專題15立體幾何綜合解答題型系統(tǒng)化歸類與解析

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體.................................................2

題型二：立體幾何探索性問題.....................................................5

題型三：立體幾何折疊問題.......................................................8

題型四：立體幾何作圖問題......................................................11

題型五：立體幾何建系繁瑣問題..................................................15

題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題....................................19

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系............................................22

題型八：空間中的點不好求......................................................25

重難點突破：新定義問題........................................................30

02重難創(chuàng)新練.................................................................34

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

1.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)如圖，四邊形AB4A是圓臺。&的軸截面，CG是圓臺的母線，點C是A8的

中點.已知A8=2A耳=4,點M是2C的中點.

(1)若直線與直線GM所成角為證明：。^，平面。86；

(2)記直線MG與平面ABC所成角為a,平面。與平面8Cq的夾角為。，若cos6=g,求a.

【解析】(1)連接GG，則四邊形OOCC是直角梯形.

過C1作GNLOC于N,則四邊形OOgN是矩形，，OO"/C；N,=

連接NM.ON=OG=1,OC=2,；.N為OC的中點.又M為BC的中點，.?.NM=goB=L

OO|_L平面ABC,O&//GN,.?.GN_L平面ABC.

又，7VMu平面ABC,:CNLNM,:.C、N=NM=1.

在△(?”中，NC=OC-ON=\=NJ=NO,..CC,±OCr

c為AB的中點，:.OCrOB.

又-OOJOB,OC,OQu平面。℃,OCOOX=O,

;.OB±平面O}OC.又CC[u平面OXOC,

:.OBLCCV

eq±OCt,CQ1OB,OB,OC]U平面08C],OBcOC1=O,

CC]-LrtnOBC].

(2)以。為原點，直線OC,OB,0a分別為x,y,z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)IOQH，貝!JG(1,OM).

C(2,0,0),3(0,2,0),

oq=(i,o,/z),OM=(1,1,0).

設(shè)平面。mG的法向量々=(%，M，ZI),

則nx?=0n%+/zZ]=0

"i-OM=0=>%]+%=0

取4=1得々=(-/?,/l,l).

5c=(2,—2,0),Cq=(-l,0,/z),

設(shè)平面BCC］的法向量%=（x29y2,z2）,

n?BC=0=>2X—2y2=0

則22

n2CQ=0=>-x2+hz2=0

取Z?=1得巧=仇力」）.

cos<9=\ncosv勺，叼>|二：n,解得/i=l.

332"+13J

在Rt^CiMN中，MN=NG=1,/.ZCXMN=^

由（1）知。=/e加，.-.a=^

2.（2024.重慶.三模）如圖所示的幾何體是一個半圓柱和一個三棱錐的組合體.54,CG是半圓柱的母線,。，。1

分別是底面直徑8C和用G的中點,5。=與?=4,5瓦=。。］=2,4是半圓。上一動點,4是半圓。I上的動點,

AA是圓柱的母線，延長AA至p點使得A為\p的中點，連接H?,PC構(gòu)成三棱錐P-ABC.

⑴證明:AC，網(wǎng)；

(2)當(dāng)三棱錐尸-MC的體積最大時，求平面A2A與平面BA.C的夾角.

【解析】(1)因為A4J平面ABC,ACu平面ABC,

所以"1_14<7,又48_14(?,48門朋=4,48,抽u平面ABA^

所以AC，平面ABAX，又BA{u平面ABAt,

所以ACW.

1222

/八中斗?_eD4_2?口。1,D._1AB+AC1BC.

(2)因為Vp-^c-T^ABC,PA-ABCJ=l.S謝=~ABxAC<--=—=4,

JJ乙乙乙乙乙

Q

所以匕“sc當(dāng)且僅當(dāng)至=AC取等，此時點AA的位置剛好在半圓弧BC,與G的中點.

因為。&。。1，。國兩兩垂直，如圖，以點。1為原點，以。4，。0,。出分別為％y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則0,(0,0,0),A(0,0,2),A(0,2,2),8(2,2,0),C(-2,2,0),

所以8C=(Y,0,0),AB=(2,2,-2),

n?BC=-4x=0,

設(shè)〃=(x,y,z)是平面BCA的法向量，貝葉令z=l,貝1］〃=(0』,1).

n-A1B=2x+2y-2z=0,

由(1)知AC,平面ABA］，所以AC=(—2,0,—2)是平面AR4］的一個法向量，故

I/4cln-AC21

…昨麗=G7T2

所以平面ABA與平面所成角的余弦值為1,所以平面ABA,與平面BAC的夾角為本

題型二：立體幾何探索性問題

3.（2024?全國.一模）如圖，在三棱錐尸一中，8。_1平面尸48,尸4=8。=4,/58=4。=5,。為棱73。上

的動點.

⑴求證：PA_L平面A3C；

（2）是否存在點。，使得平面ABD與平面38夾角的余弦值為述？若存在，請求出點。的位置；若不存

25

在，請說明理由.

【解析】（1）因為BC_L平面PAB,上4u平面PARABu平面RR,

所以BC_LP4且BC_LAB.

由BC_LAB,且BC=4,AC=5,可得AB=3.

由AB=3,PA=4,P8=5,因為AB?+%?=,可得上.

因為AB8。=3,43<=平面436,86（=平面43（7,所以PA_L平面ABC.

（2）過A作Ay〃臺C,則AP,AB,Ay兩兩垂直，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

則尸（0,0,4）,A（0,0,0）,5（3,0,0）,C（3,4,0）.

設(shè)平面BCD的法向量為4=（石,乂,4），

由題可得BC=（0,4,0），第=（一3,0,4）,

%?BC=0,4%=0,

則即

一3%+4Z]=0.

nxBP=0,

取現(xiàn)=4,則平面3C。的一個法向量為4=（4,0,3）.

由于。在棱PC上，T^PD=2PC,0<2<1,

所以PD=九(3,4,-4)=(3444-4A).

所以0(3幾4%4-4X).

設(shè)平面ABO的法向量為電=（x2,y2,z2）,

由題可得AB=（3,0,0）,AD=（3444,4-42）,

n?AB=0,3X=0,

則2即＜2

34々+44y2+(4-44)z2=0.

n2-AD=0,

取為=XT，則平面ABD的一個法向量為七=（。，2T，

I/AlM3A/5

由題意，得g,叫I,而_22「后,

整理得3萬+22-1=0.

解得2=；或％=-1.

因為OW；IW1,所以2=；.

故存在點。，且當(dāng)點。位于PC上靠近尸的三等分點時，

平面A5D與平面BCD夾角的余弦值為女叵.

25

4.如圖，在三棱錐A-BCD中，AC=AD=BC=BD=2里,AB=CD=4.

(1)證明：ABLCD-,

⑵在棱AB上是否存在點/（不與端點重合），使得直線AF與平面尸CZ）所成角的正弦值為半，若存在,

求出點F的位置，若不存在，請說明理由.

【解析】（1）如圖，取CD的中點E,連接

因為AC=AD=8C=8D,所以AE_LCD,BELCD,

因為AEIBE=E,AE,BEu平面鉆E,

所以CD_L平面ABE,又ABu平面ABE,所以CD_LAB.

（2）存在點R，位于棱AB上靠近點A或點8的四等分點處，使直線AF與平面歹8所成角的正弦值為述,

5

證明如下：

如圖，因為AC=AD=5C=3O,易知八48三△BCD,則AE=BE,

取AB的中點G,連接GE,易知又CD_L平面ABE,易知CD,GE,AB兩兩垂直，

以G為坐標(biāo)原點，分別以GE,GA所在直線為y軸，z軸，過點G作C。的平行線為x軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系.

由題設(shè)，易得AE=2應(yīng),GE=2,則4（0,0,2）,B（0,0,-2）,C（2,2,0）,D（—2,2,0）,

則AB=（0,0,-4）,DC=（4,0,0）,設(shè)AF=九45=（0,0,-44）,0<A<l,

則產(chǎn)（0,0,2—4彳）,故PC=（2,2,44-2）,

n?DC=4x=0

設(shè)平面bCD的法向量為〃=（x,y,z）,貝?卜

n?FC=2x+2y+（4%—2）z=0

令z=—l,則〃=（O,2；lT-l）,設(shè)直線AF與平面尸CD所成角為凡

I/\i\AF-n\422A/513

則sm6>=cos（AF,〃）|=——解得“二或右屋

?\71\AF\\n\42.^（2A-l）2+l5

故在棱AB上存在點F,使得直線AF與平面所成角的正弦值為述,

5

此時點尸位于棱AB上靠近點A或點B的四等分點處.

題型三：立體幾何折疊問題

5.(24-25高三上?云南昆明?期中)已知在長方形ABCZ)中，AD=2,AB=4,點M是邊CD的中點，如圖

甲所示.將沿AM翻折到，連接尸8,PC,得到四棱錐P-其中尸5=26，如圖乙

所示.

(1)求證：平面B4M_L平面ABOW；

(2)求平面PAM和平面P3C夾角的余弦值.

【解析】(1)連接因為/是CD中點，所以==12?+22=2近,

從而AM?+&02=鉆2,所以

又PB=2?,所以尸田2+902=&2,所以9_L3Af,

AMPM=M,AM,PMu平面APM,

所以物平面APM,又因為BMu平面ABQW,

所以平面平面ABCM；

(2)取AM的中點N,連接PN,則PN_LA〃，又平面平面ABOW,平面APM「平面ABCM=AM,

所以尸NA平面ABCM,

PN=-AM=y[l,

2

以M為原點，過M平行于CB的直線為x軸，MC為y軸，過M平行于NP的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖，

則4(2,-2,0),8(2,2,0),N(1TO),尸(1,-1,點),C(0,2,0),

MA=(2,-2,0),CB=(2,0,0),MP=(1,-1,0),CP=(1,-3,拘，

設(shè)平面PAM的一個法向量是〃=（%,M，ZJ,

RJn-MA-2x1-2yx=0

取%=1得"=(1,1,0)，

n-MP=X]-%+y/2z1=0

設(shè)平面PBC的一個法向量是m=（%2，%，Z2），

m-CB=2x?=0

則=%-3%+拒Z2=0取%=V5,得加=（o,0,3），

m-n41yfli

網(wǎng)同^/2x^/^Tii

所以平面PAM和平面PBC夾角的余弦值為姮.

11

6.在如圖1所示的圖形中，四邊形ABC。為菱形，NBAD=6（rAR4Z）和△8CQ均為直角三角形,

/PDA=ZQCB=90°,PD=AD=2CQ=2,現(xiàn)沿AD,8c將NAD和ABCQ進(jìn)行翻折，使尸?！≦C(PD,QC

⑴當(dāng)二面角P-仞-3為90。時，判斷DQ與平面是否平行；

⑵探究當(dāng)二面角P-AD-3為120。時，平面PB。與平面PBD是否垂直；

（3）在（2）的條件下，求平面與平面QBC夾角的余弦值.

【解析】（1）若二面角尸-AD-8為90。，則平面E4￡）_L平面A8CD,

因為平面PADc平面ABCD=AD,且PD_LA￡>,所以PD_L平面ABCD,

如圖，以。為坐標(biāo)原點，D4,DP的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

ZA

設(shè)平面HAS的法向量為元=(%y,z),因為2P=「1,一石,2),BA=(1,-君,0),

所以「令x=3,得n=3,指,3,

n-BA=x-\/3y=0,

因為DQ=1,5/3,ij,所以DQ.九=—1x3+A/3X乖I+1x3W0,

所以￡>Q不與平面上鉆平行.

(2)取3c的中點E,連接OE,則DESAD,

因為A￡>_LP￡>,所以二面角尸一45一3的平面角為NPDE,即NPZ)E=120。，

如圖，以。為坐標(biāo)原點，D4,DE的方向分別為尤,V軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則尸(0,-1,白),。(0,0,0),2(1,后0),Q-1,73

設(shè)平面尸的法向量為根=(埠另,4),因為03=(1,6,0),OP=(0,-1,白卜

所以二令4=1,得應(yīng)=—3,6,1,

山?。尸=一%+J3Z]=0,'7

設(shè)平面PBQ的法向量為〃=(%,%，Z2)，

因為加=(-1,一石一1,⑹,3。=-2,一；,圖，

n-BP=—x2-+1）%+

所以]有令&=6，得〃=（逝,3,4+道）,

n?BQ-—2々一~%—z1—0,

因為他-〃=4+6工0,所以“2,“不垂直，所以平面不與平面尸垂直.

(3)在(2)中的坐標(biāo)系中，設(shè)平面QBC的法向量為p=(x,y,z),

因為BC=（-2,0,0）,BQ=

p.BC=-lx=0,

所以1J3令z=l,

pBQ=-2x--y+^-z=0,

.11m.p42岳

設(shè)平面PBD與平面QBC的夾角為。，則cos。=cosm,p\=一「

Mp2屈一13

所以平面尸5。與平面QBC夾角的余弦值為竺1.

13

題型四：立體幾何作圖問題

7.（2024?河南信陽?模擬預(yù)測）長方體ABCD-ABCQ中，AB=2AAl=3AD,CE=2ED.

(1)過E、B作一個截面，使得該截面平分長方體的表面積和體積.寫出作圖過程及其理由.

(2)記(1)中截面為a,若a與(1)中過。點的長方體的三個表面成二面角分別為仇。,。，求

cos20+COS2(P+COS1co的值.

【解析】(1)連接取中點。，則。與E、3可確定一個平面，該平面即為所求.

連接RE,取點F使得A.F=2EB「連接RF,所，則所作截面為平面BED.F.

理由：連接RF,EB,

FBIUDE,FBl=DE(長方體性質(zhì))

四邊形尸。為平行四邊形，

又。為中點(長方體性質(zhì))

0為EF中點，BEDXF四點共面，

?面AiBgDic面BED\F=DtF，面ABCDc面BED{F=BE，面ABCD//面AiB]ClDl,

所以RP//8E,同理可證得2尸//RE.

二四邊形BERF為平行四邊形，

取AG=2GB,設(shè)長方體左半部分幾何體體積為匕,表面和為工，

因為43=2/141=3AD,^AB=6,AAl=3,AD=2,

V

所以^D.-ABCD=6x3x2=36,51Goi.ABCD=(6X3+6X2+2X3)X2=72,

匕+%4E-GFB=3X2x4x3+5X2x3x2=18=59qGR-ABC。,

E=sARDA+sDDiE+S44尸+s梯形4月班+s梯形的即

=2x3+Jx2x3+gx2x4+Jx(4+6)x3+gx(2+6)x2

—QA—AV

_JU_20^BjC^-ABCD

綜上，平面BE，/符合題意

（2）易知r>2、DA.DC兩兩垂直，以。為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

由題48=2X4=34。，^AB=6,AAl=3,AD=2,則有E（0,2,0）,鼻（。,。,3）,8（2,6,0）,則

￡D；=（0,-2,3）,EB=（2,4,0）,

設(shè)平面ABC。、平面ADAA、平面。CG2的法向量分別為4,巧,巧由長方體性質(zhì)可知

4=(0,0,1),%=(0,1,0),%=(1,0,0)

設(shè)平面a法向量為元=(%,y,z)

x=-3

n-ED,=0—2y+3z=0

則有1,即2x+4y=。'令z=L則'3

nEB=0

貝Ucos20+COS2(P+cos2

8.如圖，正四面體A&A3A-

（1）找出依次排列的四個相互平行的平面%,%,%,%，使得de/?=1,2,3,4）,且其中每相鄰兩個平

面間的距離都相等.請在答卷上作出滿足題意的四個平面，并簡要說明并證明作圖過程；

（2）若滿足（1）的平面%,%,%,%中，每相鄰兩個平面間的距離都為1,求該正四面體44AAi的體

積.

【解析】（1）如圖所示，取A4的三等分點乙，G，4%的中點河，&A,的中點N,

過三點4，p2,M作平面的，過三點4，乙，N作平面見,

AA3，

因為NP3,A3P3MP2,所以平面的〃。

再過點A1,44分別作平面的，a4與平面%平行，那么四個平面%,%，a3＞依次相互平行，

由線段A4被平行平面%,%，%，&4截得的線段相等知，其中每相鄰兩個平面間的距離相等,

故四,%,%,應(yīng)為所求平面.（注：也可將正四面體放入正方體內(nèi)說明）

（2）解法一：設(shè)正四面體的棱長為。，

結(jié)合（1）有4A4的中點N,再取4A3的中點Q,連接為。交&N于。,

則由等邊三角形的性質(zhì)可知。為△444的中心，且&。：。。=2：1,

則以。為坐標(biāo)原點，以平行于直線4A3且過點。的直線為X軸，直線4。為y軸，直線為z軸建立空間

、、

2,且。,0

a,0,4,A40,—----4Z,U.

3J

7267V

A?！缚誥但a、，心一立

令巴，片為A4的三等分點，N為的中點,

412

997

x

由2PN7-{a56A/6,‘3V3

所以AN=--—a,一--a，N%=—a,—a,0,A4N=_$,朱,0

I436944

7\7

設(shè)平面A3P3N的法向量〃=（x,y,z）,

n-RN=O9x-56y+4癡z=0

則有，即

3%+退〉=0

n-NA3=0

?。?1,貝！Jy=—石，z=_&,即幾=（1,一百,一^/^）.

又%,%,?3,%相鄰平面之間的距離為1，

所以點A到平面AAN的距離為，解得°=加.

J1+（一百）2+（一府

由此可得，邊長為質(zhì)的正四面體滿足條件.

所以所求正四面體的體積v=Ls/?=Lx且=

3343123

解法二：放入正方體，轉(zhuǎn)化為平幾問題.

如圖，將此正四面體補(bǔ)形為正方體ABC。-AgCR,

分別取AB,CD,A與，GR的中點E,F,Et,4,

平面DEER與8/記g是分別過點4,4的兩平行平面，若其距離為1,

則正四面體AAAsA滿足條件，右圖為正方體的下底面，

設(shè)正方體的棱長為。，

若AM=MN=\,因為AE=L,DE=—a,

22

在直角三角形ADE中，AMYDE,所以1.苴.，所以0=

22

又正四面體的棱長為0a=可，

所以此正四面體的體積為丫=。3-42，43=36.

323

題型五：立體幾何建系繁瑣問題

9.（2021.黑龍江哈爾濱?三模）如圖，已知三棱柱ABC-ABC的底面是正三角形，側(cè)面BBgC是矩形，M,

N分別為BC,與G的中點，尸為4W上一點，過BG和尸的平面交于E,交AC于

G

A'

(1)證明：AAJIMN,且平面AAMN，平面ESC/；

(2)設(shè)。為△AB?的中心，若AO=AB=12,40//平面E4c/,S.ZMPN=^,求四棱錐B-EBQ/的

體積.

【解析】(1)因為M,N分別為8C,瓦G的中點，所以MN//8月，

又AAJIBB、,所以MN//A4,,

在等邊VA8C中，M為3C中點，則8CLAM.

又因為側(cè)面為矩形，所以BC1BB.

因為MN//84，MNIIBC,

由=MN、411(=平面44腦7,

所以BC,平面AAMN,

又因為B?//BC,且耳G<Z平面ABC,3Cu平面ABC,

所以BC"/平面ABC,

又因為4G<=平面E4GF,且平面EEC/一平面ABC=￡F,

B、CJIEF

所以￡F〃8c.

又因為8C_L平面AAMN,

所以所，平面4AAW,

因為防u平面E2[C]R

所以平面EB￡F，平面AAMN.

(2)過Af作PN垂線，垂足為H,畫出圖形，如圖.

因為AO//平面EB&F,AOu平面\AMN,平面AtAMN1平面EBgF=NP,

所以AO〃NP,

又因為NO〃AP,所以四邊形。4PN為平行四邊形,

所以AO=NP=12,

因為。為△AAG的中心，

所以O(shè)N」x走xl2=2百，

32

因為平面EBGF_L平面AAMN,平面EB￡F平面AtAMN=NP,

也＜=平面440雙,

所以平面EBCZ，

EF_AP/曰EF=BCAP=12;2道寺

又因為在等邊VABC中,麗=而’侍.艮12

2

由(1)知，四邊形EBCP為梯形,

所以四邊形EBCZ的面積為SEB,GF=g(E/+4G)NP=g(4+12)xl2=96,

所以％—3GF=§SEBCF‘知",MH=sinAMPN-PM,

PM=AM-AP=AM-ON=—xl2-2-^=4y/3,所以=3x4后=6,

22

所以為.EBQF=gx96x6=192?

10.(21-22高三上?山東臨沂?開學(xué)考試)如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形,BC=6

AB,側(cè)面BSGC是正方形，D,E分別為8C,B/G的中點，P為AD上一點,過P和8/G的平面交AB于

M,交AC于N.

(1)證明：AA!\\DE,且平面A4/EDL平面MNG5；

3

(2)設(shè)。為A/E的中點，若AQI平面MNC/8/,且4。=萬42,求平面MNC/S與平面ABC所成銳二面角

的余弦值.

【解析】(1)證明：因為。EIIB8/,AAJWBBI,所以AA/IIDE,

平面分別與兩個平行平面ABC,42/G相交于MN,BiCi,

所以MNIIB/。，

又因為BC1A。，BiCiWBC,所以MN1AD,

因為8C_L8B/,BB1WAA1,所以BC_LAA/,

而8CIIMN,所以MNL4A/,

又A。，AA/是平面A4/ED內(nèi)兩條相交直線，

故平面AAiED,

故平面AA/EDL平面MNCiBi；

(2)連接EP,因為AQI平面MNOB/,故A0PE,

故PELMN,XAD1MN,

故4“。是二面角E-MN-D的平面角，

設(shè)AB=2,則p〃=也，DE=2e，PE=3,

2

由余弦定理可得，c"加旌嗎至工=上尸=交

中東77t些口可,2-PDPE八也.4

2x—x3

2

故平面MNGS與平面ABC所成銳二面角的余弦值為變.

H

題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題

11.如圖，在三棱錐A—BCD中，ABC是等邊三角形，NBAD=NBCD=90,點尸是AC的中點，連接

BP,DP

⑴證明：平面ACD1?平面2。尸；

⑵若如=6，cos/BPD=一日,求三棱錐A-BCD的體積.

【解析】（1）證明：如圖所示，

所以咫ABD=RtBCD,可得AZ）=CD,

又因為點尸是AC的中點，則尸DLAC,PB1AC,

又PDcPB=P,PDu平面PBD,PBu平面尸BD

所以平面ACD_L平面BDP；

⑵設(shè)AB=a,在及ABD中，BD=?則">=，町—AB。=46-/；

在等邊2Ase中，BP=旦8=與，

22

在等腰sACD中，DP=yjAD2-AP2=^-a2-^)2=^6-1a2；

在,3尸。中，由cosN8PD=-立，得sinNBPD="

33

由余弦定理得BD2=BP2+DP2-2-BPcosZBPD，

[ip6=-|a2+6--|a2-2xax^6-1-a2x，解得a=2；

所以BED的面積為S=—-BP?。尸應(yīng)!1/8尸。=2-,

22

所以三棱錐A-BCD的體積為V=L4c也.

3323

12.如圖，在三棱錐。-ABC中，/ABC為等邊三角形，NDAC=NDAB,AfiCD面積是/4BC面積的兩倍,

點M在側(cè)棱AO上.

(1)若3M_LA￡>,證明：平面48，平面8。0；

.27r

(2)若二面角D-BC-A的大小為方-,且V為AD的中點，求直線與平面AC。所成角的正弦值.

【解析】(1)證明：因為AC=AB,ZDAC=NZMB,所以AACD絲AABD,

所以DC=D3.

取BC中點0,連結(jié)D0,A0,所以D01BC,A01BC,

因為A0c00=0,所以BCLL平面AOD,所以BC1AD,

又因為BM1AD,BCcBM=B,所以AD1平面BCM,

所以平面ACD_L平面BCM.

(2)由(1)知，/DQ4是二面角D-BC-A的平面角,

所以40。4==

過。作OG_LA。交A。延長線于G,因為BC1平面AOD,DGu平面AOD,

所以BC_LOG,

因為AOc3C=O,所以DG_L平面ABC.

如圖，以。為原點，以。4，OB,GD的方向為無軸，＞軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

又因為S.BCZ?=2S“BCD

所以。0=204=2耳，

在RfDGO中，ZDOG=~,

3

所以DG=3a,OG=\/3a,

所以。卜島,0,3a),C(0,-a,0),8(0,a,0),A^a,0,0),

所以DA=[2sf3a,0,-3aj,DC=(石a,-a,-3a),

設(shè)〃=(x,y,z)是平面DCA的法向量,

“?ZM=02百x-3z=0,

則

n-DC=0,-/3x-y-3z=0,

因為點M是線段2D的中點，所以M[0,0，E

所以3"=(0,—a,2a),

設(shè)直線BM與平面DCA所成角的大小為氏則

3V13

13,

所以直線BM與平面CDA所成角的正弦值為嶇.

13

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

13.(2024?山東淄博?二模)已知直角梯形ABC。，ZADC=90°,AB//CD,AB=2CD=?AD=幣,M

為對角線AC與BD的交點.現(xiàn)以AC為折痕把△AOC折起，使點。到達(dá)點尸的位置，點。為網(wǎng)的中點，如

圖所示:

(1)證明：AC_L平面PBM；

(2)求三棱錐尸-ACQ體積的最大值；

(3)當(dāng)三棱錐尸-ACQ的體積最大時，求直線力B與平面PBC所成角的正弦值.

【解析】(1)直角梯形中,

DCDMCM

由相似可得,

AB~MB~AM~2

因為AB=2Cr>=?,ADf,可得AC=還，BD=3,

2

故可得AM=2MC=g，BM=2DM=2,

ilAM2+BM2=AB2，則由勾股定理逆定理得，AMA.BM,即AC1BD,

ACLDM,

翻折后可得，ACIBM,AC1PM,

又因為=在平面PBM內(nèi),

故AC_L平面尸BM

(2)因為點。為邊尸8的中點,

所以VQ_PAC=—VB_PAC)又^Q-PAC~^P-ACQ，^B-PAC=Kp-AfiC，

所以Vp-ACQ=ABC，

因為ACu平面ABC,所以平面ABC_L平面尸BM,

所以點尸到平面ABC的距離，即為點P到的距離，設(shè)為h,

因為SABC=」42.46：應(yīng)11/042=」6?迪?逅=逑為定值,

ABC22232

當(dāng)〃最大時，三棱錐尸-ACQ的體積最大，

P4

而9=—：—=1,則〃VPM=1,

AC

當(dāng)/?=1時，(VpACQ\=!"ABC)=-X-X^?xl=—.

\〃一ACQ/max2'〃一A"7max2324

(3)由(2)得，當(dāng)三棱錐尸-ACQ的體積最大時，

點P到平面ABC的距離為PM=1,即PM_L平面ABC.

故尸M_LAC,PMYMB,

又因為ACJ_3M,

故圖，MB,MP兩兩垂直.

故可以Af為原點，

直線MA,MB,MP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

5

由題可得，A(啦,0,0),B(0,2,0),P(0,0,1),C(-—,0,0),

2

則AB=(-0,2,0),PB=(0,2,-l),CB=(—,2,0),

2

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

n?PB=2y-z=0

則n-CB^^x+2y=Q令y=I,得'=(-2舟,2),

設(shè)直線AB與平面MC所成角為6,則sin6=|cos(AB,ri)|==6=￡

\AB\\n\V6-V1313

所以直線與平面P8C所成角的正弦值為叵.

13

14.(24-25高三上?山東濰坊?期末)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為菱形，E為棱的中

(1)若直線PC與平面4近的交點為尸，證明：〃平面ABCD；

(2)已知陽，平面ABC。，AB=2,PD=6,且二面角O-BC-尸的大小為45。，求直線BE與平面P3C所

成角的正弦值.

【解析】(1)因為AB〃CD,ABa平面PCD,CDu平面尸CD,

所以/W〃平面PCD,

因為平面ABEc平面PCD=EF,

所以AB//EF,

因為砂U平面ABCD,Afiu平面ABC。，

所以〃平面ABC。；

(2)

如圖，過點。作DGL3C于點G,連接尸，G,

因為尸平面ABCZ),所以PG_L3C,

所以NPGD為二面角O-BC—尸平面角，

即NPGD=45°,

因為PD=百，

所以CG=1,所以在Rt^DGC中，ZC=60°,

以DC，OP分別為y軸，Z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

則網(wǎng)點1,0）,C（0,2,0）,P（0,0,A/3）,

所以尸2=BE=_后一1苧,BC=(-A/3,1,0),

PB-n=0

設(shè)平面依C的法向量為元=(%,y,z),貝哈

BCn=0

卜反+y-V？z=。

]-G+y=0

令1=1,得y=6,z=2,

所以篦=(1,百,2),

設(shè)直線BE與平面PBC所成角為0,

?..?IclIBE?nV114

貝°sm0=cosBE,；-=-----,

1n\1=\?-B-E-\\n\38

所以直線BE與平面尸3c所成角正弦值為?.

38

題型八：空間中的點不好求

15.如圖，己知斜四棱柱ABC。-ABIGA的側(cè)面和底面均為全等的菱形，且鉆=2,ZA.AD=ZBAD=6Q°.

（1）證明：平面ABCD_Z?平面ACC]A；

（2）若E為A片的中點，求二面角石-8C-4的余弦值.

【解析】（1）解法一：

如圖，取AA中點b，連接BEDRADBD，

因為斜四棱柱ABC。-ABIGR的側(cè)面和底面均為全等的菱形，且NRW=60。,

所以△AR41和△AB均為等邊三角形，

所以3F_LA4,,OF1A4j,

又因為BPDF=F,BF,DFu平面5。尸，

所以AA，平面團(tuán)加，

因為BDu平面囤>尸，所以

由底面ABCD為菱形，可知AC13D,

又叫AC=A,AA-ACu平面ACGA，

所以工平面ACC】A,

又因為B￡>u平面ABCZ),所以平面ABC。，平面ACC、.

解法二：

如圖，設(shè)AC,3￡)交于點0,則0為瓦)的中點，

連接8G，￡>G，OG，

由側(cè)面均為全等的菱形可知BG=DC,,所以。G，8。，

又由底面ABCD為菱形可知ACJ.BD,

又ACcOC|=O,AC,OGu平面ACCA，

所以ao工平面ACGA,

又因為3￡>u平面ABCD,所以平面ABC?！蛊矫鍭CGA.

(2)以AC,勖的交點。為原點，以0A03所在的直線分別為無軸，》軸，過。且垂直于底面作z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。孫z,

則4(60,0),6(0,1,0),C(-73,0,0),

由題知四面體AA3。為正四面體，

記G為△ABD的中心，則4G_L平面A3。,

因為AG=2OA=攣，

33

所以AG=J&AG2=巫,則4怦,0呼］

3I35)

又由AB=A4，AS=(―V^,1,O)得用［--,1,---

設(shè)平面BC4的法向量為需=（%,%,zj,

BCm=O,_&x「X=O,

則A.n即若2瓜_n

3m-0,-Xj-yx+-^-zl=0,

令%=百，則％=-3,Z]=_屈,

則平面BC\的一個法向量m=出一3,一咐,

設(shè)平面BCE的法向量為n=（/,乂必），

-X/3VV-%=0，

BC?幾=0,2

則即

V31Jn_n

BEn=0,一-^X2~~y2+—^~Z2=0,

623

令％=#＞，則%=-3,z?=,

則平面BCE的一個法向量〃=

設(shè)二面角E-8C-a的大小為〃，由圖知。為銳角，

3_

八I/\i\m-n\+23VH

所以cos6=cos(m,n)\==----------r-^--=--,

H網(wǎng)MXJ12+|11

故二面角E-8C-A的余弦值為誓.

16.如圖，在四棱臺ABCO-A4G2中，44,J■平面A3C2A與〃平面CD〃G，A。

IIBC,AB=AD=CD=2AAi==2.

（1）求證：AD-BjC1；

（2）求平面CDD?與平面BAAiBl所成角的正弦值；

（3）求點A關(guān)于平面\BC的對稱點M到平面CDD6的距離.

【解析】（1）連接G。，因為BC//BG，AD//BC,

所以局G，所以綜GA。四點在同一平面B&DA上，

又因為44〃平面C￡）2G，平面片GD41平面G2DC=G。,

所以ABJ/CQ,可得四邊形A4G。為平行四邊形，

所以AO=BG；

（2）因為AO=31G=2,2B￡=BC=4,AB=CD=2,AD/IBC,

所以四邊形ABCD是等腰梯形，做AH_L3C交BC與點可得BH=1,AH=6

所以NABC=60,且=

以點A為原點，