重難點(diǎn)專題14利用傳統(tǒng)方法解決二面角問題

【題型歸納目錄】

題型一：定義法

題型二：三垂線法

題型三：垂面法

題型四：射影面積法

題型五：補(bǔ)棱法

【方法技巧與總結(jié)】

二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如

圖在二面角。-/-力的棱上任取一點(diǎn)O,以。為垂足，分別在半平面。和戶內(nèi)作垂直于棱的射線和OB,

則射線Q4和OB所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于

求兩條異面直線的夾角即可）.

法二：三垂線法

在面a或面刀內(nèi)找一合適的點(diǎn)A,作AO_L分于O,過A作AB_Lc于3,則30為斜線在面￡內(nèi)的

射影，為二面角a-c-"的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn)A,作A0_L/于O；

②過點(diǎn)（與①中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線的垂線；即過A作ABLc于3,連接30；

③計(jì)算：NA5O為二面角a-c-尸的平面角，在也中解三角形.

圖1圖2圖3

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面

qc

積公式（cosO=』=±幺"如圖2）求出二面角的大小;

s斜sABC

法四：補(bǔ)棱法

當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)

棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，也可直接用法三的攝影面積法

解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二

面角的平面角.

【典型例題】

題型一：定義法

【典例1-1】（2024.高一.浙江金華?期中）如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB^AC,。為BC的中點(diǎn)，PO1

平面A5C,垂足。落在線段AD上.

⑴證明：AP1BC；

⑵已知BC=8,AO=3,OD=2,且直線尸3與平面PAD所成角的正弦值為石.

①求此三棱錐尸-ABC的體積；

②求二面角3-AP-C的大小.

【解析】（1）因?yàn)锳B=AC,。為8C的中點(diǎn)，所以AD人3C,

又尸01平面A3C,則

又AD尸0=0,4）,POu平面PAD,所以3C1平面上4D,

又APu平面尸AD,所以AP_L3C；

（2）①由平面尸AD,則直線尸8與平面PAD所成角為NBPD,

2

則sinZBPD=—,由BC=8,AO=3,OD=2,D為BC的中點(diǎn)，

所以BD=4,則PS=6,所以PD=26，

由尸01平面ABC,所以PO=4,所以匕??c=gx4xgx8x5=,；

p

②在平面ABC內(nèi)作BAfLAP于/,連接CM,由8clpA,

又BMBC=B,BM,BCu平面BCM,所以API平面3cM,

所以APJ_MC,則—BMC為二面角3-AP-C的平面角,

在直角三角形AZ汨中，AB=JAD。+DB。=而，

在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2,

在直角三角形中，PB2=PD2+BD2=36,所以PB=6,

在直角三角形PQ4中，PA1=AO2+OP2=25,所以PA=5,

所以在三角形加中，。必依"藍(lán)；廣"

所以sin/APB=^^,則BM=P3sin/AP3=4后,同理CM=4近，

1^BC2^BM2+CM2,所以NBMC=90,

即二面角3-AP—C的大小為90.

【典例1-2】(2024?高二?全國.專題練習(xí))四邊形ABCD是正方形，以，平面ABCD,且叢=AB.求:

(1)二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)；

(2)二面角B-R4-D的平面角的度數(shù)；

⑶二面角8-R4-C的平面角的度數(shù).

【解析】(1)

B4_L平面A3CD,CDu平面A3CD,

：.PA1CD,又四邊形A3CD為正方形，，CD，AZ),

PAcAD=A，上4,ADu平面PAD,\CD人平面PAD,

又CDu平面尸CD,二平面上M>_L平面尸CD,

???二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)為90。；

(2)X4_L平面ABC￡>,ABu平面ABCD,AT>u平面ABCD,

:.AB±PA,AD±PA.

.:/54。為二面角8-1-。的平面角.

又由題意可得ZBAD=90°,

二面角3-厚-￡>的平面角的度數(shù)為90。；

(3)7^4_1_平面ABC。，ABu平面ABCZ),ACu平面ABCZ),

:.AB±PA,ACA.PA.

.?./區(qū)4。為二面角3-24-。的平面角.

又四邊形ABC。為正方形，.45。，

即二面角3-R4-C的平面角的度數(shù)為45。.

【變式1-1](2024.高三?甘肅?階段練習(xí))如圖，已知四棱錐尸-ABCD的底面為直角梯形，AD//BC,

/BCD=90°,PA=PB,PC=PD.

P

(1)證明：CO與平面PAD不垂直；

(2)證明：平面PAS_L平面ABCD；

(3)如果。0=">+3。，二面角P—3C-A等于60。，求二面角尸―CD—A的大小.

【解析】(1)

若CD_L平面PAD,

則CDLPD,

由已知PC=PD,

得ZPCD=ZPDC<90°,

這與CD_LPD矛盾，所以。>與平面上4￡)不垂直.

(2)取AB、CD的中點(diǎn)E、F,連接尸￡\PF、EF,

由上4=尸5,PC=PD,得PE_LAfi,

PFVCD,

.?.￡F為直角梯形的中位線，

EF，CD,又PFEF=F,

\CD八平面P跖，

由PEu平面PEF,得C"PE,又AB_LPE且梯形兩腰A3、8必交,

.?.PE_L平面ABCZX

又PEu平面RIB,

???平面PAB_L平面ABCD.

(3)由(2)及二面角的定義知NPEE為二面角尸-CD-A的平面角,

作EG_L3C于G,連PG,

由于PE_L平面ABCD,BCu平面A3CD,故PELBC,

EGLBC,EGCPE=E,EG,PEu平面尸EG,故3C1平面PEG

PGu平面尸EG,所以PGLBC

故/PGE為二面角尸—3C—A的平面角，

即ZPGE=60°,

由已知，得EF=g(AD+BC)=；C￡>,

又EG=CF=；CD.

：.EF=EG,

.-.Rt..PEF=Rt,PEG.APEF=ZPGE=60°,

故二面角P-CD-A的大小為60。.

題型二：三垂線法

【典例2-1】(2024?高二?浙江金華?期末)如圖，已知四棱錐P-ABC。的底面是菱形，AB=2,ZBAD=60°,

對角線AC,8。交于點(diǎn)O,POJ?平面ABCD,平面a是過直線AB的一個(gè)平面，與棱PC,PD交于點(diǎn)E,尸，且

(1)求證：EF//CD-,

(2)若平面a交PO于點(diǎn)T,求=的值;

(3)若二面角E-AB-C的大小為45。，求尸O的長.

【解析】(1)

四棱錐P-A3CD的底面是菱形，AB//CD,又Mu平面a,儀)儀平面。，則CD〃平面。，

而平面a、平面PCD=￡F,COu平面尸CD,

所以EF//CD.

(2)由E,Ac平面a,E,Ae平面PAC,得平面'平面PAC=AE,

而TePO,POu平面PAC,于是Te平面PAC,又Te平面a,

則TeAE,即AT,E三點(diǎn)共線，由PO,平面ABC。,ACu平面ABC。，則PO_LAC,

如圖，在△上4c中，過點(diǎn)E作尸O的垂線，垂足為G,于是GE//AC,

113GEGE1GTGEI

設(shè)尸O=t,由PE=—PC,得PG=—t,GO=—t,

444AO-CO-4TO~AO~4

1133132PT2

從而GT=—GO=—?—t=—t,所以尸T=PG+GT=—r+—/=—t,即一=-.

554204205PO5

過點(diǎn)。作四，48于點(diǎn)"，連接力V,

由尸01平面ABCD,ABu平面ABCD,則TO_LAB,而7。ON=O,TO,ONu平面TON,

則平面TON,而刃Vu平面TON,于是

則有N77VO為二面角E-AB-C的平面角，即N77VO=45。，

在菱形A3CD中，由A8=2,/BA￡)=60。，得NO=叵,則TO=立,

22

由(2)^TO=-PO=—,所以尸。=任

526

【典例2-2】(2024.高二.上海普陀?期末)如圖，在三棱錐O-ABC中，平面ACD_L平面4BC,

ADLAC,AB1BC,E、尸分別為棱3C、8的中點(diǎn).

I)

(1)求證：直線所〃平面ABD;

(2)若直線8與平面ABC所成的角為45。，直線8與平面所成角為30。，求二面角3-AD-C的大

小.

【解析】(1)?:E,尸分別是棱3C、CD的中點(diǎn)，，在△BCD中，EFUBD,

平面ABD,BDu平面ABD,；.直線EF〃平面板)；

(2):平面ACD_L平面ABC,平面ACD1平面ABC=AC,

ADu平面ACD,AD±AC,A￡>_L平面ABC,

ZDCA是直線CD與平面ABC所成角，

?.?直線8與平面ABC所成角為45。，

Z.ZDG4=45°,AD=AC,：AD_L平面ABC,AB,BCu平面ABC,

/.AD±BC,ADJ.AB,VABIBC,ABr>AD=A,AB,ADuABD平面，

/.3cl平面ABD,NBDC是直線CD與平面ABD所成角，

直線。與平面AB￡)所成角為30°,ZBDC=30°,

:.BC=：CD,BD=yj3BC,設(shè)BC=1,

則CD=2,BD=y/3,AD=AC=近,AB=1,

....ABC為等腰直角三角形，/R4c=45。，

VADJ.AB,ADLAC,/BAC是二面角的平面角，

二面角3-AD-C的大小為45。.

【變式2-1](2024?高三?全國?專題練習(xí))如圖，正方體ABCD-ABCQ的棱長為1.在棱AB上是否存在

一點(diǎn)使得二面角A-知4-C等于120。？若存在，求出空■的值；若不存在，說明理由.

【解析】假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M,連結(jié)加為，過B作8//，與為垂足,

并延長與441相交于N,連結(jié)S.

因?yàn)镃3_L平面\ABB},BXMu平面\ABBX,

所以CBL印0,

因?yàn)锽NBC=B,BN,BCu平面BCN,

所以耳M_L平面3CN,

因?yàn)镃Hu平面BCN,

所以CH，4”.

所以NB/7C為二面角A-MB^C的平面角的補(bǔ)角，即有ZBHC=60°.

T^BM=X,則件M=Jl+f.

%

在Rt5M片中,BHB{M=BMBB1,從而BH=〒^

Vl+x2

在中，NBHC=60。,tan/BHC=空='*=百,解得了=變.

BHx2

AM1-ri-

因此，存在符合題設(shè)條件的加,且滿足黑=—=忘-1.

MBx

題型三：垂面法

【典例3-1】（2024.高二?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為矩形，平面

PAD，底面A3CD,右^4￡）為正三角形，E是A8的中點(diǎn)，AD=2,AB=4.

⑴求點(diǎn)C到平面尸￡史的距離.

（2）求二面角。-PE-C的余弦值.

【解析】（1）由題設(shè)AB_LAD,面PAD_L面ABCD,ABu面ABCD,面面ABCD=AD,

所以AB工面PAD,PAu面PAD,故即

所以尸E=JPA2+AE2=q2。+2?=20，W￡)￡=^AD2+AE2=272>PD=2,

△PDE中PD上的高V7,故S的=gx2xV7=77,

令點(diǎn)C到平面尸。E的距離為d,又Vp_cDE=VJPDE,且SC?E=；x2x4=4,尸到面CDE的距離為正三角形

PAD的高，

所以伍=2X4XTL可得1=生&1,故點(diǎn)C到平面燈汨的距離為WH.

3377

（2）由C￡）J_AD,面八山,面用?。。，CDu面ABCO,面上4。_1_面ABCD=AD,

所以CD,面尸AD,尸￡>u面尸A￡>,故CDLPD,則尸C=J?我=2右，

又EC=>J^T￥=2e=PE，故,7CE為等腰三角形，則PC上的高為百，

令C到PE的距離為人典\gxhxPE=；x6XPCn2同=2亞nh=粵~,

由（1）知：點(diǎn)C到平面尸叫；的距離為勺包，

7

若銳二面角。一尸E—C為。，貝ljsin6=生旦x-^=刊羽，故cos9=?l,

7V303535

所以二面角。-PE-C的余弦值為曬.

35

【典例3-2】（2024?高一?江蘇蘇州?階段練習(xí)）在三棱臺ABC-A瓦G中，

AB±AC,AB=2AlBl=2,AC=2A/2,CQ=2,ZAlAC=AAiCA,且平面ACAG_L平面ABC.

B

(1)求證：平面A^C_L平面ABC1；

(2)求二面角A-AC-8的正弦值.

【解析】(1)平面A41GC平面43。，平面A41cC平面ABC=AC,ABAC,

ABu平面ABC,故AB/平面441GC,ACu平面A41GC,故AB_LA]C,AC中點(diǎn)為￡),連接A。,

Z^AC=Z^CA,則AO_LAC,AD=CD=>ji，

AB=2A.B},則AG=gAC=&AQ=CD,^Q//CD,

故四邊形AOCG為矩形,

tanNCAC]=2a=，tanZ/^CCj=~^~>^CACpZ/^CCje^O,—

故NG4G=/ACC],即4C_LAC1,

ABcAG=A,A民ACu平面48C1,故A。，平面，

又ACu平面ABC,故平面ABC，平面43G.

(2)設(shè)4CcAG=。，連接20，AC_L平面ABC-03u面ABC】，故AC_LOB,

又因?yàn)锳CLAG，所以二面角A-AC-B的平面角為/A08,

AC1=A/8+4=2V3,AO=|AG=孚，

AB1平面A41GC,AOu平面A41GC,所以AB_LAO,

A52J2]

在RtOAB中，OB2=OA2+AB2,解得03=2^,仄而,""8-蔬--〒,故二面角

3石飛

4一40-2的正弦值為正1.

7

題型四：射影面積法

【典例4-1】(2024?四川宜賓?一模)如圖所示，ABC是正三角形，平面ABC,AE//CD,

AE=AB^2,CD=l,且尸為BE的中點(diǎn).

⑴求證：Z)/〃平面ABC；

(2)求平面與平面ABC所成二面角的正弦值.

【解析】(1)

E

證明：取AB中點(diǎn)連接M尸、MC,則MF〃4E,5.MF=-AE=l=CD.

2

又因?yàn)锳E〃CD,所以MF7/CD,即四邊形MF￡）C為平行四邊形，所以。尸〃MC；

又有平面ABC,MCu平面ABC,所以。尸〃平面ABC.

(2)

延長即、AC相交于點(diǎn)N,連接BN,則BN為平面3DE與平面ABC的交線.

AE//CD,AE=2CD,

則。C為aABC的中位線，所以AN=2AC=4,

即AC=QV=3C,所以AB_LBN.

BN=y]AN2-AB2=2A/3

EN=ylAE2+AN2=2A/5>BE=dAE?+AB。=20，

:.BE2+BN2=EN2,即BELBN.

所以ZEBA即為平面與平面ABC所成二面角的平面角.

..—鉆一2_A/2

..sin/EBA-----——------,

BE2A/22

故平面3■與平面ABC所成二面角的正弦值為變.

2

【典例4-2】（2024?高二?廣東廣州?期中）如圖，已知A3是圓柱下底面圓的直徑，點(diǎn)C是下底面圓周上異

于A,8的動點(diǎn)，CD,8E是圓柱的兩條母線.

(1)求證：ACD_L平面BCZJf；

(2)若AB=6,BC=3,圓柱的母線長為2百，求平面ADE與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

【解析】(1)因?yàn)锳3是底面的一條直徑，C是下底面圓周上異于48的動點(diǎn),

所以ACJ.3C,

又因?yàn)?是圓柱的一條母線，所以CD_L底面ACB,

而ACu底面ACB,所以CDJ_AC,

因?yàn)镃Du平面BCDE,BCu平面BCDE,且CDcBC=C,

所以AC_L平面3CZJE,

又因?yàn)锳CuACD,所以平面ACD_L平面BCDE；

(2)如圖所示，

過A作圓柱的母線AAf,連接。M,EM

因?yàn)榈酌鍭BC//上底面所以即求平面ADE與平面所成銳二面角的大小,

因?yàn)樵诘酌娴纳溆盀榍覟橄碌酌娴闹睆?，所以為上底面的直?

因?yàn)?0是圓柱的母線，所以AAf1平面

又因?yàn)閃為上底面的直徑，所以ME>_L￡>E,而平面ADEDME=DE,

所以NMZM為平面ADE與平面DWE1所成的二面角的平面角，

又因?yàn)?。在底面射影為C,所以DE=3C=3,ME=AB=6,

所以DM=個(gè)6=30,又因?yàn)槟妇€長為2VL所以AM=2百，

又因?yàn)槠矫?。WE,DMu平面所以

所以AO=J(26『+(3百『=739,

匚匚I、I?MD3>/33[TT

所以cosNMDA=-----=.——=—J13

AD犧13

即平面與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為尚如.

【變式4-1］如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，24,平面

ABCD,PA^AB=a,求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小.

【解析】因?yàn)镽4,平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以

又ADLAB,且Q4cAB=A,PA,ABu平面E4B,

所以ADJ_平面上48,

同理平面

所以APCD在平面PBA上的射影為APAB.

故平面PB4與平面尸CD所成二面角的大小為45.

題型五：補(bǔ)棱法

【典例5-1】(2024?山東淄博.高一統(tǒng)考期末)如圖，已知正方體ABCQ-AgGA的棱長為2,M、N分別

為棱8瓦、3C的中點(diǎn).

(1)證明：直線DN〃平面AMR；

(2)設(shè)平面AMD,與平面ABCD的交線為/,求點(diǎn)M到直線/的距離及二面角A々-C的余弦值.

【解析】(1)證明：取CG的中點(diǎn)E,連接DE、NE、ME，

在正方體ABCD-44Goi中，BBJ/CC,且BB}=CQ,

M、E分別為8月、CG的中點(diǎn)，貝!］創(chuàng)"/CE■且BM=CE,

故四邊形BCEAf為平行四邊形，則3c且ME=3C,

又因?yàn)锳D〃3C且AD=3C,則ME7/AD且腔=AD,

故四邊形ADEM為平行四邊形，則DE//AM,

DEa平面AMD,,AMu平面AMDJ,DEH平面AMD,,

因?yàn)锳B//GR且AB=G2,故四邊形ABCR為平行四邊形，則BCJIAD,,

QN、E分別為BC、CG的中點(diǎn)，則NE//BG，則NE//AR,

平面AMR,A￡>|u平面AMR,NE〃平面AMR,

DENE=E,DE、NEu平面DEN,所以，平面。硒〃平面

ZWu平面DEZV,二￡W〃平面AMR.

(2)延長DB交與點(diǎn)、P,連接轉(zhuǎn)，則直線AP即為直線/,

PMPBBM1

因?yàn)樗摹―R且因=E>2,取為B片的中點(diǎn)，貝I而■二石廠后廠不，

故點(diǎn)B為尸。的中點(diǎn)，M為尸2的中點(diǎn)，

在4AB尸中，AB=2,BP=BD=2垃,ZABP=135,

由余弦定理可得A/3?=20,貝|4尸=2括，

cosNBAP=4-2+"0?一'02=垣，則復(fù)門幺人尸=?一cos2NBAP=—,

2ABAP55

過點(diǎn)￡>在平面ABCD內(nèi)作。尸上直線?IP,垂足為點(diǎn)尸，連接。尸，

sinZDAF=sin(90-ZBAP)=cosNBAP=當(dāng)，所以，DF=ADsinZDAF=竽，

QDR_L平面/u平面A3CQ,

DF±l,DFDD{=D,DF、DRu平面OR尸，.?./_L平面OR尸，

2歹u平面DDL，，。尸U,故二面角A-JC的平面角為

且R/=Jr>n；+r>尸2=空,故點(diǎn)用到直線/的距離為手，

DF2O

008/0^=-=-,因此，二面角烏-/-。的平面角的余弦值為

【典例5-2】(2024.湖南常德.高一臨澧縣第一中學(xué)校考期末)《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是

《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最簡練有

效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個(gè)直角三角形組成

的四面體稱為“鱉腌”，己知在三棱錐尸-ABC中，PAL平面ABC.

(1)從三棱錐尸-ABC中選擇合適的兩條棱填空：1,則三棱錐P-ABC為“鱉ST'；

(2)如圖，已知垂足為O,AE1PC,垂足為E,ZABC=90°.

(i)證明：平面ADE_L平面PAC；

(ii)設(shè)平面ADE與平面ABC交線為/,若尸4=26，AC=2,求二面角E-/-。的大小.

【解析】(1)因?yàn)椤镑MIT'是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，又PAL平面9C,所以尸A_LAB,

PALAC,PA1BC；即a/MB,△上4c為直角三角形；

若3c_LAB,由ABPA=A,AB,PAu平面上4S,可得：i5cl平面上4B；

所以BCLPB,即ABC,PBC為直角三角形；滿足四個(gè)面都是直角三角形；

同理，可得BC，AC或3CLPB或3CLPC,都能滿足四個(gè)面都是直角三角形；

故可填：3。，"或30,4。或3(7_1尸8或3。，尸。；

(2)(i)證明：

：R1_L平面ABC,3Cu平面A3C,

PA1BC,

又BCLAB,PAAB=A,PA,ABu平面上鉆，

BC/平面上4B,

又ADu平面上4B,

?.BC1AD,

又ADLPB,PBcBC=B,PB,BCu平面PBC,

：.4)_1平面尸3(7,

又尸Cu平面PBC,

PCLAD,

又AELPC,AEr\AD=A,AD,AEu平面仞石，

PC_L平面陋E,

又尸Cu平面PAC,

平面M>E_L平面PAC.

(ii)由題意知，在平面PBC中，直線。E與直線3C相交.

如圖所示，設(shè)DEcBC=F,連結(jié)AF,則■即為/.

：PC_L平面AEE),/u平面AED,

?.PCLI,

:R1_L平面ABC,/u平面ABC,

?.PALI,

又PA,PC=P,PA,PCu平面PAC,

/I平面PAC,

又4及ACu平面PAC,

：.AELI,ACLI.

ZEAC即為二面角E—7—C的一個(gè)平面角.

在△PAC中，PALAC,PA=2s/3,AC=2,

：.PC=4,

又AELPC,

..r_APxAC_2y/3x2_r-

PC4

,AE>/3

??cosZEAC==——,

AC2

：.ZEAC=30°f

???二面角￡-/-C的大小為30。.

【變式5-1］（2024?黑龍江牡丹江?高一牡丹江一中校考期末）如圖，是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓。上異

于A,2的點(diǎn)，直線PC,平面ABC,E,尸分別是R4,PC的中點(diǎn).

（1）記平面BEF與平面ABC的交線為/,試判斷直線/與平面P4C的位置關(guān)系，并加以證明;

（2）設(shè)PC=2AB=4,求二面角ET-C大小的取值范圍.

【解析】（1）EF//AC,ACu平面ABC,EFcZ平面ABC,EF〃平面ABC,

又EFu平面BEF,平面8EF與平面ABC的交線為/,所以EF〃/,

而/U平面PAC,石尸（=平面尸4。，所以/〃平面PAC；

（2）設(shè)直線/與圓。的另一個(gè)交點(diǎn)為。，連接。E,FB,如圖：

由（1）知，BD//AC,而AC13C,所以8￡>_LBC,

所以尸C,平面ABC,所以尸C_LBr>,

而PCc3C=C,所以平面P8C,

又尸8u平面PBC,所以m_L3產(chǎn)，

所以/EBC就是二面角E-/-C的平面角，

因?yàn)镻C=2AS=4,點(diǎn)尸是PC的中點(diǎn)，所以FC=；PC=A2=2,

FCAB1

故tan/FBC=—

BCBC~cosZABC

jr

注意至1」0<NABC<K，所以0<COS/ABC<1,所以tan/FBC>l,

TT

因?yàn)?<NF3C<5，所以NMCe

所以二面角E-7-C大小的取值范圍為

【過關(guān)測試】

1.（2024?高一?遼寧丹東.期末）如圖(1)所示，ZABC=ZACD=90°,AB=BC=娓,ZCAD=3Q°,如

圖（2）所示，把二ABC沿AC折起,使平面ABC人平面ACD,E為AD的中點(diǎn)，連接BD,BE,EC.

圖⑴圖⑵

（1）求證：平面平面BCD；

（2）求二面角E-BC-O的正弦值.

【解析】（1）因?yàn)槠矫鍭5C1平面ACD,平面ABCc平面ACD=AC,CDLAC,CDu平面ACD,

所以COJ_平面ABC,又4?u平面ABC,所以AB_LCD,

又AB13C且Bcnco=c,BCu平面BCD,CDu平面BCD,

所以ABI平面BCD,

又ABu平面板），

所以平面ABDJL平面BCD；

（2）分別取30,BC的中點(diǎn)/，G,連接石尸，F(xiàn)G,EG,

因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以EF〃AB,

因?yàn)锳B2平面3CD,所以EF1平面BCD,BCu平面BCD,所以EF23C,

因?yàn)镕GHCD,CD,平面ABC,所以FG,平面ABC,

又3Cu平面ABC,

所以FGLBC,

又EFcFG=F,EF,FGu平面EFG,所以平面EFG,EGu平面EFG,所以5CLEG,

所以/EGF是二面角E-3C-D的平面角，

又ZABC=ZACD=90°,AB=BC=娓,ZG4D=30°,所以AC=JAB?十叱二：2出,

tanZCAD=—=—,所以CD=2,

AC3

在直角EFG中，EF=-AB=J^~,FG=-DC=1,EGNEF+FG，=?,

2222

所以sinNEGF=?=姮,即二面角E-3C-。的正弦值為姮.

EG55

2.（2024.高一?福建三明?期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL平面ABC。,AD//BC,ADLCD,

S.AD=CD=2,BC=4,PA=41.

⑴求證：AB1PC；

(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得BM與平面ABCD所成角的正切值為叵

,若存在，求二面角

26

V-AC-D的大小，若不存在，請說明理由.

【解析】(1)

證明：因?yàn)锳D〃3C,ADLCD,AD=CD=2,BC=4,

所以四邊形ABC。是直角梯形，且AC=2&，AB=^BC-AD'f+CD2=2A/2,

AB2+AC2=16=BC2,即AB人AC.

又PA_L平面ABCD,ABu平面ABC。，所以

又PAAC=A,且B4,ACu平面融C,所以AB工平面朋C,

又尸Cu平面RIC,所以A5_LPC

(2)存在符合條件的點(diǎn)M,且M為PO的中點(diǎn)，

證明如下，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N,連接2N,

p

M

BC

因?yàn)镻A_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以R4_LAD,

因?yàn)镸MPAu平面必￡）,所以MN〃叢，

因?yàn)樗訫N1AB,

因?yàn)锳BcAD=A,4氏4。<=平面45?！辏?所以MN_L平面ABCD,

則/MBN為與平面ABC。所成的角.

^AN=x（O<x<2）,則A?=2—x,MN=^（2-x）,BN=｛（2+x）2+4,

由tan/MBN=—得叵="^-尤）,

BN26J（2+_+4

解得尤=1或x=g（舍去）

所以M為P。的中點(diǎn)，

過點(diǎn)N作NGLAC于點(diǎn)G,連接MG,

因?yàn)殡臯_L平面ABC。，ACu平面ABCD,所以MN_LAC,

又MNNG=N,MN,NGu平面MGN,故AC_L平面MGN,

因?yàn)镸Gu平面MGN,所以AC_LMG,所以/MGN為二面角M-AC-O的平面角,

；RtMNG中，NG=ANsin—==MN,所以4MGN=—,

424

7T

即當(dāng)點(diǎn)M為尸。的中點(diǎn)時(shí)，符合題意，且二面角M-AC-。的大小為了.

4

3.（2024.高一.貴州安順.期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是直角梯形，平面

ABCD,M是邊AD上一點(diǎn)，且滿足ABCM是正方形，AB=1,PA=2.

p

(1)求證：平面PBM_L平面PAC；

(2)已知：MD=2(O</1<2),二面角尸-CD-A的平面角為。.是否存在4,使得tan。=收?若存在,

求出X；若不存在，說明理由.

【解析】(1)證明：因?yàn)镽4_L平面"CD,BMu平面45cD,所以上4_LBM

因?yàn)檎叫蜛B。1,所以AC,3M

又尸4門47=4,乃4,4(7<=平面尸4(7,所以上平面PAC

因?yàn)槠矫嫠云狡矫媸?MJL平面PAC；

(2)過P隹尸N_LCD于N,連接4V

因?yàn)镻A_L平面ABC。，CDu平面A3CD,所以E4JLCD

因?yàn)镻N_LCD,PNcPA=P,PN,PAu平面PAN,所以CD_L平面尸/W

又ANu平面PAN,所以CD_LAN,則NZW為二面角P-CD-A的平面角6

pA2r-

所以tan8=tan/PNA=---=——=V2,則AN=6

ANAN

又因?yàn)檎叫蜛BCM中，有AC=?AB=4i,又PNLCD,所以此時(shí)N與。重合

JTJT

因?yàn)镹DAC=NACB=T，所以NADC=：=NDAC,則AC=CO=后，所以

44

AD=y/2AC=2=AM+MD，t^A=MD=2-AM=1

故存在％=1使得tan。=&-

4.（2024?高一.河南商丘?期末）如圖，在四棱錐尸-ASCD中，底面ABCD是菱形.

(1)若點(diǎn)片是PD的中點(diǎn)，證明：PB〃平面ACE；

(2)若上4=PD=">,ZBAD=120,且平面E4T>_L平面ABCD,求二面角尸-AC-O的正弦值.

【解析】(1)連接30交AC于M,連接EN,

因?yàn)榈酌鍭BCZ)是菱形，所以V為BD的中點(diǎn)，

又點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，故"正為_￡>~8的中位線，

敬EM〃PB,而EWu平面ACE,PBu平面ACE,

故尸3〃平面ACE；

(2)設(shè)。為AD的中點(diǎn)，連接尸O,因?yàn)閙=尸￡>=4),故POLAD,

因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABC。，且平面E4Dc平面ABCD=AD,

POu平面PAD,所以P01平面ABC。，而ACu平面ABC。，

故POUC,

底面ABCD是菱形，故,ACLBD,作ON〃9交A"于N,

則ON_LAC,且N為411的中點(diǎn)，

連接PN,因?yàn)镻。ON=O,PO,ONu平面PON,

故ACJ_平面尸ON,PNu平面PON,

故ACLPN,

則NPNO即為二面角尸—AC-O的平面角，

設(shè)上4=PD=AD=2,則尸。=百，

ZBAD=120,貝U/ZMC=60,貝IDM=2xsin60=百，

由于。為AD的中點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，t^ON=-DM=—,貝！1，

而尸01平面ABC。，ONu平面A3CD,故尸OJLON,

則—而B當(dāng)

2

即二面角P-AC-。的正弦值為半.

5.(2024.高一?云南玉溪?期末)如圖，三棱錐尸-MC的底面MC是等腰直角三角形，其中

AB=AC=PA=PB=2,平面平面ABC,點(diǎn)￡,N分別是AB,8C的中點(diǎn).

(1)證明：EN1平面B4B；

(2)求二面角C-依-A的余弦值.

【解析】(1)證明：因?yàn)槿忮F尸-ABC的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=2,所以AB/AC,

又點(diǎn)E,N分別是AB,BC的中點(diǎn)，故EN〃AC,故

又平面PAB_L平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,￡7Vu平面ABC,

故EN_L平面PAB.

(2)如圖，取尸8的中點(diǎn)為凡連接AF,CF,

因?yàn)樯?=PB=AB=2,所以酢_LPB,AF=6

又平面PA5_L平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,AB±AC,

ACu平面ABC,故AC_L平面A8P,PBu平面ABP,故AC_LPB,

ACnAF=A,AC,AF^^ACF,故尸3_L平面AC/,

CFu平面ACF,故PB_LCF,

則NCE4即為所求的角，于是tanNCE4=￡=],cosZCFA=—,

AFV37

所以二面角0-依-4的余弦值為亨.

6.（2024.高一.安徽蕪湖.期末）如圖，在三棱臺ABC-的中，NACB=90,BF±AD,BC=2,

BE=EF=FC=1.

(1)求證：平面3CEE_L平面ABC；

jr

(2)若直線AE與平面BCFE所成角為求平面DEC和平面ABC所成角的正切值.

【解析】(1)取BC中點(diǎn)為。，連接產(chǎn)O,

VBE=EF=FC=1,BC=2,所以BO=OC=FC=1,故NBFV=NOBF,NCFO=/COF=NFCO,由三角

形內(nèi)角和可得ZBFO+ZCFO=90,

故■，尸C,

又：BF_LAD,AD,FCu平面ADFC,A。,改為相交直線，

.?.族_L平面ADRC,〃^匚平面仞八^二臺尸］？!。

又：ZAC3=90,BPBC±AC.BFCBC=B,平面BCTE,

AC_L平面3CFE,AC在平面ABC內(nèi)，平面BCFEl.平面ABC

(2)由(1)知直線AE與平面3CFE所成角為NAEC,

,?6>由于AE=AF=\lBC2—FC2=y/3,?"AC=3

JDC

設(shè)平面DEC和平面ABC的交線為I,

由于AB〃平面DEC,ABu平面ABC,所以/〃AB,

過點(diǎn)E作EGJ_3c于G,

又(1)知平面3CFE_L平面ABC,且兩平面的交線為3C,EGu平面3cFE.

EG_L平面ABC,/e平面ABC,所以EG_U,

皿m

再過點(diǎn)G作6長_1/于長，連接EK,

GKcEG=G,GK,EGu平面EGK,所以/工平面EGK,

EKu平面EGK,故/，EK,

???NEKG即為所求角，

13

BG=-,GC=~.

22

33339

GK=GC,sinZBCK=-sin/BCK=-sin/5=-x-==—=

222V132V13

??,"“EG_62713_V39

?EKG=-----=—x-------=-------

EK299

7.（2024.高一.江西萍鄉(xiāng).期末）在如圖所示的空間幾何體中，兩等邊三角形ACD與，ASC互相垂直,

AC=BE=2,DE〃平面ABC,且點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)的射影落在/ABC的平分線上.

⑴求證：平面AC。；

（2）求二面角。-AC—E的正切值.

【解析】（1）如圖，取AC中點(diǎn)。，連接2。，DO,EO,

：為等邊三角形，二夕。為NA2C的平分線，設(shè)點(diǎn)廠是點(diǎn)E在平面ABC上的射影,

由題知，點(diǎn)尸在2。上，連接ER則EAL平面ABC,

?.?平面ACD_L平面ABC,平面ACD平面ABC=AC,OOu平面ACD,

DOLAC,貝lJr>O_L平面ABC,

DO//EF,則DEBO為平面四邊形，

：Z）E//平面ABC,￡>Eu平面。E8O,平面DEBOc平面ABC=30,

BOUDE,?.?平面ACD_L平面ABC,平面ACD］平面ABC=AC,

30u平面ABC,BOIAC,301平面AC。，DEI平面ACD

(2)BO±AC,DOLAC,DOcBO=O,DO,3Ou平面8。。，

ABOD,：EOu平面B。。，ACYEO,

.?./OOE為二面角O—AC—E的平面角，

「EF/平面ABC,DO_L平面ABC,EF//DO,

VDEUFO,DEI.DO,

四邊形。EFO為矩形，:.DO=EF=6：.BF=1,OF=DE=y/3-l,

貝IJtan/DOE=Y1l=l-且，故二面角?！狝C—E的正切值為1一走.

A/33