專題03分式過關(guān)檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一.選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。

1.在g1包，拶，?，1+5中，分式的個數(shù)有（）

x2x7Tx+yx

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【分析】本題考查了分式的定義，正確理解分式定義是解題的關(guān)鍵，判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含

有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式。

【詳解】解：由此可得;，理不是分式，；，包，之，1+J是分式，共4個分式，

271Xxx+yx

故選B

2.分式等無意義，則x的取值范圍是（）

A.B.x=1C.%。一1D.x——1

【答案】B

【分析】本題主要考查了分式無意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式無意義的條件：分母為0.根據(jù)分

式有意義的條件，即可解答.

【詳解】解：?.吩式告無意義，

1=0,

解得：%=1,

故選：B.

3.下列分式是最簡分式的（）

a+ba2aa^—ab

22CD

A，a+ba2_3a-而-

【答案】A

【分析】本題主要考查了最簡分式，分式的基本性質(zhì)，掌握最簡分式，分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分，化出最簡分式即可進(jìn)行判斷.

【詳解】解：選項A中，畀，不能約分，故選項A符合題意；

a1

選項B中，/=二不天故選項B不符合題意；

選項C中，若=令，故選項c不符合題意；

3a￡b3ab

選項D中，與卷=急，故選項D不符合題意.

a—ba十。

故選：A.

4.對于分式券，當(dāng)x、y都擴(kuò)大到原來的3倍時，分式的值（）

A.不變B.擴(kuò)大到原來的3倍

C.擴(kuò)大到原來的9倍D.不能確定

【答案】B

【分析】本題考查分式的性質(zhì).將x,y都擴(kuò)大為原來的3倍，再進(jìn)行化簡約分，即可得出結(jié)果.掌握分

式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：分式懸中的x,y都擴(kuò)大為原來的3倍,

33久.3y_27秒_9町_3%y

人」：33久-3y=9x-3y=3x-y=''3x-y*

???分式的值擴(kuò)大為原來的3倍.

故選B.

5.下列各式從左到右的變形正確的是（）

nn—aa+xa+1ynan

A—=-------R------=-------C~

mm-aD,b+xb+1xmam

【答案】D

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì),分式的分子分母同乘或除以不為零的數(shù)或整式，分式的值不

變.熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐一進(jìn)行分析判斷即可.

【詳解】解：A.分式的分子分母同時減去一個數(shù)，所得的分式與原分式的值不一定相等，故《=黑

錯誤；

B.分式的分子分母同時除以同一個不為0的數(shù)時，分子分母的各項都要除，故需=震錯誤；

C.分式的分子分母同時平方后，所得的分式與原分式的值不一定相等，故?=三錯誤；

D.由分式的左邊可得a70,故分式的分子分母同除以a,分式的值不變，故2=2正確.

故選：D.

6.小明在紙上書寫了一個正確的演算過程，同桌小亮一不小心撕壞了一角，如圖所示，則撕壞的一角中

"口"為()

【答案】A

【分析】本題考查的是分式的混合運算，理解題意，列出正確的運算式是解本題的關(guān)鍵.

先根據(jù)乘法與減法的意義列式表示"口"為三x(5-a)+1,再計算即可.

【詳解】解：撕壞的一角中"口"為

1

不^義(5-a)+l

5—CL+CL—4

CL—4

一1

a—4°

故選：A.

7.綠化隊原來用漫灌方式澆綠地，a天用水小噸，現(xiàn)改用噴灌方式，可使這些水多用3天，則現(xiàn)在比原來每

天節(jié)約用水噸數(shù)是()

mmmmmmmm

A-至一有B.C.D.

【答案】A

【分析】本題考查了分式的減法，正確進(jìn)行分式的減法運算是關(guān)鍵.首先表示出原來與現(xiàn)在每天的用水

量，然后求差即可.

【詳解】解：原來每天用水量：『噸，

改用噴灌方式后的每天用水量：^噸，

則現(xiàn)在比原來每天節(jié)約用水：？一捻噸.

故選:A.

8.如圖，若無為正整數(shù)，則表示QT—1)+(*T+1)的值的點落在()

①②③④

，、、1/、、1,，、、J./、＞

00.511.52

A.段①B.段②C.段③D.段④

【答案】B

【分析】將原式分子分母因式分解，再利用分式的混合運算法則化簡，最后根據(jù)題意求出化簡后分式的

取值范圍，即可選擇.本題考查分式的化簡及分式的混合運算，最后求出化簡后的分式的取值范圍是解

答本題關(guān)鍵.

【詳解】解：蕓?會一。一一尸(廠+1)

x2+3xx—11—x1+x

-----------------------------------------

x3—x3+%xx

+3)x—11—xx

----------------------------X--------

%(%—1)(%+1)3+%x1+x

11—x

x+11+x

x

???X為正整數(shù)，

1<X<X+1,

1xY

5〈有<1，

甘?愛—(%T—1)+(%-1+1)的值的點落在段②，

故選：B.

9.已知工4=4,則2"蔗：；北=()

22

A.-B.——C.-6D.6

【答案】D

【分析】本題考查了分式的化簡求值，由已知可得a-b=-4劭，再代入分式計算即可，掌握整體代入

法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：吟―：=4,

:.b—a=4ab,

即a—b=Tab,

rg_rx_a—b—2ab_—4ab—2ab_—6ab_么

‘原式=2(a—b)+7ab=-8ab+7ab=-ab=6，

故選：D.

10.在古希臘時期，有一天畢達(dá)哥拉斯走在街上，在經(jīng)過鐵匠鋪前他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽，于是

駐足傾聽，他發(fā)現(xiàn)鐵匠打鐵節(jié)奏很有規(guī)律，這個聲音的比例被畢達(dá)哥拉斯用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)出來，后來

人們將這個數(shù)亨稱為黃金分割數(shù)?設(shè)。=與1/=亭，記另=亳+￡，$2=最+六，S3=f

111

+工^…'5ioo=77^?+17b1?,則S1+S2+S3+???+Sioo的值為()

A.I00V5B.200V2C.100D.505

【答案】C

【分析】本題考查的分式的規(guī)律計算以及二次根式的乘法，正確掌握異分母分式的加減計算法則及運算

規(guī)律是解題的關(guān)鍵.先計算SyS2,S3的值，找出規(guī)律，然后求解即可.

【詳解】解：.??0=等，b=等,

???ab=1,

11

1+b+1+a

(1+a)(l+b)

2+a+b

1+a+b+ab

2+a+b

2+a+b

=1,

11

?21+a2+1+Z?2

1+b2+1+a2

=(1+a2)(l+fa2)

2+a2+b2

1+a2+b2+a2b2

2+a2+b2

-1+a2+b2+1

2+a2+b2

2+a2+b2

=1,

11

S3=o-I

1+a31+b3

1+h3+1+a3

=(l+a3)(l+b3)

_2+a3+Z?3

1+a3+/?3+a3b3

2+a3+b3

1+a3+b3+a3b3

_2+a3+ZJ3

-1+a3+h3+1

_2+a3+b3

2+d3+b3

=1,

11

J九l+anl+bn

1+9+an

二(1+那)(1+bn)

2+an+

=1+方+那+0nbn

2+an+bn

=l+an+bn+l

2+a!1+bn

2+a71+bn

=1,

Sioo=1，

?*,Si+$2+S3+...+Sioo

=1+1+……+1=100,

故選：c.

二.填空題（本題共6題，每小題2分，共12分）

11.受約分的結(jié)果是.

【答案】-令

【分析】本題主要考查了約分，用到的知識點是分式的基本性質(zhì)，分式的基本性質(zhì)是分式的分子、分

母同時乘以或除以同一個非0的數(shù)或式子，分式的值不變.約去分子、分母中相同的因式，即可得出

答案.

【詳解】解：親=或"=-六

故答案為：-石.

匕分式煮與高的最簡公分母是一?

【答案】6a2b2c

【分析】本題考查最簡公分母的求法，掌握確定最簡公分母的方法是解答的關(guān)鍵.

取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次嘉的積作公分母，這個公分母叫做最簡公分母，據(jù)此

求解即可.

1-1

【詳解】解：對于分式右和號r，3和6的最小公倍數(shù)是6,字母a,b,c的最高次幕的積為a2/c,

3abbabe

因此分式展和Gr的最簡公分母是6a2b2c.

6a^bc

故答案為：6a2b2c.

13.若則分式一6m2n的值為.

【答案】q

【分析】此題考查了分式的值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

已知等式整理得到關(guān)系式，代入原式計算即可求出值.

【詳解】解：等式：一3=2整理得：誓=2,B|J3m-n=2mn,

pilj—6m—5mn+2n_—2(3m—n)—5mn_-2-2mn—5mn_—9mn_9

、3m—n3m—n2mn2mn2,

故答案為：一|.

xy

14.計算：—+(x-y)-777=-

【答案】1

【分析】本題主要考查分式的混合運算，原式先約分，再根據(jù)同分線分式的加法法則進(jìn)行計算即可.

xy

【詳解】解：為;+(%-丫)-二7

xy

-------------F(X—V),------------------T

x+y(%+y)(%—y)

xy

=------1------

x+yx+y

x+y

x+y

=1,

故答案為：1.

15.甲乙兩地之間公路全長15km,公共汽車從甲地到乙地的速度為Qkm/h,轎車行駛的速度比公共汽車快

10km/h,那么從甲地到乙地轎車比公共汽車早到小時.

150

【答案】

a2+10a

【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，分式的加減運算等知識點，根據(jù)路程、速度和時間三者的關(guān)系，

分別表示出公共汽車和轎車所需時間運算即可解決問題，熟練掌握路程、速度和時間三者的關(guān)系是解

決此題的關(guān)鍵.

【詳解】公共汽車用的時間：?、時，

轎車用的時間：系小時，

轎車比公共汽車早到的時間：9-捻=年溫詈=忌小時，

故答案為：品?

16.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用"三角形"解釋二項和的乘方的展開式各系數(shù)規(guī)律，稱之為“楊輝三角"，這個"三

角形"給出了缶+6＞伍=1|2|3聞…)的展開式的系數(shù)規(guī)律(按"的次數(shù)由大到小的順序).

l(a+h)0=1

ll(a+-a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

3223

1331(a+6)3=a+3ab+3ab+b

14641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4...

根據(jù)上述規(guī)律，(x+3)6展開式中含一項的系數(shù)為.

【答案】135

【分析】本題考查整式的混合運算、楊輝三角等知識，首先確定,是展開式中第三項，先求出(a+6)6

的第三項的系數(shù)，再把a=x,b=3代入計算即可.

【詳解】解：???/是Q+3)6展開式中第三項，

且(a+6)2第三項系數(shù)為1,字母為a°/,

(a+第三項系數(shù)為3=1+2,字母為a/,

(a+b)4第三項系數(shù)為6=1+2+3,字母為a2b2,

.?.(a+b)6第三項系數(shù)為1+2+3+4+5=15,字母為a4b2,

當(dāng)。=刈6=3時(a+b)6=(x+3)6第三項系數(shù)為1+2+3+4+5=15,字母為/乂？?，

即0+3)6展開式中含f項為15X/x32=135，，

故答案為：135.

三、解答題(本題共7題，共58分)。

17.(8分)計算：

..2x4

⑴(x+2).=—五

【答案】⑴2

2蘆!

【分析】本題考查分式的運算，熟練掌握分式的運算法則，是解題的關(guān)鍵:

(1)先進(jìn)行乘法運算，再進(jìn)行加減運算即可；

(2)先通分計算括號內(nèi)，再把除法變乘法，進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)解：原式=(x+2)，(x+2)(x—2)x—2

2x4

x—2x—2

2%—4

x—2

2(x-2)

x—2

x-l-l(x+l)(x-l)

(2)原式=2)2

x—2(x+1)(%—1)

x—l(%—2)2

x+1

x-2,

(8分)已知皿=(為+福)

⑴化簡W；

(2)請從-2,2,0,3,4選取合適的整數(shù)°代入少，求出少的值.

【答案】⑴黑

11

(2)當(dāng)a=3時，勿=三當(dāng)a=4時，W^-

【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

(1)先通分括號內(nèi)的式子，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可；

(2)根據(jù)分式有意義的條件，可以從-2,2,0,3,4選取合適的整數(shù)。代入?yún)^(qū)求出少的值.

【詳解】解：勿=+

(1)\a—2a+2/a—4a+4

a+2+CL-2(a—2)之

(a+2)(a—2)2a

2a(a—2)2

(a+2)(a—2)2a

a—2

—a+2；

（2）,??當(dāng)a=2,—2或0時，沙無意義,

“可以為3或4,

,3—21

當(dāng)a=3時，VV=—=-；

4—71

當(dāng)a=4時，W=-=

19.(8分)根據(jù)下列材料，回答問題：

1_11_111_11

1x2~~292x3—2-3J3x4-3~9

請根以上各式完成下列題目：

⑴六=--------

（2）心=（"為正整數(shù)）;

⑶用簡便方法計算:----H-------F----+----+------F----+----H------

1X22x33x44x55x66x77x88x9

【答案】⑴

（3）1

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，仔細(xì)觀察得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差可得；

（2）將原式利用（1）中所得規(guī)律裂項求和可得；

（3）將原式利用（1）中所得規(guī)律裂項求和可得.

【詳解】⑴根據(jù)題意得，忌=?3；

故答案為：1

111

（2）根據(jù)題意得，而兩=5-?。?為正整數(shù)）;

11

故答案為:

nn+1

(3解：1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8+8x9

_111111111111111

=-2+2-3+3_4+4_5+5_6+6_7+7_8+8-9

1

1一§

8

9,

20.(8分)甲、乙兩地相距180km,一輛汽車從甲地開往乙地，出發(fā)后第一小時內(nèi)按原計劃的速度勻速行

駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前40min到達(dá)乙地，設(shè)前一小時行駛的速度

為久km/h.

⑴提速后走完剩余路程的時間為h(用含x的式子表示)；

(2)求汽車前一小時的行駛速度；

⑶當(dāng)汽車以ykm/h的速度原路返回時，同時有一輛貨車以aykm/h(0<a<l)的速度從甲地開往乙

地，兩車相遇時汽車比貨車多行駛多少千米？(結(jié)果用含a的式子表示)

【答案】⑴曙

(2)60km/h

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用：

(1)用剩余的路程除以提速后的速度，即可求解；

(2)根據(jù)原計劃的時間減去實際的時間等于40min,列出方程，即可求解；

(3)先求出兩車相遇的時間為提h,然后用汽車行駛的路程減去貨車的路程，即可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得：提速后走完剩余路程的時間為黑mh；

180-%

故答案為:

1.5%

(2)解：根據(jù)題意得:

180-x180-x40

x1.5%60’

解得：%=60,

經(jīng)檢驗，％=60是原方程的解，且符合題意,

答：汽車前一小時的行駛速度為60km/h；

(3)解：根據(jù)題意得：兩車相遇的時間為提h,

180180180-180a,

yx—；---ayx—；—=------二km,

/y+ay/y+aya+1

答：兩車相遇時汽車比貨車多行駛七詈km.

21.(8分)閱讀與思考

閱讀下列材料，然后完成相應(yīng)任務(wù).

方程%2—4%-1=0兩邊同時除以％(久W0),得%—4—1=0,BPx—1=4.

因為(%—：)=/+!-2,

所以久2+==(%—-)+2=18.

X\%/

任務(wù)：

(1)已知方程式2-3%—1=0,貝!]%—!=.

1

(2)若m是方程3%2—7%+3=0的根，求m?+二的值.

xnr

【答案】⑴3

(2)v

【分析】本題考查了一元二次方程的解，分式的求值:

(1)仿照題意求解即可；

(2)根據(jù)一元二次方程解的定義得3n?一7m+3=0,進(jìn)而得到機(jī)+'=：,再兩邊平方求解即可.

【詳解】(1)解：久2一3久—1=0,

兩邊同時除以x(x力0),得

x-3—X=0,

1c

：.x—X=3,

故答案為：3；

(2)解：??,加是方程3%2—7%+3=0的根,

7m+3=0,

兩邊同時除以加(m*0),得

71c

m-3+m=0'

17

：.mH——=-

m3

2+2c+l^=-49

7131

22.(8分)如圖，“豐收1號"小麥的試驗田是邊長為am(a>l)的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄

水池后余下的部分，"豐收2號”小麥的試驗田是邊長為①-l)m的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了

500kg.

(a-l)m--->

⑴"豐收1號"單位面積產(chǎn)量為kg,"豐收2號"單位面積產(chǎn)量為.kg(結(jié)果用含。的

式子表示);

(2)哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高?試說明理由:

⑶高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍?

?田丕、,、500500

【答案】(lg

⑵魯<與，見解析

⑶當(dāng)

【分析】(1)根據(jù)產(chǎn)量除以試驗田面積即可作答;

1

(2)先得出(a2-l)-(a—l)2=2(a-1)>0,即有<^一1>(a-1)?,則有號<f問題隨之的解;

⑶計算六卷+整？即可得解.

(a—1)a“一1

【詳解】⑴根據(jù)題意，"豐收1號嶂位面積產(chǎn)量為舞

“豐收2號”單位面積產(chǎn)量為緇,

.田上d500500

故答案1為：不？I』;

500500,,_

(2)理由如下:

??,(a-1)2=a2-2a+1,

???(a2—1)—(a—1猿=a2—1—a2+2a—1=2a-2=2(a—1),

va>1,

(a2—1)—(cr—1)2=2(a—1)>0,

>(a—I)2,

1i

'KV(a-1產(chǎn)

500,500

,、500500

⑶

500.500

A(a-1)2~a2-l

500a2-l

--------------X-----------

(a—1)2500

500(a-1)(。+1)

(a-1)2X500

a+1

答：高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的"I倍.

CL—1

【點睛】本題主要考查了分式的應(yīng)用，明確題意，正確列式是解答本題的關(guān)鍵.

23.（10分）［核心素養(yǎng)］【閱讀材料】若分式4與分式B的差等于它們的積，即2—則稱分式B是

分式4的"關(guān)聯(lián)分式

例如三與焉.