必刷05動(dòng)態(tài)平衡及平衡中的臨界極值問題

01關(guān)鍵能力

【考點(diǎn)一共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡分析】

1.共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡問題

在共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡過程中物體始終處于一系列的平衡狀態(tài)，在問題的描述中常用“緩慢”等語言敘述。

2.解決共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡問題的常用方法

(1)解析法

確定研究對(duì)象并進(jìn)行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據(jù)物體的平衡條件列式求解，得到因變量與自變

量的函數(shù)表達(dá)式(通常為三角函數(shù)關(guān)系)，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。

⑵圖解法

此法常用于求解三力平衡問題中，已知一個(gè)力是恒力、另一個(gè)力方向不變的情況。一般按照以下流程解題。

受

力化“動(dòng)”為“靜”畫不同狀態(tài)下的受力平衡圖(力的

分

析平行四邊形或力的矢量三角形)

“靜”中求“動(dòng)”

確定力的變化

(3)相似三角形法

三力平衡問題中，正確作出力的三角形后，如能判定力的三角形與圖形中的線、桿、壁等圍成的幾何三角

形相似，則可用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出力的比例關(guān)系，進(jìn)而求解。注意構(gòu)建三角形時(shí)可能需要畫輔

助線。

三個(gè)共點(diǎn)力，其中一個(gè)力為恒力，另兩個(gè)力的方向均發(fā)生變化，則通常用相似三角形法分析。

(4)正弦定理法

如圖所示，物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài)，則三個(gè)力中任何一個(gè)力的大小分別與另外兩個(gè)力的夾

角的正弦成正比，即"=，3=上匚。

sinasinPsiny

儲(chǔ)

(5)外接圓法

三力平衡問題中，一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態(tài)的矢量三角形，

利用兩力夾角不變，可以作出外接圓，恒力為圓的一條弦，根據(jù)不同狀態(tài)的矢量三角形邊角關(guān)系判斷各力

的大小、方向變化，如圖所示。

考向1解析法

【典題例證1】（23-24高一上?江蘇連云港?期末）如圖所示，繞過滑輪的輕繩一端A固定在豎直墻上，站在

地面上的人用手拉著繩的另一端3,動(dòng)滑輪下吊著一個(gè)小球處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)將3端豎直向上緩慢移動(dòng)一小

段距離，手與繩無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪未到達(dá)A端，不計(jì)滑輪與繩之間的摩擦，則該過程中（）

A.繩上張力變小B.人對(duì)地面的壓力變小

C.滑輪受到繩的作用力變大D.地面對(duì)人的摩擦力不變

【答案】D

【詳解】A.因?yàn)橥桓K子上的拉力相等，所以兩個(gè)繩子是對(duì)稱的，與水平方向夾角是相等的。設(shè)繩子的

長度為乙繩子與水平方向的夾角為6,根據(jù)幾何關(guān)系可得，兩桿之間的距離等于/cos。，人緩慢向上移動(dòng)

一小段距離，繩子的長度不變，兩桿之間的距離不變，則角度不變，由

2Tsin。=（加球+加滑）g

解得

1（一球+一滑）g

2sin8

可知，。不變，繩上的張力T不變，故A錯(cuò)誤；

BD.對(duì)人分析，由平衡條件有

N=m人g+Tsin。

/=Tcos0

由上述分析可知，T和。均不變，可知，地面對(duì)人的支持力不變，地面對(duì)人的摩擦力不變，由牛頓第三定律

可知，人對(duì)地面的壓力不變，故B錯(cuò)誤，D正確；

C.對(duì)滑輪與小球整體分析可知，滑輪受到繩的作用力為

尸=（切球滑）g

即滑輪受到的作用力不變，故C錯(cuò)誤。

故選Do

考向2圖解法

【典題例證2】（23-24高一下?云南紅河?期末）掛燈籠是我國年俗文化的重要組成部分。圖甲中燈籠豎直懸

掛在輕繩。/和的結(jié)點(diǎn)。處，OA.03與水平桿的夾角均為60。，CM、08的拉力大小分別為月、月。

現(xiàn)保持O/方向不變，僅將。8沿順時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)至圖乙所示的水平位置02',則此過程中（）

A.片大小不變B.月先變小后變大

C.片與片的合力變小D.片與片的合力變大

【答案】B

【詳解】以。點(diǎn)為對(duì)象，處于平衡狀態(tài)，受到兩繩拉力的合力等于燈籠的重力，片與耳的合力恒定不變;

受到ON拉力片，方向保持不變，OB拉力F2,CM方向不變，僅將沿順時(shí)針緩慢旋轉(zhuǎn)至圖乙所示的水

平位置。3',根據(jù)閉合三角形定則，如圖所示

可知片變大，鳥先變小后變大。

故選B?

考向3相似三角形法

【典題例證3】（23-24高一下?陜西榆林?期末）如圖所示，質(zhì)量為機(jī)的物體由兩根繩子吊在半空中處于靜止

狀態(tài)，右側(cè)繩子的另一端固定在高樓的/點(diǎn)且與豎直方向的夾角為左側(cè)繩子由人拉著且與豎直方向的

夾角為當(dāng)人不動(dòng)而緩慢釋放繩子，下列說法正確的是（）

A.兩根繩子對(duì)物體的合力變大B.兩繩子的拉力都變小

C.地面對(duì)人的支持力變小D.地面對(duì)人的摩擦力變大

【答案】B

【詳解】A.兩根繩子對(duì)物體的合力與重力等大反向，不變。故A錯(cuò)誤;

B.對(duì)物體受力分析，如圖

由相似三角形得

GTF

ACAOOC

當(dāng)人不動(dòng)而緩慢釋放繩子，則/C增大，/O不變，OC減小，可知？減小，/減小。故B正確；

C.對(duì)人，由平衡條件得

Fcos/3+N=MgF減八、,0增大,則N增大。故C錯(cuò)誤；

D.對(duì)整體有

Tsina=/7減小，a減小，則/減小。故D錯(cuò)誤。

故選B?

考向4外接圓法

【典題例證4】（多選）（23-24高一上?湖南衡陽?期末）如圖所示，三根等長的光滑桿構(gòu)成三角架，桿Q4豎

直放置。質(zhì)量均為加的兩小球用細(xì)線相連后，分別套在兩桿上，在圖示位置能保持靜止?，F(xiàn)將三角架繞/

端在豎直平面內(nèi)沿順時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，直到02桿豎直。下列說法正確的是（）

A.04桿對(duì)小球的彈力先增大后減小

B.08桿對(duì)小球的彈力一直減小

C.轉(zhuǎn)至48桿水平時(shí)桿上的彈力大小為2加g

D.轉(zhuǎn)至48桿水平時(shí)繩上拉力為

【答案】BC

【詳解】AB.將兩小球看成一個(gè)整體，構(gòu)建整體受力的矢量三角形，如圖所示，兩彈力間的夾角大小不變,

整體重力大小方向均不變，可構(gòu)造該矢量三角形的外接圓，在CM桿對(duì)小球的彈力方向由水平變化的過程中,

OA桿對(duì)小球的彈力一直增大，OB桿對(duì)小球的彈力一直減小。故A錯(cuò)誤B正確；

C.末狀態(tài)時(shí)，兩彈力的夾角為120。，與豎直方向的夾角均為60。，根據(jù)合成規(guī)律可知末態(tài)時(shí)兩桿對(duì)球的彈

力大小相等

2mg=2Ncos600

解得

N=2mg

故c正確;

D.以02桿上的小球?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)平衡可知

T=Nsin60°

解得

T=sfimg

故D錯(cuò)誤。

故選BCo

1.臨界問題

在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。臨界問題常見的種類：

(1)由靜止到運(yùn)動(dòng)，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

(2)繩子恰好繃緊，拉力尸=0。

(3)剛好離開接觸面，彈力廠彈=0。

2.極值問題

在力的變化過程中存在力的最大值或最小值。

3.解決共點(diǎn)力平衡中的臨界問題和極值問題的方法

(1)極限法：首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn)；臨界條件必須在變

化中去尋找，不能停留在一個(gè)狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個(gè)物理量推向極端，即極大或極小。

(2)數(shù)學(xué)分析法：通過對(duì)問題的分析，依據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像)，用

數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。

(3)物理分析法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖(力的平行四邊形或力的矢量三角形)，通過對(duì)物理過

程的分析，在力的矢量圖上進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值或最小值。

考向1極限法

【典題例證5】(23-24高一上?江蘇泰州?期末)如圖所示，輕繩。系物塊A懸掛在O點(diǎn)，A、B之間用輕

繩6水平連接，物塊B靜止于傾角為。的斜面上，。與豎直方向的夾角也為a0=30。，B與斜面間的動(dòng)摩擦因

數(shù)〃=半，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，g取lOm/s?。若電plkg,機(jī)B=4kg,求：

(1)輕繩。拉力北的大??；

(2)物塊B與斜面之間摩擦力廳的大小；

(3)若加小7處數(shù)值未知，其它條件均不變，系統(tǒng)始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，求為的最大值。

外

水平面

【答案】(1)3巫N；(2)25N；(3)(

33

【詳解】(1)對(duì)A、B受力分析如圖所示

對(duì)A在豎直方向有

mAg=Tacos0

解得

辿IN

3

(2)根據(jù)A、B的受力分析可得

TT-n20陋1T10%

Th=?；sm6>=^—x-N=-j—N

而對(duì)B在平行于斜面方向有

Tbcos0+mBgsin夕=4

代入數(shù)據(jù)解得

耳=25N

UI

（3）當(dāng)A的質(zhì)量達(dá)到一定值后，B與斜面間的摩擦力將達(dá)到最大靜摩擦，此時(shí)4的比值也將達(dá)到最大值,

加B

對(duì)物體B,在沿著斜面方向有

TbcosO+m9gsvaO=F{

在垂直斜面的方向上有

旦+說sin夕=mBgcos0

其中

Tb=mAgtaaO,然

聯(lián)立解得*的最大值

%

加B3

考向2物理分析法

【典題例證6】（23-24高一上?安徽黃山?期末）某商場(chǎng)為應(yīng)對(duì)經(jīng)濟(jì)不景氣、客源不足，推出了用筷子夾金磚

的游戲來刺激消費(fèi)。商家為了不讓顧客夾起金磚，將金磚的豎直剖面設(shè)計(jì)為等腰梯形，并要求顧客按如圖

所示方向夾金磚，若筷子與金磚之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.75（滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力）則梯形的底角

必須滿足（）

C.小于60。D.大于60。

【答案】A

【詳解】設(shè)體型底角為0,對(duì)金磚進(jìn)行受力分析，如圖

商家需要無論金磚質(zhì)量如何，都不能夾起金磚，則應(yīng)有

2ysine=2/zFNsin0<2FNcos6

解得

6453°

故選Ao

【關(guān)鍵能力提升】

(1)共點(diǎn)力平衡中的臨界與極值問題常與動(dòng)態(tài)平衡問題結(jié)合起來考查，應(yīng)用圖解法進(jìn)行分析，作出力的平行

四邊形或矢量三角形，常常有助于直觀地得到結(jié)果。

(2)由靜摩擦力變?yōu)榛瑒?dòng)摩擦力、摩擦力方向改變、彈力有無及方向改變常常是臨界與極值問題中要特別注

意的。

02必刷提升練

【刷基礎(chǔ)】

—*>單選題

1.(23-24高一上?云南昆明?期末)單杠是一項(xiàng)大眾喜聞樂見的體育健身運(yùn)動(dòng)，如圖所示，健身者上杠后雙

手間距增大后且再次穩(wěn)定時(shí)，下列說法正確的是()

A.健身者所受重力就是兩手臂拉力的合力

B.當(dāng)健身者兩手臂夾角到達(dá)120。時(shí)，健身者每只手臂拉力大小等于健身者所受重力

C.健身者所受重力和兩只手臂拉力的合力是一對(duì)作用力和反作用力

D.健身者兩手臂所受的拉力增大，健身者所受的合力增大

【答案】B

【詳解】A.兩手臂拉力的性質(zhì)為彈力，所以健身者所受重力不是兩手臂拉力的合力，故A錯(cuò)誤；

B.當(dāng)健身者兩手臂夾角到達(dá)120。時(shí)，根據(jù)

2Fcos60°=mg

解得

F=mg

可知健身者每只手臂拉力大小等于健身者所受重力，故B正確；

C.健身者所受重力和兩只手臂拉力的合力是一對(duì)平衡力，故C錯(cuò)誤；

D.健身者上杠后雙手間距增大后且再次穩(wěn)定時(shí)，健身者受力平衡，所受的合力仍為0,故D錯(cuò)誤。

故選Bo

2.（23-24高一上?寧夏銀川?期末）如圖所示，某健身愛好者手拉著輕繩，在粗糙的水平地面上緩慢地移動(dòng),

保持繩08一直處于水平方向，在。點(diǎn)懸掛重物C,則（）

A.若健身者緩慢向右移動(dòng)，繩。（的拉力變小

B.若健身者緩慢向右移動(dòng)，繩的拉力變大

C.若健身者緩慢向右移動(dòng)，繩04。2拉力的合力變大

D.若健身者緩慢向右移動(dòng)，健身者與地面間的摩擦力變小

【答案】B

【詳解】對(duì)結(jié)點(diǎn)。進(jìn)行分析，根據(jù)平衡條件可得

F0Acos0=mg

FOAsin0=FOB

可得

*4=嵯小FOB=mg^6

COS”

ABC.當(dāng)健身者緩慢向右移動(dòng)時(shí)，e變大，則％、%均變大，繩。/、拉力的合力一定等于重物C的

重力加g,保持不變，故AC錯(cuò)誤，B正確；

D.對(duì)健身者進(jìn)行分析，根據(jù)平衡條件可得，健身者與地面間的摩擦力和所大小相等，即健身者與地面間

的摩擦力變大，故D錯(cuò)誤。

故選Bo

3.（23-24高一上?浙江嘉興?期末）如圖甲為消防員在搶險(xiǎn)救災(zāi)工作中從頂樓直降到某一樓層的瞬間，其下

降過程可簡化為：消防員的腳與墻壁接觸點(diǎn)為《點(diǎn)，人的重心在3點(diǎn)，/到2可簡化為輕桿，為輕繩，

。點(diǎn)為輕繩懸掛點(diǎn)且保持固定.已知消防員初始時(shí)NOA4=90。保持靜止，緩慢下降過程中長度以及

與豎直方向的夾角均保持不變，如圖乙所示.在消防員下降過程中（）

A.AB桿對(duì)人的力方向從N指向B且變小B.AB桿提供拉力且大小保持不變

C.03繩拉力先減小后增大D.消防員所受合力增大

【答案】A

【詳解】由分析可知，AB桿提供支持力，否則無法平衡。兩種情況相比較，重力大小方向不變，桿的支持

力方向不變，作出受力圖如圖所示

消防員下降一定高度后，再次保持靜止時(shí)，此過程中消防員所受的合力為零不變，相對(duì)于初始位置桿的

支持力變小，。2繩拉力逐漸增大，故A正確、BCD錯(cuò)誤。

故選Ao

4.（22-23高一上?浙江杭州?期中）如圖所示，輕繩。/將一質(zhì)量為機(jī)的小球懸掛于。點(diǎn)，與豎直方向

的夾角為￡=30°,在水平力尸作用下，小球靜止?，F(xiàn)使力尸沿逆時(shí)針方向緩慢旋轉(zhuǎn)至豎直向上，小球位置

始終不變，上述過程中（）

o

A.力尸逐漸減小B.力廠逐漸增大

C.輕繩CU對(duì)球的拉力先增大再減小D.力/最小值為g切g(shù)

【答案】D

【詳解】小球受重力加g、拉力廠和輕繩的拉力br,其中重力的大小和方向均不變，輕繩的拉力的方向不變;

三力平衡時(shí)，三個(gè)力可以構(gòu)成首尾相連的矢量三角形，作圖如下

力尸沿逆時(shí)針方向緩慢旋轉(zhuǎn)時(shí)，由圖可看出，力尸先減小后增大，且當(dāng)力尸與水平方向的夾角30。時(shí)，尸最

小，最小值為

4山=〃?gsin30°=~mg

而輕繩OA上的拉力丹一直減小。

故選D。

5.（23-24高一上?浙江?期末）如圖所示，工人利用滑輪組將重物緩慢提起，下列說法正確的是（）

A.工人受到的重力和支持力是一對(duì)平衡力

B.工人對(duì)繩的拉力大于繩對(duì)工人的拉力

C.重物緩慢拉起過程，繩子拉力不變

D.重物緩慢拉起過程，人受到的支持力變小

【答案】D

【詳解】A.對(duì)人受力分析有

F^+Fr=mg

可知工人受到的重力和支持力不是一對(duì)平衡力，故A錯(cuò)誤；

B.工人對(duì)繩的拉力和繩對(duì)工人的拉力是一對(duì)相互作用力，大小相等，方向相反，故B錯(cuò)誤;

CD.對(duì)滑輪做受力分析有

2cos。

則隨著重物緩慢拉起過程，6逐漸增大，則尸7逐漸增大，根據(jù)

F^+Fr=mg

可知人受到的支持力變小，故D正確，C錯(cuò)誤。

故選D。

6.（23-24高一上?浙江?期末）如圖所示，橡皮筋的一端固定在。點(diǎn)，另一端拴一個(gè)物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），

。點(diǎn)的正下方N處有一垂直于紙面的光滑細(xì)桿，為橡皮筋的自然長度。已知橡皮筋的彈力與伸長量成正

比，現(xiàn)用水平拉力尸使物體在粗糙的水平面上從2點(diǎn)沿水平方向勻速向右運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)，已知運(yùn)動(dòng)過程中橡

皮筋處于彈性限度內(nèi)，且物體對(duì)水平地面始終有壓力，下列說法正確的是（）

A.物體所受水平面的摩擦力保持不變

B.物體所受地面的支持力先減小后增大

C.橡皮筋對(duì)細(xì)桿的作用力先增大后減小

D.水平拉力廠變小

【答案】A

【詳解】設(shè)橡皮筋的勁度系數(shù)為后，剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，橡皮筋伸長量為方則物體受到地面的支持力

F^=mg-kl0

所受的摩擦力

/=〃&=〃（加g-〃o）

物塊從2向右移動(dòng)了x,橡皮筋伸長量為/,與水平方向夾角為0,橡皮筋對(duì)細(xì)桿的作用力

N=klcos6=kx

對(duì)細(xì)桿的作用力先增大；

物塊受到地面的支持力

Fr=mg-左/sin0=mg-kl0=FN

因此，物體所受地面的支持力保持不變；

所受的摩擦力

f'==〃（加g_〃o）=/

所受的摩擦力保持不變；

水平拉力

F=klcos0+f=kx+/d（mg-k［）

因此水平拉力逐漸增大。

故選Ao

7.（23-24高一上?湖北武漢?期末）如圖所示，一根輕繩的一端固定在墻上/點(diǎn)，另一端繞過動(dòng)滑輪懸掛一

重物，其中滑輪與/之間的細(xì)繩水平，另有一根輕繩8尸，其一端與動(dòng)滑輪的轉(zhuǎn)軸尸相連，另一端點(diǎn)B固定

在直角墻壁的頂點(diǎn)上，此繩與豎直方向夾角為凡整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，光滑輕質(zhì)滑輪的大小可以忽略,

現(xiàn)緩慢移動(dòng)輕繩端點(diǎn)B,下列說法正確的是（）

A.若端點(diǎn)B沿墻壁水平向左移動(dòng)，則e變大,8尸繩上拉力變小

B.若端點(diǎn)3沿墻壁水平向左移動(dòng)，則e變小,8尸繩上拉力變大

c.若端點(diǎn)8沿墻壁豎直向上移動(dòng)，則e變大,AP繩上拉力變小

D.若端點(diǎn)&沿墻壁豎直向上移動(dòng)，則e變小,AP繩上拉力變大

【答案】D

【詳解】

AB.由題意知PN是一根繩子，并且以段水平，而PN段豎直，所以

ZAPN=90Q

故/尸、詆段繩子受的力大小始終等于重物的重力，兩段繩子拉力的合力在N/PN的角平分線上，即合力

與水平方向的夾角為45。，根據(jù)幾何關(guān)系可知兩段繩子拉力的合力為

F=垃mg

又由于整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，3P段繩子的拉力與/尸、2VP段繩子拉力的合力等大反向，即3P段繩子與

水平方向的夾角為45。，大小為?g；若端點(diǎn)3沿墻壁水平向左移動(dòng)，則。不，BP繩上拉力不變，故AB

錯(cuò)誤;

CD.若端點(diǎn)B沿墻壁豎直向上移動(dòng)，PA、尸N夾角變小，合力變大，則6變小，繩上拉力變大，故C錯(cuò)

誤，D正確。

故選D。

8.（23-24高一上?山西朔州?期末）一個(gè)小朋友在搭積木時(shí)，將兩個(gè)相同的三棱柱甲、乙相鄰置于水平地面

上，表面光滑的圓柱體丙架在兩個(gè)三棱柱之間，截面如圖所示。三塊積木的質(zhì)量均為加且處于靜止?fàn)顟B(tài)（重

力加速度為g）,下列說法正確的是（）

A.甲受到3個(gè)力的作用

B.甲對(duì)丙的支持力為加g

C.若增大甲、乙間的距離，丙未落地且三者仍靜止，則甲對(duì)丙的作用力不變

D.地面對(duì)甲的支持力大小為3mg

【答案】C

【詳解】A.分析可知，甲受到重力、地面的支持力、丙對(duì)甲的壓力，而由于丙對(duì)甲的壓力斜向左下方，因

此甲有向做運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，所以甲還受到地面對(duì)其水平向右的靜摩擦力的作用，即甲一共受4個(gè)力的作用，

故A錯(cuò)誤；

B.對(duì)丙受力分析如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系可知，甲乙對(duì)丙的支持力大小相等，有

N、=N]

根據(jù)平衡條件有

2N2cos45°=mg

解得

V2

=m

N2~S

故B錯(cuò)誤;

c.若增大甲、乙間的距離，丙未落地且三者仍靜止，此時(shí)甲、乙對(duì)丙的支持力與豎直方向的夾角a將不變,

而根據(jù)

2Mcosa=mg

可知，甲乙對(duì)丙的支持力不變，故C正確；

D.將甲乙丙看成一個(gè)整體，整體在豎直方向上受力平衡，有

3mg=No

而根據(jù)對(duì)稱性可知，地面對(duì)甲、乙的支持力相等，設(shè)為乂，則由

3mg=2N；

解得

故D錯(cuò)誤。

故選C。

9.（23-24高一上?湖南?期末）小明在觀察如圖所示的沙子堆積時(shí)，發(fā)現(xiàn)沙子會(huì)自然堆積成圓錐體，且在不

斷堆積過程中，材料相同的沙子自然堆積成的圓錐體的最大底角都是相同的。小明測(cè)出這堆沙子的底部周

長為31.4m,利用物理知識(shí)測(cè)得沙子之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5,估算出這堆沙子的體積最接近（圓錐體的體

積公式憶=；酣，其中S是圓錐體的底面積，〃是圓錐體的高，兀取3.14）（）

A.20m3B.60m3C.100m3D.140m3

【答案】B

【詳解】沙堆底部周長為31.4m,則圓錐體的底部圓半徑為

31.4二

r=----------m=5m

2x3.14

對(duì)錐面上的一粒沙粒分析，當(dāng)沙粒剛好靜止時(shí)，則有

jumgcos0=mgsin6

可得

〃=tan6=一

r

解得圓錐體高為

h=2.5m

圓錐體的體積約為

V=-Sh=-x3.14x52X2.5m3?65m3

33

可知這堆沙子的體積最接近60m3。

故選Bo

10.（23-24高一上?重慶沙坪壩?期末）如圖所示，一玻璃清潔工人坐在簡易的小木板8C上，通過樓頂?shù)幕?/p>

輪和輕質(zhì)繩索04在豎直平面內(nèi)緩慢下降。在下降過程中，工人腿部與豎直玻璃墻的夾角〃=60。，且保持

不變。玻璃墻對(duì)腳的作用力始終沿腿方向，小木板2C保持水平且與玻璃墻平行。某時(shí)刻輕繩04與豎直玻

璃墻的夾角c=30。，連接小木板的兩等長輕繩/2、/C的夾角6=120。，且與在同一傾斜平面內(nèi)。已知

工人及工具的總質(zhì)量m=80kg,小木板的質(zhì)量可忽略不計(jì)，g=10m/s2。假設(shè)工人姿勢(shì)保持不變，下列說

法正確的是（）

A.此時(shí)，玻璃墻對(duì)腳的作用力大小為400?N

B.此;時(shí)，AB、/C繩上的張力大小均為400N

C.從該時(shí)刻起，工人緩慢下降過程中，玻璃墻對(duì)腳的作用力逐漸減小

D.從該時(shí)刻起，工人緩慢下降過程中，ON繩上的張力逐漸減小

【答案】C

【詳解】A.對(duì)工人受力分析如圖所示

mg

此時(shí)，玻璃墻對(duì)腳的作用力大小為

F=mgcos0=800x；N=400N

故A錯(cuò)誤;

B.此時(shí)OA繩上的張力大小為

TOA=mgcosa=800xN=400V3N

由于N5、NC具有對(duì)稱性，且4?、NC繩上張力的合力大小與OA繩上的張力大小相等方向相反、合力為零,

則可得

&2&cos60。=之

解得

&=*=400屬

故B錯(cuò)誤；

CD.從該時(shí)刻起，工人緩慢下降過程中，作出力的矢量三角形，如圖所示

隨著工人緩慢下降，繩。N與豎直方向的夾角0逐漸減小，根據(jù)動(dòng)態(tài)變化過程可知，玻璃墻對(duì)腳的作用力逐

漸減小，04繩上的張力逐漸增大，故C正確，D錯(cuò)誤。

故選Co

11.（23-24高一上?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）如圖所示，物體的質(zhì)量為2kg,兩根輕細(xì)繩和/C的一端

固定于豎直墻上，另一端系于物體上（/A4C=6?=60。），在物體上另施加一個(gè)方向與水平線也成6角的拉

力尸，若要使繩都能伸直，下列尸中不可能的是（取g=10m/s2）（

A.4V3NB.8V3ND.12A/3N

【答案】A

【詳解】由平衡條件有，水平方向有

TRDcos0+TCL=Fcos6

豎直方向有

心sin6+尸sine=mg

整理有

T=9一F

Bsin。

…KF

若要使繩都能伸直，則1和心均大于零，所以應(yīng)該有

〃陪?。簃g

2sin6sin。

解得

33

本題選不可能的，故選A。

12.（23-24高一上?山西陽泉?期末）如圖所示為機(jī)械手抓取籃球的照片。為便于研究，將機(jī)械手簡化為三根

"手指"，且不考慮籃球的明顯形變。抓取點(diǎn)平均分布在同一水平面內(nèi)，抓取點(diǎn)與球心的連線與該水平面夾角

為，"手指"與籃球的動(dòng)摩擦因數(shù)為4,籃球的重力大小為G,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。下列說法正確

的是（）

A.只要"手指"對(duì)籃球的壓力足夠大，a不論取何值都能將籃球抓起

B.若〃與a的關(guān)系滿足〃〉tanc,則一定能將籃球抓起

C.若能抓起籃球，則每根"手指"對(duì)籃球壓力的最小值為三——G

3(//coscr-sina)

D.若抓起籃球豎直向上做加速運(yùn)動(dòng)，則每根"手指"對(duì)籃球的壓力一定變大

【答案】C

【詳解】ABC.對(duì)籃球受力分析，豎直方向滿足

3fcosa=3bNsina+G

因?yàn)殪o摩擦力

解得

3(〃cosa-sma)

所以想要抓起籃球，則每根"手指"對(duì)籃球壓力的最小值為4——G.、,且可得夾角a滿足

3(〃cosa-sma)

G

〃2tana+--------------

3"cosa

時(shí)，才能將籃球抓起。且〃>tana時(shí)，不一定能將籃球抓起，故AB錯(cuò)誤，C正確；

D.若抓起籃球豎直向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，且恰好達(dá)到最大靜摩擦?xí)r，滿足

3〃綜cosa-3&sina-G=ma

可得

F_G+ma

N3(〃cosa-sina)

則每根"手指"對(duì)籃球的壓力保持不變，故D錯(cuò)誤。

故選C。

13.(23-24高一上?湖北恩施?期末)如圖所示，一光滑的輕滑輪用輕繩必懸掛于M點(diǎn)，站在地面上的人用

輕繩跨過滑輪拉住漏斗，拉漏斗的繩與M4延長線的夾角為人所拉輕繩與M4延長線的夾角為尸，在砂

子緩慢漏出的過程中，人握住輕繩保持不動(dòng)，則在這一過程中()

wxwww

A.a不一定等于?B.輕繩M4的拉力逐漸增大

C.人對(duì)地面的壓力逐漸減小D.人對(duì)地面的摩擦力逐漸減小

【答案】D

【詳解】A.繩子拉力始終等于漏斗和砂子的重力，對(duì)滑輪受力分析可得

垂直于M4方向有

耳sin0=Ksina

可得

a=[3

故A錯(cuò)誤；

B.設(shè)漏斗和砂子總質(zhì)量為機(jī)，則

沿M4方向有

F=KCOSa+耳COS/3=2FTcosa=2mgcosa

在砂子緩慢漏出的過程中，漏斗和砂子總質(zhì)量為〃，在減小，故輕繩的拉力逐漸減小。故B錯(cuò)誤;

D.設(shè)人的質(zhì)量為“，對(duì)人受力分析如圖所示

水平方向有

Ff=耳sin0

其中

9=cc+(3=%

耳=4=mg

在砂子緩慢漏出的過程中，e不變,sin。不變，漏斗和砂子總質(zhì)量為加在減小，理減小，故地面對(duì)人的摩

擦力逐漸減小，故D正確；

C.對(duì)人受力分析，豎直方向有

然+4'cos0=m'g

地面對(duì)人的支持力為

氏=加&-4%05。。不變，COS。不變，號(hào)減小，故地面對(duì)人的支持力逐漸增大，故C錯(cuò)誤。

故選Do

二、多選題

14.（23-24高一上?貴州畢節(jié)?期末）如圖所示，質(zhì)量為用的物體用。4和08兩根等長的輕繩懸掛在半圓形

的支架上，。點(diǎn)位于半圓的圓心上。開始時(shí)，0/與。2之間的夾角為90。且/、3關(guān)于最高點(diǎn)C對(duì)稱。現(xiàn)保

持3點(diǎn)固定不動(dòng)，/點(diǎn)由圖示位置向。點(diǎn)緩慢移動(dòng)。在此過程中（0408始終處于緊繃狀態(tài)）（）

A.繩04、02的拉力的合力會(huì)發(fā)生變化

B.繩05的拉力逐漸增大

C.繩04的拉力逐漸減小

D./點(diǎn)移動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，繩08的拉力大小為

【答案】BD

【詳解】A.。4和08兩拉力的合力豎直向上，始終等于用g；故A正確;

BC.。2繩拉力方向不變，根據(jù)平行四邊形定則得，如圖

開始時(shí)，與之間的夾角為90。，當(dāng)N點(diǎn)向。移動(dòng)時(shí)，繩08、CM的拉力均逐漸增大；故B正確，C錯(cuò)

誤；

D./點(diǎn)移動(dòng)到。點(diǎn)時(shí)，繩CM處于水平，繩。8與豎直方向的夾角為45。，有

紜8cos45°=mg

解得

FOB=垃mg

故D正確。

故選BDo

15.（23-24高一上?四川綿陽?期末）近年來，多人秋千在游樂場(chǎng)很受歡迎，南山中學(xué)為了豐富高三學(xué)子的課

余生活，在高三園區(qū)添置了該設(shè)施，已知多人秋千的水平座椅由16根等長的繩子（不計(jì)繩子的質(zhì)量）等間

距的固定在兩根平行的橫梁上，假設(shè)每根繩子與豎直方向的夾角。=30。。初始時(shí)座椅靜止在最低點(diǎn)，現(xiàn)將

座椅用水平拉力緩慢拉至繩子平面（如圖乙）與座椅平面的夾角為a=45。（如圖丙），該過程中所有繩子始

終繃直。座椅的質(zhì)量為根,當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間。關(guān)于該過程，下列說法正確的是（）

A.初始時(shí)，每根繩子的拉力為立冽g

24

B.繩子平面與座椅平面的夾角為a=45。時(shí)，每根繩子的拉力為更加g

8

C.水平拉力逐漸變大

D.若保持a=45。不變，拉力方向緩慢逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至豎直方向，拉力逐漸變小

【答案】AC

【詳解】A.初始時(shí)，座椅靜止，根據(jù)平衡條件可得

167]cos0=mg

初始時(shí)，每根繩子的拉力為

故A正確；

B.繩子平面與座椅平面的夾角為a=45°時(shí)，座椅靜止，根據(jù)平衡條件可得

%sina=mg

每根繩子的拉力為

T亞

故B錯(cuò)誤；

C.座椅靜止，根據(jù)平衡條件可得

,mg

tana=----

F

水平拉力為

tana

用水平拉力緩慢拉座椅，a減小，水平拉力逐漸變大，故C正確；

D.若保持e=45。不變，座椅受到的重力不變，繩子拉力的方向不變，拉力方向緩慢逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至豎直方向,

做出力的矢量三角形，可知拉力先變小后增大，故D錯(cuò)誤。

故選ACo

16.（23-24高一上?山東聊城?期末）如圖，甲、乙兩物體的質(zhì)量相等，物體甲通過輕繩懸掛在光滑輕質(zhì)動(dòng)滑

輪A上，動(dòng)滑輪A置于輕繩上。輕繩的一端固定在水平天花板上的。點(diǎn)，另一端通過光滑定滑輪B與物體

乙相連，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)將定滑輪B水平向右緩慢移動(dòng)一小段距離x,移動(dòng)滑輪的過程中，物體、滑

輪始終沒有相碰。設(shè)輕繩通過動(dòng)滑輪A形成的夾角為且不計(jì)兩滑輪的大小。下列說法正確的是（）

A.未移動(dòng)滑輪B之前，0=120。

B.移動(dòng)滑輪B的過程中，6不變

C.移動(dòng)滑輪B后，物體甲水平方向移動(dòng)的位移大小為:

D.移動(dòng)滑輪B后，物體乙豎直方向移動(dòng)的位移大小為lx

3

【答案】ABC

【詳解】A.輕繩上的張力大小處處相等，繩中張力始終等于物體重力，且兩繩的合力與物體甲的重

力大小相等，對(duì)滑輪A由三力平衡可得

0=120°

A正確；

BCD.設(shè)02的水平距離為力根據(jù)幾何關(guān)系，滑輪B左側(cè)輕繩的長度

L=^—

cos30°

滑輪B水平向右緩慢移動(dòng)一小段距離x,因?yàn)槔K中的力不變，所以e不變，根據(jù)幾何關(guān)系可知，物體甲水平

方向移動(dòng)的位移大小為因此左側(cè)輕繩的長度

1,d+尤

L=--------

cos30°

即左側(cè)輕繩伸長

X273

=X

cos300------3

右側(cè)輕繩縮短短x,物體乙豎直方向移動(dòng)的位移大小為述尤，BC正確D錯(cuò)誤。

33

17.（23-24高一上■湖北襄陽?階段練習(xí)）如圖所示，傾角。=30。的斜面體A固定在水平地面上，一根輕繩

跨過斜面體頂端的小滑輪，繩兩端系有質(zhì)量為25〃和別的小物塊a、b,整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)給物塊

6施加一個(gè)水平向右的力R使其緩慢運(yùn)動(dòng)到繩與豎直方向成60。角的位置。整個(gè)過程中小物塊。一直保持

不動(dòng)，不計(jì)繩與滑輪間的摩擦.在此過程中（）

A.力F一直增大

B.小物塊a受到的摩擦力先增大再減小

C.繩上張力先增大后減小

D.小物塊a與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)最小值為由

5

【答案】AD

【詳解】AC.物塊6處于平衡態(tài)，對(duì)b受力分析，如圖所示

設(shè)繩與豎直方向的夾角為a,根據(jù)平行四邊形定則可知，

水平向右的力

F=mgtana

繩的拉力

cosa

故當(dāng)。從0變化為60。的過程，尸逐漸變大，7逐漸變大，A正確，C錯(cuò)誤;

BD.根據(jù)繩的拉力

cosa

可知，當(dāng)a=0時(shí)

心=mS

當(dāng)a=60°時(shí)

北皿=2mg

對(duì)a受力分析.如圖所示

mg

剛開始

Tmm=mga處于靜止?fàn)顟B(tài)，則摩擦力

f=25mgsin30°-7Vn=0.25加g

方向沿斜面向上

當(dāng)a變?yōu)?0。時(shí)，摩擦力為

「'=&x-25mgsin30°=Q.75mg

方向沿斜面向下，故小物塊。受到的摩擦力先減小再增大，故小物塊。與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)最小值為

0.75/wg6

“皿"2.5mgeos30。5

故B錯(cuò)誤D正確。

故選ADo

三、解答題

18.（23-24高一上?北京東城?期末）門下縫隙處塞了一個(gè)木楔，木楔尺寸比門小得多，側(cè)面如圖所示。已

知木楔質(zhì)量為m,其上表面可視作光滑，下表面與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為“，木楔上表面與水平地面間

的夾角為仇重力加速度為g,最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力。

（1）若門推動(dòng)木楔在地板上緩慢移動(dòng)，求木楔對(duì)門下端的支持力大??；

（2）小明研究發(fā)現(xiàn)，存在一種情境：不管用多大力推門，塞在門下縫隙處的木楔（質(zhì)量較?。┒寄軐㈤T卡

住而不再運(yùn)動(dòng)。求這一情境下木楔傾角。與動(dòng)摩擦因數(shù)〃所滿足的關(guān)系式。

【答案】⑴就⑵

【詳解】（1）對(duì)木楔受力分析，受到重力、壓力、支持力和摩擦力，如圖所示，若門推動(dòng)木楔在地板上緩

慢移動(dòng)，則由力的平衡條件可知，在豎直方向上有

然=FcosO+mg

在水平方向上有

Ff=Fsin0

又知

耳=〃然

聯(lián)立解得

尸=〃加g

sin。一〃cos。

由牛頓第三定律可得木楔對(duì)門的支持力F1大小為

F'=F=—儂一

sin。一〃cos。

（2）不管用多大力推門，塞在門下縫隙處的木楔都能將門卡住而不再運(yùn)動(dòng)，即推力的水平分力小于最大靜

摩擦力，而最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力，則有

FsinO<juCFcosO+mg）

因木楔質(zhì)量較小，可得

tan

19.（23-24高一上?重慶?階段練習(xí)）如圖所示，質(zhì)量均為m=2kg的兩個(gè)半圓柱體A、B放在粗糙水平地面上,

質(zhì)量機(jī)'=6kg、外表面光滑的圓柱體C放在A、B之間，A、B、C均處于靜止?fàn)顟B(tài)，A、B恰好接觸且A、B

間沒有作用力。已知A、B、C的半徑相同，A、B與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為〃=%，取重力加速度大小

g=10m/s2,認(rèn)為最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。

（1）求C對(duì)A的壓力大小N；

（2）求地面對(duì)A的支持力大小b和摩擦力大小/；

（3）若其他條件不變，用相同半徑的光滑圓柱體D取代C,使A、B、D仍在圖示位置處于靜止?fàn)顟B(tài)，求D

的質(zhì)量M應(yīng)滿足的條件。

【答案】（1）N=10N；（2）F=（20+5V3）N,/=5N;（3）M44kg

【詳解】（1）C的受力情況如圖所示

設(shè)A對(duì)C的支持力大小為N，，有

臉=NcosO

2

其中

8=30°

解得

N'=1