考前回顧01集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式(知識(shí)清單+易錯(cuò)

分析+23年高考真題+24年最新模擬)

知識(shí)清單

1.集合

⑴集合間的關(guān)系與運(yùn)算

AUB=A=BgA；AnB=B=BgA.

(2)子集、真子集個(gè)數(shù)計(jì)算公式

對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2"—1,2"一

1,2"—2.

(3)集合運(yùn)算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若已知的集合是

抽象集合，用Venn圖求解.

2.全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定

(1)全稱量詞命題P：VxWM,p(x),它的否定—ip：mxGM,—ip(x)；

(2)存在量詞命題p：BxEM,p(x),它的否定一1p：VxGM,—ip(x).

(3)命題與其否定真假相反.

3.充分條件與必要條件的三種判定方法

(1)定義法：若PM，則P是q的充分條件(或q是P的必要條件);若p今q,且q才p,則p是q的充分不

必要條件(或q是P的必要不充分條件).

(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系.例如，命題p：xGA,命題q：xGB,若AUB,則p是q的充分條件

(q是P的必要條件);若AB,則p是q的充分不必要條件(q是p的必要不充分條件);若A=B,則p是q

的充要條件.

(3)等價(jià)法：將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題.

4.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷對(duì)應(yīng)方程△的符號(hào))；三解(解對(duì)應(yīng)

的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間).

解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：(1)二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二

次函數(shù)的開(kāi)口方向；(2)判別式△,它決定根的情形，一般分△>(),A=0,△〈()三種情況；(3)在有根的條

件下，要比較兩根的大小.

5.一元二次不等式的恒成立問(wèn)題

a>0,

⑴ax2+bx+c>0(aWO)恒成立的條件是《

△<0

a<0,

⑵ax2+bx+c<0(W0)恒成立的條件是，

△<0

6.分式不等式

(1)隼|〉0o/(x)?g(x)〉0

g(x)

⑵，，<。o/(x)?g(x)<0

g(x)

(3)------>UO<

g(x)〔g(x)豐0

(4)3<00，小)*。)<°

g(x)[g(x)豐。

7.基本不等式

(1)基本不等式：若a,beR+,則*2而(或石)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

2

基本不等式的變形：

@a2+b2>2ab(a,bGR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立；

②-ab(a>bGR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

(2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意''拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中''正定"''等〃的條

件.

A易儼提醒

1.描述法表示集合時(shí)，一定要理解好集合的含義一抓住集合的代表元素.如{x|y=lgx}—函數(shù)的定義

域；{y|y=lgx}—函數(shù)的值域；{(x,y)|y=lgx}—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.

2.集合的元素具有確定性、無(wú)序性和互異性，在解決有關(guān)集合的問(wèn)題時(shí)，尤其要注意元素的互異性.

3.空集是任何集合的子集.解題時(shí)勿漏。的情況.

4.判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成.由命題的真假求某個(gè)參數(shù)的取值范圍，還可以從集合的角度來(lái)

思考，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的運(yùn)算.

5.解形如aY+bx+c>O(arO)的一元二次不等式時(shí)，易忽視對(duì)系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分

a>0,a〈0進(jìn)行討論.

6.求解分式不等式時(shí)應(yīng)正確進(jìn)行同解變形，不能把工區(qū)40直接轉(zhuǎn)化為f(x)-g(x)VO,而忽視g(x)題.

g(x)

7.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即''一正、二定、三相等〃導(dǎo)致錯(cuò)解，如求函數(shù)f(x)=q?行

13

+KU的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函數(shù)y=x+-(x〈o)的最值時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求

5一+2x

解.

易錯(cuò)分析

易錯(cuò)點(diǎn)一忽略集合中元素的互異性而致誤

1.［湖南邵陽(yáng)二中2023第五次月考］己知若｛a,：」｝=｛儲(chǔ),a+仇0｝,則產(chǎn)2+*?的值為

()

A.-1B.0C.1D.±1

易錯(cuò)點(diǎn)二忽視對(duì)空集的討論而致錯(cuò)

2、若集合A=3=忖2=1|,且3口人，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A2B.-3C.2或一3D.2或一3或0

易錯(cuò)點(diǎn)三、忽視高次項(xiàng)系數(shù)

3、已知集合A二k|f-2%—3=。},B={x\ax-l=O],若則實(shí)數(shù)〃的值構(gòu)成的集合是

()

A.卜1，0，1B.{-1,0}C.D.陷

易錯(cuò)點(diǎn)四、忽視代表元素

4.設(shè)集合A={XWN||RV2},5={y[y=1—尤2},貝UAClB=()

A.1x|-2<x<l|B,{0,1}C.{1,2}D.1x|0<%<1}

5.已知集合/={上=/+1},N={(x,y)\y=-x2+l},則()

A.{1}B.(0,1)C.0D.{(0,1)}

易錯(cuò)點(diǎn)五、忽視判別式

6.已知4=?+以=0},B={x|x2+2(a+l)x+?2-l=0},若求0的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)六、混淆條件與結(jié)論致誤

7.''ln（x+l）〈O”的一個(gè)必要不充分條件是（）

1

A.—l<x<-B.x>0

e

C.-l<x<0D.x<0

易錯(cuò)點(diǎn)七、不對(duì)命題完全否定致誤

8.命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是（）

A.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

C.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

9.命題“V元<0,爐+內(nèi)—140”的否定是（）

A-Vx<0,x2+o%-l<0B-+ax-\>Q

C.3x<0,x2+ax—l<0D.3x<Q,x2+ax—\>Q

易錯(cuò)點(diǎn)八、忽視不等式中的等號(hào)而致誤

10.［江蘇鎮(zhèn)江一中等三校2023質(zhì)檢］（多選）下列命題是真命題的為（）

A,若ac?<尻2,則a<6B.若則4+加>2（a—b—l）

I22

C.若標(biāo)>四，貝!D.若a>b>0,貝ljF—>?+Z?

ab

易錯(cuò)點(diǎn)九、已知命題真假求參數(shù)范圍中忽視判別式等號(hào)取舍致錯(cuò)

11.已知命題九2—九+〃>o,若一p是真命題，則實(shí)數(shù)1的取值范圍是（）

。

D.

A.(-00,-3.（一0,：）—,+oo

42

易錯(cuò)點(diǎn)十、已知命題真假求參數(shù)范圍中忽視對(duì)高次項(xiàng)系數(shù)討論致錯(cuò)

12.已知命題p：Vx￡R,ax2+2x+3〉0.若命題p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a\aB.dO<(2<—

3

C.6Z<-|D.tz>-|

易錯(cuò)點(diǎn)十一、已知條件類型求參數(shù)范圍中忽視對(duì)高次項(xiàng)系數(shù)討論致錯(cuò)

13.（多選題）已知p：X2+x-6=0;Q：依+1=0.若P是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值是

（）

A-2B.--C.OD.-

23

14.“關(guān)于x的不等式ax2+ax-l<0的解集為R”的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.-4WaW0B.-4<aW0

C.-4Wa〈0D.-4<a<0

易錯(cuò)點(diǎn)十二、忽視字母的取值范圍而致錯(cuò)

15.（多選）對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，b,c,d,下列四個(gè)命題中，其中真命題的是（）

A.若a>b,cwO,則々？>Z?c；B.若a>b,則

C.若ac1>be1，則a>b；D.若a>Z?>。，c>d>0,貝!

易錯(cuò)點(diǎn)十三、多次應(yīng)用基本不等式致錯(cuò)

16.已知a>0,b>0f且，+3=1,求a+b的最小值.

ab

易錯(cuò)點(diǎn)十四、忽視不等式中高次項(xiàng)的系數(shù)

17.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.（2,+-）C.（-2,2]D.[-2,2]

18.解關(guān)于x的不等式依N+（2-〃）％-2>0.

易錯(cuò)點(diǎn)十五、應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，忽略不等式成立的三個(gè)條件，

19.映西咸陽(yáng)2022二模］若x>0,y>0,且x+y=2,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.V+J的最小值是1B孫的最大值是工

4

C.2+工的最小值是4后D.6+6的最大值是2

xy

20.［廣東廣州2023階段練習(xí)］（多選）下列函數(shù)中最小值為8的是（）

A.y=.nx|+［16B.y=Isinx|+.,

11|lnx|11|sinx|

c.y=4'+廣D.”

+9

3

21.（忽略定值的條件）［黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023高一月考］已知a>2,則〃+---的最小值為（）

a—2

A6B.20+2C.—D.273

2

22.（沒(méi)有考慮“一正"）求xjl-￡的最大值.

易錯(cuò)點(diǎn)十六、忽視一元二次不等式中兩根大小而致錯(cuò)

23.已知集合4={]|%2一（3〃一1）%+2々2一〃<0},集合5=_4%+3<o},命題p：XEA,

命題。：xeB,若尸是。的充分條件，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)十七、忽視分式不等式中的分母不能為零致錯(cuò)

9

24.不等式的解集是

X十1

易錯(cuò)點(diǎn)十八、忽視一元二次不等式中的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零致錯(cuò)

25.若不等式mx2+2mx—4<2x?+4x對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(2,+°°)C.(-2,2]D.[—2,2]

26.[安徽六安2023第五次質(zhì)檢]“—1(左<0”是“關(guān)于x的不等式立+2日—化+2)<0恒成立”的

()

A充分不必要條件8必要不充分條件

C.充要條件。.既不充分也不必要條件

27.[河南中原名校2022第二次聯(lián)考]己知命題p：3x^R,ajC-ax+l<Q,若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為=

易錯(cuò)點(diǎn)十九、忽視口訣：大于取兩邊，小于取中間的使用條件致錯(cuò).

28.不等式(x—2)(3—2x)*0的解集為()

A.(|,+]2_

3(3~

C.&反45或熄2}.D.I—2

易錯(cuò)點(diǎn)二十、一元二次不等式恒成立問(wèn)題中忽視區(qū)間的開(kāi)閉致錯(cuò)

29.當(dāng)l<x<3時(shí)，關(guān)于x的不等式ax?+x—1〈0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

30.若不等式x-tx+l〈0對(duì)一切xe(l,2)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()

A.(—8,2)B1|,+8

5

D+

2-

易錯(cuò)點(diǎn)二十一、有關(guān)一元二次方程根的分布條件列不全致錯(cuò)

31.若方程x?+(m—2)x+5—m=0的兩根都大于2,則m的取值范圍是

易錯(cuò)點(diǎn)二十二、解一元二次不等式時(shí)忽視兩根大小而致錯(cuò)

32.解關(guān)于x的不等式ax2—(a+1)x+l<0(a>0).

口高考真題

選擇題（共14小題）

1.（2023?新高考I）已知集合〃={-2,-1,0,1,2},N={x\x2-X-6..0],則M0|N=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.（2023?北京）己知集合"={》|》+2..0},N={x|x-l<0}.則M0|N=（）

A.{x|—2,,x<1}B.{x|—2<A;,1}C.{x\x..—2}D.{x|x<l}

3.（2023?甲卷）設(shè)集合A={x|x=3左+1,左eZ},B={x\x=3k+2,keZ],。為整數(shù)集，則e（A（j8）=（

）

A.{x\x=3k,k^Z}B.{x\x=3k-l,k^Z}C.{x\x=3k-2,keZ}

D.0

4.（2023?天津）“/=b2”是“a2+b2=2a6”的（）

A.充分不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2023?甲卷）設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合/={1,4},N={2,5},則）

A.{2,3,5)B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.[2,3,4,5}

6.(2023?乙卷)設(shè)集合U=R,集合M={x|無(wú)<1},N={x[—l<x<2},貝U{x|無(wú)..2}=()

A.即(M|jN)B.N\J^MC.2(Mp|N)D.M\J^N

7.(2023?天津)若a=1.01°5,b=1.0]°6,c=0.605,貝I()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

8.(2023?北京)若孫力0,則“x+y=O”是“2+?=-2"的()

yx

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.(2023?乙卷)設(shè)全集U={0,1,2,4,6,8},集合/={0,4,6},N={0,1,6},則"(J①N=(

)

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8)

C.[1,2,4,6,8}D.U

10.(2023?新高考H)設(shè)集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A=貝Ua=()

2

A.2B.1C.-D.-1

3

11.(2023?天津)已知集合。={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},貝(25)|jA=()

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

12.(2023?全國(guó))不等式‘〉」一的解集為()

xx-1

A.(0,+oo)B.(l,+oo)C.(0,1)D.(0,1)

13.(2023?上海)已知尸={1,2},。={2,3},若/={刈彳€P，x^Q],則M=()

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2,3}

14.(2023?全國(guó))集合A={-2,-1,0,1,2},B={2k\keA],則Ap|8=()

A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2}

二.填空題(共3小題)

15.(2023?上海)已知集合4={1,2},8={1,a},且A=3,貝Ua=.

16.(2023?上海)已知正實(shí)數(shù)°、6滿足a+46=l,則必的最大值為.

17.(2023?北京)已知命題夕：若二,月為第一象限角，且。〉/，貝ljtana>tan/??能說(shuō)明命題夕為假命

題的一組，，方的值可以是￡=

O最新模擬

一.選擇題（共18小題）

1.(2024?廣州一模)已知集合4={1,3,a2},B=[1,a+2},若3=則a=()

A.1B.一1或2C.2D.-1

2.(2024?寧波模擬)集合M={x|-2領(lǐng)Jr3},N={x\bix?1},則M|JN=()

A.(0,e]B.[-2,e]C.(-oo,3]D.[-2,3]

3.(2024?當(dāng)陽(yáng)市校級(jí)模擬)已知集合4={尤|1-2尤>0},B={.r||x+11..2},則()

A.App={尤以,—}B.4|JB=RC.A|jB={x|x<1}

D.App={x|-L,x<：}

4.(2024?浙江模擬)已知全集。=R,A={x|x.O},B={.x|-l<x<l},則{x|-l<x<0}=()

A.A|jBB.@A)P|8C.Ap|(^B)D.g(App)

5.（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）“左=3”是“C；=C；i”的（）條件.

A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.非充分非必要

6.（2024?五華區(qū)校級(jí)模擬）若命題“Vx＜2,2工＜?！睘檎婷}，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.(-oo,4]B.(-oo,4)C.[4,+oo)D.(4,+oo)

7.（2024?漳州模擬）若三。￡[0,+oo）,cosa＜機(jī)為真命題，則實(shí)數(shù)相的取值范圍為（）

A.m..lB.m>\C.m..-1D.m>-l

8.(2024?成都模擬)命題lnx<xv的否定形式是()

A.3x0?1,lnx0..x0B.VA;,1,Inx<x

C.3x0>1,lrvc0..X0D.V%>1,lnx..x

9.(2024?石家莊模擬)已知命題p:Vxw(0,+oo),ex>Inx,則()

A.夕是假命題，力：*￡（-0,0）,Inx

B.p是假命題，—ip:BxG(0,-KC),e"Inx

C.〃是真命題，-np:3xG(-w,0),ex,,Inx

D.夕是真命題，-np:3xe(0,+oo),ex?Inx

10.(2024?四川模擬)已知集合A=01,則集合A的子集有()個(gè).

Ix+1

A.3B.4C.7D.8

4—X

H.(2024?廈門模擬)已知集合4={刈％-1],,4},B={x|—^..0),貝)

A.(0,4)B.[0,4)C.[-3,0]U(4,5]D.[-3,0)54，5]

12.(2024?湖北模擬)設(shè)集合集=」|爐-3彳<0},B={x|log2x>l},則AC&8)=()

A.(0,2)B.(0,2]C.(1,2]D.(2,3)

13.（2024?中山市校級(jí)模擬）若命題“HxeR,x2+4x+t<0"是假命題，則實(shí)數(shù)f的最小值為（）

A.1B.2C.4D.8

14.（2024?成都模擬）如圖，已知集合4="|陛2尤<1},B=[x\x<\],則陰影部分表示的集合為（)

C.(0,1]D.(0,1)

15.（2024?河北模擬）已知集合4={%€兇（》+2）0-1）,,0},B=[2,3},則（|8=（）

A.{0,1,2,3}B.{0,2,3}C.{1,2,3}D.0

16.（2024?成都模擬）已知向量身，馬是平面口內(nèi)的一組基向量，O為e內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于口內(nèi)任意一點(diǎn)P,

當(dāng)存=碼+理時(shí)，稱有序?qū)崝?shù)對(duì)（尤,y）為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo).若點(diǎn)A,3的廣義坐標(biāo)分別為（%，%）,（馬，

%），則“反//麗''是"百%=9%”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

17.（2024?重慶模擬）已知命題p:y=（3a-l），是定義域上的增函數(shù)，命題“：函數(shù)y=log“（3-依）在[2,

4]上是增函數(shù).若力人4為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,1]C.（|,|）D.（1,1）

18.（2024?延慶區(qū)一模）已知函數(shù)/（尤）=3、-2x-l,則不等式〃x）<0的解集是（）

A.（0,1）B.（0,+oo）

C.(-oo,0)D.(-00,O)U(1,+oo)

多選題(共1小題)

19.(2024?湖北模擬)我們知道，函數(shù)y=〃尤)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(。,力成中心對(duì)稱圖形的充要

條件是函數(shù)y=/(x+a)-。為奇函數(shù).已知函數(shù)了(尤)==^,則下列結(jié)論正確的有()

2*+2

A.函數(shù)八>)的值域?yàn)?0,2]

B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)成中心對(duì)稱圖形

C.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)((x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

D.若函數(shù)g(x)滿足y=g(x+l)-l為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)/(X)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為

AG，y.)(i=l,2,2024),則X警4(%+%)=4048

三.填空題(共5小題)

20.(2024?寶雞模擬)命題”任意xe(l,3),a.x+3”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

X

21.(2024?海南模擬)已知集合4={1,2,4},B={a,a2},若A0|B=B,則。=.

22.(2024?寧波模擬)已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足6+c=l,則皿土￡+工-的最小值為一.

be〃+1

x2+2ax,x<1,

23.(2024?延慶區(qū)一模)已知函數(shù)/(x)=<Q仇x給出下列四個(gè)結(jié)論：

---,x..1?

、x

①存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)的最小值為0

②存在實(shí)數(shù)a<0,使得函數(shù)/(尤)的最小值為-1

③存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)了(%)恰有2個(gè)零點(diǎn)

④存在實(shí)數(shù)*使得函數(shù)/(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是—.

24.(2024?重慶模擬)已知實(shí)數(shù)a,b'^a2-ab+b1=1,則的最大值為；——+一一的取值范

----a2+lb2+l

圍為.

考前回顧01集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式（知識(shí)清單+易錯(cuò)

分析+23年高考真題+24年最新模擬）

i.集合

⑴集合間的關(guān)系與運(yùn)算

AUB=Au>B￡A；AnB=B=B￡A.

（2）子集、真子集個(gè)數(shù)計(jì)算公式

對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2",2"—1,2"一

1,2」2.

（3）集合運(yùn)算中的常用方法

若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若已知的集合是

抽象集合，用Venn圖求解.

2.全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定

（1）全稱量詞命題p：Vx￡M,p（x）,它的否定一1p：mxGM,—ip（x）；

⑵存在量詞命題p：BxEM,p（x）,它的否定一1p：VxGM,—ip（x）.

（3）命題與其否定真假相反.

3.充分條件與必要條件的三種判定方法

⑴定義法：若p=q,則p是q的充分條件（或q是P的必要條件）;若p=q,且q分p,則p是q的充分不

必要條件（或q是P的必要不充分條件）.

⑵集合法：利用集合間的包含關(guān)系.例如，命題p：xGA,命題q：xGB,若AUB,則p是q的充分條件

（q是P的必要條件）;若AB,則p是q的充分不必要條件（q是p的必要不充分條件）;若A=B,貝|p是q

的充要條件.

（3）等價(jià)法：將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題.

4.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步驟：一化（將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)）；二判（判斷對(duì)應(yīng)方程△的符號(hào)）；三解（解對(duì)應(yīng)

的一元二次方程）；四寫（大于取兩邊，小于取中間）.

解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：（1）二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二

次函數(shù)的開(kāi)口方向；（2）判別式△,它決定根的情形，一般分△>（）,△=（）,Z\〈0三種情況；（3）在有根的條

件下，要比較兩根的大小.

5.一元二次不等式的恒成立問(wèn)題

a>0,

⑴ax2+bx+c>0(ar0)恒成立的條件是1

[△<0

[a<0,

(2)ax2+bx+c<0恒成立的條件是1

[△<0

6.分式不等式

(1)隼|〉0o/(x)?g(x)〉0

g(x)

⑵，，<。o/(x)?g(x)<0

g(x)

(3)------>UO<

g(x)〔g(x)豐0

(4)3<00，小)*。)<°

g(x)[g(x)豐。

7.基本不等式

(1)基本不等式：若a,beR+,則*2而(或石)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

2

基本不等式的變形：

@a2+b2>2ab(a,bGR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立；

②-ab(a>bGR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

(2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意''拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中''正定"''等〃的條

件.

A…

1.描述法表示集合時(shí)，一定要理解好集合的含義一抓住集合的代表元素.如｛x|y=lgx｝—函數(shù)的定義

域；｛y|y=lgx｝—函數(shù)的值域；｛(x,y)|y=lgx｝一函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.

2.集合的元素具有確定性、無(wú)序性和互異性，在解決有關(guān)集合的問(wèn)題時(shí)，尤其要注意元素的互異性.

3.空集是任何集合的子集.解題時(shí)勿漏。的情況.

4.判斷命題的真假要先明確命題的構(gòu)成.由命題的真假求某個(gè)參數(shù)的取值范圍，還可以從集合的角度來(lái)

思考，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合間的運(yùn)算.

5.解形如ax?+bx+c>O(arO)的一元二次不等式時(shí)，易忽視對(duì)系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分

a>0,a<0進(jìn)行討論.

6.求解分式不等式時(shí)應(yīng)正確進(jìn)行同解變形，不能把工區(qū)40直接轉(zhuǎn)化為f(x)-g(x)VO,而忽視g(x)題.

g(x)

7.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即''一正、二定、三相等〃導(dǎo)致錯(cuò)解，如求函數(shù)f(x)=q?行

13

+KU的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函數(shù)y=x+-(x〈o)的最值時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求

5一+2x

解.

易錯(cuò)分析

易錯(cuò)點(diǎn)一忽略集合中元素的互異性而致誤

1.[湖南邵陽(yáng)二中2023第五次月考]已知〃/￡尺，若卜，"=｛儲(chǔ),則*2+產(chǎn)2的值為

()

A-1B.0C.1D.±1

【特別提醒】本題是含參數(shù)的集合問(wèn)題，由題意求出參數(shù)的值后要注意檢驗(yàn)參數(shù)的值是否滿足集合中元素的

互異性.本題的易錯(cuò)之處是忽略檢驗(yàn)當(dāng)a=1時(shí)是否滿足集合中元素的互異性.

【解析】由集合相等可知且awO,則？=。，所以人=0,所以"=1解得。=1或“=—1.根

IaJa

據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應(yīng)舍去，因此a=—1,所以/儂+/>22=(—1)皿2+02022=].故選。.

易錯(cuò)點(diǎn)二忽視對(duì)空集的討論而致錯(cuò)

2、若集合A3=忖2=1],且BaA,,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.2B.-3C.2或-3D.2或-3或。

【思路分析】根據(jù)集合6中的方程，可得6中至多有一個(gè)元素，再由集合A中的元素可得3=0或

B=或，=因此分三種情況討論，分別解方程，即可得到實(shí)數(shù)加的值，

B=0或5=或§=

①當(dāng)B={x|mx=l}=0,m=O;

②當(dāng)5={x|mx=l}=1_g}時(shí),，=_g,可得m=—3;

③當(dāng)5={x|/nx=1}={；}時(shí)，工=；,可得機(jī)=2;

綜上所述，加的值為0或-3或2

易錯(cuò)點(diǎn)三、忽視高次項(xiàng)系數(shù)

3、已知集合4=卜產(chǎn)—2x—3=0},3=卜版—1=0},若5口4,則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合是

()

A..1,0,；B.｛T,。｝C.1一1,；｝D.|o,|j

【錯(cuò)解】由％2—2尤—3=0得：x=—1或x=3,即4=｛-1,3｝；B=^x\ax-l=0

5口A,/.’二一1或工=3,解得：〃=一1或〃二」；

aa3

綜上所述：實(shí)數(shù)〃的值構(gòu)成的集合是j-1,；

【錯(cuò)因】忽略了對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)a的討論。

【正解】由九2—2%—3=0得：尤=—1或尤=3,即4={-1,3}；

①當(dāng)a=0時(shí)，B=0,滿足符合題意；

②當(dāng)aw0時(shí)，5=^x|ax-1=0]-=1—j,

BA—=—1或一=3,解得：〃=—1或。=—；

faa3

綜上所述：實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合是{-LO,g1.

易錯(cuò)點(diǎn)四、忽視代表元素

4.設(shè)集合4={%￡訓(xùn)％|W2},5=1—％2},則AGB=()

A.1x|-2<x<ljB.{0,1}C.{1,2}D.|x|O<x<l!

【錯(cuò)解】因?yàn)锳={浜區(qū)2}={乂-2"W2}'3={巾=12}=(-1]，

所以4口8=卜卜2?尤41},所以選A。

【錯(cuò)因】忽略了集合A中代表元素的范圍。

【正解】因?yàn)锳={xeN|W＜2}={0」,2},3=b|y=13}=（一,1所以={0,1},所以選

5.已知集合知={上=，+1},N={（x,y）\y=-x2+l},則（）

A.{1}B.（0,1）C.0D.{（0,1）}

【錯(cuò)解】因?yàn)榧?二口+⑹，N=（-OO,1］，M「N={1}。

【錯(cuò)因】忽略了集合N中代表元素的特征。

【正解】因?yàn)榧?=卜}=必+1}為數(shù)集，N={（%y）|y=-—+1}為點(diǎn)集，

所以兩集合沒(méi)有共同元素，則McN=0.

易錯(cuò)點(diǎn)五、忽視判別式

6.已知A={x［2+4x=o},3=卜卜2+2（a+l）x+/-1=01若B7A,求°的取值范圍.

【錯(cuò)解】；A=?+4x=。}={—4,0},8={x,+2（a+l）x+q2-1=o},且31A.

由韋達(dá)定理可得［上［）］,

解得a=1.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是{a|a=1}

【錯(cuò)因】忽略了集合B中的一元二次方程方程根的的個(gè)數(shù)。

【正解】；A={x,2+4x=（）}={—4,0},5+2（a+l）x+q2-1=。},

對(duì)于方程12+2（。+1）X+/—1=0,A=4（?+l）2-4（?2-l）=8（＜7+l）,且51A.

①△＜（）時(shí)，集合3=0,可得。＜一1,合乎題意；

②△=（）時(shí)，集合3中只有一個(gè)元素，可得a=—1,

此時(shí)3=卜,2=0}={0}口A,合乎題意；

f2（a+l）=4

③△＞（）時(shí)，集合3中有兩個(gè)元素，B=A,貝U,解得。=1.

a-1=0

綜上所述，實(shí)數(shù)”的取值范圍是{a|a=l或a＜-1}.

易錯(cuò)點(diǎn)六、混淆條件與結(jié)論致誤

7.、'ln(x+l)<0"的一個(gè)必要不充分條件是()

1

A.—l<x<—B.x>0

e

C.-l<x<0D.x<0

【錯(cuò)解】ln(x+l)<0等價(jià)于O〈x+l<l,即一因?yàn)橐籰<x〈?？梢酝瞥鲆籰<x<—1，故選B。

e

【錯(cuò)因】本題中l(wèi)n(x+l)<0,即一l<x<0是結(jié)論，而選項(xiàng)是條件，錯(cuò)解是把一l〈x〈0當(dāng)條件，選項(xiàng)當(dāng)結(jié)

論。

【答案】D

【正解】ln(x+l)〈0等價(jià)于0<x+l〈l,即一l〈x〈0,這是結(jié)論，因?yàn)橐籰〈x〈0可以推出x〈0,而x〈0不能

推出一l〈x<0,所以x〈0是一l<x<0的必要不充分條件，所以''In(x+1)<0"的一個(gè)必要不充分條件是

易錯(cuò)點(diǎn)七、不對(duì)命題完全否定致誤

8.命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()

A.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

C.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

【錯(cuò)解】命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理

數(shù)”，選B。

【錯(cuò)因】沒(méi)有否定結(jié)論，

【答案】A

【詳解】命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理

數(shù)”，

9.命題“V元<0,一+辦—1NO”的否定是()

A-\/x<0,x2+ax-l<0B-3^^0,x2+ox-l>0

C.<0,%2+ax—1<0D.<0,x2+ax—1>0

【錯(cuò)解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以“V尤<0,》2+今—1WO”的否定是

“VxcO,月+辦—1VO”

所以錯(cuò)選A。

【錯(cuò)因】沒(méi)有改量詞。

【答案】C

【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以“V元<0,x2+oc—1WO”的否定是

“3x<0,x2+ax—1v0”.

易錯(cuò)點(diǎn)八、忽視不等式中的等號(hào)而致誤

10.［江蘇鎮(zhèn)江一中等三校2023質(zhì)檢］（多選）下列命題是真命題的為（）

A,若ac?<尻2,則Q<6B.若wR,則4+加>2（a—b—l）

__122

C.若也〉冊(cè)，則a>bD.若a>Z?>0,貝I」\-—>a+b

ab

特別提醒：在判斷不等式是否成立時(shí)，需要考慮等號(hào)是否成立，此題的3選項(xiàng)易錯(cuò)之處在于忽略等號(hào)也能

成立而致誤.

【解析】對(duì)于A,若ac2Vbe之，,則。2工0,且（？>0,兩邊同乘可得〃<匕，故A正確；

c

對(duì)于3,若a=l,b=-l,則儲(chǔ)+加=2（a—b—1）,故3錯(cuò)誤；

1——

對(duì)于C，根據(jù)函數(shù)y=#在E上為增函數(shù)可知，若布>蠣，則。>〃，故C正確;

b2a2z7、

對(duì)于"j)=

b2-a2a2-b2

------1------

ab

[b-a)[b+a)(〃一〃)(/?+〃)

ab

=(Z?_Q)(Z?+Q)

9-〃丫(/?+〃)

ab

因?yàn)椤?gt;>>0,所以>S+a）>0,即貴+01〉。+/；,故選。

abab

【答案】ACD

易錯(cuò)點(diǎn)九、已知命題真假求參數(shù)范圍中忽視判別式等號(hào)取舍致錯(cuò)

11.已知命題?：VxeR,x+a>。，若可是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

5.(-oo,1)

A.(-00,-D.—,+oo

42

【錯(cuò)解】由題意知不等式％之一％+〃<（）有解，...八=1_4〃>0,

解得‘V，因此實(shí)數(shù)，的取值范圍是（-8+,故錯(cuò)選B。

【錯(cuò)因】不等式x?-x+a<0有解，則A=1-4a20，而不是八=1一4a>0。

【答案】A

2

【解析】已知命題"：X/xeR,x-x+a>0,若可是真命題，則不等式式—x+a<0有解,

.-.A=l-4a>0,解得aV』.因此，實(shí)數(shù)