第25講隨機(jī)事件的概率目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.結(jié)合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率。2.通過實例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運算法則。1、通過閱讀課本，查閱資料，并能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系.2、認(rèn)真閱讀課本，在讀書過程中學(xué)會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別.3、.在認(rèn)真學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關(guān)的概念．學(xué)會向量的表示方法.知識精講知識精講知識點01隨機(jī)事件的概率1.概率的定義一般地，對于給定的隨機(jī)事件A，在相同條件下，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于，我們可以用這個常數(shù)來刻畫隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小，并把這個常數(shù)稱為隨機(jī)事件A的，記作。2.概率的基本性質(zhì)(1)對任意的事件A，都有。(2)對于必然事件Ω和不可能事件空集，顯然，。3.頻率的穩(wěn)定性若隨機(jī)事件A在n次試驗中發(fā)生了m次，則當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，可以用事件A發(fā)生的頻率來估計事件A的概率，即?！疚Ⅻc撥】頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會逐漸穩(wěn)定于概率?！炯磳W(xué)即練1】下列說法不正確的是（

）A．必然事件是一定條件下必定發(fā)生的事件B．不可能事件是一定條件下必然不會發(fā)生的事件C．隨機(jī)事件是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件D．事件A發(fā)生的概率一定滿足知識點02古典概型1.等可能基本事件：在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，這時也稱這些基本事件為基本事件。2.古典概型的定義考察一些試驗，具有以下兩個特點：(1)樣本空間Ω只含有有限個樣本點；(2)每個基本事件的發(fā)生都是的。我們將滿足上述條件的隨機(jī)試驗的概率模型稱為。3.古典概型的概率公式在古典概型中，如果樣本空間(其中，n為樣本點的個數(shù))，那么每一個基本事件發(fā)生的概率都是。如果事件A由其中m個等可能基本事件組合而成，即A中包含m個樣本點，那么事件A發(fā)生的概率為?！炯磳W(xué)即練2】某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如下表（沒有罰球）：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結(jié)論中不正確的是（

）A．P(A)=0.55 B．P(B)=0.18 C．P(C)=0.27 D．P(B＋C)=0.55能力拓展能力拓展考法計算古典概型的概率【典例1】某次高三年級模擬考試中，數(shù)學(xué)試卷有一道滿分10分的選做題，學(xué)生可以從A，B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本次考試，為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況，為下一步教學(xué)作參考依據(jù)，計劃從900名考生的選做題成績中隨機(jī)抽取一個容量為10的樣本.現(xiàn)采用分層抽樣，按照學(xué)生選擇A題目或B題目將成績分為兩層.已知該校高三學(xué)生有540人選做A題目，有360人選做B題目，選取的樣本中，A題目的成績平均數(shù)為5，方差為2，B題目的成績平均數(shù)為5.5，方差為0.25.(1)用樣本估計該校這900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差；(2)本選做題閱卷分值都為整數(shù)，且選取的樣本中，A題目成績的中位數(shù)和B題目成績的中位數(shù)都是5.5.從樣本中隨機(jī)選取兩個大于樣本平均值的數(shù)據(jù)做進(jìn)一步調(diào)查，求取到的兩個成績來自不同題目的概率.【典例2】全國愛衛(wèi)辦組織開展“地級市創(chuàng)衛(wèi)工作”滿意度調(diào)查工作,2023年2月14日24日在網(wǎng)上進(jìn)行問卷調(diào)查,該調(diào)查是國家衛(wèi)生城市評審的重要依據(jù),居民可根據(jù)自身實際感受,對所在市創(chuàng)衛(wèi)工作作出客觀、公正的評價.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名居民的問卷進(jìn)行評分統(tǒng)計,評分的頻率分布直方圖如圖所示,數(shù)據(jù)分組依次為:(1)求的值以及這100名居民問卷評分的中位數(shù)；(2)若根據(jù)各組的頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法,從評分在[65,70)和[70,75)內(nèi)的居民中共抽取6人,查閱他們的答卷情況,再從這6人中選取2人進(jìn)行專項調(diào)查,求這2人中恰有1人的評分在內(nèi)的概率.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．從含有三件正品和一件次品的產(chǎn)品中任取兩件，則取出的兩件中恰有一件次品的概率是（

）A． B． C． D．2．如圖所示的《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國古畫，該圖中小孩有撲棗的爬、扶、撿、頂四個動作，現(xiàn)有兩個孩童分別隨機(jī)選擇其中的一個動作進(jìn)行模仿，則兩個孩童選擇模仿的動作相同的概率為（

）A． B． C． D．3．下列事件中是隨機(jī)事件的是（

）A．所有四邊形的內(nèi)角和為180°B．通常加熱到100℃，水沸騰C．袋中有2個黃球，3個綠球，共5個球，隨機(jī)摸出一個球是紅球D．拋擲一枚硬幣兩次，第一次正面向上，第二次反面向上4．“是實數(shù)，”這一事件是（

）A．必然事件 B．不確定事件C．不可能事件 D．隨機(jī)事件5．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率是99.99%，這說明（

）A．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件B．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件C．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒有不合格的產(chǎn)品D．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%6．哥德巴赫猜想的部分內(nèi)容如下：任一大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)（素數(shù)是在大于1的自然數(shù)中，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的自然數(shù)）之和，如18＝7+11.在不超過16的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率是_______.7．某人拋圖釘250次，其中釘尖向上有70次，釘尖向上的經(jīng)驗概率是______.8．在一個不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有50個，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在30%和40%，則口袋中白色球的個數(shù)可能是__________個．9．在10個學(xué)生中，男生有個，現(xiàn)從10個學(xué)生中任選6人去參加某項活動.①至少有一個女生;②5個男生，1個女生;③3個男生，3個女生.當(dāng)為何值時，使得①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機(jī)事件?10．有1號、2號、3號三個信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完為止，其中A信恰好投入1號或2號信箱的概率是多少？題組B能力提升練1．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多種類，在我國的云南及周邊各省都有分布，春暖花開的時候是放蜂的大好時機(jī)，養(yǎng)蜂人甲在某地區(qū)放養(yǎng)了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，養(yǎng)蜂人乙在同一地區(qū)放養(yǎng)了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中學(xué)生物小組在上述地區(qū)捕獲了1只黑小蜜蜂，假設(shè)每箱中蜜蜂的數(shù)量相同，那么，該生物小組的同學(xué)認(rèn)為這只黑小蜜蜂是養(yǎng)蜂人放養(yǎng)的比較合理（

）A．甲 B．乙C．甲和乙 D．不能確定2．某商場對某一商品搞活動，已知該商品每個的進(jìn)價為3元，售價為8元，每天銷售的第20個及之后的商品按半價出售，該商場統(tǒng)計了近10天這種商品的銷售量，如圖所示.從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率為（

）A． B．C． D．3．現(xiàn)有6個大小相同?質(zhì)地均勻的小球，球上標(biāo)有數(shù)字1，3，3，4，5，6.從這6個小球中隨機(jī)取出兩個球，如果已經(jīng)知道取出的球中有數(shù)字3.則所取出的兩個小球上數(shù)字都是3的概率為（

）A． B． C． D．4．一種電路控制器在出廠時，每4件一等品裝成一箱．工人裝箱時，不小心將2件二等品和2件一等品裝入了一箱，為了找出該箱中的二等品，需要對該箱中的產(chǎn)品逐件進(jìn)行測試．假設(shè)檢測員不知道該箱產(chǎn)品中二等品的具體數(shù)量，則測試的第2件產(chǎn)品是二等品的概率為（

）A． B． C． D．5．一個盒子中有若干白色圍棋子，為了估計其中圍棋子的數(shù)目，小明將100顆黑色的圍棋子放入其中，充分?jǐn)嚢韬箅S機(jī)抽出了20顆，數(shù)得其中有5顆黑色的圍棋子，根據(jù)這些信息可以估計白色圍棋子的數(shù)目約為（

）A．200顆 B．300顆 C．400顆 D．500顆6．若，則方程有實根的概率為________．7．某種福利彩票的中獎概率為0.1％，若某人買這種彩票999次，均未中獎，則此人第1000次買這種彩票中獎的概率為__________．8．已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋棗味?3袋原味，若小明從中任取兩袋，則取到棗味牛奶的概率為__________.9．某中學(xué)從甲、乙兩個班中各選出15名學(xué)生參加知識競賽，將他們的成績（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計分析，繪制成如圖所示的莖葉圖.設(shè)成績在88分以上（含88分）的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，現(xiàn)從甲、乙兩班的優(yōu)秀學(xué)生中各取1人，記甲班選取的學(xué)生成績不低于乙班選取得學(xué)生成績記為事件，則事件發(fā)生的概率___________.10．2022年秋季學(xué)期，全國各?。▍^(qū)、市）已全面實施新課程新教材.為了加快新課程新教材的實施，促進(jìn)教考有效銜接，某市教育部門組織該市全體新高一教師在暑假期間進(jìn)行相關(guān)學(xué)科培訓(xùn)，培訓(xùn)后舉行測試（滿分100分）.現(xiàn)從該市參加測試的數(shù)學(xué)老師中抽取了120名老師并統(tǒng)計他們的測試分?jǐn)?shù)，將成績分成六組：第一組，第二組，…，第六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值以及這120人中測試成績在的人數(shù)；(2)若要從第四、五、六組老師中用分層抽樣的方法抽取6人作學(xué)習(xí)心得交流分享，并在這6人中再抽取2人擔(dān)當(dāng)分享交流活動的主持人，求第四組至少有1名老師被抽到的概率.題組C培優(yōu)拔尖練1．在6月6日第27個全國“愛眼日”即將到來之際，教育部印發(fā)《關(guān)于做好教育系統(tǒng)2022年全國“愛眼日”宣傳教育工作通知》，呼吁青年學(xué)生愛護(hù)眼睛，保護(hù)視力．眾所周知，長時間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過2h，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過2h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則該名學(xué)生近視的概率為（

）A． B． C． D．2．獨立地重復(fù)一個隨機(jī)試驗次，設(shè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率為，隨機(jī)事件發(fā)生的概率為，有如下兩個判斷：①如果是單元素集，則；②集合不可能只含有兩個元素，其中（

）A．①正確，②正確 B．①錯誤，②正確C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②錯誤3．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進(jìn)行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝，若雙方均不知道對方馬的出場順序，則田忌獲勝的概率為（

）A． B．C． D．4．七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代勞動人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學(xué)用邊長為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形．若該同學(xué)從5個三角形中任取出2個，則這2個三角形的面積之和不小于另外3個三角形面積之和的概率是（

）A． B． C． D．5．下述關(guān)于頻率與概率的說法中，錯誤的是（

）A．設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品B．做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是C．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率D．利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估計隨機(jī)事件的概率，如果隨機(jī)試驗的次數(shù)超過10000，那么所估計出的概率一定很準(zhǔn)確6．某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計算得到男生身高樣本均值為170，方差為17；女生身高樣本均值為160，方差為30.下列說法中正確的是（

）A．男生樣本容量為30B．每個女生被抽入到樣本的概率均為C．所有樣本的均值為166D．所有樣本的方差為46.27．已知函數(shù)，集合，現(xiàn)從中任意取出若干個元素組成函數(shù)的定義域，則函數(shù)的值域為的概率為________．8．若和是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，對任意，都有，則稱和是“親密函數(shù)”，設(shè)，，若，，則和是“親密函數(shù)”的概率為________．9．某校高一年級學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段，，，，，進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，則得到體育成績的折線圖（如下）．(1)體育成績大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”．已知該校高一年級有1000名學(xué)生，試估計高一全年級中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；(2)為分析學(xué)生平時的體育活動情況，現(xiàn)從體有成績在和的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，恰有1人體育成績在的概率；(3)假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在，，