線性代數(shù)課件復(fù)習(xí)：向量空間與線性變換課程概述向量空間基本概念理解向量、線性組合、基與維數(shù)線性變換定義和性質(zhì)掌握映射特性、矩陣表示、核與像兩者聯(lián)系第一部分：向量空間8向量公理滿足八條基本運(yùn)算法則3常見空間R^n、矩陣空間、多項(xiàng)式空間∞應(yīng)用領(lǐng)域向量空間的定義加法封閉性任意兩向量相加仍在空間中數(shù)乘封閉性向量與標(biāo)量相乘仍在空間中8條運(yùn)算法則向量空間的例子R^n空間n維實(shí)數(shù)向量構(gòu)成的空間最直觀的向量空間例子矩陣空間所有m×n矩陣構(gòu)成的集合矩陣加法和數(shù)乘滿足向量空間公理多項(xiàng)式空間所有最高次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式多項(xiàng)式加法和數(shù)乘構(gòu)成向量空間向量的線性組合定義形如c?v?+c?v?+...+c?v?其中c?,c?,...,c?為實(shí)數(shù)常數(shù)幾何解釋二維空間中表示為向量的伸縮和相加可視為向量的加權(quán)和線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)存在非全零系數(shù)使線性組合為零向量至少一個向量可由其他向量表示線性無關(guān)僅有全零系數(shù)使線性組合為零向量每個向量都提供新信息判定方法行列式為零則線性相關(guān)解齊次方程組判斷向量組的秩秩的定義向量組中線性無關(guān)向量的最大個數(shù)等價表述生成子空間的維數(shù)計算方法行階梯形矩陣的非零行數(shù)向量空間的基基的定義線性無關(guān)且張成整個空間的向量組基的性質(zhì)空間中任意向量可唯一表示為基的線性組合標(biāo)準(zhǔn)基R^n中的單位向量組成的基基的變換不同基之間通過可逆變換聯(lián)系向量空間的維數(shù)定義基中向量的個數(shù)與基的關(guān)系所有基的向量個數(shù)相同性質(zhì)表征空間的"大小"例子R^n的維數(shù)為n坐標(biāo)與坐標(biāo)變換坐標(biāo)的定義向量在給定基下的線性組合系數(shù)v=c?e?+c?e?+...+c?e?不同基下的坐標(biāo)變換通過過渡矩陣P實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換[v]?=P[v]?P由基向量坐標(biāo)組成子空間定義向量空間的非空子集，滿足向量空間公理子空間判定包含零向量，對加法和數(shù)乘封閉例子平面中的一條直線子空間的運(yùn)算和S+T={s+t|s∈S,t∈T}交S∩T={v|v∈S且v∈T}直和S⊕T：S+T且S∩T={0}商空間定義V/U={v+U|v∈V}U是V的子空間性質(zhì)dim(V/U)=dim(V)-dim(U)等價類的集合陪集形成向量空間第二部分：線性變換定義與性質(zhì)保持線性結(jié)構(gòu)的映射矩陣表示通過矩陣刻畫變換核與像描述變換的基本特征可逆性一對一對應(yīng)的條件線性變換的定義加法保持性T(u+v)=T(u)+T(v)數(shù)乘保持性T(cv)=cT(v)線性性保持線性組合線性變換的性質(zhì)零向量的像T(0)=0零向量必須映射到零向量線性組合的像T(c?v?+c?v?)=c?T(v?)+c?T(v?)保持線性組合結(jié)構(gòu)子空間的像子空間的像是子空間保持子空間結(jié)構(gòu)線性變換的矩陣表示定義線性變換可由方陣唯一表示矩陣A的列是基向量的像計算方法確定基向量的像組成變換矩陣AT(v)=A[v]線性變換的核定義核(T)={v∈V|T(v)=0}性質(zhì)核是定義域的子空間零度核的維數(shù)稱為變換的零度線性變換的像定義像(T)={T(v)|v∈V}性質(zhì)像是值域的子空間秩像的維數(shù)稱為變換的秩線性變換的秩1定義變換像的維數(shù)2與矩陣秩的關(guān)系等于表示矩陣的秩計算方法計算表示矩陣的秩線性變換的零度定義變換核的維數(shù)與核的維數(shù)的關(guān)系直接等于核的維數(shù)計算方法求解齊次方程組Ax=0秩-零化度定理=定理內(nèi)容rank(T)+nullity(T)=dim(V)dim(V)空間維數(shù)定義域的維數(shù)證明證明思路基礎(chǔ)定理，證明通過核與像補(bǔ)空間的同構(gòu)線性變換的逆定義T?1°T=I_V且T°T?1=I_W逆變換滿足復(fù)合等于恒等變換存在條件T是滿射且單射當(dāng)且僅當(dāng)ker(T)={0}當(dāng)且僅當(dāng)rank(T)=dim(V)可逆線性變換定義存在逆變換的線性變換一對一且滿射的變換性質(zhì)保持維數(shù)可逆變換的逆唯一判定矩陣可逆秩等于空間維數(shù)同構(gòu)線性變換定義存在可逆線性變換的兩個空間稱為同構(gòu)1判定條件維數(shù)相同的空間同構(gòu)2意義具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)線性變換的合成定義(S°T)(v)=S(T(v))矩陣表示[S°T]=[S][T]性質(zhì)滿足結(jié)合律但不滿足交換律第三部分：向量空間與線性變換的聯(lián)系統(tǒng)一視角變換通過矩陣聯(lián)系不同的向量空間基變換同一空間不同表示之間的關(guān)系特征結(jié)構(gòu)揭示變換的內(nèi)在性質(zhì)基變換與線性變換關(guān)系基變換影響線性變換矩陣表示表示矩陣隨基的選擇變化應(yīng)用選擇合適基簡化變換表示便于計算特征值和特征向量線性變換的矩陣與基變換原始基下的矩陣表示[T]_B過渡矩陣P將B表示為C的線性組合新基下的矩陣表示[T]_C=P?1[T]_BP相似矩陣與線性變換定義A~B??可逆P，使B=P?1AP線性變換視角表示同一線性變換在不同基下的矩陣性質(zhì)有相同特征多項(xiàng)式，相同行列式不變量秩、特征值、跡保持不變不變子空間定義W?V且T(W)?W子空間在變換下映射回自身性質(zhì)限制在W上為W上的線性變換核與像均為不變子空間應(yīng)用簡化復(fù)雜變換的分析構(gòu)造Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的基礎(chǔ)特征值與特征向量定義T(v)=λv，v≠0向量在變換下只改變尺度計算方法求解特征方程det(A-λI)=0對每個特征值求解(A-λI)v=0幾何意義特征向量對應(yīng)的方向在變換下保持特征值表示拉伸或壓縮程度特征空間定義E_λ={v∈V|T(v)=λv}性質(zhì)是V的子空間代數(shù)重數(shù)特征值作為特征多項(xiàng)式根的重數(shù)幾何重數(shù)對應(yīng)特征空間的維數(shù)對角化定義找P使P?1AP為對角矩陣條件n個線性無關(guān)特征向量應(yīng)用簡化矩陣冪次計算Jordan標(biāo)準(zhǔn)型問題并非所有矩陣可對角化解決方案廣義特征向量和Jordan塊結(jié)構(gòu)對角線為特征值，上對角線為1或0構(gòu)造方法復(fù)雜，需使用廣義特征向量最小多項(xiàng)式定義使T(P(A))=0的最低次非零多項(xiàng)式滿足m(A)=0的最低次多項(xiàng)式性質(zhì)能整除特征多項(xiàng)式有相同的不可約因子應(yīng)用判斷矩陣可對角化計算矩陣函數(shù)Hamilton-Cayley定理0定理內(nèi)容P(A)=0，其中P是A的特征多項(xiàng)式n次降次可將A的高次冪降至n-1次及以下簡化應(yīng)用計算矩陣函數(shù)和矩陣冪第四部分：應(yīng)用實(shí)例線性方程組核空間對應(yīng)解的結(jié)構(gòu)微分方程線性算子與解的表示量子力學(xué)自伴隨算子與可觀測量計算機(jī)圖形學(xué)變換矩陣與幾何操作線性方程組與線性變換關(guān)系A(chǔ)x=b表示線性變換A作用于x得到值b方程解對應(yīng)核平移解法齊次：求核空間非齊次：特解+齊次解應(yīng)用秩-零化度定理分析解的結(jié)構(gòu)二次型與線性變換關(guān)系二次型q(x)=x^TAx對稱矩陣二次型對應(yīng)唯一對稱矩陣正交對角化主軸變換簡化二次型應(yīng)用圓錐曲線、正定性判定微分方程與線性變換線性微分方程形如a_ny^(n)+...+a_1y'+a_0y=f(x)微分算子D是線性變換解的結(jié)構(gòu)齊次解為微分算子的核通解=特解+齊次通解特征值應(yīng)用特征值對應(yīng)指數(shù)解e^λx求解常系數(shù)線性微分方程傅里葉變換與線性變換傅里葉變換的線性性質(zhì)F[af+bg]=aF[f]+bF[g]是函數(shù)空間上的線性變換應(yīng)用信號處理：分解為簡單頻率成分微分方程：轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程圖像處理：頻域分析和濾波主成分分析與線性變換PCA原理尋找數(shù)據(jù)最大方差方向協(xié)方差矩陣特征向量確定主成分方向線性變換視角旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系到主軸方向機(jī)器學(xué)習(xí)中的線性變換線性回歸最小化均方誤差的線性映射神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的線性層Wx+b形式的仿射變換降維技術(shù)PCA、LDA等線性投影方法3量子力學(xué)中的線性算子線性算子的定義希爾伯特空間上的線性變換厄米算子表示可觀測量的自伴隨算子本征態(tài)算子的特征向量表示穩(wěn)定狀態(tài)測量投影到特征空間的過程計算機(jī)圖形學(xué)中的線性變換旋轉(zhuǎn)保持距離的正交變換縮放改變尺寸的對角矩陣投影降維的奇異矩陣齊次坐標(biāo)表示平移的技巧第五部分：高級主題內(nèi)積空間定義配備內(nèi)積?u,v?的向量空間滿足線性性、對稱性、正定性性質(zhì)能定義長度：||v||=√?v,v?能定義角度：cosθ=?u,v?/(||u||||v||)例子歐氏空間：?u,v?=u^Tv函數(shù)空間：?f,g?=∫f(x)g(x)dx正交補(bǔ)空間定義W^⊥={v∈V|?v,w?=0,?w∈W}與子空間W中所有向量正交的向量集合性質(zhì)正交補(bǔ)是子空間dim(W)+dim(W^⊥)=dim(V)V=W⊕W^⊥（正交直和）Schmidt正交化1起始線性無關(guān)向量組{v?,...,v?}過程逐步投影并正交化結(jié)果正交向量組{u?,...,u?}4單位化獲得標(biāo)準(zhǔn)正交基自伴隨算子定義?T(u),v?=?u,T(v)?矩陣表示厄米矩陣/對稱矩陣特征值全為實(shí)數(shù)特征向量不同特征值的特征向量正交譜定理1定理內(nèi)容自伴隨算子可正交對角化2應(yīng)用二次型化簡，振動分析推廣正規(guī)算子的譜分解奇異值分解定義A=UΣV?正交矩陣U和V包含左右奇異向量奇異值Σ對角線上的非負(fù)實(shí)數(shù)應(yīng)用圖像壓縮，PCA，偽逆廣義逆矩陣定義偽逆A?滿足特定條件的矩陣計算通過SVD:A?=VΣ?U?性質(zhì)AA?A=A,A?AA?=A?應(yīng)用求解最小二乘問題張量積定義V?W表示兩個向量空間的張量積基為{v??w?}，維數(shù)為dim(V)·dim(W)應(yīng)用量子力學(xué)中復(fù)合系