專(zhuān)題07解布幾何(送礁盤(pán)J

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

直線(xiàn)與圓的性質(zhì)應(yīng)用在高考

考點(diǎn)01：直線(xiàn)和圓的2024甲卷北京卷天津卷

綜合問(wèn)題2022北京乙卷甲卷III卷考考查趨勢(shì)是主要考查圓的

2020III卷

一些基本性質(zhì)，一般難度較小

2024天津II卷

2023甲卷乙卷北京III橢圓與雙曲線(xiàn)的基本性質(zhì)是

2022甲IIIIII高考數(shù)學(xué)中的必考點(diǎn)也是高

考點(diǎn)02橢圓，雙曲線(xiàn)

2021北京甲卷乙卷III頻考點(diǎn)，一般考查的基本內(nèi)容

基本性質(zhì)

III一些性質(zhì)的綜合應(yīng)用

2020浙江I卷

2024甲卷I卷

求橢圓雙曲線(xiàn)的離心率及離

考點(diǎn)03橢圓雙曲線(xiàn)2023天津

心率的取值范圍是高考的高

的離心率2022浙江乙卷

頻考點(diǎn)。

2020北京n卷

2023北京乙卷

拋物線(xiàn)在高考中小題中考查

2022乙卷

考點(diǎn)04拋物線(xiàn)性質(zhì)非常普遍，重點(diǎn)考查有關(guān)拋物

2021III北京卷

及應(yīng)用線(xiàn)的p的有關(guān)問(wèn)題

2020IIII北京卷

2024In卷圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用一般作

考點(diǎn)05圓錐曲線(xiàn)的

2023甲乙天津?yàn)檫x填壓軸題目出現(xiàn)，是對(duì)圓

綜合問(wèn)題

2021浙江錐曲線(xiàn)綜合能力的考查

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01：直線(xiàn)和圓的綜合問(wèn)題

1.（2024?全國(guó)甲卷）已知直線(xiàn)ax+y+2-a=0與圓c：x?+/+4>-1=0交于4臺(tái)兩點(diǎn),

則|/目的最小值為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P（L-2）,從而可得當(dāng)尸48時(shí)，同的

最小，結(jié)合勾股定理代入計(jì)算，即可求解.

【詳角軍】因?yàn)橹本€(xiàn)。*+>+2—。=0,即“（x-l）+y+2=0,令無(wú)一1=0,

則x=l,y=-2,所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（1,-2）,設(shè)尸（1,-2）,

將圓C：x2+y2+4y-1=0化為標(biāo)準(zhǔn)式為一+（y+2『=5,

所以圓心。（0,-2）,半徑廠(chǎng)=石，歸。=1

當(dāng)尸02時(shí)，|/回的最小,

此時(shí)M4=2#干E『=2x后斤=4.故選：C

2.（2024?北京?高考真題）圓，+/-2x+6y=0的圓心到直線(xiàn)x->+2=0的距離為

（）

A.V2B.2C.3D.3亞

【答案】D

【解析】由題意得/+/-2x+6y=0,即+(>+3)2=10,

11-（-3）+21r

其圓心坐標(biāo)為則圓心到直線(xiàn)x-y+2=0的距離為J『+（=3J2.故選:D.

3.（2022高考北京卷）若直線(xiàn)2》+^-1=0是圓口—。）2+/=1的一條對(duì)稱(chēng)軸，則

a=()

11

A.-B.-----C.1D.-1

22

【答案】A【解析】：由題可知圓心為（a,0）,因?yàn)橹本€(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸，所以圓心在直線(xiàn)

上，即2a+0—1=0,解得。=工.故選,A.

2

4.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷）過(guò)點(diǎn)（0,-2）與圓/+/-4x-1=0相切的兩條直線(xiàn)的夾

角為a，貝!1sina=（）

A.1B.@1C.巫D.亞

444

【答案】B【解析】:方法二因?yàn)槎?/-41=0,即（x-2『+丁=5,可得圓心

C（2,0）,半徑r=

過(guò)點(diǎn)P（0,-2）作圓c的切線(xiàn)，切點(diǎn)為48，

因?yàn)镻C=^22+（-2）2=272，則歸聞=^|PC|2-r2=百，

-T41a-/ADC逐V10/V3V6

可得sin/ZPC=-產(chǎn)=-----,cosZAAPC=-產(chǎn)=——，

2V242V24

貝（Jsin/APB=sin2ZAPC=2sinNAPCcos/APC=2x

cos/APB=cos2ZAPC=cos2/APC-sin2ZAPC--<0,

4

即NAPB為鈍角，所以sina=sin（兀一NAPB）=sinNAPB=

4

法二：圓X?+_/一4工_1=0的圓心C（2,0）,半徑廠(chǎng)=石，

過(guò)點(diǎn)P（0,—2）作圓c的切線(xiàn)，切點(diǎn)為48,連接23,

可得pC=^22+（-2）2=272，則|P^|=\PB\=^\PCf-r2=G，

因?yàn)閨尸旬2+|P5|2-2|P^|■|P5|cos=|C4|2+|C5|2-2|G4|-|C5|cosZ^C5

且NNC8=7i-Z.APB,J^3+3-6COSNZP8=5+5-10COS（TI-NAP8）,

即3—cos/APB=5+5cos/APB，解得cos/APB=--<0,

4

即NAPB為鈍角，則cosa-cos（兀一/APB）--cosNAPB=；

且a為銳角,所以sina=Jl—cos2a=----；

4

方法三：圓x2+/-4x-l=0的圓心C（2,0）,半徑子=指，

若切線(xiàn)斜率不存在，則切線(xiàn)方程為>=0,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>/，不合題意;

若切線(xiàn)斜率存在，設(shè)切線(xiàn)方程為J=2,即區(qū)-y-2=0,

則廣左一2|=舊,整理得左2+8左+i=o,且A=64—4=60>0

“2+1

設(shè)兩切線(xiàn)斜率分別為左，左2，則左1+左2=—8,桃2=1，

可得|左_左21='（左1一4左1左2=2^/15-，

\k-k\r—sinai-sina

所以tani=Uy_2?=J15,即-----=J15,可得cosa=一"，

T+k[hcosaV15

rn.l.22?2sinCC1

則sma+cosa=sma-\------=1，

15

且a0,],則sina>0,解得sina=45.故選：B.

4

5.（2020年高考課標(biāo)I卷）已知。/W：x2+j2-2x-2v-2=0,直線(xiàn)/:

2x+y+2=0,尸為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作。M的切線(xiàn)P4%,切點(diǎn)為45,

當(dāng)1PMM4sl最小時(shí)，直線(xiàn)4B的方程為（）

A.2x—y—1—0B.2x+y—1—0C.2x—jv+1-0

D.2x+y+l=0

【答案】D

【解析】圓的方程可化為（x—l）2+（y—l）2=4,點(diǎn)M到直線(xiàn)/的距離為

|2xl+l+2|

d==石〉2,所以直線(xiàn)/與圓相離.

互+f

依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)4R5M四點(diǎn)共圓，且所以

\PM\-\AB\=AS^PAM=4X|X|P^|X|^M|=4|P^|,而回=抑可—4，

當(dāng)直線(xiàn)的上/時(shí)，|M￡in=J^，IP"L=L此時(shí)1PM?|N8|最小.

[11f,

]/、11y——xH—x=-1

—1=—(x—1)即＞=—x+—,由《，22解得，\.

222[2x+y+2=0，=°

所以以MP為直徑的圓的方程為(x—l)(x+l)+〉(y—1)=0,BPx2+v2-v-l二0,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線(xiàn)48的方程.故選：D.

6.（2020年高考課標(biāo)H卷）若過(guò)點(diǎn)（2,1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線(xiàn)

2x-y-3=0的距離為()

拽D?竽

A."B.cbH

55■"I-

【答案】B

【解析】：由于圓上的點(diǎn)（2,1）在第一象限，若圓心不在第一象限,

則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限,

設(shè)圓心的坐標(biāo)為（a,a）,則圓的半徑為

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—+（＞—=a1.

由題意可得（2—a『+（l—a）2二=a2,可得。、6。+5=0，解得。=1或a=5，

所以圓心的坐標(biāo)為（1,1）或（5,5）,

圓心（I」）到直線(xiàn)的距離均為4=.義號(hào)-3_拽

圓心（5.5）到直線(xiàn)的距離均為％=

圓心到直線(xiàn)2x—y—3=0的距離均為d=

所以，圓心到直線(xiàn)2x—y—3=0的距離為乎.故選：B.

二填空題

7.（2024?天津?高考真題）圓（x-iy+V=25的圓心與拋物線(xiàn)/=2*（>>0）的焦點(diǎn)尸

重合，A為兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線(xiàn)相的距離為.

4

【答案】y/0.8

【詳解】圓（x-l>+廿=25的圓心為尸（1,0）,故與=1即2=2,

由<-1）+y=25nTWx2+2x-24=0,故x=4或x=-6（舍），

j=4x

故4（4,±4）,故直線(xiàn)NF:〉=±g（x-l）即4》一3『一4=0或4工+3>-4=0,

故原點(diǎn)到直線(xiàn)小的距離為d=口=3，

55

4

故答案為：—

8（2022新高考全國(guó)I卷）寫(xiě)出與圓/+/=1和（％_3）2+（j-4）2=16都相切的一條直

線(xiàn)的方程.

35725

［答案］y=--X+—=24-24^x=~^

【解析】：圓=i的圓心為。（0刀），半徑為1,圓（x—3）2+（y—/=16的圓

心。為（3,4）,半徑為4,

兩圓圓心距為J32+42=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

433

如圖，當(dāng)切線(xiàn)為/時(shí)，因?yàn)樽髿{=§,所以勺=—^，設(shè)方程為^=一^》+'?〉（））

d-—］=1535

。至I」/的距離V，解得/=：,所以/的方程為歹=一一%+—,

W卜記444

當(dāng)切線(xiàn)為m時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為Ax+y+p=0,其中2>0,k<0,

刨之;1

725

由題意＜?,解得《,y=-----X

\3k+4+p\24---24

35725

當(dāng)切線(xiàn)為。時(shí)，易知切線(xiàn)方程為x=-l,故答案為：y=-x—aSJ-TT

442424

或x=-1.

9.(2022年全國(guó)乙卷)過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

【答案】

=免或

9

25

【解析】：依題意設(shè)圓的方程為―+必+以+或+尸=0,

>=0F=0

若過(guò)（0,0）,（4,0）,（-1,1）,貝I]16+4。+尸=0解得,。=一4,

1+1-D+E+F=0E=—6

所以圓的方程為一+/一4%一6了=0,即(x—2『+(y—3)2=13；

>=0F=0

若過(guò)（0,0）,（4,0）,（4,2）,則16+4。+尸=0解得—4,

16+4+4D+2E+F=0E=—2

所以圓的方程為f+j?—4x—2y=0,即（x—2y+（y—=5；

F=0

F=0

D-

若過(guò)（0,0）,（4,2）,（-1,1）,則＜1+1-D+E+F=0,解得《

3

16+4+4D+2E+F=0a14

E=------

3

所以圓的方程為=即+（y

33

1+1-D+E+F=0

若過(guò)（T1）,（4,0）,（4,2）,則V16+4D+F=0,解得<

16+4+4。+2￡+尸=0

E=-2

所以圓的方程為I?+y2_。工_2了=0,即［x-g］+（j-l）2=~^;

故答案為：（x-2）2+（j-3）2=13sg（x-2）2+（j-l）2=5或

口司+1T吟或/

10.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））若雙曲線(xiàn)一二=1（,?＞0）的漸近線(xiàn)與圓

f+y2—4了+3=0相切，貝?。?=.

【答案】旦

3

V-2X

【解析】雙曲線(xiàn)三=1（加＞0）的漸近線(xiàn)為＞=±±，即％±切=0,

mm

不妨取X+機(jī)y=0,圓f+J?一4^+3=0,gpx2+（j；-2）2=1,所以圓心為（0,2）,半徑

r=\,依題意圓心（0,2）到漸近線(xiàn)x+my=Q的距離d='I-=1,

JiIi/i/i2

解得加='^或%=（舍去）.故答案為：.

333

11.（2022新高考全國(guó)II卷）設(shè)點(diǎn)4（-2,3）,8（0,。），若直線(xiàn)N5關(guān)于歹=。對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)

與圓（X+3）2+3+2）2=1有公共點(diǎn)，則。的取值范圍是.

【答案】?2

【解析】4（-2,3）關(guān)于歹=。對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為幺'（一2,2"3）,8（0,a）在直線(xiàn)歹=。

Q—3

上，所以H8所在直線(xiàn)即為直線(xiàn)/,所以直線(xiàn)/為y=——x+a,即

-2

（a-3）x+2j-2a=0；圓C:（x+3『+（7+2）?=1,圓心C（—3,—2）,半徑/?=：!,

13(Q-3)-4-2Q|

依題意圓心到直線(xiàn)/的距離d=J~/<1即（5-5a）2V（"3『+2?,

7(?-3)+22

131313

解得即——-;故答案為：—

323?232

考點(diǎn)02：橢圓，雙曲線(xiàn)基本性質(zhì)

1.(2024?全國(guó)?高考n卷)已知曲線(xiàn)C：，+/=16(y>0),從c上任意一點(diǎn)p向X

軸作垂線(xiàn)段PP,尸'為垂足，則線(xiàn)段PP的中點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.—+^=1(y>0)B.—+^=1(y>0)

164168

2222

C.^+―=1(y>0)D.^-+—=1(y>0)

164168

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)，(xj),由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得尸(x,2y),代入圓的方程即可

求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)"(X/),貝！|尸(蒼歹0)，尸'(無(wú)，°),

因?yàn)镸為PP的中點(diǎn)，所以Vo=2y,即尸(x,2y),

又尸在圓爐+1/=16。>0)上,

所以％2+4/=i6(y>0),即/+一=1(歹>0),

164

22

即點(diǎn)初的軌跡方程為2+-=1。>0).故選：A

164

22

2.(2024?天津?高考真題)雙曲線(xiàn)5-2=1(“>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為牛F2.P

ab

是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，且直線(xiàn)尸層的斜率為2.△尸片乙是面積為8的直角三角形，則雙

曲線(xiàn)的方程為()

A-丁]x2y2X1y2x-y2

82842848

【答案】C

【分析】可利用△尸片與三邊斜率問(wèn)題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)|尸耳卜加，由

面積公式求出％,由勾股定理得出。，結(jié)合第一定義再求出

【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)尸必落在第四象限，/耳空=90。，設(shè)|尸￡|=機(jī)，

2

/尸與耳=%/尸片￡=2,由左%=tan，=2,求得smR=-^,

因?yàn)?月尸8=90。，所以原叱后時(shí)=-1,求得%;=彳，即tan4=g,

sin%=后由正弦定理可得：|P^|:\PF2\-.\FtF2\=sinO{:sin^2:sin90°=2:1:75,

則由「閶=機(jī)得|尸耳|=2%國(guó)&|=2c=45m,

由J0片卜戶(hù)用=；"2機(jī)=8得以=2女，

貝I]|尸月|=2&，忸胤=4&J與工|=2c=2亞,0=師,

由雙曲線(xiàn)第一定義可得：\PF\-\PF^=2a=242,a=0b7c-a2=a，

22

所以雙曲線(xiàn)的方程為土-匕=1.

28

故選：C

2

3.(2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷)橢圓。：\+/=1的左、右焦點(diǎn)分別為廣，F(xiàn)2,直線(xiàn)

>=x+機(jī)與C交于4B兩點(diǎn)，若AF[AB面積是△鳥(niǎo)48面積的2倍,貝ijm=

).

2R后2

A.-D.---c_旦D.——

33'一三3

y=x+m

【答案】C【解析】：將直線(xiàn)y='+m與橢圓聯(lián)立《x2,,消去》可得

—+V=1

I3-

4x2+6mx+3m2-3=0,

因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相交于48點(diǎn)，則A=36——4x4(3—-3)〉0,解得—2(加<2,

設(shè)K到AB的距離4,凡到AB距離d2,易知片(-72,0),F2(72,0),

則-告,|V2+m|

|-V2+mI

S4F1AB_V2V2+mV2F廠(chǎng)/△.+、

7^=—7=~~7=I/-——^I=2,解得機(jī)=—J或—3夜(舍去)，

STAB|J2+-I\y/2+m\3

V2

故選：c.

22

4.（2023年全國(guó)甲卷理科）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，片，巴為橢圓。：土+2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),

96

3

點(diǎn)P在C上，cos/月盟=《，貝『0?|=()

13V3014J35

A.—B.C.-D.-1±-

5252

JT

【答案】B[解析工方法一：設(shè)公產(chǎn)2=2仇0<3<3,所以

22

SPFF=btan/RPF?=Z）tan3,

△作上22

cos20-sin23_1-tan203

由cosZFPF=cos20==—,解得:tan0=—,

X2cos20+sin201+tan2952

22

由橢圓方程可知，a=9,〃=6,02=a—廿=3,

所以，=gx陽(yáng)閭x|4=gx26x|yj=6x；,解得：片=3,

即$=9*[—■!]=?!，因此==小3+:=^^.故選：B.

22

5.（2021年新高考I卷）已知片，&是橢圓C：土+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上

94

則1Ml.的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】：由題，力=9/2=4,則叫|+網(wǎng)=2。=6,

所以|町|.|叫氏=9（當(dāng)且僅當(dāng)|孫1=1兒/1=3時(shí)，等號(hào)成立）故選：C.

2J

22

6（2022年全國(guó)甲卷（理））橢圓。:=+指=1（〃>6>0）的左頂點(diǎn)為4點(diǎn)P,Q均在。上,

ab

且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若直線(xiàn)仍）。的斜率之積為;，則c的離心率為

）

R后,11

D.--------C.一D.-

223

【答案】A【解析】A（-a,O）,設(shè)尸（士,必）,則。（-占,必）,

y.必必M2]_

則+〃，故3P?一22

xx+a-xx+a-xx+a4

b1一石2

22b2(a2-x^1

又3+冬=1，則2Hnb-

必，所以/即/北

ab2

a—'J+/4

C1一〉冬故選:A.

所以橢圓C的離心率e

a

2

7.（2023年全國(guó)乙卷理科）設(shè)A.B為雙曲線(xiàn)x2三=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線(xiàn)

段AB中點(diǎn)的是)

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

X1+0%+%

【答案】D【解析工設(shè)幺（西,必）,8（々,則48的中點(diǎn)M

22

2

%

X；一一

9

可得上匚&，左=:因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)上，貝卜

452

%

再-X2X]+%2%+X?1

一-1

29

兩式相減得（x；-X；=0,所以3?左==9.

;工2

對(duì)于選項(xiàng)A：可得左=1,3B=9，則48：y=9x—8,

J=9x-8

聯(lián)立方程｛2/_

消去y得72x2—2x72x+73=0，

X-

此時(shí)△=（—2x72『—4x72x73=—288<0,所以直線(xiàn)A8與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，故A

9Q5

錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得k=—2,kAB=-3,則=-51一,，

[95

y=——x——

22

聯(lián)立方程〈2，消去V得45、2+2X45X+61=0，

2V7

XT

1-9---------1

此時(shí)A=(2x45/一4x45x61=—4x45xl6<0,

所以直線(xiàn)A3與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得左=3,￡鉆=3,則48：y=3x

由雙曲線(xiàn)方程可得a=1,6=3,則48:y=3x為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，

所以直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

9Q7

對(duì)于選項(xiàng)D：k=4,k=—,則43:y=-x—，

AB444

[97

y=—x——

44

聯(lián)立方程42，消去V得63/+126%—193=0,

fV-1

[9

止匕時(shí)A=1262+4X63X193>0，故直線(xiàn)A8與雙曲線(xiàn)有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確;

22

8(2020年高考課標(biāo)ni卷)設(shè)雙曲線(xiàn)C：1=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，

a2b2

F2,離心率為6.P是C上一點(diǎn)，且FiPLF2P.若△PF「2的面積為4,則o二

/\

()

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析工?.?■!=石，.氐，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得|附H*|=2a,

S&PF島=；|尸7計(jì)|?用=4,即1mHp閭=8,

-.-F.PIF.P,.-.|P^|2+|P^|2=(2C)2,

.?.(|尸片卜|尸￡『+2］尸用.|尸聞=4。2,即/一5a2+4=0,解得〃=1，

故選：A.

9.(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷)已知點(diǎn)0(0,0),4(-2,0),8(2,0).設(shè)點(diǎn)P滿(mǎn)足

\PA.-\PB.=2,且P為函數(shù)片3,4-/圖像上的點(diǎn),貝1OP|=()

A.B.C.V7D.V10

25

【答案】D

【解析】：因?yàn)閨尸/|—|尸6|=2<4,所以點(diǎn)尸在以43為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為

4的雙曲線(xiàn)的右支上，由c=2,a=l可得，/=。2_/=4-1=3,即雙曲線(xiàn)的右支方程為

x2-^-=l(x>0),而點(diǎn)尸還在函數(shù)、=3,4—丁的圖象上,所以,

y=3yl4-X。

由1上l(x〉

故選：D.

——JL.人/

10(2021高考北京)若雙曲線(xiàn)C：=1離心率為2過(guò)點(diǎn)("G),則該雙曲線(xiàn)

的方程為()

222

A-2x2-V2=1B.J—匕=ic.5x2-3/=1D.土—匕=1

.326

【答案】B

【解析】：：e=￡=2,則c=2a，人+一一=耳,則雙曲線(xiàn)的方程為

22

—-^-=1，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)的方程可得之-3=4=1,解得

Y3/1)/3//

2

a=l,故b=G，因此，雙曲線(xiàn)的方程為工2_/=1.故選：B

-填空題

22

1L(2021年高考全國(guó)甲卷理科)已知片，鳥(niǎo)為橢圓C：二+乙=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,Q

164

為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|尸。|=|耳聞，則四邊形尸片0鳥(niǎo)的面積為

【答案】8【解析】：因?yàn)镻,。為。上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，

且|尸。|=|公乙所以四邊形跳鳥(niǎo)為矩形，

22

設(shè)|產(chǎn)片\=m,\PF2|=n,則%+〃=8,m+n=48,

所以64=（相+〃）2=m2+2mn+n2=48+2mn,

mn=S,即四邊形尸片0鳥(niǎo)面積等于8.故答案：8.

22

12.（2022新高考全國(guó)II卷）已知直線(xiàn)/與橢圓上+二=1在第一象限交于A,B兩點(diǎn)，/

63

與x軸，y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，且|M4|=|N3|,|TW|=2JL則/的方程為

【答案】x+島-2友=0

【解析】：令48的中點(diǎn)為E,因?yàn)閨M4|=|N3|,所以|〃E|=|NE|,

2222

設(shè)/（否,乂），B（x2,y2）,則上+里=1,立+工=1,

6363

所以近一立+日一工=0,即a一%）（否+%）+5+%）（%一%）=0

663363

（必+72）"%）11

所以-,即左OE,左相二一一，設(shè)直線(xiàn)4B:y=kx+m,k<0,

（%!一工2）（西+迎）22

m/J-,O1,N（0,加），所以

m>0,令1=0得^=加，令>=0得X=_「即叫—

4-篝，事，即人二=二，解得』也或心走（舍去），

I2左2J_m_222

~lk

乂|人困=2百，B|J\MN\=y/m2+（V2m）2=273-解得加=2或加=—2（舍去），

所以直線(xiàn)4S:y=—手x+2，即x+向—28=0；

x+yfiy—2V2=0

13.(2022新高考全國(guó)I卷)己知橢圓C：?+q=l(a〉b〉O),C的上頂點(diǎn)為A,兩

a~6一

個(gè)焦點(diǎn)為片，F(xiàn)2,離心率為g.過(guò)片且垂直于/弓的直線(xiàn)與C交于D,E兩點(diǎn)，

\DE\=6,則△/￡)￡的周長(zhǎng)是.

【答案】13

c1

【解析】：?..橢圓的離心率為e=—=—,；.a=2c,.?.〃=/_02=3。2,.?.橢圓的

a2

方程為f+?=1,BP3X2+4/-12C2=0,不妨設(shè)左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)為巴，

JT

如圖所示，*.*AF2=a,OF2=C,a=2c,：.ZAF2O=—,工△，4月為正三角形，

??,過(guò)片且垂直于的直線(xiàn)與C交于D,E兩點(diǎn)，為線(xiàn)段/6的垂直平分線(xiàn)，，直

線(xiàn)。E的斜率為*,斜率倒數(shù)為百，直線(xiàn)Z>E的方程：x=6y-c，代入橢圓方程

3X2+4/-12C2=0,整理化簡(jiǎn)得到：13y2—6限y—9c2=0,

判另ij式A=(6&『+4xl3x9c2=62><16xc2,

c=

|CZ)|=^1+(V3)|J1-J2|=2X^1-=2X6X4X^=6,~^,=2c=—,

???DE為線(xiàn)段/鳥(niǎo)的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，AD=DF2,Z￡=%,.?.△4DE的

周長(zhǎng)等于△鳥(niǎo)的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到△心?！曛荛L(zhǎng)為

\DF21+\EF2|+|DE|=|DF2l+lEF21+|DFX|+|二|=|。用+|DF21+|ER\+\EF2\=2a+2a=4a=l3

故答案為：13.

14.(2023年北京卷)已知雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),離心率為行，貝|C的方

程為.

22

【答案】土-匕=1

22

【解析】：令雙曲線(xiàn)。的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為顯然雙曲線(xiàn)。的中心為原點(diǎn),

焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距c=2,

由雙曲線(xiàn)C的離心率為、歷，得9=0,解得a=后,則6==6,

a

2222

所以雙曲線(xiàn)C的方程為土-匕=1.故答案為：土-匕=1

2222

22

15.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷）己知雙曲線(xiàn)。:1-3=1（。＞0乃＞0）的左、右焦點(diǎn)分別

ab

為片,g.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在了軸上，~^ALF\B,F^A=--F^B,則C的離心

率為?

【答案】巫-V5

55

【解析】：方法一：

依題意，設(shè)M閭=2加，則|叫|=3相=忸4|,|幺耳|=2a+2機(jī)，

在Rt^aS-中，9m2+（2a+2m）2=25m2,則（a+3機(jī)）（。一加）=0,故。=冽或

a=-3加（舍去）,所以4|=4a,|4閭==2a,忸7計(jì)=忸4|=3a,則|48|=5a,

\AF\4a4

故COSZFAF=—=-,所以在△/月乙中，

}2\AB\5a5

222

/口人口16a+4a-4c4敕鈿為《2c2痂