第01講導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義

101學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過具體實(shí)例了解函數(shù)的平均變化率.

1.求函數(shù)的平均變化率，了解平均變化率在實(shí)際

2.通過對(duì)實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到

問題中的應(yīng)用.

瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.

2.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求函數(shù)的平均變化

3.理解導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在

率與瞬時(shí)變化率.

某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

3.掌握導(dǎo)數(shù)的概念以及幾何意義，會(huì)處理曲線的

4.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切

切線問題.

線方程.

.

02思維導(dǎo)圖

平均變化率

瞬時(shí)變化率

函數(shù)的平均變化率

，?：知識(shí)：—

導(dǎo)數(shù)的概念

函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

求曲線切線的斜率(傾斜角)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的平均變化率

1.函數(shù)的平均變化率的概念

一*般地，若函數(shù)y=/(x)的定乂域?yàn)椤?，且X1，X2^D,X1W%2，%yif則

—

(1)自變量的改變量Ax=x2%1；

(2)因變量的改變量\y=y2—yi；

AyV2-Vi

(3次0在⑶，句上的平均變化率為一=----.

AxX2-x\

【解讀】(1)求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率應(yīng)注意的問題

①平均變化率的公式中，分子是區(qū)間兩端點(diǎn)間的函數(shù)值的差，分母是區(qū)間兩端點(diǎn)間的自變量的差.

②平均變化率的公式中，分子、分母中被減數(shù)同為右端點(diǎn)，減數(shù)同為左端點(diǎn).

（2）一次函數(shù)的平均變化率

一次函數(shù)了=履+以后0）在區(qū)間阿，一上的平均變化率為-'"）=&+"一（癡十份=交由上述計(jì)算可

n-mn-m

知，一次函數(shù)了=履+6在區(qū)間阿，司上的平均變化率與加，〃的值無關(guān)，只與一次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，且其平均

變化率等于一次項(xiàng)的系數(shù).

2.平均變化率的實(shí)際意義

Ay

在以Xi，必為端點(diǎn)的閉區(qū)間上，自變量每增加1個(gè)單位，因變量平均將增加上個(gè)單位.因此，如果自

變量增加h個(gè)單位，那么因變量將增加—h個(gè)單位.

3.平均變化率的幾何意義

表示函數(shù)》=加）圖象上過兩點(diǎn)（X1，加1））,（尤2,無2））的割線的斜率.

AxX2~X\

△y

c

4A%

4.平均速度與平均變化率

如果物體運(yùn)動(dòng)的位移xm與時(shí)間fS的關(guān)系為X=/z?）,則物體在上1，時(shí)）或上2，時(shí)）這段

時(shí)間內(nèi)的平均速度為*~—（m/s）.即物體在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于x=帕）在該段時(shí)間內(nèi)的平均變化

率.

【即學(xué)即練1】（24-25高二下?全國,課后作業(yè)）一質(zhì)點(diǎn)按運(yùn)動(dòng)方程s（/）='（s的單位為米，/的單位為秒）

做直線運(yùn)動(dòng)，則其從4=1秒到乙=2秒這段時(shí)間里的平均速度（單位：米/秒）為（）

113

A.-1B.——C.一一D.一一

244

【答案】D

【分析】由平均速度的定義即可代入化簡求解.

【詳解】從4=1秒到內(nèi)=2秒這段時(shí)間里的平均速度為粵普=4_1=_].

2-122I24

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

1.瞬時(shí)變化率

一般地，設(shè)函數(shù)y=段）在刈附近有定義，自變量在x=xo處的改變量為Ax,當(dāng)Ax無限接近于0時(shí)，若

平均變化率A上f=△/f-x-o-+-A--x）無—限/Fx接o）近于一個(gè)常數(shù)k,那么稱常數(shù)k為函數(shù)段）在、=劭處的瞬時(shí)變化率.

AxAx

2.函數(shù)人x）在處的導(dǎo)數(shù)

（1）函數(shù)y=Ax）在、=配處的瞬時(shí)變化率，也稱外）在劭處可導(dǎo)，并稱左為/（%）在、=孫處的導(dǎo)數(shù)，記作

f（%0）=左.

（2）“當(dāng)Ax無限接近于0時(shí)，**°+加0八旬無限接近于常數(shù)?也常用符號(hào)“一”（讀作“趨向于”）表

Ax

一出西Ann4小。+3一於0）曲聲旺小。+3一段。）即〃,、"。+&）一於。）

小為當(dāng)Ax-*0時(shí)，-------------->k,或者與成lim---------------------=k,即/（x（））=lrim---------------------.

AxAx^oAx■一。Ax

【即學(xué)即練2】

1.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）若某氣球起始時(shí)半徑為2cm,之后以lcm/s的速度膨脹，則在第3s時(shí)，

該氣球表面積的增長速度為（）

A.407rcm2/sB.427rcm2/sC.4471cm?/sD.467rcm2/s

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)在用時(shí)，氣球的半徑為rem,貝b=2+/,則氣球的表面積S”）=4/=4兀（2+/>,

中小S（3+A/）-S（3）4兀（5+0丁一4兀（5『,、

因?yàn)閘im」-----3=1而一--------------d=lim4兀（4+10）=40兀，

At—>0At4f0At'

因此f=3時(shí)，該氣球表面積的增長速度為40兀cm?/s.

故選：A.

2.（24-25高三上?上海?期中）已知〃x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若//⑵一八2-'=],則

r（2）=.

【答案】1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義寫出答案即可.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義知:

故答案為：1

知識(shí)點(diǎn)03導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

如果將函數(shù)>=/）的圖象看成曲線（稱為曲線y=/（x））,而且曲線在點(diǎn)/（劭，加均））處的切線為/,則|Ar|很

,Afflxo+Ax）~f（xo）

小時(shí)，3（X0+必於o+A0）是/附近的一點(diǎn)，割線的斜率是上=△------則當(dāng)Ax無限接近于0

AxAx

時(shí)，割線的斜率將無限趨近于切線/的斜率.

這就是說，/'（沏）就是曲線y=/（x）在點(diǎn)（Xo,4Xo））處（也稱在x=xo處）的切線的斜率，從而根據(jù)直線的點(diǎn)

斜式方程可知，切線的方程是了一/0）=/'（xo）（x一工0）.

2.曲線的升降、切線的斜率與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系

曲線/（x）在X=Xo

導(dǎo)數(shù)符號(hào)切線的斜率左切線的傾斜角

附近的升降情況

f(xo)>O上升左>0銳角

f(x0)<0下降K0鈍角

f'(xo)=O平坦左=0零角（切線與X軸平行）

【解讀】1.切線斜率的絕對(duì)值的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)附近上升或下降的快慢.

2.函數(shù)歹=/（X）在5處的導(dǎo)數(shù)，是曲線歹=/（X）在點(diǎn)（X。，加0））處的切線的斜率.

曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無窮多.

與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線.

【即學(xué)即練3］（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）曲線了=d在點(diǎn)（石,3）處切線的斜率為（）

A.V3B.2GC.3D.6

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算即可.

【詳解】函數(shù)廣一在點(diǎn)（石,3）處切線的斜率為.曲⑷二M=iim（2G+M=2g?

Af->0At4t-^0'）

故選：B.

04題型精講

題型01平均變化率

【典例1］（23-24高二上?江蘇南通?階段練習(xí)）函數(shù)”x）=x2-cosx在［0,可上的平均變化率為（）

2

A.1B.2C.71----D.兀

71

【答案】C

【分析】由平均變化率定義可得.

【詳解】平均變化率為/⑺一/⑼=L8Sk（0~0S0）=7￡+2=兀+工.

71-071-0兀71

故選：C.

【變式1］（23-24高二下?福建龍巖?期中）若函數(shù)〃x）=--x,則函數(shù)〃x）從x=l到x=3的平均變化率

為（）

A.6B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】利用平均變化率的定義可得答案.

【詳解】因?yàn)?所以〃1）=12-1=0,43）=32-3=6,

故函數(shù)〃x）從％=1至曝=3的平均變化率為包=/⑶一/⑴=生衛(wèi)=3.

Ax3-12

故選：B.

【變式2］（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）汽車行駛的路程s和時(shí)間/之間的函數(shù)圖象如圖所示，在時(shí)間段［%/］,

［彳4］，也名］上的平均速度分別為G，%，G，則三者的大小關(guān)系為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由平均速度的定義可得汽車在時(shí)間段上的平均速度即為該段直線的斜率，結(jié)合圖像即

可得出答案.

【詳解】設(shè)直線O'/,AB,2C的斜率分別為七，/,kAB,kBC,

SQS(A)

則弓==卜.,v3=

%一0t2Tl13T2

由題中圖象知心c＞上"，即

故選：B.

【變式3】（24-25高三上?北京海淀?期中）大面積綠化可以增加地表的綠植覆蓋，可以調(diào)節(jié)小環(huán)境的氣溫，

好的綠化有助于降低氣溫日較差（一天氣溫的最高值與最低值之差）.下圖是甲、乙兩地某一天的氣溫曲線

圖.假設(shè)除綠化外，其它可能影響甲、乙兩地溫度的因素均一致，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.由上圖推測，甲地的綠化好于乙地

B.當(dāng)日6時(shí)到12時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率

C.當(dāng)日12時(shí)到18時(shí)，甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率

D.當(dāng)日必存在一個(gè)時(shí)刻，甲、乙兩地氣溫的瞬時(shí)變化率相同

【答案】C

【分析】結(jié)合圖中數(shù)據(jù)分析一一判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,由圖可知，甲地的氣溫日較差明顯小于乙地氣溫日較差，

所以甲地的綠化好于乙地，故A正確；

對(duì)于B,由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為正數(shù)，且乙地的變化趨勢(shì)更大，

所以甲地氣溫的平均變化率小于乙地氣溫的平均變化率，故B正確；

對(duì)于C,由圖可知，甲乙兩地的平均變化率為負(fù)數(shù)，且乙地的變化趨勢(shì)更大，

所以甲地氣溫的平均變化率大于乙地氣溫的平均變化率，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由圖可知，存在一個(gè)時(shí)刻，使得甲、乙兩地氣溫的瞬時(shí)變化率相同，故D正確.

故選：C.

題型02瞬時(shí)變化率

【典例2】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知1而上=0,一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)，其位移

△X—>0JQ

x?）=si“2就+貝i]/=?s時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（）

A.0B.1C.兀D.2兀

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.

13

【詳解】由題可知y時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為

O

sin27t|—+AN+--sin|2TIX—+-

(8J4(84

At

CA7兀.7兀

sm-sin——---

2sin2°

2.2r一cos2兀A,+1

=lim-------------二lim-lim

A—04fo4-0

故選：A.

【變式1】（24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）一質(zhì)點(diǎn)/沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移M單位：m）與時(shí)間/（單位：s）

之間的關(guān)系為了（，）=r+2,則質(zhì)點(diǎn)/在"3s時(shí)的瞬時(shí)速度為（）

A.llm/sB.8m/s

C.6m/sD.—m/s

3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將"3代入計(jì)算可得答案.

【詳解】因?yàn)榱耍?）=〃+20）'（。=2/,所以"3時(shí)，＞'（3）=6,

即質(zhì)點(diǎn)/在f=3s時(shí)的瞬時(shí)速度為6m/s.

故選：C

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）已知某公交車在起步后8秒內(nèi)路程X。）（單位：m）與時(shí)間f（單

,、2f2,/ef0,3]

位：$）滿足武。=卜/+6若公交車的瞬時(shí)速度未發(fā)生突變，貝腦=，公交車在這8秒內(nèi)的平

均速度為m/s.

【答案】-18?39

4

【分析】求得3秒前與3秒后的瞬時(shí)速度可求左，利用路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，可

求6,進(jìn)而求得8秒內(nèi)的總路程，可求平均速度.

【詳解】第3秒前公交車的瞬時(shí)速度為lim*⑶-GM=iim2x3=203=iim（i2-2A0=12m/s：

△foA/4—0A,A—O

第3秒后公交車的瞬時(shí)速度為limx（3+A。-x（3）=k（3+At）+b-kx3-b=左，

△tTOOKtKt

已知公交車第3秒前后的瞬時(shí)速度保持一致，所以左=12,

而路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，所以18=3上+6,解得b=T8.

7839

公交車在8秒內(nèi)的總路程為12x8-18=78m,所以平均速度為彳=^m/s.

84

39

故答案為：-18；—.

4

【變式3]（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）車輪旋轉(zhuǎn)的角度。（單位：rad）隨時(shí)間/（單位：s）之間的關(guān)系

為6（。=牛已知車輪旋轉(zhuǎn)4圈所需時(shí)間為力.

O

⑴求0~%時(shí)間段內(nèi)車輪的平均角速度；

（2）求才。時(shí)刻車輪的瞬時(shí)角速度.

【答案】⑴5兀rad/s

⑵10兀rad/s

【分析】(1)由已知求得％,進(jìn)而可求平均角速度；

(2)利用「"lj+加]一"IjJ可求瞬時(shí)角速度.

hm-----------------

O

【詳解】(1)車輪旋轉(zhuǎn)4圈的角度8=8兀，故t°=(s,

g

故0~時(shí)間內(nèi)車輪的平均角速度為-=5ra"ad/s.

(2)，。時(shí)刻車輪的瞬時(shí)角速度為：

25兀,)

=limI10兀H---NtI=10兀rad/s

0-0

題型03導(dǎo)數(shù)的概念

【典例3】24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)〃x)=5，則/'(2)=()

A.-2B.-4C.--D.

24

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可求/'(2).

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義得：

11

Gs、/(2+Ax)-/(2)(2+AX)2-4Ax+41.

f(2)=rlim------------1-―—二lirm-----------------=-lRim--------------=——

垓一°Ax—一°AxAx^o4(2+Ax)4

故選：D.

【變式1](23-24高二下?浙江?期中)已知〃x)=/,則!蛆/。+?二劃=()

Ax-0AX

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(切線斜率)

【分析】根據(jù)解析式先化簡學(xué)，然后由導(dǎo)數(shù)定義可得.

Ax

【詳解】因?yàn)榕c=/(1+AX)-/(1)=(1+AX)2-1=(AX)2+2AX,

所以包=(AX)，2AX='+2,

AxAx

所以Hm"1+2一/⑴=lim(Ax+2)=2.

—Ax

故選：B

【變式2］（23-24高二下?江西萍鄉(xiāng)?期中）設(shè)〃x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為（⑶，若螞八3七二八3）=2,則

/”）=（）

A.-2B.2C.-6D.6

【答案】C

【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義即可求解.

【詳解】由于lim/（3————'（3）=——lim'°————'（3）=-1r（3）=2,貝|八3）=-6.

心f03Ax3-Ax3

故選：C.

【變式3】（25-26高三上?上海?單元測試）對(duì)于函數(shù)＞=/（無），若/'（x0）=2,則當(dāng)〃無限趨近于0時(shí)，在下

列式子中無限趨近于2的式子有（).

A/(x0+/z)+/(x0)B/(x0+A)-/(x0)

h2h

C/(%+24)+/伉)口/(x0+2/z)-/(x0)

h2h

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡單計(jì)算

【分析】利用平均變化率的定義以及導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)四個(gè)選擇逐一判斷即可..

【詳解】對(duì)于A,1向/（/+'）+//晨1-/0。+”）一/伉）=廣（須）,故A錯(cuò)誤;

20h2。hV7

對(duì)于B,".+.）一〃/）」（修,故B錯(cuò)誤；

2。2h2v07

對(duì)于c,故c錯(cuò)誤；

v7

20h20h

對(duì)于D,lim/（^o+2A）-/（xo）=f,^=2f故。正確.

2。2hv07

故選：D.

題型04求曲線切線的斜率（傾斜角）

【典例4］（24-25高三?上海?課堂例題）已知函數(shù)y=/（x）,其中/（x）=x+g,求:

（1）點(diǎn)處的切線的斜率;

（2）點(diǎn)d2怖1處的切線方程.

【答案】⑴-3

4

(2)3x-4y+4=0

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求得點(diǎn)A處的切線的斜率；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.

11

【詳解】(1)點(diǎn)A處的切線的斜率為％7加/(2+〃)一/⑵_1加巾2

K-iim-iim

A—>ohA—>oh

7h

2（2+/z）113,

lim----——Llim

20h202(2+〃)「W

3

即點(diǎn)A處的切線的斜率是:；

4

S3

(2)結(jié)合(1)可得切線方程為歹一5=^(工一2),即3x—4y+4=0.

【變式11(24-25高二下?全國,課后作業(yè))已知函數(shù)>=八?=兆+/,在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率為2,則2的值

a

為()

A.1B.2C.3D.y

【答案】B

【分析】由題意得/''(1)=2,可求出。，再將(1,3)代入函數(shù)解析式中可求出6,從而可求得2的值.

a

【詳解】由題意得/(1)=2,

g、ir7(1+</)-/(1)a(\+df+b-a-b小。

所以lim-------------=lim------------------=hm(24+ad)=2〃=2,

d—>odt/—>0dj—>o

解得4=1,

又“l(fā))=a+b=3,則6=2,

所以2=2.

a

故選：B

【變式2](24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知函數(shù)/(X)=M_4X+3.

⑴求曲線y=/(x)上任意一點(diǎn)(X。,八/))處的切線斜率；

(2)求曲線y=“X)在點(diǎn)(3,/(3))處的切線方程.

【答案】(1)2X°-4

(2)2x-y-6=0

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得出導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切點(diǎn)的斜率；

（2）先求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值得出斜率再點(diǎn)斜式求出切線方程.

【詳解】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線y=/（x）上任意一點(diǎn)Qo/Oo））處的切線斜率為了'（%），

則由導(dǎo)數(shù)的定義，可得

/-（x0）=lim=Hm…）+3一宙…）=2/_4.

AXAXfOAX

即曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)（%o/（xo））處的切線斜率為2%-4.

（2）/（3）=0,由（1）知，曲線y=〃x）在點(diǎn)（3J（3））處的切線斜率為/'（3）=2,

所以切線方程為V-O=2（X-3）,即2X-”6=0.

【變式3】（24-25高三?上海,課堂例題）如果曲線了=尤3+》一10的一條切線與直線＞=4》+3平行，求曲線與

此切線相切的切點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（一1,-12）或（1,-8）

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為尸（%,%）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可列方程，即可求得答案.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為尸（%,%）,則%=1+%-10,

曲線＞=》3+1-10在點(diǎn)p的切線與直線＞=4x+3平行，

則切線斜率為左二小仇+娟+1+a一吁卜"」。）

20h

].3XQ,h+3XQ,h?+h，+h

2。h

=lim（3x；+3x0?力+力之+1）=3%Q+1=4,

則入o=±l;當(dāng)/=一1時(shí)，%=T2；當(dāng)/=1時(shí)，歹0=-8,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（T-12）或（1,-8）.

題型05導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

【典例5】（23-24高二下?安徽合肥?期中）已知函數(shù)V=/（x）（xeR）的圖象如圖所示，且廣⑴為〃x）的導(dǎo)

函數(shù)，則（）

A.r（-i）＜rQj=/,（2）B.r（T）＞d=/''⑵

c.r（i）＞rQ]=r（2）D.r（i）＜/-Q]＜r（2）

【答案】B

【分析】分別作出函數(shù)〃尤）在》=-1,》=；6=1,》=2的切線，進(jìn)而得到⑴,/'（2）的大小

關(guān)系.

【詳解】分別作出函數(shù)/（x）在x=Tx=g,x=l,x=2的切線，

則八一1）＞0=/（￡|=/（2）＞廣（1）,

【變式1】定義在（0,+8）上的函數(shù)/（無）的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,如圖是以無）的圖像，下列說法中正確的是

C.0＜八3）＜八2）＜〃3）-/（2）

D.0＜-3）-〃2）＜/（2）＜/（3）

【答案】B

【分析】根據(jù)斜率關(guān)系得到。＜/'（3）＜/'（2）,〃3）-〃2）可看作過（2,/（2））和（3,〃3））的割線的斜率，根

據(jù)圖像得到答案.

【詳解】/（x）圖象可知，/（x）在x=2處的切線斜率大于在x=3處的切線斜率，且斜率為正，

故0＜〃3）＜/⑵,

〃3）-〃2）J2]⑵,

〃3）-/（2）可看作過（2,〃2））和（3,/（3））的割線的斜率，

由圖象可知/'（3）＜〃3）-〃2）＜/（2）,故0＜廣（3）＜＜3）-/（2）＜八2）,

故選：B.

【變式2】（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)/（x）的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）

A.r（i）＞r（2）＞r（3）＞oB.r（i）＜r（2）＜r（3）＜o(jì)

c.o＜r（i）＜r（2）＜r（3）D.r（i）＞r（2）＞o＞/-（3）

【答案】A

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得尸（i）,/⑵和廣⑶的幾何意義，結(jié)合圖像可得解.

【詳解】由函數(shù)/（x）的圖像可知,

?.?當(dāng)x20時(shí)，單調(diào)遞增，

⑴＞0,r（2）＞o,r（3）＞o.

???隨著x的增大，曲線在每個(gè)點(diǎn)處的斜率在逐漸減小，即導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減的，

.?，r（i）＞r（2）＞r（3）＞o.

故選：A.

【變式3】（23-24高二下?廣東茂名?期中）函數(shù)/（x）的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

A./'⑴＞八2）＞/'⑶＞0B.尸⑴〈（⑵＜43）＜0

C.0＜八1）＜八2）＜八3）D.0＞八1）＞八2）＞八3）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求曲線切線的斜率（傾斜角）

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得/X3）,，（2）和廣（1）的幾何意義，結(jié)合圖象可得解.

【詳解】尸⑴，/'（2）和/'⑶分別為函數(shù)在X=l,x=2和x=3處切線的斜率,

即圖中直線心4,4的斜率，

結(jié)合圖象可得0＞/（1）＞/（2）＞/（3）.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（23-24高二下?陜西渭南,期中）某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移V（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的

關(guān)系為y（f）=〃+2f,則該質(zhì)點(diǎn)在14f43這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為（）

A.6m/sB.7m/sC.8m/sD.9m/s

【答案】A

【分析】根據(jù)平均速度的計(jì)算方法，列式計(jì)算，即可得答案.

【詳解】由題意知位移V（單位：m）與時(shí)間單位：s）之間的關(guān)系為y（/）=r+2f,

則該質(zhì)點(diǎn)在1W3這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為包='⑶-"I）=3?+2x3-1-2=$（m人）.

Nt3-12

故選：A

2.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知〃x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若ynjgm'n貝|/⑵=

io2h2

（）

11

A.-1B.——C.1D.-

44

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得結(jié)果.

/;

【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義，r（2）=lim〃2+/0——2）=21im〃2+）〃2）=i.

'/20h52/z

故選：C.

3.（23-24高二下?甘肅蘭州?期中）設(shè)函數(shù)〃x）和g（x）在區(qū)間上的圖象如圖所示，那么下列說法正確的

是（）

A.在［a,b］內(nèi)的平均變化率大于g(x)在區(qū)間［a,b］平均變化率

B.在內(nèi)的平均變化率小于g(x)在區(qū)間［a,6］平均變化率

C.瑞e(a,b),使函數(shù)“X)在x=/處的瞬時(shí)變化率小于函數(shù)g(x)在x=Xo處的瞬時(shí)變化率

D.對(duì)于Vxoe(a,6),函數(shù)〃x)在x=Xo處的瞬時(shí)變化率總大于函數(shù)g(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率

【答案】C

【分析】根據(jù)平均變化率和瞬時(shí)變化率的定義及幾何意義結(jié)合圖象求解即可.

【詳解】有圖可知/Xa)=g⑷JS)=gS),

g(a)-gS)

所以

a-ba-b

即〃x),g(x)在［a,々上的平均變化率相等，所以A,B錯(cuò)誤；

由于函數(shù)在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率的幾何意義表示在該點(diǎn)處的切線的斜率,

有圖可知，3x0e(a,6)使〃x)在x。處的瞬時(shí)變化率小于g(x)在X。處的瞬時(shí)變化率，

因此C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

4.(24-25高二上?全國,課后作業(yè))設(shè)曲線無)=VH或與了軸的交點(diǎn)為A,曲線＞=/(x)在點(diǎn)A處的切線

與x軸交于點(diǎn)8,則3點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求得函數(shù)在1=0處的導(dǎo)數(shù)，求得切線方程，可求結(jié)論.

【詳解】易知"(。/),/處切線的斜率為極?3媽(%肅需+D

=lim/——二—

3J1+A/+12

則/8:y=；x+l,令y=0,貝鼠=-2,故B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一2.

故選：D.

5.(23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí))設(shè)〃x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足1加〃3+:)-〃3)=3,則曲線了=/口)

在點(diǎn)(3,〃3))處的切線的斜率是()

A.1B.3C.6D.9

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義求解即得.

【詳解】依題意，lim八3+￡）-八3）=llim/（3+Ax）-/⑶=§,貝畤/，⑶=3,即/，⑶=9,

-3Ax3-Ax3

所以曲線歹=在點(diǎn)（3J（3））處的切線的斜率是9.

故選：D

6.（23-24高二下?北京通州?期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象如圖所示，給

出下列四個(gè)結(jié)論：①汽車在［0,切時(shí)間段內(nèi)勻速行駛；②汽車在［%,初時(shí)間段內(nèi)不斷加速行駛；③汽車在

國工］時(shí)間段內(nèi)不斷減速行駛；④汽車在國,乙］時(shí)間段內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

【分析】根據(jù)斜率表示變化率，從而由斜率的變化得出速度的變化情況，進(jìn)而得出答案.

【詳解】根據(jù)題意，

①在［0/］時(shí)間段內(nèi)，位移是一條斜率大于零的直線，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)勻速行駛，故①正確；

②在［出］時(shí)間段內(nèi)，位移是一條斜率越來越大的曲線，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)不斷加速行駛，故②正確;

③在匕2,旬時(shí)間段內(nèi)，位移是一條斜率越來越小的曲線，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)不斷減速行駛，故③正確;

④在上4］時(shí)間段內(nèi)，位移不變，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)靜止不動(dòng)，故④正確.

故選：D.

7.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）曲線丁=V-3x在點(diǎn)（2,2）處的切線斜率為（）

A.9B.6C.3D.1

【答案】A

【分析】求出生，從而求出lim?,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得.

Ax-Ax

【詳解】因?yàn)锳V=（2+Ax）3-3（2+AX）-23+6=（AX）3+6（Ax）2+9Ax,

所以—=（Ax）"+6Ax+9,lim—=limP（Ax）2+6Ax+9"|=9.

Ax2。Ax20L''J

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線＞=/-3工在點(diǎn)（2,2）處的切線斜率是9.

故選：A

8.（23-24高二下?山東濰坊?期中）函數(shù)/（x）的圖象如圖所示，且r（x）是“X）的導(dǎo)函數(shù)，記

?=/（4）-/（3）,6=1（3）,c"'（4）,則（）

O\34%

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】把三個(gè)數(shù)值看成三個(gè)斜率，即可用數(shù)形結(jié)合比較大小.

【詳解】設(shè)點(diǎn)/（3,設(shè)3））,B（4J（4））

則可以把a(bǔ)=/（4）-"3）=四二/腎看成/（3,〃3））,8（4J（4））兩點(diǎn)的斜率左，

把b=/（3）看成曲線在點(diǎn)工（3,/（3））的切線斜率心，

把。=/\4）看成曲線在點(diǎn)8（4J（4））的切線斜率占，

再作出圖形進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析：

由圖可得小>1>左2,

即b<a<c.

故選：B.

二、多選題

9.（23-24高二下?四川廣元?期中）一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離〃（單位：m）與時(shí)間I

（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為“9）=2〃+2/,則下列說法正確的是（）

A.前3s內(nèi)球滾下的垂直距離的增量A/z=20mB.在時(shí)間［2,3］內(nèi)球滾下的垂直距離的增量=12m

C.前3s內(nèi)球在垂直方向上的平均速度為8m/sD.第2s時(shí)刻在垂直方向上的瞬時(shí)速度為10m/s

【答案】BCD

【分析】利用函數(shù)關(guān)系式計(jì)算可判定A、B,由平均速度、瞬時(shí)速度的求法可判定C、D選項(xiàng).

【詳解】前3s內(nèi)，加=3s,="（3）—（0）=24m,

此時(shí)球在垂直方向上的平均速度為M===8m/s,A錯(cuò)誤；C正確；

△t3

在時(shí)間［2,3］內(nèi)，A?=Is,A力=M3）_〃（2）=12m,B正確；

h'（t）=4t+2,，（2）=4x2+2=10,則第2s時(shí)刻在垂直方向上的瞬時(shí)速度為10m/s,

D正確.

故選：BCD.

10.（23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí)）如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間。至此范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說

法正確的是（）

A.在％處，甲的瞬時(shí)速度大于乙的瞬時(shí)速度

B.在/。處，甲的瞬時(shí)速度小于乙的瞬時(shí)速度

C.在，。至范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在/。至M范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度

【答案】AC

【分析】對(duì)AB,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義判斷即可；對(duì)CD,根據(jù)平均速度的定義判斷即可.

【詳解】對(duì)AB,由圖象可得在辦處，甲圖象斜率大于乙圖象斜率，故甲的瞬時(shí)速度大于乙的瞬時(shí)速度，故

A正確，B錯(cuò)誤;

對(duì)CD,在。到4范圍內(nèi)，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.（23-24高二下?廣西南寧?階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，/'（X）是"X）的導(dǎo)函數(shù)，則

B.r（-i）＞o

c./（-i）-r（-i）＞oD./（3）-3/（3）＜0

【答案】ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)/(X)的圖象確定在42處的斜率正負(fù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，逐項(xiàng)判斷

即可得結(jié)論.

【詳解】由/(x)的圖象在點(diǎn)B處的切線斜率小于0,即/'(3)<0,故A正確；

/'(T)表示/(x)的圖象在點(diǎn)A處的切線斜率，故/'(-1)<0,故B錯(cuò)誤；

由圖可知/'(一1)>0,/'(-1)<0,故/(一1)一/'(-1)>0,故C正確；

直線08的斜率小于/'(x)的圖象在點(diǎn)3處的切線斜率，

即/⑶一〃°)</，(3),所以〃3)-3/'⑶<0,D正確.

3—0

故選：ACD

三、填空題

12.(24-25高三上,上海?期中)函數(shù)>=/+1在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為.

【答案】3

【分析】根據(jù)平均變化率的定義，函數(shù)的平均變化率為孚，分別計(jì)算出Av,Ax的值代入計(jì)算即可.

Ax

【詳解】由題意得，函數(shù)y=Y+1在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為?=-"I1=—=3,

Ax2-11

故答案為：3.

13.(24-25高三上,上海?期中)已知函數(shù)〃x)=2f+l,則"(「一)一/⑴二____.

Ax

【答案】-4

【分析】求導(dǎo)，即可結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義求解.

【詳解】/(X)=2X2+1,則〃x)=4x,故/'(1)=4,

故由〃「刈1)=_扁/⑴一〃「捻)=_/，⑴一4.

20Ax20Ax

故答案為：-4

14.(23-24高三上?上海奉賢?階段練習(xí))若“X)為可導(dǎo)函數(shù)，且1面“1-2》)一/(1)=-1,則過曲線了=〃X>

32x

上點(diǎn)(1J(1))處的切線斜率為.

【答案】1

【分析】直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算得到答案.

【詳解】因?yàn)閘in/°-2司-/⑴=_］,

1。2x

故后=/(1)=1向/°二合二/⑴=1.

x->0—ZY

故答案為：1

四、解答題

15.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)/（x）=/+3x在［0,的上的平均變化率是函數(shù)g（x）=2x+l在［1,4］

上的平均變化率的3倍，求實(shí)數(shù)m的值.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率

【分析】分別求出函數(shù)g（x）在［1,4］上的平均變化率以及函數(shù)/'（x）在［0,句上的平均變化率，利用三倍的關(guān)

系構(gòu)成等量關(guān)系式，則答案可求.

【詳解】函數(shù)g（x）在［1,4］上的平均變化率為嗎二等=T=2.

函數(shù)“X）在［0,m］上的平均變化率為〃""/⑼='+3〃?=