重難點(diǎn)10利用導(dǎo)函數(shù)解決恒(能)成立問題

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預(yù)測(cè)

恒(能)成立問題是高考的熱點(diǎn)問題，其中不等式的恒(能)成利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問題，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的

立問題經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，重點(diǎn)，常涉及函數(shù)單調(diào)性，最值，常使用變量分離

綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出法，分類討論法，同構(gòu)法，為高考的重點(diǎn)考點(diǎn)

現(xiàn)，試題難度較大，解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活求解.

重難點(diǎn)題型解讀

題型1分離參數(shù)法解恒成立問題

i匕

I10000

若a>/(%))對(duì)xeD恒成立,則只需。>/(x)max；

I

若a</(x)對(duì)xe。恒成立，則只需a</(x)min.

1.(2024?北京?三模)己知函數(shù)d=ln(x+lj+左(x+lj.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃x)W-l恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

⑶求證：才彗<中.(”N且”22)

占Z+14

【答案】(1)答案見解析.

(3)證明見解析

【詳解】⑴函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?-1,+8).

廣(》)=￡+般

①人20時(shí)，r(x)>0,/(X)的遞增區(qū)間為(一1,+8),無(wú)遞減區(qū)間；

③％<0時(shí)，令r(x)>0得T<X<T-L令r(x)<0得X>-1-L

kk

所以/(X)的遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為,1-5+s]

(2)由(1)知，上20時(shí)，/(尤)在(一1,+e)上遞增，〃0)=左20,不合題意,

故只考慮左<0的情況，由(1)知一￡|=T-ln(-4V-1

BPIn(—左)2On—女之In左(一1

綜上，左的取值范圍為左W-1.

(3)由(2)知：當(dāng)左=—1時(shí)，ln(x+l)—(x+l)4—1恒成立，所以ln(x+l)4x,

所以lnx<x—l當(dāng)2恒成立，令x=〃2(〃

進(jìn)而In1<n2—1(〃eN*,n>2),

Innn—1

即21n〃<(〃一l)(〃+l),------<neN\H>2)

n+1~2~

ln2ln3ln4Inn123n-1“(n-1)

--------1---------1---------1-------1---------<—I------1-------F?,?H---------=(aeN且"22)

所咚TTF345n+122224

"Inin(n—1)

SPY—~(neNMn>2)

占i+14

【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造

的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放

縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2.(2024?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ox-sin尤.

⑴當(dāng)X'Q㈤時(shí)‘求函數(shù)g(x)=〃x)+8sx的極值;

⑵當(dāng)時(shí)，/。)<0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴極小值為嚕兀一爭(zhēng)極大值為千兀+4

(2)aW—

71

【詳解】(1)當(dāng).=，^時(shí)，g(x)=，^x-sinx+cosx,尤e(0,2?i).

22

g'(x)=^^-cosx-sin.r=A/2—-sinf.x+—,

令g<x)=O得sin(x+Bj=；,

因?yàn)閄C(O,2TI),所以工+：€匕,空，

故x+7=等或等，解得或等，列表得

4661212

7兀p7i23c23TI

X［丘正J

n~12〔等同

g'(x)-0+0-

g(x)極小值/極大值

?、鉆土N?/古小「7吟772V6士R+/古石(23兀\23A/2&

??所以g(無(wú))的極小值為g——=------71-------，極大值為g-----=--------71+——.

112)242y12)242

(2)解法一：f(x)=ax-sinx,其中sinx>0在xe上恒成立,

當(dāng)aWO時(shí)，，。)<。恒成立，滿足題意；

當(dāng)。>0時(shí)，fXx)=a-cosx.

當(dāng)心1時(shí)，/V)>0,/⑺在單調(diào)遞增，/(x)>/(0)=0,不滿足題意;

當(dāng)0<。<1時(shí)，使/'(毛)=0,貝I]

X(。，%)%

—0+

/■(X)極小值/

?.?當(dāng)時(shí)，/(x)<0恒戍立,

/(0)=0<0

兀1/八，貝|JO<〃(一.

---1<0兀

/U—J=a2

2

綜上可知，a<—.

71

解法二：當(dāng)xe[。,])寸，“x)=ta-sinx<0恒成立，即。<溝二恒成立,

、幾7/、sinx(八兀1］，/、xcosx-sinx

設(shè),(X)=----,XG0,-,/(1)=------------，

x12Jx

令夕(％)=xcosx—sinx,貝lj(p\x)=—xsin%<0,

所以夕(x)在(0,鼻單調(diào)遞減,0(x)<以0)=0,

則/x)<0,；.〃(x)在［。,發(fā)單調(diào)遞減，貝

3.(2025?云南昭通?一模)已知函數(shù)/(x)=(〃—2)lnx+x+^—(〃￡R).

x

⑴若。=-1,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

a—1_

⑵若對(duì)于任意X￡(l,+8),都有了(X)〉——成立，求。的取值范圍.

X

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(2,+8),單調(diào)減區(qū)間為(1,2).

(2)(2-e,+8)

2

【詳解】(1)右〃=-1,則/(%)=-31nx+x-一(%>0),

x

/'(x)=--+l+4=廠一?+2=(.r-l)(x-2)

XXXX

令/'(x)>。，可得。<x<l或x>2；令r(x)<0,可得1<X<2,

所以單調(diào)增區(qū)間為(0,1)和(2,+s),單調(diào)減區(qū)間為(1,2).

(2)因?yàn)閷?duì)于任意xe(l,+s),都有/(x)>X成立,

X

所以對(duì)于任意xe(l,E),都有〃x)-佇1>。成立，

X

即對(duì)于任意工￡(1,+8),(?-2)lnx+x>0.

因?yàn)閘nx>0,所以對(duì)于任意X￡(l,+s),-.

mx

設(shè)人(元)=廣，其中xe(l,+co),則〃。)=，

In尤(Inx)7U

因?yàn)閤e(l,+co),所以(lnx)2>0,

當(dāng)一lnx+120時(shí)，/z(%)>0.

因此h(x)在(l,e]上單調(diào)遞增，在e+8)上單調(diào)遞減，

所以，(％)max=/z(e)=-e,

所以。-2>-e,即〃>2—e,故〃的取值范圍為(2-e,+8).

4.(2024?四川德陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(%)=/%_i,〃wR.

⑴討論了(%)的單調(diào)性；

⑵若o恒成立，求〃的值；

(3)設(shè)g(x)=ln”———,若g(工)-12九+%2-me"恒成立，求加的取值范圍.

x+1

【答案】(1)答案見解析

(2)〃=；

(3)m>—

e

【詳角軍】(1)對(duì)/(x)=e'—ox?一次一1求導(dǎo)，f\x)=ex-2ax-1.

令7z(x)=ex—2ax—1,貝ljh^x)=ex-2a.

當(dāng)aWO時(shí)，〃(x)=eX—2Q>0恒成立，所以力(x)在R上單調(diào)遞增.

又/z(O)=e°—l=O,當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0,即八》<0,/(無(wú))單調(diào)遞減；當(dāng)1>0時(shí)，h(x)>0,即/'(%)>0,f{x}

單調(diào)遞增.

當(dāng)〃>0時(shí),令〃(%)=1-2a=0,解得％=ln(2a).

當(dāng)x<ln(2tz)時(shí)，”(尤)<0,h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>]n(2a)時(shí)，/z(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.

小(%)min=人(ln(2〃))=2a-2aln(2〃)一1.

令m(a)=2a-2aln(2a)-1,對(duì)其求導(dǎo)得m'(a)=-21n(2tz).

令加⑷=0,解得a=；.

當(dāng)0<a<；時(shí)，機(jī)'(a)>0,〃z(a)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，m,(a)<0,〃z(a)單調(diào)遞減.

根⑷max=，吟=0.

當(dāng)0<a<；時(shí)，h(x)min=/?(ln(2a))<0,又力(0)=0,所以存在玉<0使得〃(再)=0,當(dāng)彳€(斗0)時(shí)，/z(x)<0,即

fW,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xq或工乂)時(shí)，Kx)>0,即/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)。時(shí)，/7(x)min=/7(ln(2a))=0,即((x)N0,/(x)在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)。,g時(shí)，〃(x)1nhi=/?(ln(2a))>0,即/'(尤)>0,f(x)在R上單調(diào)遞增.

綜上所得，當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增;

當(dāng)Ovav：時(shí)，，(x)在(占,。)單調(diào)遞減，在(-8,西)和(0,+oo)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增.

2

(2)由(1)可知，當(dāng)。=g時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增，且/(0)=e°-0-0-1=0,所以f(x)2/(0)=。恒

成立，故a=1.

2

(3)已知g(x)=ln^———,gO)-l2x+尤2-〃生“恒成立，

X+1

即In———-——1>x+x2-mex恒成立.

x+1

移項(xiàng)可得In+,鬲-尤-/-1W0恒成立.

X+1

令”〃嫁一廠，則int+meX-A/Two可化為inf+f-GO(r>0).

X+1

令機(jī))=lnr+”l,對(duì)其求導(dǎo)得/?)=1+1>0,所以左⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增，且左⑴=。，所以此1恒成立，

t

即下讓一\21恒成立.

X+1

即相e"—f2X+1恒成立，也就是，2'+'+1恒成立.

e%

入x2+x+1」甘十日用，/、(2x+l)eA—(x2+x+l)eA—x2+x

令p(x)=——-一，對(duì)其求導(dǎo)得p(x)=--------------------=---.

e(e)e

令p'(x)=O,解得％=0或%=1.

當(dāng)x<0或介1時(shí)，"(l)<0,P。)單調(diào)遞減；

當(dāng)0<xvl時(shí),pf(x)>0,p(x)單調(diào)遞增.

33

P(%)max=。(1)=一，所以加'—?

ee

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：恒成立問題解題思路：(1)參變量分離：(2)構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單

調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之

后參數(shù)分離即可解決問題.

5.(2025?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=%ln%-雙.

⑴當(dāng)，=0時(shí)，求函數(shù)八%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對(duì)任意x?0,y),〃%)?爐+2恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(i)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是

(2)[in2-3,+00)

【詳解】(1)當(dāng)〃=0時(shí)，函數(shù)"%)=xlnx的定義域是(0,+。)，r(x)=lnx+l,

令尸⑺<0,得lnx+l<0,解得0<x<[,故"X)的單調(diào)遞減區(qū)間是[。,

令尸(x)>0,得lnx+l>0,解得x>[,故〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間是',+[],

綜上，””的單調(diào)遞減區(qū)間是[。,單調(diào)遞增區(qū)間是，,+j.

(2)由任意xe(0,+2o),〃力(X2+2知xinx<x2+分+2恒成立.

2

因%>0,故——，在X￡(0,+oo)上恒成立.

設(shè)/z(x)=lnx—x—2(x>o),貝I]/(1)=J__]+W=一(%2),x+l),

令〃(%)=0,得玉=2,%2=-1(舍去)，

當(dāng)尤￡(0,2)時(shí),“⑺>0,M%)單調(diào)遞增，

當(dāng)無(wú)￡(2,4W)時(shí)，〃(犬)<0,/z(x)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=2時(shí)，用⑺取得極大值，也是最大值，且Zi(x)1mx=%(2)=山2-3,

所以若在X￡(0,+oo)上恒成立，則。之網(wǎng)力皿=山2—3,

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[ln2-3,y).

題型2分類討論法解恒成立問題

I

i；00后百

①首先可以把含參不等式整理成適當(dāng)形式如f(x,a)20、f(x,a)<。等；

I

1②從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值或最值；

③得出結(jié)論.

7二心由嬴三超丁藐7荷二苒二W二就:獲而瀛》初晟;帝W

⑴求實(shí)數(shù)的值;

(2)證明：/(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)毛,且〃/)<-“

⑶若g(x)=(辰-1人底-％,是否存在上使得g(x)NT恒成立，存在請(qǐng)求出左的取值范圍，不存在請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】⑴。=2,6=1

(2)證明見詳解

(3)不存在，理由見詳解

【詳解】(1)由題意，/，(x)=(2or+2-a)ear-l,則/(0)=1-"-1,

解得a=2,又〃0)=-1,可得切點(diǎn)為(0,-1),代入x+y+6=0,得6=1.

所以實(shí)數(shù)。=2力=1.

(2)由(1)M/(x)=(2x-l)e2x-x,貝ij1(x)=4W

令g(x)=/'⑺，二g'(x)=4e2x(1+2x),

令g'(x)>0，得x>-g,令g'(x)<0，得尤<-；，

所以g(x)在［-鞏-［上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以g(x)mm=8［-￡|=-2「-1<0,

且當(dāng)x<0時(shí)，g(x)<0,g(0)=-l<0,=—1>0,

所以g(x)在(。,j上存在唯一零點(diǎn)%，使得g(%)=0即4x0.e^?=1,

當(dāng)xe(Yo,而)時(shí),g(x)<0,即/(x)<0,/(X)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(%+oo)時(shí),g(x)>0,gp/,(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

所以/(x)僅存在一個(gè)極值點(diǎn)％,x()e［。,；)，

11(1)

/(%o)=(2%()_］)e"°=(2x0-l)x-x0=--A：0+--,

4后214x0J

又函數(shù)y=x+1,而/="二<0,

4xI"4x2

所以y=x+；在xJ。。］上單調(diào)遞減，則尸元+

4x<4J4x4

i53

所以=

(3)若存在％,使得g(x)N-l恒成立,BP(^-l)efa>x-l,對(duì)xeR恒成立,

當(dāng)％W0時(shí)，當(dāng)x>l時(shí)，貝匹依-1)/<0,顯然上式不成立；

當(dāng)左>0時(shí)，令夕(x)=(Ax-l)e區(qū)一九+1,0(0)=0,

貝［J0(x)=k2%e辰—1,

令G(x)="(%),則G(x)=k2(1+Ax)e">0在［0,+8)上恒成立，

所以G(x)即“⑺在[0,y)上單調(diào)遞增，又。⑼=-1,夕[,]2

=/一1>0,

所以存在占G0,,使得°'(%)=o.

所以當(dāng)工?0,3)時(shí),”(x)<0,即0(x)單調(diào)遞減，此時(shí)°(x)<e(O)=O,

所以夕(x)NO不恒成立，

故當(dāng)上>0時(shí)，不存在％滿足條件.

綜上，不存在左,使得g(x?-l恒成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第三問，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為("-1,對(duì)xeR恒成立，分%W0和

人>0討論，其中人>0時(shí)，令0(x)=(辰-l)*r+l,利用導(dǎo)數(shù)判斷求解找出矛盾.

2.(2024?北京海淀?二模)已知函數(shù)/'(x)=ln(x-a)+2j3a-x(a>0).

⑴若a=l，

①求曲線y=在點(diǎn)(2,42))處的切線方程；

②求證：函數(shù)/(X)恰有一個(gè)零點(diǎn)；

⑵若/(X)<lna+2a對(duì)尤44,3。)恒成立，求。的取值范圍.

【答案】⑴①y=2；②證明見解析

⑵[L+CO)

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=ln(x-l)+2V3-x.

①?gòu)V”占一卷?

所以"2)=2，八2)=0.

所以曲線y=在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程為y=2.

②由①知Hx)=ln(x-l)+25^,xe(L3],_f(x)=Jy-nL^,且/〈2)=0.

當(dāng)x?l,2)時(shí)，因?yàn)?>1>的三，所以尸(x)>0；

當(dāng)x42,3)時(shí)，因?yàn)橐?lt;1〈去三，所以尸(x)<0.

所以/(X)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞減.

因?yàn)椤?)=2,〃3)=ln2>0,/(l+e-3)=-3+2也-廠<-3+2后<0.

所以函數(shù)7'(X)恰有一個(gè)零點(diǎn).

,.7.i-----，/、y3a—x—(x—a)

(2)由)(％)=1口(％—〃)+2,3々_尤得/(力=~;---、|-----

[x-a)>J3a-x

設(shè)g（元）=43々一九一（無(wú)一.），了￡（。，34）,則"一在7-l<0.

所以g（x）是（d3a）上的減函數(shù).

因?yàn)間（a）=^Jla>0,g（3a）=-2a<0,

所以存在唯一/e（a,3a）,g（%）=J3a-x（）-（尤o-a）=。

所以尸（x）與〃x）的情況如下：

X（必修）%(x(),3a)

+0-

“X)/極大

所以/（x）在區(qū)間（a,3。）上的最大值是

/(x0)=ln(x0-a)+2yj3a—x0=ln(x0—?)+2(x0—a).

當(dāng)時(shí)，因?yàn)間(2a)=G—qV0,所以不(24.

所以/'（不）41n（2a—a）+2（2a—a）=lna+2a.

所以〃x）W〃%）Vlm+2a,符合題意.

當(dāng)0<a<l時(shí)，因?yàn)間（2a）=6-a>0,所以1>2°.

所以/'（七）>ln（2a—a）+2（2a-a）=lna+2a,不合題意.

綜上所述，”的取值范圍是［1,+8）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

3.（202L22高三上?北京海淀?階段練習(xí)）已知函數(shù)"x）=2sinx-xcosx-flx（aeR）.

（1）若曲線y=/（?在點(diǎn)（oj（o））處的切線與直線y=x+2平行.

（i）求a的值；

（ii）證明：函數(shù)在區(qū)間（。,兀）內(nèi)有唯一極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)aWl時(shí)，證明：對(duì)任意x?0,兀）,/（x）>0.

【答案】(1)(i)a=0；(ii)證明見解析；(2)證明見解析.

【詳解】(1)(i)解：因?yàn)楹瘮?shù)/(九)=2sinx—xcos九一依，

所以/'(%)=cosx+xsinx—a,

因?yàn)榍€尸〃龍)在點(diǎn)(0,〃。))處的切線與直線y=%+2平行，

所以切線的斜率為1,

則r(o)=i,即i—a=i,解得〃=0,

檢驗(yàn)：當(dāng)〃=0時(shí)，/(0)=0,因此切線方程為丁=尤，符合題意，

故a=0.

(ii)證明：由⑴可知，a=0,則f'(x)=cosx+xsinx,

令g(%)=/'(%)=cosx+xsinx,貝|gr(x)=xcosx,

當(dāng)時(shí)，g[x)>0,則g(x)單調(diào)遞增，即尸(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xegj時(shí)，g，(x)<0,則g(x)單調(diào)遞減，即(⑴單調(diào)遞減,

又/'(0)=1>0,-[今)='>°，尸(兀)=一1<0，

故存在唯一的X。eg,無(wú))，使得廣(%)=。，

當(dāng)xe(O,x°)時(shí)，r(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(無(wú)0，兀)時(shí)，/,(x)<0,則“X)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)尤=%時(shí)，函數(shù)/(x)取得極大值了(%),

故函數(shù)在區(qū)間(0,兀)內(nèi)有唯一極值點(diǎn).

(2)證明：由(1)可知，當(dāng)xe/.時(shí)，尸⑴單調(diào)遞增，

當(dāng)xe\,j時(shí)，火力單調(diào)遞減，

因?yàn)閍Wl,則尸(0)=1-。20,且「(兀)=—1一0,

①若T—?！?,即aV—1時(shí)，貝|-(兀)>。，

所以((x)>0在(0,可上恒成立，即在(0,兀)上單調(diào)遞增，

故〃x)>〃0)=2sin0=0,符合題意;

②若—1—a<0,即一l<a《l時(shí)，尸㈤<0,

因?yàn)閞9=>>0,

故存在玉唱，4使得尸(與)=°,

當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，r(x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(x°㈤時(shí)，r(x)<0,則〃x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=x。時(shí)，函數(shù)“X)取得極大值了(%),

即/(x)>f(O)=OH.f(x)>〃兀)=7i(l-a)>0,符合題意.

綜上所述，當(dāng)aVl時(shí)，對(duì)任意尤40,兀)，/(x)>0.

4.(2025?陜西榆林?二模)已知函數(shù)"x)=W(x>0).

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

⑵已知直線>=履+機(jī)是曲線y=/(x)的切線，且丘+/心對(duì)xe(0,+oo)恒成立，求優(yōu)的最大值.

【答案】⑴/⑺在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,心)上單調(diào)遞減.

⑵下

e

【詳解】(1)尸(司=公，

令/'(x)=o得X=2,當(dāng)。(尤<2時(shí)，-(">。；當(dāng)x>2時(shí)，r(x)<0.

因此在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,+向上單調(diào)遞減.

(2)由⑴知，/Wmax=/(2)=1.

當(dāng)機(jī)=二時(shí)，直線y=4是曲線〃尤)的切線，且對(duì)xe(0,+8)恒成立，滿足題意;

eee

當(dāng)機(jī)>1時(shí)，設(shè)直線"履+機(jī)與曲線y=，(無(wú))相切于點(diǎn)(%,%),

ee

因?yàn)?=句)+〃7,所以飆=%-相<。，又%>0,因此左<0,

又因?yàn)樽?((%))=.<0,所以%>2,%=/(/)=2二>0,

e0

L

取&==T+尤0>2,則句+根=0,/(x1)=^^->0,

kkke1

因此存在Xe(O,+8),使得向+根</(%!),不滿足題意.

綜上，加的最大值為

e

5.(2025?浙江一模)已知函數(shù)〃x)=3x2-8sin(x+e),其中際4兀.

⑴若函數(shù)〃x)是偶函數(shù)，求。；

(2)當(dāng)。=。時(shí)，討論函數(shù)“X)在［0,欣)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(3)若VxNO,/(%)>0,求。的取值范圍.

【答案】⑴展

(2)兩個(gè)零點(diǎn)

it2也

⑶旌-it,---—

63

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)八%)是偶函數(shù)，所以"T)=/a).

即3龍之一8sin(—％+夕)=3x2-8sin(x+夕)，

TT

解得：^=±-.

(2)當(dāng)°=0時(shí)，/(x)=3x2-8sinx.

/(0)=0,/(%)=6x—8cosx,

令h^x)=/(x)=6x-8cosx,貝ij//(x)=6+8sinx.

當(dāng)xN九時(shí)，f(九)>3K2—8>0,

當(dāng)0<xv兀時(shí)，/z(x)=6+8sinx>0,/'(%)單調(diào)遞增，

X/(0)=-8<0,/(兀)=6兀+8>0,

所以存在石￡(0,兀)，使得/(玉)=0.

%￡(0,石),/'(x)<0,“X)單調(diào)遞減，XG(^,+oo),/'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增,

而“0)=。,/(^)<0,/⑺=3冗2>0,所以在(石,句上存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上，函數(shù)/(%)在［o,y)有兩個(gè)零點(diǎn).

(3)當(dāng)■兀時(shí)，/(x)>^^-8>0；當(dāng)0W%<|■兀時(shí)，/(0)=-8sin^^0,

則夕目一兀,。］.

2兀

(i)當(dāng)夕￡一兀,一-—時(shí)，x+0￡［一冗,0),sin(x+^)<0,〃尤)>。成立;

(ii)當(dāng)。?(一三二]時(shí)，

■jrQjr

若入￡—,貝！J/(%)=6%—885(%+夕)>3兀一8>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以/(%)>/[|?[=^8cos夕>0；

若石則x+°e[-g，oj,sin(x+,)<0,〃x)>0成立；

(iii)當(dāng)。時(shí)，若sin(x+0)W0,則/(x)20成立；

只要考慮sin(x+0)>0,此時(shí)令〃(%)=/(%)=6x-8cos(x+0),

則〃(x)=6+8sin(x+e)>0,/'(x)遞增，,(0)=—8cosc<0,ff=3rt+8sin>0,

所以存在毛,使得，小)=6_￥0-8cos(%+協(xié)=0,

若尤e(O,x0),則/(x)<。，〃尤)遞減；若有卜仁)，則/(x)>0,〃尤)遞增.

x

所以/(x)三f(o)=3x；—8sin(x°+夕)=3x；—8^1——Xg>0,解得x0>■

此時(shí)cos(x(,+e)=；XoN,所以天+夕.已，從而cpW%-x。.

綜上，<p&一兀，2一萬(wàn)^]

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題是函數(shù)綜合問題，考查了利用導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性解決不等式

恒成立問題.本題需要先通過(guò)三角函數(shù)的值域先得到不等式在某個(gè)區(qū)間恒成立，再通過(guò)某個(gè)特殊值得到。的

范圍，然后通過(guò)函數(shù)解析式的特殊性，分別討論e的范圍內(nèi)不等式恒成立.本題用到了隱零點(diǎn)的方法求得函

數(shù)的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，轉(zhuǎn)變?yōu)樽钚≈荡笥诘扔诹?，然后解得。的范?

題型3構(gòu)造函數(shù)解恒成立問題

I00g?

II

①對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的

II

式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)"相同結(jié)構(gòu)"構(gòu)造輔助函數(shù).

②為了實(shí)現(xiàn)不等式兩邊"結(jié)構(gòu)"相同的目的，需時(shí)時(shí)對(duì)指對(duì)式進(jìn)行"改頭換面"，常用的方法有：x=

xe-e111"，—=e-|n'+\lnx+lnq=lnax、lnx-l=ln',有時(shí)也需要對(duì)兩邊同時(shí)加、乘

xe

某式等.

③xlnx與尤/為常見同構(gòu)式：xlnx=lnxelnA,xe'=；x+lnx與x+e*為常見同構(gòu)式：

x+lnx=lnx+elttX,x+ex=e,nr+ex.

1.(2025?湖南岳陽(yáng)一模)已知函數(shù)〃x)=e'+2x+3,其導(dǎo)函數(shù)為y=f(x),當(dāng)xe；,3時(shí)，不等式

尸(x)<a++lnx)(“>0)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(e,+co)B.C.(2五,+(?)D.

【答案】B

【詳解】因?yàn)椤▁)=e，+2x+3,所以尸(x)=e*+2,

因?yàn)楫?dāng)xe；,3時(shí)，不等式((無(wú))<[°+：](1110+11?:)(4>0)恒成立，

即當(dāng)xe—,3時(shí)，不等式e，+2<](2H—J(ln6z+liir)(a>。)恒成立，

所以當(dāng)x/；,31時(shí)，不等式6'+2<碎皿+1時(shí)+迎匕也恒成立，

_，」X

即當(dāng)尤e1,3時(shí)，不等式e，+2<aIn(辦)+2山(=)恒成立,

即當(dāng)工￡—,3時(shí)，不等式xe"+2x〈辦ln(av)+21n(av)恒成立，

即當(dāng)工￡；,3時(shí)，不等式％e*+2%<111(雙>/3)+21n(ax)恒成立,

設(shè)且(%)=%1+2%,XG；,3,貝Ijg'(x)=(x+l)e"+2>0,

所以函數(shù)g(x)=xe'+2x在g,3上單調(diào)遞增,

所以xe*+2x<ln(ax)eM5)+21n(av)在xe；,3上恒成立,

可以轉(zhuǎn)化為8(》)<8(111(3))在苫€；,3上恒成立,

即尤<ln(ax)對(duì)；,3恒成立,

QX13

即對(duì)V犬￡-3恒成立，即〃〉XGI5

x

設(shè)/z(x)=j,g,3,則/⑴二。1)6,

令〃(x)<0,即令〃(x)>0,即l<x<3,

所以函數(shù)Mx)在上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，

3e2-<_3A26(j_\2

又打⑶*，碎)=丁=2e2,又=》=4e,顯然e5>36,

3￡3

所以?>2”，所以〃(尤)舸=?，

所以a>],即實(shí)數(shù)a的取值范圍為

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是觀察原不等式的特點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為g(x)<g(ln(辦))在xe1,3

上恒成立，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.

2.(2025?陜西渭南?一模)已知a>0,函數(shù)/(x)=e*-(。-l)x-lna.

⑴討論/(x)的單調(diào)性：

⑵若/(x)2Inx恒成立.求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

⑵(0,e].

【詳解】(1)〃x)的定義域?yàn)镽J'(x)=e，-(a-1),

當(dāng)0<aWl時(shí)，/'(x)>0恒成立，則〃尤)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時(shí)，令/'(力>0,解得x>ln(a-l)；令尸(力<0,解得x<ln(a-l)；

所以〃尤)在伽+8)上單調(diào)遞增，在(-雙In(a-1))上單調(diào)遞減；

綜上所述，當(dāng)0<。41時(shí)，在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時(shí)，在上單調(diào)遞減，在(ln(a-l),+。)上單調(diào)遞增.

(2)由〃x)21nx在(0,+8)上恒成立，

可得lax+Ina+(zx4e*+x在(。,+°0)上恒成立，

即建⑹+In(ax)Ve*+x在(0,+功上恒成立，

令g(x)=e"+x,因?yàn)閥=e*,y=x在R上均單調(diào)遞增，則g(無(wú))在R上單調(diào)遞增；

由eln(ax)+ln(ax)<e，+x在(0,+e)上恒成立，可得g(ln(ax))<g(x)恒成立，

則In(依)4x在(0,+oo)上恒成立，即InoVx-lnx在(0,+oo)上恒成立，

1r_1

令=無(wú)一1nx,(%>°),則〃'(％)=i——=—,

XX

所以當(dāng)0<1<1時(shí)"(%)<。，當(dāng)x〉l時(shí)/z'(x)>0,

則h{x}在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+”)上單調(diào)遞增；

故/?(4,=砍1)=1，

則ln?<l,解得0<a<e,

故。的取值范圍為(0,e].

3.(2025?江西?一模)已知a>0,若不等式「nahu恒成立，則。的取值范圍為()

A.B.(0,e]C.(0,2e]D.(0,e2]

【答案】B

【詳解】因?yàn)閤>0,a>0,所以』zalnx等價(jià)于5/2日!1乩

XX

若0<%41,則2e">0,xlnx<0,顯然2e。2xlnx恒成立.

aa

若x〉l,令〃x)=xlnx,則/'(%)=l+lnx>l>。在(1,+8)上恒成立,則〃工)在(1,+“)上單調(diào)遞增，

由土eLlnx,得了國(guó)力⑺，則￡卡則，4在(1,+8)上恒成立.

令g(尤)=￥，X>1,則g,x)=l當(dāng)xe(Le)時(shí)，g,(x)>0,g(x)在(l,e)單調(diào)遞增,當(dāng)xe(e,+e)時(shí),

g，(x)<0,g(x)在(e,+e)單調(diào)遞減,

則g(尤)1mx=g(e)=L從而工zL解得0<aVe.綜上所述，〃的取值范圍為(0,e]

ecie

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式同構(gòu)變形：若不等式尸(無(wú))2。能變形為""(x)]2Mg(x)],而〃(x)是單調(diào)的如遞

增，則轉(zhuǎn)化為f(x"g(x),經(jīng)常用到的如對(duì)數(shù)與指數(shù)間的互化：xe，=e-3，，Ja%=e-,X4=eln^,

xe

x

e

x+lnx=]nxex,x—Inx=In一等等.

x

4.(2019?四川涼山?一模)若。<玉<馬<。者B有一再1皿2<七一々成立，則〃的最大值為()

A.yB.1C.eD.2e

【答案】B

,_i,lax,Inx,11lax,+1lnx+1

【詳角年】根據(jù)題思，右。<石<%2<〃，則叫一石1噸<為一%2=---------v------0------v----9---.

為x2x2X]玉x2

設(shè)〃x)=7(x>°).

所以可得〃"=上InY旨4-](%>0)在(0,0),函數(shù)〃X)為增函數(shù).

對(duì)于〃到=也±1,其導(dǎo)數(shù)廣⑺」一嗎+D=一當(dāng).

XX-X

若/(力>0,解得O<X<1,即函數(shù)”句=也?的遞增區(qū)間為(0,1)；

若0<百<尤2<。都有馬1叫-為1蛆<玉-工2成立，即在(0,a),函數(shù)“X)為增函數(shù)，則。的最大值為L(zhǎng)

故選：B.

5.(202425高三上?江西?階段練習(xí))已知函數(shù)/("=祀*-尤.

⑴討論“X)的單調(diào)性；

p-x1

(2)若〃>0,X/X￡(0,+8)"(%)>------，求〃的取值范圍.

ax

【答案】(1)答案見解析

⑵["]

【詳解】(1)f(x)=aex-l,

當(dāng)“VO時(shí)，/'(x)<0J(x)在R上是減函數(shù).

當(dāng)〃>0時(shí)，y=1(%)是增函數(shù).令/'(1)=。，解得x=-Ina.

當(dāng)x￡(-8,一ln〃)時(shí),/'(%)<0；

當(dāng)無(wú)￡(-Ina,+8)"'(%)>0

所以F(%)在(-8，-1n。)上單調(diào)遞減,在(-lna,+。)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，〃X)在R上是減函數(shù)；

當(dāng)a>0時(shí)，在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減，在(-Ina,+功上單調(diào)遞增.

L1e~x1

(2)f(x\>--------，即ae"----->x——.

axax

令函數(shù)g(x)=x-L則g(aeX)=ae*-J,所以g(ae*)>g(x),

xa

因?yàn)椋?同=1+：>0,9(可在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以ae，>x,即"j

e

令函數(shù)/?(x)=j(x>0),則〃(力=[^.

當(dāng)％￡(0,1)時(shí)，"(X)>0；當(dāng)X￡(1,+e),“(X)V0.

所以網(wǎng)可在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,+”)上單調(diào)遞減,

所以Mx)最大值="X)極大值="1)=：，a>“X)最大值=：?

故°的取值范圍為[L+e]

題型4分離參數(shù)法解能成立問題

i匕

I10003

王G￡>,使得a>/(X)能成立<=>?>/(x)mm；

e￡>,使得a<f(x)能成立=a</(%)max.

1_e

1.(2025?陜西?一模)已知4工0,函數(shù)〃力=(依+l)ln(依+1)在關(guān)=丁處取得極值.

⑴求a；

⑵證明：對(duì)任意的相，ne(0,+oo),都有〃〃2+”)>〃加)+/⑺；

(3)若存在實(shí)數(shù)x>0,使得("2)x-l>〃x)成立，求左的最小整數(shù)值.

【答案】(1)。=1

(2)證明見解析

(3)5.

【詳解】(1)f'(x)=?ln(at+l)+(ax+l)—幺工=aln(ax+l)+a,

1_p

因?yàn)?(X)在X處取得極值,

e

所以/'l-1=aln^a--^―j+1+?=0,所以---+1,

解得a=l.

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)a=l時(shí)，F(xiàn)(x)在x=4處取得極小值，符合題意，

e

故a=1.

(2)對(duì)任意的m,〃?0,+8),設(shè)0(x)=/(x+〃)_/(x),貝W(x)=r(x+〃)一尸(x),

由⑴知/(x)=ln(x+l)+l,則尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xw(0,+e)時(shí)，/(%+?)>/(%),即夕'(尤)>0,所以°(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)橄?gt;0,所以0(加)>0(〃),即〃/+〃)—/(?/)>/(〃)一f(O)=f(〃),

故/+〃)>/(租)+/㈤.

（3）存在實(shí)數(shù)x>0,使得（左一2卜一1>〃同成立，即人>（x+l，n（x+l）+2x+l成立.

g（x）=>0,

令（x+l）ln（「）+2x+l,尤則⑺=,x>0,

令h（x）-x-l-ln（x+l）,貝lj=-^―>0在（0,+oo）上恒成立，

故/z（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

X/z（2）=l-ln3<0,為⑶=2-ln4>0,

故存在唯一的與e（2,3）,使得/?小）=0,即毛一1=1115+1）.

當(dāng)O<x<Xo時(shí)，/?（x）<0,即g'（x）<0,當(dāng)時(shí)，/z（x）>0,HPg（x）>0,

所以g（x）在（0,%）上單調(diào)遞減，在（?+力）上單調(diào)遞增，

故且（4"=g"（"。+1加5+1）+2。+1="）&-1）+2-1=%+2,

玉）玉）

故左>$+2,結(jié)合/e（2,3）,得飛+2e（4,5）,

故火的最小整數(shù)值為5.

2.（2024?25高三上?貴州?階段練習(xí)）函數(shù)〃x）=ln（2x+l）—4sinx.

⑴求在點(diǎn)（0,〃。））處的切線方程；

TT

⑵若存在xe0,-,使得/（尤空。成立，求。的取值范圍.

【答案】⑴，=-2彳

⑵S，。]

【詳解】（1）因?yàn)?（x）=ln（2x+l）—4sinx,

所以尸（x）=77^7-4cos[x>-4],

2x+lI2J

則（（o）=-2,又y（o）=o,

所以/（x）在（o,7（o））處的切線方程為y=-2萬(wàn)；

2「兀

（2）因?yàn)椤?-4cosx,XG0,—,

2%+12

2714

令g(%)=/'(%)=^^J-4co