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)如圖所示，在四棱錐中，平面，，∥，，．(1)求證：平面平面；(2)若異面直線和所成角為，求點到平面的距離．第17題圖18．(本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分)已知函數(shù)的表達(dá)式為，．(1)解不等式：；(2)若存在，使得，，成等比數(shù)列，求實數(shù)的最小值．19．(本題滿分14分，第1小題2分，第2小題6分，第3小題6分)已知某區(qū)組建了一支120人的志愿者隊伍，并由其中72人組成“志愿模范隊”．經(jīng)過一年的實踐，全隊共有72人的周平均服務(wù)時長超過2小時，其中有54人來自“志愿模范隊”，如下表所示．是“志愿模范隊”成員不是“志愿模范隊”成員總計周平均服務(wù)時長超過2小時5472周平均服務(wù)時長不超過2小時總計72120(1)已知一名志愿者是“志愿模范隊”成員，求其周平均服務(wù)時長超過2小時的概率．(2)請完成列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答：是否有99.9%的把握認(rèn)為“是‘志愿模范隊’成員”與“周平均服務(wù)時長超過2小時”有關(guān)系？(3)現(xiàn)從周平均服務(wù)時長超過2小時的人員中按照是否為“志愿模范隊”進(jìn)行分層抽樣選取8人組建“志愿突擊隊”，并從這8人中隨機選取2人做深度訪談，記隨機變量為這2人中來自于“志愿模范隊”的人數(shù)，求的分布與方差．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828附錄：，其中．20.（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）已知點和是雙曲線的左、右焦點．(1)若是雙曲線的一條漸近線，求的離心率；(2)當(dāng)時，若雙曲線上存在一點滿足，求的面積；(3)若在雙曲線上分別存在兩點和，點在第一象限、點在第二象限，使得四邊形的面積為，且存在實數(shù)使，求實數(shù)的取值范圍．21.(本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分)對于定義在上的函數(shù)和，，設(shè)．(1)若，，求；(2)若，，，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知對任意，均有，記，求證：“對任意，函數(shù)零點個數(shù)均有限”的充要條件是“是嚴(yán)格增函數(shù)”．2025年上海市虹口區(qū)二模數(shù)學(xué)試卷參考答案1.2.3．4．5．6．7．8．9.10．11．12．13．C14．D15．D16．A17．解：(1)，所以，故．…………2分由平面，在平面上，所以．…4分由于與是平面上的兩條相交直線，所以平面．由于在平面上，所以平面平面．…………6分(2)以點為原點，分別以、、為、、軸的正方向建立直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，………………8分所以．解得．…………10分，，設(shè)為平面的一個法向量，則即取，可得．………………12分故點到平面的距離．…………14分18．解：(1)，即．…………2分故…………………4分解得．………………………6分(2)由于，，成等比數(shù)列，故，即對有解．……………8分令，所以．…………………10分所以對有解．………………12分由于，等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立．所以，故的最小值為．…………14分19．解：(1)事件表示志愿者是“志愿模范隊”成員，事件表示其周平均服務(wù)時長超過2小時.則．…………2分(2)可得如下列聯(lián)表:是“志愿模范隊”成員不是“志愿模范隊”成員總計周平均服務(wù)時長超過2小時541872周平均服務(wù)時長不超過2小時183048總計7248120提出原假設(shè):是否“是‘志愿模范隊’成員”與“周平均服務(wù)時長超過2小時”無關(guān),確定顯著性水平．………………4分可得．………………6分由于，拒絕原假設(shè)，即有99.9%的把握認(rèn)為“是‘志愿模范隊’成員”與“周平均服務(wù)時長超過2小時”有關(guān)．……………8分(3)根據(jù)列聯(lián)表可得“志愿模范隊”成員中“周平均服務(wù)時長超過2小時”占全部的．選取的8人中“周平均服務(wù)時長超過2小時”為6人，“周平均服務(wù)時長不超過2小時”為2人，．，，．的分布為．…………10分．……………12分又由于．所以．…14分20.解：(1)雙曲線的漸近線為，由于是雙曲線的一條漸近線，故．…………2分所以，故．…………………4分(2)由于點滿足，所以點落在橢圓上．…6分設(shè)，則解得．……………8分由于，所以的面積．……10分(3)由于存在實數(shù)使，故∥．延長交雙曲線于點，由雙曲線的對稱性，可得與關(guān)于原點對稱，故四邊形的面積與三角形的面積相等．………………12分設(shè)的直線方程為，其中，設(shè)，．化簡得，故，．由于在第一象限，在第四象限，故，解得．…………14分所以三角形的面積．…………16分由，故對有解．化簡得對有解．設(shè)，則對有解．設(shè)，可得恒成立，故，即，由，解得．…………18分21.解：(1)記，…………2分函數(shù)上的值域為，即．…………4分(2)設(shè)在上的最小值..當(dāng)時，，嚴(yán)格增；當(dāng)時，，嚴(yán)格減；當(dāng)時，，嚴(yán)格增.當(dāng)時取得極小值．………………6分當(dāng)時，舍去．……8分當(dāng)時，，．…10分綜上，．(3)（充分性）若是嚴(yán)格增函數(shù)，則的最小值為，而，故對任意，都有，即與是相同函數(shù)．………………12分故是嚴(yán)格增函數(shù)，所以嚴(yán)格增函數(shù)，故對任意，的零點個數(shù)有限．（必要性）對任意，都有，故的值域為，即在上的最小值為．先證是嚴(yán)格增函數(shù)．對任意，函數(shù)和的