第二章方程（組）與不等式（組）第08講：一元一次不等式（組）的解法及其應(yīng)用（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì)考點(diǎn)二一元一次不等式考點(diǎn)三一元一次不等式組考點(diǎn)四不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一不等式及其性質(zhì)題型01不等式的概念及意義題型02不等式的性質(zhì)命題點(diǎn)二一元一次不等式題型01求一元一次不等式解集題型02一元一次不等式整數(shù)解問(wèn)題題型03利用數(shù)軸表示一元一次不等式解題型04含絕對(duì)值的一元一次不等式命題點(diǎn)三一元一次不等式的應(yīng)用題型01列一元一次不等式題型02用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題題型03用一元一次不等式解決幾何問(wèn)題命題點(diǎn)四一元一次不等式組題型01解不等式組題型02求不等式組整數(shù)解題型03由一元一次不等式組的解集求參數(shù)題型04由不等式組的解集求參數(shù)命題點(diǎn)五不等式組的實(shí)際應(yīng)用題型01利用一元一次不等式組題型02不等式組的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題題型03不等式組的方案問(wèn)題05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升0考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測(cè)不等式及不等式的基本性質(zhì)結(jié)合具體問(wèn)題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)10年8考中考數(shù)學(xué)中，一元一次不等式(組)的解法及應(yīng)用題時(shí)有考察.其中不等式性質(zhì)、解一元一次不等式(組)，通常是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.而不等式（組）相關(guān)的應(yīng)用題常會(huì)和其它考點(diǎn)(如二元一次方程組、二次函數(shù)等)結(jié)合考察，常以解答題形式出現(xiàn)，此時(shí)難度上升，需要小心應(yīng)對(duì).對(duì)于一元一次不等式（組）中含參數(shù)問(wèn)題，難度偏大，但是考察幾率并不大，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)在復(fù)習(xí)過(guò)程中扎實(shí)掌握．一元一次不等式能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集近10年連續(xù)考查一元一次不等式組會(huì)用數(shù)軸確定兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集.10年7考不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.10年8考考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì)一、不等式的相關(guān)概念不等式的定義：用不等號(hào)“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集.不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.解不等式的概念：求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式.二、不等式的性質(zhì)基本性質(zhì)1若a>b，則a±c>b±c若a<b，則a±c<b±c基本性質(zhì)2若a>b,c>0，則ac>bc（或）基本性質(zhì)3若a>b,c<0，則ac<bc（或）11.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系.2.常見的不等號(hào)有：≠，>，≥，<，≤五種.3.用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號(hào)畫實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)畫空心圓點(diǎn).4.不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：1）不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值.2）不等式的解集是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值.3）不等式的所有解組成了這個(gè)不等式的解集，不等式的解集中包括這個(gè)不等式的每一個(gè)解.5.在列不等式時(shí)，要注意抓住問(wèn)題中的一些關(guān)鍵詞語(yǔ)，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.同時(shí)要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號(hào)．另外，對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際．6.運(yùn)用不等式的性質(zhì)的注意事項(xiàng)：1）不等式兩邊都要參與運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算．2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子．3）等式兩邊不能同時(shí)除以0，即0不能作除數(shù)或分母．4）運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式變形時(shí),要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別,在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí),必須先弄清楚這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),如果是負(fù)數(shù),不等號(hào)要改變方向.考點(diǎn)二一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式：或.步驟具體做法依據(jù)注意事項(xiàng)去分母在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)不等式性質(zhì)2、31）不要漏乘不含分母的項(xiàng)；2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項(xiàng)式，去分母后要加括號(hào).去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)分配律去括號(hào)法則1)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前的數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng);2)括號(hào)前面是負(fù)數(shù)時(shí),去掉括號(hào)后,括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)；3）括號(hào)前面是正數(shù)時(shí),去掉括號(hào)后,括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都不變號(hào).移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式左邊，其它項(xiàng)都移到不等式右邊不等式性質(zhì)11）移項(xiàng)時(shí)不要漏項(xiàng);2）將不等式中的項(xiàng)從一邊移到另一邊要變號(hào).而在不等式同一邊改變項(xiàng)的位置時(shí)不變號(hào).合并同類項(xiàng)把不等式變?yōu)榛虻男问胶喜⑼愴?xiàng)法則1）不要漏項(xiàng)；2）系數(shù)的符號(hào)處理要得當(dāng).系數(shù)化為1將不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到不等式的解不等式性質(zhì)2、31)不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù);2)當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向發(fā)生改變.1.一元1.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1.2.進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時(shí)，要根據(jù)不等號(hào)兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否改變不等號(hào)的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論．3.在解一元一次不等式時(shí),上述的五個(gè)步驟不一定都能用到,并且也不一定按照自上而下的順序,要根據(jù)不等式的形式靈活安排求解步驟.考點(diǎn)三一元一次不等式組一元一次不等式組的概念：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．不等式組解集的確定有兩種方法：1）數(shù)軸法：在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個(gè)公共部分就是不等式組的解集.2）口訣法：大大取大，小小取小，大小、小大中間找，大大、小小取不了．解一元一次不等式組的一般步驟：求出不等式組中各不等式的解集.將各不等式的解決在數(shù)軸上表示出來(lái).在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個(gè)公共部分就是不等式組的解集.1.在求不等式組的解集的過(guò)程中，通常是利用數(shù)軸來(lái)表示不等式組的解集的.1.在求不等式組的解集的過(guò)程中，通常是利用數(shù)軸來(lái)表示不等式組的解集的.2.利用數(shù)軸表示不等式組解集時(shí)，要把幾個(gè)不等式的解集都表示出來(lái)，不能僅畫公共部分.考點(diǎn)四不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用一元一次不等式（組）的應(yīng)用題的關(guān)鍵語(yǔ)句：1）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系，因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．2）對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際.有些不等關(guān)系隱含于生活常識(shí)中,如小王用50元去買單價(jià)為6元的筆記本.設(shè)買x本，求x的取值范圍時(shí),其問(wèn)題中就隱含著所花錢數(shù)不能超過(guò)50元.由此可得出不等式6x≤50.用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：審：理解并找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問(wèn)題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;答：實(shí)際問(wèn)題的答案.命題點(diǎn)一不等式及其性質(zhì)?題型01不等式的概念及意義1、以下表達(dá)式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【提示】根據(jù)不等式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：、、是不等式，和不是不等式，即不等式有3個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的定義，熟知用不等號(hào)連接的式子是不等式是解本題的關(guān)鍵．2、（2020·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下面列出的不等式中，正確的是（

）A．“不是負(fù)數(shù)”表示為 B．“不大于5”表示為C．“與4的差是正數(shù)”表示為 D．“不等于4”表示為【答案】C【提示】根據(jù)題意列出不等式即可判斷．【詳解】A、∵m不是負(fù)數(shù)，∴m≥0，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵m不大于5，∴m≤5，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵n與4的差是正數(shù)，∴n?4＞0，C選項(xiàng)正確；D、∵n不等于4，∴n＜4或n＞4，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由題目信息抽象出一元一次不等式，逐一提示四個(gè)選項(xiàng)的正誤是解題的關(guān)鍵．3、（2023南寧市模擬）a是非負(fù)數(shù)的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】D【提示】非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和零，即大于等于零的數(shù)是非負(fù)數(shù)判斷即可．【詳解】∵a是非負(fù)數(shù)，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略零而導(dǎo)致錯(cuò)誤．4、（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在四個(gè)數(shù)中，滿足不等式的有（

）A．－2 B．－3 C． D．1【答案】B【提示】根據(jù)各數(shù)的大小即可做出判斷．【詳解】在四個(gè)數(shù)中，，故滿足不等式的有，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的定義是解題的關(guān)鍵．?題型02不等式的性質(zhì)4、（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如果，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：因?yàn)?，所以（不等式的兩邊同時(shí)乘同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．5、（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列不等式變形不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【提示】①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行提示即可．【詳解】解：A、，不等式的性質(zhì)，，故A正確，不符合題意；B、，不等式的性質(zhì)，，故B錯(cuò)誤，符合題意；C、，不等式的性質(zhì)，，故C正確，不符合題意；D、，不等式的性質(zhì)，，故D正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是要注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．6、（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知是實(shí)數(shù)，且，下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)提示判斷即可求解．【詳解】解：A.若，，則，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

B.若，，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.若，則不一定成立，例如，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.同C選項(xiàng)，可得，若，則不一定成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．7、（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學(xué)校考三模）設(shè)，，為實(shí)數(shù)，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【提示】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算辨別即可．【詳解】解：若，不一定成立，即不一定成立，故選項(xiàng)A不符合題意；若，時(shí)，，故選項(xiàng)B不符合題意；若，時(shí)，則，故選項(xiàng)C不符合題意；若，則，故，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的變化正確選擇對(duì)應(yīng)的性質(zhì)．8、（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【提示】依據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，有理數(shù)大小的比較法則對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得：a＜0＜b，且＜，∴，∴A選項(xiàng)的結(jié)論不成立；，∴B選項(xiàng)的結(jié)論不成立；，∴C選項(xiàng)的結(jié)論不成立；，∴D選項(xiàng)的結(jié)論成立．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，有理數(shù)大小的比較法則，利用點(diǎn)在數(shù)軸上的位置確定出a，b的取值范圍是解題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)二一元一次不等式?題型01求一元一次不等式解集9．（2024·安徽·三模）解不等式：【答案】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解一元一次不等式，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式的相關(guān)運(yùn)算．根據(jù)解一元一次不等式的相關(guān)運(yùn)算方法即可求解．【詳解】解：，，．10．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）．【答案】【分析】此題考查了解一元一次不等式，按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1的步驟解不等式即可．【詳解】解：去分母，得：，

去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：．11．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）解下列不等式：，并求出滿足不等式的非負(fù)整數(shù)解．【答案】，．【分析】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)解一元一次不等式的方法求解即可，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的求解方法．【詳解】解：，∴不等式的非負(fù)整數(shù)解為．12．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）解不等式，并將該不等式的解集在如圖所示的數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】本題考查了解一元一次不等式和在數(shù)軸上表示不等式的解集，注意在數(shù)軸上表示解集時(shí)，大于等于或小于等于用實(shí)心點(diǎn)，大于或小于用空心點(diǎn)．首先解不等式，求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式的解集即可．【詳解】解：去分母，得：，解得，把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖所示：．?題型02一元一次不等式整數(shù)解問(wèn)題13．（2024·四川自貢·模擬預(yù)測(cè)）不等式的自然數(shù)解有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，先解出一元一次不等式，然后根據(jù)自然數(shù)的定義得出自然數(shù)解即可得出結(jié)果．【詳解】解：，去分母得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)：，所以，∴不等式的自然數(shù)解有0，1，2共3個(gè)，故選：C．14．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知不等式的正整數(shù)解有2個(gè)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，按照解一元一次不等式的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，，∵不等式的正整數(shù)解有2個(gè)，∴，∴，故選：D．15．（2024·浙江溫州·一模）已知關(guān)于x的不等式的負(fù)整數(shù)解只有,則m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得不等式的解集，再利用數(shù)軸求解即可．本題考查了不等式的解集，根據(jù)解集求參數(shù)，熟練掌握不等式解集是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∵不等式的負(fù)整數(shù)解只有,∴符合題意的m取值范圍如圖所示，∴，故選B．16．（2023·福建漳州·一模）關(guān)于x的不等式恰有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解不等式，然后根據(jù)條件即可確定b的值．【詳解】解：∵，，∵不等式恰有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的整數(shù)解問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸分析，其次解題時(shí)必須理解題意，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．?題型03利用數(shù)軸表示一元一次不等式解17（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．依次移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可得出答案，也考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．【詳解】解∶∵，∴，∴，在數(shù)軸上表示為∶，故選∶A．18．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍可在數(shù)軸表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)和在數(shù)軸上表示不等式的解集．得出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出且，求解即可；【詳解】解：∵實(shí)數(shù)，滿足，，∴且，∴，，∴，在數(shù)軸表示為，故選：A．19．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則這個(gè)不等式組的解集是（

）

A． B．C．或 D．【答案】D【分析】本題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題目中的數(shù)軸，可以寫出該不等式組的解集．【詳解】解：由圖可得，該不等式組的解集為，故選：D．20．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的第三象限內(nèi)，則x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示解集，根據(jù)點(diǎn)P在第三象限可得，再解不等式組，并在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的第三象限內(nèi)，∴，解①得：；解②得：，∴x的取值范圍在數(shù)軸上可表示如圖：故選：C．?題型04含絕對(duì)值的一元一次不等式21．（2020·四川自貢·中考真題）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)?，所以的幾何意義就是數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．

⑴.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：代數(shù)式的最小值是多少？⑵.探究問(wèn)題：如圖，點(diǎn)分別表示的是，．∵的幾何意義是線段與的長(zhǎng)度之和∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)的右側(cè)時(shí)∴的最小值是3．⑶.解決問(wèn)題：①.的最小值是；②.利用上述思想方法解不等式：③.當(dāng)為何值時(shí)，代數(shù)式的最小值是2．【答案】①6；②或；③或【分析】(3)①根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，變成數(shù)軸上的點(diǎn)到-2的距離和到4的距離之和的最小值；②根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，確定出所求不等式的解集即可；③根據(jù)原式的最小值為2，得到3左邊和右邊，且到3距離為2的點(diǎn)即可．【詳解】解：(3)①設(shè)A表示的數(shù)為4，B表示的數(shù)為-2，P表示的數(shù)為x，∴表示數(shù)軸上的點(diǎn)P到4的距離，用線段PA表示，表示數(shù)軸上的點(diǎn)P到-2的距離，用線段PB表示，∴的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時(shí)取得最小值為AB，且線段AB的長(zhǎng)度為6，∴的最小值為6.故答案為：6.②設(shè)A表示-3，B表示1，P表示x，∴線段AB的長(zhǎng)度為4，則，的幾何意義表示為PA+PB，∴不等式的幾何意義是PA+PB＞AB，∴P不能在線段AB上，應(yīng)該在A的左側(cè)或者B的右側(cè)，即不等式的解集為或．故答案為：或．③設(shè)A表示-a，B表示3，P表示x，則線段AB的長(zhǎng)度為，的幾何意義表示為PA+PB，當(dāng)P在線段AB上時(shí)PA+PB取得最小值，∴∴或，即或；故答案為：或.【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式，數(shù)軸，絕對(duì)值，以及數(shù)學(xué)常識(shí)，掌握絕對(duì)值的幾何意義，學(xué)會(huì)分類討論是解決本題的關(guān)鍵．22．（23-24安徽滁州）數(shù)學(xué)探究小組在學(xué)習(xí)了不等式知識(shí)后開展對(duì)絕對(duì)值不等式的解集的探究，首先對(duì)和進(jìn)行探究：根據(jù)絕對(duì)值的意義，將不等式的解集表示在數(shù)軸上（如圖1），可得的解集是：；將不等式的解集表示在數(shù)軸上（如圖2），可得的解集是：或．

根據(jù)以上探究，解答下列問(wèn)題：(1)填空：不等式（）的解集為______，不等式（）的解集為______；(2)解不等式；(3)求不等式的解集．【答案】(1)，或(2)或(3)【分析】此題是一個(gè)閱讀題目，首先通過(guò)閱讀把握題目中解題規(guī)律和方法，然后利用這些方法解決所給出的題目，所以解題關(guān)鍵是正確理解閱讀材料的解題方法，才能比較好的解決問(wèn)題．此題是一個(gè)絕對(duì)值的問(wèn)題，有點(diǎn)難以理解，要反復(fù)閱讀，充分理解題意．（1）由于的解集是，的解集是或，根據(jù)它們即可確定和的解集；（2）把當(dāng)做一個(gè)整體，首先利用（1）的結(jié)論可以求出的取值范圍，然后就可以求出的取值范圍；（3）先在數(shù)軸上找出的解，即可得出不等式的解集．【詳解】（1）根據(jù)題干規(guī)律可得，不等式（）的解集為；不等式（）的解集為或；（2）由（1）得：由于，所以或，所以或，所以的解集為或；（3）由絕對(duì)值的意義得方程的解就是求在數(shù)軸上到1和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和等于5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值，因?yàn)閿?shù)軸上1和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離為3，所以滿足方程的x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊或的左邊．若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊，可得；若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在的左邊，可得；所以方程的解為或，所以不等式的解集為．23．（22-23福建廈門）閱讀理解：例1．解方程，因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，所以方程的解為．例2．解不等式，在數(shù)軸上找出的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或3，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：(1)方程的解為________(2)解不等式：．(3)解不等式：．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）利用在數(shù)軸上到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為5或，求解即可；（2）先求出的解，再求的解集即可；（3）先在數(shù)軸上找出的解，即可得出不等式的解集．【詳解】（1）解：∵在數(shù)軸上到2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或5，∴方程的解為：或，故答案為：或．（2）解：在數(shù)軸上找出的解，如圖：

∵在數(shù)軸上到2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為1或3，∴方程的解為或，∴不等式的解集為．（3）解：在數(shù)軸上找出的解，由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到4和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的的值，∵在數(shù)軸上4和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為6，∴滿足方程的x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在4的右邊或的左邊，若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在4的右邊，可得；若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在的左邊，可得，∴方程的解是或，∴不等式的解集為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值，不等式，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是理解表示在數(shù)軸上數(shù)與數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．24．（22-23上海）閱讀理解：表示5與之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．例1.解方程，因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，所以方程的解為；例2.解不等式，在數(shù)軸上找出的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或3，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：(1)的解為____________；(2)找出所有符合條件的整數(shù)，使得，這樣的整數(shù)是____________；(3)不等式的解集為____________．【答案】(1)或(2)，，，0，1，2(3)或【分析】（1）根據(jù)材料定義，理解為數(shù)軸上到3的距離為2的點(diǎn)即為表示的數(shù)，從而求解；（2）根據(jù)材料定義，理解為數(shù)軸上到2的距離與到的距離之和為5點(diǎn)即為表示的數(shù)，由此結(jié)合數(shù)軸求解即可；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求出數(shù)軸上到2的距離與到的距離之和大于7的的范圍即可．【詳解】（1）解：，或，∴或，故答案為：或；（2）解：要使得，即：數(shù)軸上到2的距離與到的距離之和為5，∵數(shù)軸上和2之間的距離恰好為5，∴，∵為整數(shù)，∴，，，0，1，2，故答案為：，，，0，1，2；（3）解：要使得，即：數(shù)軸上到2的距離與到的距離之和大于7，首先在數(shù)軸上找出的解（如圖），

由（2）可知數(shù)軸上和2之間的距離恰好為5，∴要使得到2的距離與到的距離之和等于7，則或，∴的解集為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的幾何意義，以及利用絕對(duì)值的幾何意義解方程和不等式，熟練利用絕對(duì)值的幾何意義和數(shù)軸分析是解題關(guān)鍵．命題點(diǎn)三一元一次不等式的應(yīng)用?題型01列一元一次不等式25．（2024·廣東陽(yáng)江·二模）與6的和不大于0，用不等式表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式．根據(jù)“與6的和不大于0”，即可列出關(guān)于的一元一次不等式，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：D．26．（2022·廣東河源·二模）如圖，x和5分別是天平上兩邊的砝碼的質(zhì)量，則x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】托盤天平是支點(diǎn)在中間的等臂杠桿，天平平衡時(shí)砝碼的質(zhì)量等于被測(cè)物體的質(zhì)量，根據(jù)圖示知被測(cè)物體的質(zhì)量x小于砝碼的質(zhì)量，再在數(shù)軸上表示不等式即可．【詳解】解：根據(jù)圖示知被測(cè)物體的質(zhì)量x小于砝碼的質(zhì)量，即x＜5；所以在數(shù)軸上表示如下：故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的相關(guān)知識(shí)，在數(shù)軸上表示不等式的解集，利用“天平”的不平衡來(lái)得出不等關(guān)系，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．27．（2020·廣東廣州·二模）小麗計(jì)劃節(jié)省部分零花錢購(gòu)買一臺(tái)學(xué)生平板電腦，她已存有元，并計(jì)劃從本月起每月存錢元，直到她至少存有元，設(shè)個(gè)月后小麗至少有元，則可列出不等式為（）A．B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)小麗每月存30元且存?zhèn)€月可知這段時(shí)間小麗共存元，由此根據(jù)題意進(jìn)一步表示出個(gè)月后小麗所具有的零花錢，最后結(jié)合題意即可得出不等式.【詳解】∵小麗每月存30元，且存?zhèn)€月，∴這段時(shí)間小麗共存元，∵小麗至少要存有元，∴可列不等式為：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.28．（2022·吉林·中考真題）與2的差不大于0，用不等式表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)差運(yùn)算、不大于的定義列出不等式即可．【詳解】解：由題意，用不等式表示為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次不等式，熟練掌握“不大于是指小于或等于”是解題關(guān)鍵．?題型02用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題29．（2023·廣東佛山·一模）某環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽一共有20道題，規(guī)定：答對(duì)一道題得5分，答錯(cuò)或不答一道題扣1分．在這次競(jìng)賽中，小明被評(píng)為優(yōu)秀（85分或85分以上），則小明至少答對(duì)了______道題．（

）A．17 B．18 C．19 D．16【答案】B【分析】設(shè)小明答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)和不答的一共有道題，再根據(jù)答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)或不答一道題扣1分列出不等式求解即可．【詳解】解：設(shè)小明答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)和不答的一共有道題，由題意得，，解得，∵x為正整數(shù)，∴的最小值為18，∴小明至少答對(duì)了18道題，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．30．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）某服裝的進(jìn)價(jià)為元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為元，由于換季，商場(chǎng)準(zhǔn)備打折銷售，但要保證利潤(rùn)率不低于，那么該服裝至多打（）折A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．設(shè)該服裝打折銷售，利用利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià)，結(jié)合要保證利潤(rùn)率不低于，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)該服裝打折銷售，根據(jù)題意得：，解得：，的最小值為，即該服裝至多打折．故選：C．31．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）某高速公路工地需要實(shí)施爆破，操作人員點(diǎn)燃導(dǎo)火線后，要在炸藥爆炸前跑到400米以外的安全區(qū)域．已知導(dǎo)火線的燃燒速度是厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒．設(shè)導(dǎo)火線的長(zhǎng)度為厘米，問(wèn)導(dǎo)火線必須滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式.根據(jù)題意可知：操作人員點(diǎn)燃導(dǎo)火線后，要在炸藥爆炸前跑到400米以外的安全區(qū)域，列出不等式即可．【詳解】解：設(shè)導(dǎo)火線的長(zhǎng)度為厘米，根據(jù)題意得，，故選：B．32．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）丹東九九草莓是一種品質(zhì)優(yōu)良、花朵大、果實(shí)顏色鮮艷且糖度高的草莓品種，廣泛栽培于遼寧省的丹東市和周邊地區(qū)．因其好看、好吃等特點(diǎn)，在市場(chǎng)上備受歡迎．某大型超市從生產(chǎn)基地花費(fèi)4000元購(gòu)進(jìn)丹東九九草莓，運(yùn)輸過(guò)程中質(zhì)量損失，超市計(jì)劃銷售這批草莓至少獲得的利潤(rùn)（不計(jì)其他費(fèi)用），售價(jià)至少定為多少？設(shè)售價(jià)定為x元/kg，根據(jù)題意，可列不等式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出不等關(guān)系，列出不等式即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，這批草莓可賣元．根據(jù)“這批草莓至少獲得20%的利潤(rùn)”，得．故選：B．?題型03用一元一次不等式解決幾何問(wèn)題33．（2024·河北石家莊·一模）已知數(shù)軸上有，兩點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為．(1)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求點(diǎn)表示的數(shù)；(3)若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，求的正整數(shù)值．【答案】(1)；(2)點(diǎn)表示的數(shù)為；(3)的正整數(shù)值為，，．【分析】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程，一元一次不等式，掌握數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)的大小與位置關(guān)系，一元一次方程解法，一元一次不等式解法是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)，得到點(diǎn)表示的數(shù)和點(diǎn)表示的數(shù)，在利用兩點(diǎn)間距離公式，即可解題；（2）根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，表示的數(shù)為相反數(shù)，列式即可解得．（3）根據(jù)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，根據(jù)左側(cè)的數(shù)小于右側(cè)的數(shù)，列出不等式求解，即可解題．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，；（2）解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，解得，，點(diǎn)表示的數(shù)為；（3）解：若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，解得，的正整數(shù)值為，，．34．（2023·河南新鄉(xiāng)·三模）已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．(1)請(qǐng)求出拋物線對(duì)稱軸和點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)、，且拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)求出的取值范圍．【答案】(1)對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，(2)或【分析】（1）根據(jù)求拋物線的對(duì)稱軸，令，解方程即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）先計(jì)算出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，，分和兩種情況，根據(jù)拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系，進(jìn)而列不等式即可求解．【詳解】（1）解：對(duì)稱軸為直線，，當(dāng)時(shí)，或，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)點(diǎn)，．（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由（1）知，拋物線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，，分和兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，當(dāng)拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)下方或者點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，解得，∴；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，當(dāng)拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)下方，∴，解得，∴；綜上所述，a的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的對(duì)稱軸，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，以及根據(jù)圖形求所含參數(shù)的取值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．35．（2022·河北邯鄲·三模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)分別是，，．(1)________（用含m的代數(shù)式表示）；(2)若點(diǎn)B為線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(3)設(shè)，求當(dāng)與的差不小于時(shí)整數(shù)x的最小值．【答案】(1)(2)(3)整數(shù)x的最小值為25【分析】（1）直接利用兩點(diǎn)之間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）點(diǎn)B為線段的中點(diǎn)，可得，再建立方程求解即可；（3）由，，，再利用當(dāng)與的差不小于，建立不等式求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是，，∴；（2）∵點(diǎn)B為線段的中點(diǎn)，∴，∵，，即，解得．∴B點(diǎn)表示的數(shù)為，∴．（3）∵，，，由題意得，解得，∴，∴整數(shù)x的最小值為25．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，列方程、不等式解決問(wèn)題，考查學(xué)生的幾何直觀和運(yùn)算能力．36．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B均在數(shù)軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)字是，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)字是m．(1)若，求m的值；(2)將線段三等分，這兩個(gè)等分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)數(shù)字從左到右依次是，，若，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)和點(diǎn)A表示的數(shù)即可求出m的值；（2）首先根據(jù)題意表示出，然后根據(jù)三等分點(diǎn)的特點(diǎn)表示出，最后利用求不等式即可．【詳解】（1）∵，∴，即m的值為；（2）∵，∴，∴，∵，∴，解得．【點(diǎn)睛】此題綜合考查了數(shù)軸的有關(guān)內(nèi)容及一元一次不等式組的解法，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)命題點(diǎn)四一元一次不等式組?題型01解不等式組37．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）解不等式組：．【答案】【分析】本題考查解不等式組，先求出每一個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分即為不等式組的解集．【詳解】解：由①，得：；由②，得：；∴不等式組的解集為：．38．（2024·廣東中山·三模）解不等式組．【答案】【分析】本題考查求不等式組的解集，求出每一個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分即為不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得解不等式，得不等式組的解集為39．（2024·廣東惠州·三模）解不等式組，并在數(shù)軸上表示它們的解集．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示解集．熟練掌握解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示解集是解題的關(guān)鍵．先分別計(jì)算兩個(gè)不等式的解集，進(jìn)而可得不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示解集即可．【詳解】解：，解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為．在數(shù)軸上表示它們的解集如下：40．（2024·廣東揭陽(yáng)·一模）解不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．【答案】，圖見解析【分析】本題考查了解一元一次方程組、運(yùn)用數(shù)軸表示不等式組的解集，先把每個(gè)不等式的解集解出來(lái)，再運(yùn)用數(shù)軸表示不等式組的解集，即可作答．【詳解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式組的解集為，其解集在數(shù)軸上表示如下：?題型02求不等式組整數(shù)解41．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）下列數(shù)值不是不等式組的整數(shù)解的是（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】本題考查了不等式組的解法及整數(shù)解的確定．先求出每個(gè)不等式的解集，再確定其公共解，得到不等式組的解集，最后求其整數(shù)解即可．【詳解】解：解不等式得，解不等式得，∴不等式組的解為：，∴整數(shù)解為：，不符合的整數(shù)為，故選A．42．（2023·廣東潮州·二模）如果關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)對(duì)共有（）A．42對(duì) B．36對(duì) C．30對(duì) D．11對(duì)【答案】C【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，先求出不等式組的解集，根據(jù)已知得出關(guān)于、的不等式組，求出整數(shù)解即可，解此題的關(guān)鍵是求出、的值．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集是，∵關(guān)關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，∴，，∵m、n為整數(shù)，∴、2、3、4、5、6，、17、18、19、20，，所以適合這個(gè)不等式組的整數(shù)對(duì)共有30對(duì)，故選：C．43．（2023·廣東東莞·二模）不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先解每個(gè)不等式，兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集，根據(jù)不等式組的解集確定整數(shù)解及其個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：，解①得，解②得．則不等式組的解集是：．則整數(shù)解是2、3、4，共有3個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．44．（2022·廣東惠州·一模）不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）．A．0個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】求出不等式組的解集，根據(jù)解集即可確定不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)．【詳解】解第一個(gè)不等式得：；解第二個(gè)不等式得：；∴不等式組的解集為：，所以不等式組的整數(shù)解為：?1，0，1，2，共4個(gè)整數(shù)解．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了求不等式組的整數(shù)解，求出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．?題型03由一元一次不等式組的解集求參數(shù)45．（2024·四川雅安·三模）若關(guān)于的不等式組的解集為，則的值為（

）A． B． C．3 D．1【答案】A【分析】本題考查了根據(jù)一元一次不等式組的解集確定參數(shù)，解一元一次不等式組；先求出不等式組的解集，再根據(jù)已知不等式組的解集與所求不等式組解集比較即可求得m與n的值，從而求出的值．【詳解】解：解不等式得：；解不等式得：；則不等式組的解集為：；由于不等式組的解集為，所以，則，所以；故選：A．46．（2024·廣東深圳·一模）已知不等式組的解集是，則的值為（

）A． B．1 C．0 D．2024【答案】B【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．分別求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集求出的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，解集是，，解得，則原式，故選B．47．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如果關(guān)于x的不等式組的解集是，那么m的值為（）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】先根據(jù)不等式組的解集為得出關(guān)于m的方程，再求出m的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式組的解集是，且，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．48．（2022·廣東·二模）已知不等式組，的解集為，則的值為（

）A． B．2022 C．1 D．【答案】C【分析】解不等式得出x≥-a，x≤-b，由不等式組的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a、b的值，代入計(jì)算可得．【詳解】解：由x+a≥0，得：x≥-a，由x+b≤0，得：x≤-b，∵解集是2≤x≤3，∴-b=3，-a=2，解得：a=-2，b=-3，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，能求出不等式（或組）的解集是解此題的關(guān)鍵．?題型04由不等式組的解集求參數(shù)49．（2024·廣東·二模）若一元一次不等式組的解集為，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了不等式組的解集，解題關(guān)鍵是根據(jù)不等式組解集的確定方法，列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：一元一次不等式組的解集為，所以，，解得，，故選：D50．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于x的不等式組的解集是，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次不等式組的解集．熟練掌握一元一次不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式組的解集結(jié)合題意求解即可．【詳解】解：，解得，，∵且不等式組的解集為，∴，故選：C．51．（2024·廣東湛江·一模）已知不等式組的解集為，則（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】本題考查不等式和有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)不等式求出，的值，再根據(jù)有理數(shù)的乘方進(jìn)行運(yùn)算，即可．【詳解】解不等式組，解得：，∵不等式的解集為：，∴，，解得：，∴．故選：A．52．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式組有解，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，即可確定的取值范圍．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，關(guān)于的不等式組有解，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)五不等式組的實(shí)際應(yīng)用?題型01利用一元一次不等式組53．（23-24八年級(jí)下·廣東深圳·期中）某雙向六車道高速公路，分車道與分車型組合限速，其標(biāo)牌版面如圖所示，每個(gè)標(biāo)牌上左側(cè)數(shù)字代表該車道車型的最高通行車速（單位：），右側(cè)數(shù)字代表該車道車型的最低通行車速（單位：）.王師傅駕駛一輛貨車在該高速公路上依規(guī)行駛，車速為，則車速v的范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了不等式的定義．由王師傅駕駛的車輛是貨車，可得出王師傅應(yīng)走右側(cè)兩車道，結(jié)合右側(cè)車道標(biāo)牌上速度，即可得出車速的范圍．【詳解】解：王師傅駕駛的車輛是貨車，王師傅應(yīng)走右側(cè)兩車道，車速的范圍是．故選：B．54．（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于．據(jù)此情境，可列不等式組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了列不等式組，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于，列出不等式組即可．【詳解】解：∵脂肪的含量f應(yīng)不少于，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于，∴，故選：A．55．（2023九年級(jí)·全國(guó)）將一箱蘋果分給若干個(gè)小朋友，若每位小朋友分5個(gè)蘋果，則還剩12個(gè)蘋果；若每位小朋友分8個(gè)蘋果，則有1個(gè)小朋友所分蘋果不到8個(gè)．若小朋友的人數(shù)為x，則列式正確的是（

）A．0≤5x＋12－8（x－1）＜8 B．0＜5x＋12－8（x－1）≤8C．1≤5x＋12－8（x－1）＜8 D．1＜5x＋12－8（x－1）≤8【答案】C【解析】略56．（21-22九年級(jí)下·河北石家莊）檢測(cè)游泳池的水質(zhì)，要求三次檢驗(yàn)的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前兩次檢驗(yàn)，pH的讀數(shù)分別是7.4，7.9，那么第三次檢驗(yàn)的pH應(yīng)該為多少才能合格？設(shè)第3次的pH為x，由題意可得（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義，并結(jié)合三次檢驗(yàn)的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得，從而得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意知，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平均數(shù)的定義．?題型02不等式組的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題57．（24-25九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）某地脫貧攻堅(jiān)，大力發(fā)展有機(jī)農(nóng)業(yè)，種植了甲、乙兩種蔬菜．某超市花430元可購(gòu)進(jìn)甲種蔬菜15千克和乙種蔬菜20千克；花212元可購(gòu)進(jìn)甲種蔬菜10千克和乙種蔬菜8千克．(1)求該超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種蔬菜的單價(jià)分別為多少元？(2)若該超市每天購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共計(jì)100千克（甲、乙兩種蔬菜重量均為整數(shù)），且花費(fèi)資金不少于1160元又不多于1200元，問(wèn)該超市有多少種購(gòu)進(jìn)方案？【答案】(1)甲種蔬菜的單價(jià)為10元，乙種蔬菜的單價(jià)為14元(2)共有11種方案【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系．（1）設(shè)甲單價(jià)x元，乙單價(jià)y元，根據(jù)題意列出方程組計(jì)算即可；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲m千克，則購(gòu)進(jìn)乙千克，根據(jù)題意列出不等式組，求解即可．【詳解】（1）設(shè)甲單價(jià)x元，乙單價(jià)y元，根據(jù)題意，得，解得，∴甲種蔬菜的單價(jià)為10元，乙種蔬菜的單價(jià)為14元；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲m千克，則購(gòu)進(jìn)乙千克，由題意得：，解得：，∵是整數(shù)∴的值可以為50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，共11種方案．58．（24-25九年級(jí)上·黑龍江佳木斯）“華夏東極”佳木斯市是中國(guó)人口較少的民族之一——赫哲族最主要的聚居地，赫哲文化蜚聲全國(guó)、源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，其中赫哲族特有文化——魚皮畫，成為省級(jí)非遺項(xiàng)目．為宣傳赫哲文化，某文創(chuàng)店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種魚皮畫，其中乙種魚皮畫的進(jìn)價(jià)比甲種魚皮畫的進(jìn)價(jià)少10元，已知甲種魚皮畫的售價(jià)為每件120元，乙種魚皮畫的售價(jià)為每件100元，若用2000元購(gòu)進(jìn)甲種魚皮畫的數(shù)量與用1800元購(gòu)進(jìn)乙種魚皮畫的數(shù)量相同．(1)求甲、乙兩種魚皮畫每件的進(jìn)價(jià)；(2)要使購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種魚皮畫共300件的總利潤(rùn)不少于4000元，且不超過(guò)4100元，問(wèn)該文創(chuàng)專賣店有幾種進(jìn)貨方案；(3)文創(chuàng)店準(zhǔn)備對(duì)甲種魚皮畫進(jìn)行價(jià)格調(diào)整，甲種魚皮畫每星期可賣出40件，市場(chǎng)調(diào)查反映，如調(diào)整價(jià)格，甲種魚皮畫每降價(jià)1元，每星期可多賣出10件，乙種魚皮畫售價(jià)不變，若該專賣店一星期要購(gòu)進(jìn)甲、乙共200件魚皮畫且全部售出，如何給甲種魚皮畫定價(jià)才能使一星期總利潤(rùn)最大，此時(shí)甲、乙兩種魚皮畫各賣出多少件？【答案】(1)甲、乙兩種魚皮畫每件的進(jìn)價(jià)分別為100元和90元(2)11種(3)甲種魚皮畫售出70件，乙種魚皮畫售出130件【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)乙種魚皮畫的進(jìn)價(jià)為元，則甲種魚皮畫的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)用2000元購(gòu)進(jìn)甲種魚皮畫的數(shù)量與用1800元購(gòu)進(jìn)乙種魚皮畫的數(shù)量相同列出方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種魚皮畫件，則購(gòu)進(jìn)乙種魚皮畫件，根據(jù)總利潤(rùn)不少于4000元，且不超過(guò)4100元列出不等式組求解即可；（3）設(shè)甲種魚皮畫降了元，則每星期可多賣出10件，該文創(chuàng)專賣店一星期的總利潤(rùn)為元，列出w關(guān)于y的二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)乙種魚皮畫的進(jìn)價(jià)為元，則甲種魚皮畫的進(jìn)價(jià)為元，由題意得，，∴解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解．∴甲種魚皮畫的進(jìn)價(jià)為（元）．答：甲、乙兩種魚皮畫每件的進(jìn)價(jià)分別為100元和90元．（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種魚皮畫件，則購(gòu)進(jìn)乙種魚皮畫件，由題意得，，解得，又∵為正整數(shù)，∴該文創(chuàng)專賣店有11種進(jìn)貨方案；（3）解：設(shè)甲種魚皮畫降了元，則每星期可多賣出10件，該文創(chuàng)專賣店一星期的總利潤(rùn)為元，則∵，當(dāng)時(shí)，有最大值．

∴此時(shí)，甲種魚皮畫的售價(jià)為：（元），甲種魚皮畫售出：（件），乙種魚皮畫售出：（件）．59．（24-25九年級(jí)上·江蘇）某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)為30元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)為40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具．不妨設(shè)該種品牌玩具的實(shí)際銷售單價(jià)為元，銷售該品牌玩具獲得的利潤(rùn)為元．(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若商場(chǎng)只獲得了6000元的銷售利潤(rùn)，求該玩具銷售單價(jià)為多少元？(3)若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場(chǎng)要完成不少于500件的銷售任務(wù)，求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)銷售單價(jià)為90元(3)最大利潤(rùn)是10000元【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及利用二次函數(shù)最值求解．（1）一件的利潤(rùn)為元，漲價(jià)后的銷售量為元，根據(jù)一件的利潤(rùn)與銷售數(shù)量的積，即可表示出函數(shù)關(guān)系式；（2）由所得函數(shù)關(guān)系式，求出當(dāng)函數(shù)值為6000時(shí)，解一元二次方程即可求出自變量的值；（3）由題意解不等式組，可求得x的范圍，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大利潤(rùn)．【詳解】（1）解：由題意得：，整理得：；答：與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：由題意得：，整理，得：，解得：（舍去），答：該玩具銷售單價(jià)為90元；（3）解：由題意得：，解得：；∵，，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值為10000；答：商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是10000元．?題型03不等式組的方案問(wèn)題68．（24-25九年級(jí)上·湖南益陽(yáng)）扎染文化是我國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，扎染文化的發(fā)展帶動(dòng)了旅游相關(guān)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，電視劇《去有風(fēng)的地方》的熱映不僅推動(dòng)了云南大理旅游業(yè)的熱潮，也增進(jìn)了人們對(duì)扎染文化的了解，云南大理某扎染坊購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種布料共100件，其中兩種布料的成本價(jià)和銷售價(jià)如表：成本價(jià)（元/件）銷售價(jià)（元/件）甲種布料60100乙種布料4070(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種布料x件，銷售完甲、乙兩種布料后獲得的利潤(rùn)為W元，請(qǐng)寫出W關(guān)于x的表達(dá)式(2)若此次購(gòu)進(jìn)甲種布料的數(shù)量不超過(guò)乙種布料的數(shù)量的1.5倍，試問(wèn)怎樣進(jìn)貨方案才能使銷售完甲、乙兩種布料后獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)(2)購(gòu)進(jìn)甲種布料60件，購(gòu)進(jìn)乙種布料40件才能使銷售完甲、乙兩種布料后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3600元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先求出購(gòu)進(jìn)乙種布料件，再根據(jù)利潤(rùn)（甲種布料的銷售價(jià)甲種布料的成本價(jià)）甲種布料的銷售量（乙種布料的銷售價(jià)乙種布料的成本價(jià)）乙種布料的銷售量即可得函數(shù)關(guān)系式；再根據(jù)兩種布料的購(gòu)進(jìn)的數(shù)量均大于0求出的取值范圍，由此即可得；（2）先求出的取值范圍，再利用一次函數(shù)的增減性求解即可得．【詳解】（1）解：由題意可知，購(gòu)進(jìn)甲種布料件，購(gòu)進(jìn)乙種布料件，則，∵，∴，所以關(guān)于的表達(dá)式為．（2）解：∵此次購(gòu)進(jìn)甲種布料的數(shù)量不超過(guò)乙種布料的數(shù)量的倍，∴，∴，由（1）可知，，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，此時(shí)，答：購(gòu)進(jìn)甲種布料60件，購(gòu)進(jìn)乙種布料40件才能使銷售完甲、乙兩種布料后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3600元．69．（2024全國(guó)）某商場(chǎng)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)，兩種書包，每個(gè)種書包比種書包的進(jìn)價(jià)少元，用元購(gòu)進(jìn)種書包的個(gè)數(shù)是用元購(gòu)進(jìn)種書包個(gè)數(shù)的倍．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)，兩種書包每個(gè)進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)若該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)種書包的個(gè)數(shù)比種書包的倍還多個(gè)，且種書包不少于個(gè)，購(gòu)進(jìn)，兩種書包的總費(fèi)用不超過(guò)元，則該商場(chǎng)有哪幾種進(jìn)貨方案？【答案】(1)每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)是元，每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)是元(2)該商場(chǎng)共有種進(jìn)貨方案：方案：購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，個(gè)種書包；方案：購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，個(gè)種書包；方案：購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，個(gè)種書包．【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系列出分式方程，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．（1）設(shè)每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)是元，則每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)是元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合用元購(gòu)進(jìn)種書包的個(gè)數(shù)是用元購(gòu)進(jìn)種書包個(gè)數(shù)的倍，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)，再將其代入中，可得出每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)；（2）設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，則購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)種書包不少于個(gè)，且購(gòu)進(jìn)，兩種書包的總費(fèi)用不超過(guò)元”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解不等式組可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)，即可得出各進(jìn)貨方案．【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)是元，則每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)是元，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合題意，，答：每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)是元，每個(gè)種書包的進(jìn)價(jià)是元；（2）解：設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，則購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，根據(jù)題意得：，解得：，又為正整數(shù)，的值為、、，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，該商場(chǎng)共有種進(jìn)貨方案：方案：購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，個(gè)種書包；方案：購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，個(gè)種書包；方案：購(gòu)進(jìn)個(gè)種書包，個(gè)種書包．70．（24-25·浙江）某文具店準(zhǔn)備用1000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種筆，甲種筆每支10元，乙種筆每支5元．考慮到顧客的需求，文具店購(gòu)進(jìn)的乙種筆的數(shù)量不少于甲種筆數(shù)量的6倍，且甲種筆不少于20支．設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種筆支，購(gòu)進(jìn)乙種筆支．(1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．(2)通過(guò)列不等式求出該文具店共有幾種進(jìn)貨方案．(3)若文具店銷售每支甲種筆可獲利潤(rùn)3元，銷售每支乙種筆可獲利潤(rùn)2元，在所有進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)(2)該文具店共有6種進(jìn)貨方案；(3)當(dāng)購(gòu)買甲鋼筆20支，乙鋼筆160支時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)為380元．【分析】本題考查一元一次不等式組和一次函數(shù)的應(yīng)用．（1）由購(gòu)進(jìn)甲種筆支，購(gòu)進(jìn)乙種筆支，總費(fèi)用元，再建立關(guān)系式并整理即可；（2）由文具店購(gòu)進(jìn)的乙種筆的數(shù)量不少于甲種筆數(shù)量的6倍，且甲種筆不少于20支．再建立不等式組解題即可得到答案；（3）設(shè)利潤(rùn)為W元，可得，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種筆支，購(gòu)進(jìn)乙種筆支，∴，解得：；（2）解：由題意可得：，解得：．∵x，y為整數(shù)，∴20，21，22，23，24，25共六種方案．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．∴該文具店共有6種進(jìn)貨方案．（3）解：設(shè)利潤(rùn)為W元，則，∵W隨著x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，W有最大值，最大值為（元）．即當(dāng)購(gòu)買甲鋼筆20支，乙鋼筆160支時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)為380元．基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了解不等式，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的解法．根據(jù)不等式的性質(zhì)解不等式即可．【詳解】解：，，，，故選：D．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）把不等式組中每個(gè)不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示出來(lái)，正確的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了一元一次不等式組的解法．分別解出不等式組中每個(gè)不等式，再對(duì)比選項(xiàng)中數(shù)軸所表示的解的范圍．【詳解】解：解不等式得；解不等式得；∴不等式組的解集為；在同一條數(shù)軸上表示為；故選：C．3．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）農(nóng)戶利用“立體大棚種植技術(shù)”把茄子和絲瓜進(jìn)行混種．已知茄子齊苗后棚溫在最適宜，播種絲瓜的最適宜溫度是．農(nóng)戶在茄子齊苗后在同一大棚播種了絲瓜，這時(shí)應(yīng)該把大棚溫度設(shè)置在下列哪個(gè)范圍最適宜（

）A． B． C． D．以上【答案】B【分析】此題主要考查了解一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意，設(shè)大棚溫度為，則，再根據(jù)一元一次不等式組的方法，求出這時(shí)應(yīng)該把大棚溫度設(shè)置在下列哪個(gè)范圍最適宜即可．【詳解】解：設(shè)大棚溫度為，則，解得，∴這時(shí)應(yīng)該把大棚溫度設(shè)置在最適宜．故選：B．4．（2024·廣東珠海·一模）如圖，天平右盤中的每個(gè)砝碼的質(zhì)量為10g，則物體M的質(zhì)量的取值范圍在數(shù)軸上可表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查一元一次不等式組的應(yīng)用及不等式組的解集在數(shù)軸上的表示方法．通過(guò)看圖得出具體的信息，從而得出物體M的質(zhì)量m的取值范圍．【詳解】解：∵由左圖可知，由右圖可知，∴m的取值范圍是：．在數(shù)軸是表示為故選：C．5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在第二象限，則a的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查根據(jù)點(diǎn)所在的象限求參數(shù)的范圍，根據(jù)點(diǎn)在第二象限的符號(hào)特征：，列出不等式組，求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在第二象限，∴，∴；故選B．6．（2023·浙江·中考真題）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸得：，，故選項(xiàng)A不符合題意；∵，∴，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，，∴，故選項(xiàng)C不符合題意；∵，，∴，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，絕對(duì)值的概念，不等式的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東肇慶·二模）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式得到，解不等式即可．【詳解】關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與一元二次方程根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·廣東廣州·二模）定義運(yùn)算“”為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．例如：．若則的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)定義新運(yùn)算的運(yùn)算法則，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：當(dāng),即時(shí)，，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，無(wú)解，舍去；綜上所示，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，不等式的綜合，掌握定義新運(yùn)算的運(yùn)算法則，不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2024·廣東汕頭·二模）不等式組的解集是．【答案】【分析】本題考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法，正確求解是解答的關(guān)鍵．先分別求得每個(gè)不等式的解集，再求得它們的公共部分即可求解．【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為，故答案為：．10．（2024·廣東汕頭·一模）一次生活常識(shí)競(jìng)賽，一共有25道題，答對(duì)一題得4分，不答得0分，答錯(cuò)一題扣1分，小明有2題沒(méi)答，競(jìng)賽成績(jī)要不低于83分，則小明至少要答對(duì)道題．【答案】【分析】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，設(shè)小明答對(duì)道，根據(jù)“一共有25道題，答對(duì)一題得4分，不答得0分，答錯(cuò)一題扣1分，有2題沒(méi)答，競(jìng)賽成績(jī)要不低于83分”可得相應(yīng)的一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出不等式．【詳解】解：設(shè)小明答對(duì)道，根據(jù)題意得：解得：∴小明至少要答對(duì)道題．故答案為：．11．（2022·廣東中山·二模）將點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，則m的取值范圍是．【答案】【分析】先根據(jù)平移方式和平移前后點(diǎn)的坐標(biāo)得到從而求出再由，得到，由此求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化|—平移，解一元一次不等式組，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠利用m表示出a、b．三、解答題12．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）為改善城市人居環(huán)境，某區(qū)域原來(lái)每天需要處理生活垃圾920噸，剛好被12個(gè)A型和10個(gè)B型預(yù)處置點(diǎn)位進(jìn)行初篩、壓縮等處理．已知一個(gè)A型點(diǎn)位比一個(gè)B型點(diǎn)位每天多處理7噸生活垃圾．(1)求每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾的噸數(shù)；(2)由于垃圾分類要求提高，在每個(gè)點(diǎn)位每天將少處理8噸生活垃圾，同時(shí)由于市民環(huán)保意識(shí)增強(qiáng)，該區(qū)域每天需要處理的生活垃圾比原來(lái)少10噸．若該區(qū)域計(jì)劃增設(shè)A型、B型點(diǎn)位共5個(gè)，試問(wèn)至少需要增設(shè)幾個(gè)A型點(diǎn)位才能當(dāng)日處理完所有生活垃圾？【答案】(1)38噸(2)3個(gè)【分析】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾噸，則每個(gè)A型點(diǎn)位每天處理生活垃圾噸，根據(jù)一共要處理920噸垃圾列出方程求解即可；（2）設(shè)需要增設(shè)個(gè)A型點(diǎn)位才能當(dāng)日處理完所有生活垃圾，則提高后，每個(gè)A型點(diǎn)位每天處理生活垃圾（噸），個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾（噸），再根據(jù)一共處理的垃圾要不少于噸列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾噸，則每個(gè)A型點(diǎn)位每天處理生活垃圾噸，根據(jù)題意，得，解得．答：每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾38噸．（2）解：設(shè)需要增設(shè)個(gè)A型點(diǎn)位才能當(dāng)日處理完所有生活垃圾，由（1）可知垃圾分類要求提高前，每個(gè)A型點(diǎn)位每天處理生活垃圾45噸，則垃圾分類要求提高后，每個(gè)A型點(diǎn)位每天處理生活垃圾（噸）；垃圾分類要求提高前，每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾38噸，則垃圾分類要求提高后，每個(gè)B型點(diǎn)位每天處理生活垃圾（噸）．根據(jù)題意，得，解得．是正整數(shù)，符合條件的的最小值為3．答：至少需要增設(shè)3個(gè)A型點(diǎn)位才能當(dāng)日處理完所有生活垃圾．13．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）某校因物理實(shí)驗(yàn)室需更新升級(jí)，現(xiàn)決定購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的滑動(dòng)變阻器．若購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器用了1650元，購(gòu)買乙種用了1000元，購(gòu)買的甲種滑動(dòng)變阻器的數(shù)量是乙種的1.5倍，甲種滑動(dòng)變阻器單價(jià)比乙種單價(jià)貴5元．(1)求甲、乙兩種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)分別為多少元．(2)該校擬計(jì)劃再訂購(gòu)這兩種滑動(dòng)變阻器共100個(gè)，總費(fèi)用不超過(guò)5200元，那么該校最多可以購(gòu)買多少個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器?【答案】(1)甲單價(jià)為55元，乙單價(jià)為50元(2)40個(gè)【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用；（1）設(shè)乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是x元，則甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是元，乙種書的單價(jià)是元，根據(jù)“購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器用了1650元，購(gòu)買乙種用了1000元，購(gòu)買的甲種滑動(dòng)變阻器的數(shù)量是乙種的1.5倍”，可得出關(guān)于的分式方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器m個(gè)，則購(gòu)買乙種滑動(dòng)變阻器個(gè)，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合總費(fèi)用不超過(guò)5200元，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是x元，根據(jù)題意得：解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合題意．∴（元）答：甲種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是55元，乙種滑動(dòng)變阻器的單價(jià)是50元．（2）設(shè)購(gòu)買甲種滑動(dòng)變阻器m個(gè)，則購(gòu)買乙種滑動(dòng)變阻器個(gè)．根據(jù)題意得：．解得：．答：該校最多可以購(gòu)買40個(gè)甲種滑動(dòng)變阻器．能力提升一、單選題1．（2023·廣東梅州·一模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則有關(guān)x的不等式組的解集為（

）A． B． C． D．無(wú)解【答案】D【分析】根據(jù)a，b滿足的條件可推出a，b的值，將其代入關(guān)于的不等式組中，按照一元一次不等式組取值范圍口訣即可求出答案.【詳解】解：，，，.有關(guān)x的不等式組轉(zhuǎn)化為：，解不等式組得：，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，的解集為：無(wú)解.故答案選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解、完全平方公式和化簡(jiǎn)絕對(duì)值.解題的關(guān)鍵是否掌握完全平方公式以及是否熟悉不等式解集取值范圍口訣：同大取大，同小取小，大大小小無(wú)解，大小小大取中間.2．（2023·四川綿陽(yáng)·二模）不等式組的所有整數(shù)解的和為9，則整數(shù)的值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】先解不等式組，求出其解集（用a表示），再根據(jù)不等式組的所有整數(shù)解的和為9，得到不等式整數(shù)解，從而得出關(guān)于a的不等式組，再求解即可．【詳解】解：解等式組得，∴，∵不等式組的所有整數(shù)解的和為9，當(dāng)x的整數(shù)解為2，3，4時(shí)，∴∵a為整數(shù)，∴，當(dāng)x的整數(shù)解為-1，0，1，2，3，4時(shí)，∴∵a為整數(shù)，∴，∴整數(shù)的值有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解不等式組，不等式組的整數(shù)解情況求參問(wèn)題，熟練掌握解不等式組，確定不等式組解集的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)不等式組的整數(shù)解得出關(guān)于a的不等式組是解題的難點(diǎn)．3．（2022·廣東珠?！ひ荒＃┤舨坏仁?1＞0的解都能使關(guān)于的不等式(m-2)＜2m-1成立，則m的取值范圍是(

)A．m＞1 B．1＜m≤2 C．0≤m≤1 D．-1≤m＜2【答案】D【分析】解不等式-1＞0，再求出的解集不等式(m-2)＜2m-1的解集，得出關(guān)于的不等式組，求出即可【詳解】解：-1＞0不等式-1＞0的解都能使關(guān)于的不等式(m-2)＜2m-1成立，且即解得即故選D【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組，不等式的性質(zhì)，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．4．（2021·廣東江門·一模）已知關(guān)于x的不等式組有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把不等式組標(biāo)號(hào)，求出兩個(gè)不等式的解集，再求其公共解，然后根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定的取值范圍即可．【詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式組的解集是，∵不等式組有3個(gè)整數(shù)解，∴整數(shù)解為－1、0，1∴-2≤＜－1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡(jiǎn)便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）．5．（2021·廣東佛山·一模）若關(guān)于x的不等式組有且只有8個(gè)整數(shù)解，關(guān)于y的方程的解為非負(fù)數(shù)，則滿足條件的整數(shù)a的值為（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】解不等式組，得到不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)判斷a的取值范圍，解分式方程，用含有a的式子表示y，根據(jù)解的非負(fù)性求出a的取值范圍，確定符合條件的整數(shù)a，相加即可．【詳解】解：不等式組，解(1)得，解(2)得，∴不等式組的解集為；∵不等式組有且只有8個(gè)整數(shù)解，∴，解得；解分式方程得；∵方程的解為非負(fù)數(shù)，∴即；綜上可知：；∵a是整數(shù)，∴或或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，分式方程，本題易錯(cuò)，易忽視分式方程有意義的條件．二、填空題6．（2024·廣東陽(yáng)江·一模）若關(guān)于的不等式組有個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為．【答案】/【分析】本題考查了解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數(shù)解，先求出不等式組的解集，再根據(jù)不等式組有個(gè)整數(shù)解即可求出的取值范圍，正確求出一元一次不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，解得，，解得，，∴不等式組的解集為，∵不等式組有個(gè)整數(shù)解，∴，故答案為：．7．（2024·廣東惠州·三模）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則滿足條件的的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式等知識(shí)．熟練掌握加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．加減消元法解二元一次方程組，進(jìn)而可得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：，得，，解得，，將代入②得，，解得，，∴，解得，．故答案為：．8．（2023·廣東江門·一模）定義：如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的相伴方程．若方程、都是關(guān)于x的不等式組的相伴方程，則m的取值范圍為．【答案】【分析】先求出兩個(gè)方程的解，再解不等式組，根據(jù)題意可得且，即可解答．【詳解】解：解方程，得：，解方程，得：，由，得：，由，得：，均是不等式組的解，且，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一