專題84平面向量8種最值問題

。?？碱}型目錄

題型1數(shù)量積最值...................................................................................1

題型2模長最值.....................................................................................4

題型3夾角取值范圍.................................................................................8

題型4平面向量系數(shù)最值.............................................................................9

題型5平面向量與三角函數(shù)結(jié)合.....................................................................13

題型6平面向量與二次函數(shù)結(jié)合.....................................................................17

題型7平面向量與基本不等式結(jié)合...................................................................20

題型8平面向量與三角形結(jié)合.......................................................................21

但題型分類

題型1數(shù)量積最值

【例題111（2023春?湖北黃岡?高一?？计谥校┤鐖D所示，在矩形4BCD中,AB=2BC=4,

動點M在以點C為圓心且與BD相切的圓上，則福?麗的最大值是（）

【答案】A

【分析】先根據(jù)條件求得C到的距離d,再把所求轉(zhuǎn)化為奇'BD=AC-BD+CM-BD,

進而求得答案.

【詳解】在矩形48CD中,AB=2BC=4,動點M在以C為圓心，且與BD相切的圓上，

所以國|=\BD\=2V5,

如圖所示，連接4C,CM,設(shè)C到BD的距離為d，貝[]d=罪=挈，

貝！W-~BD=（AC+CM）-BP=Zf-BD+CM-BD,

其中Z?-BD=（AB+BC）-（BC+CD）=-12,~CM-~BD<|CM|?\BD\=8,

當(dāng)且僅當(dāng)屈與而同向時，等號成立，

所以赤-BO=XC-FP+CM-SD<-12+8=-4,

即前■麗的最大值為-4.

故選：A.

【變式〃】1.（2023春?吉林長春?高一長春市第二實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在2022年2

月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象

征各國、各地區(qū)代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類”一起走向未來"的"大雪花"

的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形4BCDEF（如圖

②）.已知正六邊形的邊長為1,點M滿足宿=AB+AF,^]\AM\=；若點P是正

六邊形4BCDEF邊上的動點（包括端點），則前-麗的最大值為.

圖①圖②

【答案】1|/1.5

【分析】由題可得坪|=府|=1,（荏，福=y，利用向量的數(shù)量積的運算法則即得|宿|=

1,然后利用數(shù)量積的定義和正六邊形的性質(zhì)解得前?前最大值為|.

【詳解】由題可知國=網(wǎng)=1,（AB,AF）=y,

:.AM=（XB+AF）=AB+2AB-AF+AF=l-2x|+l=l,

=1,

結(jié)合前=AB+存以及正六邊形的幾何特征可知”為4D的中點，

所以俞?麗=|AD?（AP-AB）=i（AD-AP）-1AD-AB=1（AD-AP）-1x2xlx

cos|（AD-AP）—|；

要使南-前最大，可知當(dāng)P在。處時，AD■麗最大，此時俞-而最大,

AB

故答案為：|；|

【變式〃】2.（2023春?廣東佛山?高一佛山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正六邊形

力8CDEF邊長為1,記樂=a,從點4B、C、D、E、F這六點中任取兩點為了的起點和終

點，貝眩?石的最大值為.

AB

【答案】2

【分析】要使反不最大，只需歷I及cos。最大即可，分別代入最大值即可求得結(jié)果.

【詳解】由于2-b=\a\-\b\'cosd,其中8為1與3的夾角，要使方■石最大，而⑷是定值，只

需面及cos。最大即可，

當(dāng)cos。最大時取cos。=1,此時。=0°,即刃/K目方與3同向，要使|加最大又要使方〃了且方與

3同向，

則6=FC,此時E-b的最大值為0?力入印=同，|^|"cos0=1x2xcos0°=2.

故答案為：2

【變式〃】3.（2023春?安徽滁州?高一安徽省滁州中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD

的邊長為4/BAD=30。，M為DC的中點，若N為菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則前■AN

【答案】24+12V3/12V3+24

【分析】用彳瓦而表示出彳而，前,注意設(shè)前=xAB+yAD(0<%<1,0<y<1),然后計

算數(shù)量積即可得最大值.

【詳解】由題意前=而+麗=+AD,設(shè)前=xAB+yAD(0<x<1,0<y<1),

-->-->1-->-->-->-->1-->21-->-->-->2

AM-AN=(^AB+AD)?(xAB+yAD)=-xAB+(x+-y)AB-AD+yAD

=8%+(汽+|y)x42xcos300+16y=8(14-V3)x+4(4+V3)y,

所以久=l,y=1時,AM?前取得最大值24+12V3.

故答案為：24+12A/3.

【變式〃】4.(2023春?重慶?高一校聯(lián)考階段練習(xí))如圖，在四邊形ZBDC中，福?而=0,

且2DC=CB,若AB=AC=2,則尼?赤的最大值為.

D

【分析】設(shè)NC4B=26,利用余弦定理可求得BC=4sin。,結(jié)合垂直關(guān)系可得NDCE=9,

根據(jù)向量數(shù)量積定義可得尼?荷=4+2sin28,由正弦型函數(shù)最大值可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)NC4B=26,貝￡（0$）,

作DE1AC,交AC的延長線于點E,

8cos29=8-8cos2。=16sin20,BC=4sin0,

nrn-20n

即DC=2sin9,X.ACB=--=——0,

■■-~CB-CD0,：.CB1CD,即NDCB=，；.NDCE=d,

CE=DCcosO=2sin0cos0=sin26,

AC-AD=\AC\?\AD\cosZ.DAE=AC-AE=2(2+sin2。)=4+2sin26>,

,?,武(叼

,206(。，冗)/則當(dāng)2。=T，即。=:時/(sin20)max=1,

(AC-AD)=4+2=6.

max

故答案為：6.

題型2模長最值

【例題2］（2023春?北京?高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，A,B,C三點

在半徑為I的圓O上運動，M是圓。外一點，且AC1BC,OM=2,貝拓5+而+前|的

【答案】D

【分析】連接4B,結(jié)合題意得到。為4B的中點，再利用向量的運算即可求解.

由題意可知為圓。的直徑，所以。為力B的中點，

貝（]|加+麗+而|=|2M0+MC|<2\M0\+|MC|<4+|MC|=7,當(dāng)且僅當(dāng)麗,沆同向

時取等號，

故選：D.

【變式21]1.（2023春?江蘇南京?高一南京市第五高級中學(xué)?？计谥校┰贏ABC中，已知

4=60°,BC=2,D為BC的中點，則線段AD長度的最大值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【分析】由余弦定理得到戶+c2=4+兒，再利用基本不等式得到be<4,然后由而=

“9+照）求解.

【詳解】解：由余弦定理得a?-b2+c2-2bccosA—b2+c2—be,

即4=b2+c2—be,即/+c2=4+be,

所以4=b2+c2—be>be,

J,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立.

D=^(AB+AC),

D2

24=i(AB2+AC+2AB?硝=*+■+2cb.|)=1(b2+c2+be),

1

-+

4-(4be+be)<7(4+8)=3,

4

V3,

故選：C.

【變式21】2.（2021春?四川成都?高一四川省成都市鹽道街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知邊長

為1的正方形ABCD位于第一象限，且頂點A,D分別在x,v的正半軸上（含原點O）滑

動，則|南+爐狼勺最大值是（）.

A.1B.2C.3D.V10

【答案】C

【分析】設(shè)出N04D=e,用。表示出I人+反I,結(jié)合三角函數(shù)的知識可求最大值.

【詳解】解：當(dāng)4與。重合時，B（l,o）,C（l,l）,此時赤+OC=（2,1）,|OB+OC|=V5；

當(dāng)4與。不重合時，設(shè)NOAD=0,（0<0<J,

因為40=1,所以。4=cos。,。。=sin0,

OB=(cos0+sin。,cos。),OC-(sin。,sin。+cos0),

OB+OC=(2sin0+cos。,sin。+2cos8),

\0B+0C|=7(2sin0+cos0)2+(sin0+2cos0)2=+4?？?6,

所以當(dāng)2。=J即”黑寸，國+園取得最大值3.

綜上可知|赤+方|的最大值為3.

【變式21]3.(2023春?陜西西安?高一統(tǒng)考階段練習(xí))若向量五方滿足同=6,同=逐,

a-b>0,且當(dāng)4e(-00,0)時,\Xa+司的最小值為1,此時4=()

A.B.-iC.-iD.--

3434

【答案】c

【分析】應(yīng)用向量的數(shù)量積公式把最小值為1轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值，計算求解即可

【詳解】I疝+b\=J(府+司2=J及2+石2+2府.-

又因為⑷=6,也|=所以|府+b|=V3622+2Aa-b+5,

又因為,不>0且4e(-8,0),可得4=一貶=—If時，I疝+同的最小值為1

所以向+b\=736/12+2Aa-h+5=736A2-72A2+5=1

化簡得36乃=4,且4G(-oo,0),

解得%=—

故選C.

【變式21]4.(多選)(2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí))已知向量五=

(V3,2cosa),b=(2sina,1)，貝[|下列結(jié)論正確的是()

A.若d||b,貝(]a=g或gB.若有1b，貝!Jtana=—g

C.\a-同的最小值為1D.|a-同的最大值為4

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)表示向量數(shù)量積、平行、垂直、向量模長來進行求解即可.

【詳解】選項A：a=(V3,2cosa),b=(2sina,1),五||b,解得：a='+2fcn,k￡Z或a=

-+2fcn,kGZA錯誤；

選項B:aLb,a=(V3,2cosa),b=(2sina,1),則：2Vasina+2cosa=0,則tana=—?,

B正確;

選項C：a—(A/3,2coscr),b-(2sin(z,1),a—b=[a+b—2a?b=

+4cos2a+4sin2a+1-2(2Vasina+2cosa)=8—8sin(a+當(dāng)sin(a+g)=]時,

\a-川取得最小值0,C選項錯誤；

選項D：由C得；B-同=J8-8sin(a+g),當(dāng)sin(a+=—1時，|方-同取得最大值

4,選項D正確；

故選：BD.

【變式21]5.(2023春?安徽六安?高一六安一中?？茧A段練習(xí))已知反=(1,舊),3=

(cos。,sin。),則何-2同的最大值是.

【答案】4

【分析】將向量進行線性運算后，按照向量的求模公式，結(jié)合輔助角公式求最值即可.

【詳解】忖—2同

=|(11V3)—2(cos。,sin。)]

=|(1—2cosaV3—2sin0)|

=—2cos0)2+(V3—2sin0)2

=Jl—4cos0+4COS20+3—4V3sin04-4sin20

=J—4cos0—4V3sin0+8

=j8-8sin(6+3

因為eER,所以-1<sin(。+￡)<1,

o

所以0<]8—8sin(8+S<V16=4,

所以怔-2同的最大值為4,

故答案為：4.

【變式21]6(2023春?高一單元測試)已知向量泊不滿足同=1,\b\=2，則怔+b\+\a-b\

的最小值是________最大值是________.

【答案】42V5

【分析】利用向量數(shù)量積運算律可得到區(qū)+同=V5+4cos0,\a-b\=V5-4cos0,令t=

V5+4cos0+V5-4cos0,平方后可求得產(chǎn)的范圍，進而得到t的范圍，即可求得所求最值.

【詳解】設(shè)石，石的夾角為9,

|a+b\=J|a+b\=J|a|2+2a-b+\b\=V5+4cos0,

|a—b\=一同2=J|a|2—2a-b+|fe|2=A/5-4cosJ,

???|a+h|+|a—=V5+4cos0+V5—4cos^,

2

令t=V5+4cos0+V5-4cos0,貝!>0且產(chǎn)=10+2V25-16cos0z

vcos20G[0,1],A25—16cos2。e[9,25],At2G[16,20],--4<t<2y[5,

即恒+b|+|a-同的最小值為4,最大值為2b.

故答案為：4；2V5.

【變式21]7.（2021春?高一課時練習(xí)）若向量定后滿足同=2,的=3,則叵+力的最小值

為|弓一而的最大值為.

【答案】15

【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)，根據(jù)，花的夾角情況求同+向、叵-引的最值.

【詳解】當(dāng)五是反向時，回+固有最小值3-2=1；

當(dāng)方，石反向時，|五-3|有最大值3+2=5.故答案為：1,5

題型3夾角取值范圍

【例題3]（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省阜寧中學(xué)校考階段練習(xí)）在ANBC中，有前?

（胡-麗）=2而?-荏），貝！JtanC的最大值是（）

A避B.在C.且D.四

7372

【答案】D

【分析】利用余弦定理和數(shù)量積定義化簡得出三角形三邊a,b,c的關(guān)系，利用基本不等式

求出cosC的最小值，顯然C為銳角，要使tanC取最大值，則cosC取最小值，從而得出sinC的

最大值，即可求出tanC的最大值.

【詳解】因為I??（AB-BC）=2CB-（G4-AB）,

所以前-AB-AC-BC=2CB-CA-2CB-AB,

又前■BC=CA-~CB,CB-AB=BC-BAI

所以前-AB+2BC-BA=3CB-CA

又同?AC=bccosA=°-FC=abcosB=。十；一",C4-CS=abcosC='十；一。,

所以1Q+（。2+c2-戶）=婦產(chǎn)，

即次+2b2=3c2,

「_a2+b2-c2a2+b24（a2+2b2）ah\~a―bV2

cosc-------=------------=—I—>z/—>—=—,

2ab2ab3b6a-3b6a3

當(dāng)且僅當(dāng)盤=?即b=應(yīng)a時取等號，

3b6a

顯然C為銳角,要使tanC取最大值，則cosC取最小值?，此時sinC=41-cos2c=y,

所以tanC=*=專=母,即tanC的最大值是手.

cosCX￡22

3

故選：D.

【變式31]（2023春?重慶北倍?高一西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）平面向量1，3滿足同=

2同，且但-川=3,貝必與五-3夾角的余弦值的最大值是（）

A.B.-iC.iD.3

2222

【答案】A

【分析】由怔-同=3兩邊平方得2方不=5/_9,根據(jù)兩個向量夾角的余弦公式結(jié)合均值

不等式求得結(jié)果.

【詳解】由忖-3=3兩邊平方得五之-2a-b+^=9,又同=2|a|,

貝!]2五不=伍2+石2）-9=5/_3

LtT、/??（a—h）b-a—b2b-a—2b5a2—9—8a2

8肥…=而丁而丁丁丁=^^

=彳舒=討侗+.44，當(dāng)同=百時取等號?

貝%與H-旗角的余弦值的最大值-當(dāng)

故選：A.

題型4平面向量系數(shù)最值

【例題4]（2023春?吉林長春?高一汽車區(qū)第三中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點C是半徑為1

的扇形圓弧至上一點，且N20B=y,若反=xOA+yOB,^]x+的最大值是（）

【答案】C

【分析】由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合兩角和的正弦公式，求三角函數(shù)的最值即可.

【詳解】如圖所示，以。B為久軸,過。作與。8垂直的線作為y軸,

,8(1,0),

(4第+加。)=(-贄+%紅

八V2

cosy=———X+y

x=Vising

「V2y=cos0+sin。

Isin3=—%

???x+V2y=V2sin0+V2(cos0+sin。)=2V2sin0+V2cos0=VlOsin(0+cp)

??.sin(。+w)=1時，%+四'取得最大值是

故選：C.

【變式41】1.（2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在

邊長為1的正方形力BCD中，E為4B的中點，P點在正方形內(nèi)（含邊界），且|麗=|祠.①若

|BP|=|畫，則Q?前的值是您以力點為坐標(biāo)原點，瀛而向量所在軸為“軸

建立平面直角坐標(biāo)系，若向量而=AAB+iiAC,貝！|24+3〃最大值時P點坐標(biāo)為.

D.PC

AEB

【答案】25律,g)

【分析】①由題知AABP是邊長為1的等邊三角形，進而根據(jù)向量數(shù)量積求解即可；

②點P的軌跡為以4為圓心，4B為半徑的圓在正方體4BCD內(nèi)的圓弧部分，設(shè)

P(cosa,sina),a60,g,進而根據(jù)坐標(biāo)運算，向量相等得力=cosa-sina,〃=sina,再結(jié)合

三角函數(shù)求最值即可.

【詳解】解:①因為網(wǎng)=\AB\.\BP\=\AB\,

所以△力BP是邊長為1的等邊三角形，

所以Q-~BP=\AP\■\BP\cos(AP,~BP)=1x1xcos^=

②因為朋=\AB\,

所以點P的軌跡為以4為圓心，4B為半徑的圓在正方體4BCD內(nèi)的圓弧部分,

因為正方體力BCD的邊長為1,

所以設(shè)點P(cosa,sina),ae,71(0,0),C(l,l),B(l,0),￡(|,0),

所以，屈=(1,0),前=(1,1),

因為，AP=AAB+iiAC,

所以(cosa,sina)=(2,0)+p(l,l)=(4+〃,〃)，

所以,24-/1=cosa,/z=sina,即2=cosa—sina,〃=sina,

所以22+3〃=2(coscr-sina)+3sina=2cosa+sina=V5sin(a+(p),

其中tans=2,sine=誓,cos^=y,e(°，g)

因為aE0,-，所以a+0e(p,-+<p,

所以，22+3〃=V5sin(a+w)W而，當(dāng)且僅當(dāng)a+(p=即寸等號成立，

所以,cosa=cos(g-=sin@=誓,sina=sin(g-@)=cos(p—g,

所以，當(dāng)22+3〃取得最大值通時，點P的坐標(biāo)為

故答案為：|；律《)

【變式41]2.（2023春?廣東佛山?高一?？茧A段練習(xí)）如圖，OM〃AB,點P在由射線

OM、線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域（含邊界）運動，且加=+V礪，貝!Jy

的最大值是____________.

【答案】|/1.5

【分析】利用向量加法的幾何意義直接求解.

【詳解】由題意：OM“AB,點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域（含邊

界）運動，且^^-1OA+yOB,由向量加法的平行四邊形法則,OP為平行四邊形的對角

線，該四邊形應(yīng)是以0B和0A的反向延長線為兩鄰邊.

當(dāng)麗=~10A+V礪時，要使P點落在指定區(qū)域內(nèi)，即P點應(yīng)落在線段DE上（含端點D,E）.

因為CD〃OB,所以△OCD?△力。B.

因為OC=\0A,所以CD=|0B.

所以"=5。R

所以y的取值范圍是[|,|].

所以y的最大值是|."

故答案為：|.

【變式41]3.（2023春?山東濱州?高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點P是平行四邊形BCDE

內(nèi)（含邊界）的一點，點B是AC的中點,BE=20B,且而=xOA+yOB（x,yER）.

CD

①當(dāng)次=2而時，%=；

②％-y的最大值為.

【答案】-1

【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量的線性運算及平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】①由題意可知，作出圖形如圖所示

因為點B是AC的中點，

所以礪=1（OX+0C）,gP0C=20B-OA,

因為云=20B,

所以麗=30B,

因為而=2PE,

所以而=ICE,

所以加=方+而=反+|請=瓦+|（荏-硝=|oc+|o￡=|x（20B-OX）+

-x30B=--OA+-OB,

333'

所以當(dāng)而=2即時，x=-1.

因為四邊形PMON是平行四邊形，

所以說=ON+OM.

又OP=xOA+yOBQx.yER）；

所以x<0,y>1；

由圖形看出，當(dāng)P與8重合時，赤=0?瓦5+1?4；

此時x取最大值0,y取得最小值1

所以尤-丫的最大值為-1.

故答案為：一[；—1.

【變式41]4.（2023春?江蘇宿遷?高一?？茧A段練習(xí)）在RtJBC中,已知|AB|=3,\AC\=

4,P是斜邊BC上一動點，點Q滿足|PQ|=2,若而=mAB+nAC,若點Q在邊BC所在的直線

上，則血十九的值為；m+九的最大值為.

【答案】1y/lj

【分析】根據(jù)共線定理推論即得；建立直角坐標(biāo)系，寫出直線BC的方程，根據(jù)方程設(shè)點P

坐標(biāo)，結(jié)合條件可得Q的軌跡方程，進而設(shè)出點Q坐標(biāo)，根據(jù)已知表示出爪+ri然后利用

三角函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】因為而=mAB+nAC,若點Q在邊BC所在的直線上，

則m+n=1；

以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),B(3,0),C(0,4),得直線BC的方程為鴻=1,

則可設(shè)P(54-gt),其中。型W3,

由|PQ|=2，得點Q在以點P為圓心，2為半徑的圓上，

可設(shè)Q(t+2cos。,4—+2sin。)，

由ZB=(3,0),AC=(0,4),AQ=+2cos6,4—gt+2sin。),

因為ZQ=mAB+nAC,

所以'+2cos。,4—11+2sin。)=(3m,4n),

t+2cos0

m二-3—

4-$+2sin。'

{n=—^---

4

4

Ell.t+2cos0.4--t+2sin6l1._,2,.5.,.,.口占44、

貝+n=------1---------=-smO+-cos0n+1=-sm(6+g)+1(z其中tang=一)，

342363

所以1一1工加+714)+1,

66

即：〈zn+九4日，故m+九的最大值為日.

故答案為：1；?.

6

題型5平面向量與三角函數(shù)結(jié)合

【例題512023春福建福州?高一校考期中)已知平面向量1E且滿足黑石=向=囚=2,

若?為平面單位向量，則忖-e+b-目的最大值_______

【答案】2V3

【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求出：與而勺夾角，根據(jù)條件，可設(shè)之=(2,0)1=

(1,V3),再設(shè)"=(cosa,sina),根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積公式，以及三角恒等變換

和三角函數(shù)的性質(zhì)得出|五京+小司=2V3sin(a+B,即可求出結(jié)果.

【詳解】解：???a?b=同=b=2,設(shè)a與b的夾角為。,

/.a?&=a-b?cos0=2x2xcos0=2,

???cosd=J又ee,貝Ue=，

不妨設(shè)Q=(2,0),b=(1,V3),再設(shè)e=(cosa,sina),

則a-e+b-e|=+=|(3,?(cosa,sina)|

=|3coscr+V3sina|=2V3sin(a+g)<2V5,

—>一~>—?I.—

即a?e+b?eW2^/3,

所以a?e+6?"的最大值為2百.

故答案為：2V3.

【變式51]1.(2023春?江蘇常州?高一江蘇省前黃高級中學(xué)?？计谥?在平面直角坐標(biāo)系

中，。為坐標(biāo)原點,已知向量五=(2,—1),點4(3,0),B(l,t),點C(2,sin8)(6GR).

⑴若希1a,求|赤-201|；

(2)若前〃N,當(dāng)苑in。取得最大值時，求實數(shù)4的值.

【答案】⑴聞

⑵4=|

【分析】(1)由向量垂直的坐標(biāo)運算得出t,再由模長公式計算即可；

(2)由向量共線的坐標(biāo)運算得出2=3-2sin。，進而由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】(1).71(3,0),B(l,t),：.AB=(-2,t),

右4B.La,則4B-u=0,..-4—t=0,解得t=-4,

.<0B-20A=(1,-4)-(6,0)=(-5,-4),

：.\0B-20A\=J(-5)2+(-4)2=V41.

(2)由題意，m=(4一3,sinB),

1?向量前與不共線,.-.3-2=2sin0，即2=3—2sin。,

.".AsinS=(3—2sin0)-sin。=-2sin20+3sin0=-2(sin0—|)2+1,

,.sinee[-1,1],

.,.當(dāng)sin。=|時，4sin8取得最大值，此時4=|

【變式51】2.(多選)(2023春?湖北黃岡?高一校聯(lián)考期中)正方形ABCD的邊長為4,E

是BC中點，如圖，點P是以AB為直徑的半圓上任意點，族=4而+〃獲，則()

A.4最大值為1B.4P4B最大值是8

C.4最大值為尊口D.AP-AC最大值是8+8A/2

【答案】AD

【分析】建系，設(shè)P(2cos0,2sin。)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算結(jié)合三角函數(shù)的有界性逐項分析運

算.

【詳解】如圖，以AB的中點0為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(—2,0),B(2,0),E(2,2),C(2,4),

設(shè)P(2cos9,2sin9)(8e[O,TT]),

可得而=(2cos0+2,2sin0),4B=(4,0),荏=(4,2),Zc=(4,4),

貝!U屈+〃荏=(4A+4/2,2〃),

由題意可得產(chǎn)U嚕+2,解得產(chǎn)/os。-2sin6+1)

(〃=2sm”I〃=sin。

對于A:：n=sin。,且。G[o,n],可得當(dāng)。=sin。取到最大值1,

M最大值為1,故A正確；

對于B：AP-AB=4(2cos0+2)=8(cos0+1),

,■,0G[0,n],可得當(dāng)8=0時,cos。取到最大值1,

二都?前最大值是8(1+1)=16,故B錯誤；

對于C：'.'2=|(cos0—2sin0+1)=~cos(0+<p)+1,其中tan?=2,(pE卜,"

由ee[o,n],貝!]o<awe+wwTT+卬<?,

令w<e+(P<Tl,解得0<e<Tl-(p；令TT48+(p<n+<p,解得TT-9<0<n;

故4=ycos(0+9)+；在[。,11-9)上單調(diào)遞減，在忖學(xué)臼上單調(diào)遞增，

當(dāng)6=。時，貝!M=1;當(dāng)e=re時，貝!M=o<1;

最大值是1,故C錯誤；

對于D：布?AC=8cos0+8+8sin0=8V2sin(。+；)+8,

■Be,則e+"常,

則當(dāng)9+厘，即0=；時，sinj取到最大值1,

■■■AP■近最大值是8+8近，故D正確；

【點睛】方法定睛：1.平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于"形"，通過作出

向量，結(jié)合圖形分析；二是基于"數(shù)"，借助坐標(biāo)運算來實現(xiàn).

2.正確理解并掌握向量的概念及運算，強化"坐標(biāo)化”的解題意識，注重數(shù)形結(jié)合思想、

方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

【變式51]3.(2021?高一課時練習(xí))已知向量五=(cosx,sinx),b=(―cosx,cosx),c=

(-1,0).

(1)若久=?,求向量房的勺夾角；

O

(2)當(dāng)x￡時，求函數(shù)/(久)=2a-b+1的最大值.

Zo

【答案】(l)g

(2)1

【分析】(1)代入已知，可得方=(y,|)，進而根據(jù)坐標(biāo)求出數(shù)量積以及模，即可得出cos位?

的值，根據(jù)角的范圍，即可得出答案；

(2)化簡可得/⑺=V2sin(2x-",換元X=2x-?,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得

出函數(shù)的最大值.

【詳解】(1)由已知可得，a=(。s，sing)=得,|),

所以五?C=yX(-1)+|x0=-y,|3|=|c|=1,

所以cos位,c)=品=一

|a||c|2

因為位Z〉e[o，T,所以位行=?

2

(2)由已矢口可得,a-b=—cosx+sinxcosx=—1=8叼+工sin2x=—sin|2%—-|-z

所以，/(%)=2a-b+1=V2sin(2%-；).

人n

令X=2x--f

因為％E,所以丁<X<2TL

Zo4

因為y=sinX在償川上單調(diào)遞減，在償,2n]上單調(diào)遞增，

4ZZ

_3nV23n

且sin—=—,sin—=—1,sin2Tl=0,

42，21'

所以，當(dāng)日WXW2n時，函數(shù)y=sinX在X=三時有最大值為4，

所以，當(dāng)2%-,即x=婀，函數(shù)f⑺有最大值為1.

【變式51】4(2023春?湖北?高一校聯(lián)考期中)已知向量訪=(cosx,-l),n=(V3sinx,-i),

函數(shù)/(%)=(m+n)-m.

Q)若記〃元，求cos?%—sin2%的值；

(2)已知見瓦c為△ABC的內(nèi)角4BC的對邊,a=l,c=V3，且fQ4)恰好是函數(shù)/(%)在0力上

的最大值，求^ABC的面積.

【答案】(1)喑

⑵奎婷

【分析】(1)根據(jù)向量平行坐標(biāo)表示可求得tanx；方法一：利用cos?乂=.和sin2x=

tan^x+l

2tanx■可分別求得cos2%和sin2%，代入所求式子即可；方法二：根據(jù)cos?%-sin2%=

l+tan^x

弋”sx,由正余弦齊次式的求法可求得結(jié)果；

sinx+cos^x

(2)根據(jù)向量數(shù)量積運算坐標(biāo)表示和三角恒等變換知識可化簡得到/(x),根據(jù)正弦型函數(shù)

最值求法，結(jié)合a的范圍可求得a,利用余弦定理可構(gòu)造方程求得b的值，代入三角形面積公

式即可.

【詳解】(1)??,Tn//n,?,-—^cosx=—V3sinx,則tan%=?；

26

V3L

_p_、+QCOS2,％112.c2sinxcosx2tanx4V3

萬法一：cos)=—1—―—o——=—.sinzx=-o-----丁=-----=—^~r=——

sinx+coszxtan2x+l13sinzx+cos2xl+tan2xi+—13

12

???cos2氣—si.nQzx=-1-2---4-V-3-.

13

21q如

____o.仁cosx—2sinxcosx1—2tanx1~T12-4V3

7J/￡—:cos%—sinzx=----,-----;-=—?——=-r^~=------------.

sinx+cos^xtan4x+l——?13

12

22l+cos2x

(2)/(%)=(m+n)?m=m+m-n=cosx+1+V3sinxcosx+g=亨sin2x++

2

3TT

=—sin2x+-cos2x+2=sin(2%+二+2；

2226

.?.TT_TTTC7n

當(dāng)％E0,5時，2%+/E，，當(dāng)2X+g=J,即久=g時，fOOmax=2,

LOOb666ONo

/Tl\TCTn7nITTlrrn

CLci>-AC貝！］4E(0,萬)i：?2i4+—G,224+-=-,即4=-；

t66f~6~oZo

由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA=b2+3—3b=1,即/—3b+2=0,

解得：b=1或b=2,

V3.

當(dāng)6=1時，SMBC=j^csinX=出xL

224'

1.3.

當(dāng)6=2時，ShABC=jbcsinX=V3X-二

2-2，

.'.AABC的面積為我除

題型6平面向量與二次函數(shù)結(jié)合

【例題612023春?安徽合肥?高一合肥一中?？茧A段練習(xí)舊知向量過=Q+2,3)7=(x,1),

當(dāng)f0)=u-萬取得最小值時，久的值為()

A.0B.-1C.2D.1

【答案】B

【分析】直接利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)化運算得到/(x)=0+1)2+2,利用二次函數(shù)性質(zhì)得

到其最值.

【詳解】/(%)=u-v=(%+2)x+3=/+2x+3=(x+1)2+2,

故當(dāng)％=—1時，f(x)取得最小值2.

故選：B.

【變式61]1.(2023春?河北石家莊?高一校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè)非零向量/誣的夾角是!,

且同=同，貝[|teR,則管的最小值為.

【答案】V3

2

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算,的結(jié)果，再求最值.

2—T2

222222

【詳解】二,f\ta+2b\_t\a\+4ta-b+4\b\_t\a\-2t\a\+4\a\=/—2t+4=(t—1)2+3,

\a\同2同2

;2_?

.?.當(dāng)t=1時，(曾)的最小值為3，二曾的最小值為百.

故答案為：V3

【變式61]2.(2023春?遼寧葫蘆島?高一校考階段練習(xí))已知平面向量3力1滿足,p|=

2,b-a=l,ft//c,a-c=8,貝U同的最大值為

【答案】苧

2

【分析】根據(jù)向量共線得了=Ac,進而根據(jù)模長公式即可得出=-3-》+2,結(jié)合二次

\A3/□

函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由力/之，設(shè)3=Ac，故歷-a\=\Ac-a\=l，則位-a\2=A2c2+a2-22a-c=1=>

"-16A+4=1,

所以#=牛=竽一=一3(:丁+/

故當(dāng)2=|時，此時/取到最大值?，故用的最大值為第，

故答案為：w

【變式61]3.(2023春?遼寧沈陽?高一校考階段練習(xí))已知方=(cos%+sin%,-2a),b=

(cosx—sin%,1+cos%),函數(shù)/(%)=a?b的最小值為g(a)(a6R).

⑴求g(a)；

(2)若g(a)=|,求a及此時了(久)的最大值.

1,a<-2,

一^—2a—1,—2<a<2；

{1—4a,a>2.

(2)a=-1,最大值5.

【分析】(1)化簡得f(X)=2(cosx-今2-f-2a-1,再對a分三種情況討論，利用二次

函數(shù)的圖象和性質(zhì)得解；

(2)對。分三種情況討論，求出a的值，再利用二次函數(shù)的圖象求解.

【詳解】(1)由/(支)=a-b=(cosx+sin%)(cos%—sinx)—2a(l+cosx)

=cos2%—sin2%—2a—2acosx=2cos2x—2acosx—(2a+1)=2(cosx—|)2—y—2a—

1.

這里—1<cosx<1.

①當(dāng)—1<^<1即一2WaW2時，/(x)min=g(a)=-y-2a-1；

②當(dāng)]>1即a>2,cosx=1時，/(x)min=5(a)=1-4a；

③當(dāng)]<―1即a<-2,cosx=一1時，/'(Wmin=9(a)=1.

rLaV—2,

2

因此，g(a)=l-^--2a-l,-2<a<2;

vl—4a,a>2.

(2)g(a)=|,

①若a>2,則有1一4a=<,得a=],矛盾；

Zo

②若-2WaW2,則有-2a-l='

即4+4a+3=0z.'.a=—1或a=—3(舍)，

?'-5(a)=g時，a=-1.

③若a<-2,g(a)=#1,所以此時無解.

所以a=-1.

此時，/(x)=2(cosx+0+|,當(dāng)cosx=1時，/0)取得最大值5.

【變式61]4.(2023春?四川成都?高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí))^ABC中，已知=2,

AC=1,AB-AC=-1,CP^2CB(0<2<1),Q為線段CA延長線上的一點，目而=

tXC(t<