專題7.4一元一次不等式（組）的應(yīng)用【十大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1工程問題】 1【題型2銷售利潤問題】 5【題型3運(yùn)輸問題】 10【題型4水費(fèi)電費(fèi)問題】 15【題型5行程問題】 19【題型6得分問題】 23【題型7古文問題】 26【題型8數(shù)字問題】 31【題型9幾何問題】 35【題型10方案問題】 41知識點(diǎn)：一元一次不等式（組）的應(yīng)用（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關(guān)鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式（組）；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗(yàn)是否符合題意，寫出答案.【易錯點(diǎn)剖析】列一元一次不等式解應(yīng)用題時，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關(guān)鍵.【題型1工程問題】【例1】（23-24七年級·全國·期末）在實(shí)施“城鄉(xiāng)危舊房改造工程”中，某區(qū)計(jì)劃推出A，B兩種新戶型．根據(jù)預(yù)算，建成10套A戶型和30套B戶型共需資金480萬元，建成30套A戶型和10套B戶型共需資金400萬元．(1)在實(shí)施“城鄉(xiāng)危舊房改造工程”中，建成一套A戶型和一套B戶型所需資金分別為多少元？(2)該區(qū)共800套房屋需要改造，改造資金由國家危舊房補(bǔ)貼和地方財(cái)政共同承擔(dān)．若國家補(bǔ)貼撥付的改造資金不少于2100萬，該區(qū)財(cái)政投入額資金不超過7700萬元，其中，國家財(cái)政投入A，B兩種戶型的改造資金分別為每套2萬元和3萬元．請你通過計(jì)算，表示出A種戶型可以建造的數(shù)量的范圍．【答案】(1)建成一套A種戶型住房所需的資金是9萬元，一套B種戶型住房所需的資金是13萬元；(2)A種戶型至少可以建100套，最多可以建300套．【分析】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用、一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)建成一套A種戶型住房所需的資金是a元，一套B種戶型住房所需的資金是b元，列出方程組即可解決問題．（2）設(shè)A種戶型有x套，則B種戶型有800?x套．列出不等式組即可解決問題．【詳解】（1）解：設(shè)建成一套A種戶型住房所需的資金是a萬元，一套B種戶型住房所需的資金是b萬元，根據(jù)題意得：10a+30b=48030a+10b=400解得：a=9b=13答：建成一套A種戶型住房所需的資金是9萬元，一套B種戶型住房所需的資金是13萬元；（2）解：①設(shè)A種戶型可以建x套，則B種戶型可以建800?x套，根據(jù)題意得：2x+3800?x解得：100≤x≤300，答：A種戶型至少可以建100套，最多可以建300套．【變式1-1】（2024七年級·河南·學(xué)業(yè)考試）為實(shí)現(xiàn)“鄉(xiāng)村振興”的戰(zhàn)略目標(biāo)，幸福鄉(xiāng)實(shí)施了“村村亮化”工程．計(jì)劃投入40萬元分三批次購買甲、乙兩種型號的路燈（每種型號的路燈單價不變）安裝在村公路兩旁．第一批次購買甲型路燈300盞、乙型路燈400盞，共花資金150000元；第二批次購買甲型路燈400盞，乙型路燈300盞，共花資金144000元．(1)求甲、乙兩種型號路燈的單價分別是多少元；(2)由于工程的需要，第三批次購買的甲型路燈不能少于350盞，那么第三批次最多能購進(jìn)乙型路燈多少盞？【答案】(1)甲型路燈的單價是180元，乙型路燈的單價是240元；(2)第三批次最多能購進(jìn)乙型路燈179盞．【分析】（1）設(shè)甲型路燈的單價是x元，乙型路燈的單價是y元，依題意列出方程組求解即可；（2）設(shè)第三批次最多能購進(jìn)乙型路燈m盞，依題意列出不等式求解即可．本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)甲型路燈的單價是x元，乙型路燈的單價是y元，依題意得：300x+400y=150000400x+300y=144000解得：x=180y=240答：甲型路燈的單價是180元，乙型路燈的單價是240元；（2）解：第三批次的資金為：400000?150000?144000=106000（元），設(shè)第三批次最多能購進(jìn)乙型路燈m盞，則106000?240m180解得：m≤1791答：第三批次最多能購進(jìn)乙型路燈179盞．【變式1-2】（23-24七年級·安徽合肥·期中）為了保護(hù)環(huán)境，某化工廠一期工程完成后購買了3臺甲型和2臺乙型污水處理設(shè)備，共花費(fèi)資金54萬元，且每臺乙型設(shè)備的價格是每臺甲型設(shè)備價格的75%．（1）請你計(jì)算每臺甲型設(shè)備和每臺乙型設(shè)備的價格各是多少元？（2）今年該廠二期工程即將完成，產(chǎn)生的污水將大大增加，于是該廠決定再購買甲、乙兩種型號設(shè)備共8臺用于二期工程的污水處理，預(yù)算本次購買資金不超過84萬元；實(shí)際運(yùn)行中發(fā)現(xiàn)，每臺甲型設(shè)備每月能處理污水200噸，每臺乙型設(shè)備每月能處理污水160噸，預(yù)計(jì)二期工程完成后每月將產(chǎn)生不少于1300噸污水，請你求出用于二期工程的污水處理設(shè)備的所有購買方案．（3）經(jīng)測算：每年用于每臺甲型設(shè)備的各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)為1萬元，每年用于每臺乙型設(shè)備的各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)為1．5萬元．在（2）中的方案中，哪種購買方案使得設(shè)備的各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)總費(fèi)用最低？【答案】（1）每臺甲型設(shè)備的價格為12萬元，每臺乙型設(shè)備的價格為9萬元；（2）共有4種購買方案．方案1：購買1臺甲型設(shè)備、7臺乙型設(shè)備；方案2：購買2臺甲型設(shè)備、6臺乙型設(shè)備；方案3：購買3臺甲型設(shè)備、5臺乙型設(shè)備；方案4：購買4臺甲型設(shè)備、4臺乙型設(shè)備；（3）購買4臺甲型設(shè)備、4臺乙型設(shè)備時，各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為10（萬元）．【分析】（1）設(shè)每臺甲型設(shè)備的價格為x萬元，則每臺乙型設(shè)備的價格為75%x萬元，根據(jù)購買3臺甲型和2臺乙型污水處理設(shè)備共花費(fèi)資金54萬元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買m臺甲型設(shè)備，則購買（8-m）臺乙型設(shè)備，根據(jù)總價=單價×數(shù)量結(jié)合處理污水的總量=200×購買甲型設(shè)備的臺數(shù)+160×購買乙型設(shè)備的臺數(shù)，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結(jié)合m為整數(shù)，即可得出各購買方案；（3）由1＜1．5可得出方案4使得設(shè)備的各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)總費(fèi)用最低．【詳解】解：（1）設(shè)每臺甲型設(shè)備的價格為x萬元，則每臺乙型設(shè)備的價格為75%x萬元，依題意，得：3x+2×75%x=54，解得：x=12，∴75%x=9．答：每臺甲型設(shè)備的價格為12萬元，每臺乙型設(shè)備的價格為9萬元．（2）設(shè)購買m臺甲型設(shè)備，則購買（8-m）臺乙型設(shè)備，依題意，得：{12解得：12∵m為整數(shù)，∴m=1，2，3，4．∴共有4種購買方案．方案1：購買1臺甲型設(shè)備、7臺乙型設(shè)備；方案2：購買2臺甲型設(shè)備、6臺乙型設(shè)備；方案3：購買3臺甲型設(shè)備、5臺乙型設(shè)備；方案4：購買4臺甲型設(shè)備、4臺乙型設(shè)備．（3）∵1＜1．5，∴購買甲型設(shè)備越多，各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)總費(fèi)用越低，∴購買4臺甲型設(shè)備、4臺乙型設(shè)備時，各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為1×4+1．5×4=10（萬元）．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據(jù)甲、乙兩種設(shè)備每年每臺的各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)之間的關(guān)系，找出使得設(shè)備的各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)總費(fèi)用最低的購買方案．【變式1-3】（2024春·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期末）2022年9月28日上午，伴隨著盾構(gòu)機(jī)隆隆轟鳴聲，南寧市軌道交通4號線“五象火車站一清平坡站”區(qū)間盾構(gòu)順利始發(fā)，標(biāo)志著4號線續(xù)建工程正式進(jìn)入?yún)^(qū)間據(jù)進(jìn)施工階段，待此次工程建設(shè)完工后，將實(shí)現(xiàn)4號線全線貫通運(yùn)營，目前，地鐵4號線續(xù)建工程正在有序進(jìn)行施工，工地現(xiàn)有大量的泥土需要運(yùn)輸，某車隊(duì)有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛滿載運(yùn)輸一次可以運(yùn)輸110噸泥土．(1)求該車隊(duì)有載重量8噸、10噸的卡車各多少輛？(2)隨著工程的進(jìn)展，該車隊(duì)需要一次運(yùn)輸泥土不低于163噸，為了完成任務(wù)，該車隊(duì)準(zhǔn)備再購進(jìn)這兩種卡車共6輛，則最多購進(jìn)載重量為8噸的卡車多少輛？【答案】(1)該車隊(duì)有載重量為8噸的卡車5輛，載重量為10噸的卡車7輛；(2)3輛．【分析】（1）設(shè)該車隊(duì)有載重量為8噸的卡車x輛，載重量為10噸的卡車y輛，根據(jù)“該車隊(duì)有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛滿載運(yùn)輸一次可以運(yùn)輸110噸泥土”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)再次購進(jìn)載重量為8噸的卡車m輛，則再次購進(jìn)載重量為10噸的卡車6?m輛，根據(jù)該車隊(duì)需要一次運(yùn)輸泥土不低于163噸，可列出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)該車隊(duì)有載重量為8噸的卡車x輛，載重量為10噸的卡車y輛，根據(jù)題意得：x+y=128x+10y=110解得：x=5y=7答：該車隊(duì)有載重量為8噸的卡車5輛，載重量為10噸的卡車7輛；（2）解：設(shè)再次購進(jìn)載重量為8噸的卡車m輛，則再次購進(jìn)載重量為10噸的卡車6?m輛，根據(jù)題意得：110+8m+10(6?m)≥163，解得：m≤7又∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為3．答：最多購進(jìn)載重量為8噸的卡車3輛．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【題型2銷售利潤問題】【例2】（23-24七年級·甘肅定西·期末）某電器商場銷售每臺的進(jìn)價分別為2599元、7300元的A，B兩種型號的空調(diào)，下表是近兩周的銷售情況：銷售時段銷售數(shù)量/臺銷售收入/元A種型號B種型號第一周4336296第二周5555495（進(jìn)價、售價均保持不變，利潤=銷售收入?進(jìn)貨成本）(1)求A，B兩種型號的空調(diào)的銷售單價．(2)若該電器商場準(zhǔn)備用不多于151182元的金額再采購這兩種型號的空調(diào)共30臺，則B種型號的空調(diào)最多能采購多少臺？(3)在（2）的條件下，該電器商場銷售完這30臺空調(diào)能否實(shí)現(xiàn)利潤超過16000元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由．【答案】(1)A、B兩種型號的空調(diào)的銷售單價分別為2999元和8100元；(2)B種型號的空調(diào)最多能采購16臺；(3)能實(shí)現(xiàn)利潤超過16000元的目標(biāo)，方案如下：方案一：購買A種型號的空調(diào)15臺，購買B種型號的空調(diào)15臺；方案二：購買A種型號的空調(diào)16臺，購買B種型號的空調(diào)14臺；方案三：購買A種型號的空調(diào)17臺，購買B種型號的空調(diào)13臺；方案四：購買A種型號的空調(diào)18臺，購買B種型號的空調(diào)12臺．【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式，一元一次不等式組的應(yīng)用的方案問題．解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解．（1）設(shè)A、B兩種型號空調(diào)的銷售單價分別為x元、y元，列二元一次方程組，解方程組即可得到答案；（2）設(shè)購買A種型號的空調(diào)a臺，則購買B種型號的空調(diào)30?a臺，根據(jù)題意列不等式可得答案；（3）根據(jù)題意列不等式2999?2599a+8100?730030?a>16000，結(jié)合（2）問，得到【詳解】（1）設(shè)A、B兩種型號的空調(diào)的銷售單價分別為x元、y元．根據(jù)題意有：4x+3y=362965x+5y=55495解得：x=2999y=8100答：A、B兩種型號的空調(diào)的銷售單價分別為2999元和8100元；（2）設(shè)購買A種型號的空調(diào)a臺，則購買B種型號的空調(diào)30?a臺，根據(jù)題意有：2599a+730030?a解得：a≥14626∵a為整數(shù)，∴a的最小值為14，∴30?a的最大值為16∴B種型號的空調(diào)最多能采購16臺；（3）根據(jù)題意有2999?2599a+解得：a<20．∵a≥14626∴a=15，16，17，18，19，∴能實(shí)現(xiàn)利潤超過16000元的目標(biāo)，且方案如下：方案一：購買A種型號的空調(diào)15臺，購買B種型號的空調(diào)15臺；方案二：購買A種型號的空調(diào)16臺，購買B種型號的空調(diào)14臺；方案三：購買A種型號的空調(diào)17臺，購買B種型號的空調(diào)13臺；方案四：購買A種型號的空調(diào)18臺，購買B種型號的空調(diào)12臺．【變式2-1】（23-24七年級·重慶·期末）小語種文化節(jié)展示周，校學(xué)生會設(shè)計(jì)并制作了一定數(shù)量的特色文化書簽、特色中性筆，在恩來廣場舉行義賣活動，將獲得的所有利潤全部捐獻(xiàn)給家庭困難的老人．已知每個特色文化書簽、每支特色中性筆的成本分別為1元、1.5元，每個特色文化書簽比每支特色中性筆售價少1元，并且，當(dāng)賣出特色文化書簽20個和特色中性筆30支時，獲得總利潤90元．(1)求每個特色文化書簽、每支特色中性筆的售價分別為多少元？(2)校學(xué)生會同學(xué)制作的特色文化書簽、特色中性筆的數(shù)量之和為900，并且投入的總成本不超過1200元，獲得的總利潤不少于1648元，請你通過計(jì)算說明共有哪幾種制作方案？(3)義賣剛開始的半個小時，學(xué)生會的同學(xué)們發(fā)現(xiàn)他們已經(jīng)獲得了150元的利潤，但由于銷售量較多，同學(xué)們只記得售出特色文化書簽的數(shù)量a個滿足40≤a≤50，則a的值可能為多少？說明理由．【答案】(1)每個特色文化書簽的售價是2.5元，每支特色中性筆的售價是3.5元；(2)見詳解；(3)a=42或45或48；【分析】（1）本題考查一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)特色中性筆售價為x元，則特色文化書簽的售價為(x?1)元，根據(jù)利潤列方程求解即可得到答案；（2）本題考查不等式組擇優(yōu)方案的運(yùn)用，設(shè)特色中性筆的數(shù)量為b，則特色書簽的數(shù)量為(900?b)，根據(jù)總金額及利潤列不等式組求解即可得到答案；（3）本題考查不等式整數(shù)解問題，根據(jù)利潤求出特色筆的數(shù)量是正整數(shù)即可得到答案；【詳解】（1）解：設(shè)特色中性筆售價為x元，則特色文化書簽的售價為(x?1)元，由題意可得，20(x?1?1)+30(x?1.5)=90，解得：x=3.5，x?1=3.5?1=2.5，答：每個特色文化書簽的售價是2.5元，每支特色中性筆的售價是3.5元；（2）解：設(shè)特色中性筆的數(shù)量為b支，則特色書簽的數(shù)量為(900?b)個，由題意可得，900?b+1.5b≤12001.5(900?b)+2b≥1648解得：596≤b≤600，∴方案為：①

購買特色中性筆596支，特色書簽304個；②

購買特色中性筆597支，特色書簽303個；③

購買特色中性筆598支，特色書簽302個；④

購買特色中性筆599支，特色書簽301個；⑤

購買特色中性筆600支，特色書簽300個；（3）解：a=42或45或48，理由如下，由題意可得，特色書簽的數(shù)量為：150?2a1.5∵40≤a≤50，且100?4∴a是3的倍數(shù)，∴a=42或45或48．【變式2-2】（2024春·福建漳州·七年級?？计谥校轫憫?yīng)陽光體育運(yùn)動的號召，學(xué)校決定從體育用品商店購買一批籃球和足球，按標(biāo)價若購買2個籃球和3個足球需600元，若購買3個籃球和1個足球需550元．(1)求籃球、足球每個分別是多少元？(2)由于購買數(shù)量較多，商店決定給予一定的優(yōu)惠，籃球每個優(yōu)惠20%，足球每個優(yōu)惠10【答案】(1)籃球、足球每個分別是150元，100元(2)購買籃球至多是30個【分析】（1）設(shè)籃球、足球每個分別是x元，y元，根據(jù)購買2個籃球和3個足球需600元，若購買3個籃球和1個足球需550元列出方程組求解即可；（2）設(shè)購買籃球m個，則購買足球40?m個，根據(jù)購買費(fèi)用不超過4500元列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)籃球、足球每個分別是x元，y元，由題意得，2x+3y=6003x+y=550解得x=150y=100∴籃球、足球每個分別是150元，100元；（2）解：設(shè)購買籃球m個，則購買足球40?m個，由題意得，150×1?20解得m≤30，∴m的最大值為30，∴購買籃球至多是30個．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程組和不等式是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24七年級·湖北武漢·期末）用1塊A型鋼板可恰好制成2塊C型鋼板和1塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可恰好制成1塊C型鋼板和3塊D型鋼板．(1)若需14塊C型鋼板和12塊D型鋼板，則恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？(2)現(xiàn)準(zhǔn)備購買A、B型鋼板共50塊，并全部加工成C、D型鋼板，要求C型鋼板不超過86塊，D型鋼板不超過90塊，求A、B型鋼板的購買方案共有多少種？(3)在（2）的條件下，若出售C型鋼板每塊利潤為100元，D型鋼板每塊利潤為120元，則全部售出C、D型鋼板可獲得的最大利潤為_______元．【答案】(1)6塊；2塊(2)7種(3)18800【分析】本題考查了二元一次方程組及一元一次不等式組的應(yīng)用，找到相等關(guān)系或不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）先設(shè)設(shè)恰好用A型鋼板x塊，B型鋼板y塊，再根據(jù)“需14塊C型鋼板和12塊D型鋼板”列方程組求解；（2）根據(jù)“C型鋼板不超過86塊，D型鋼板不超過90塊”列不等式組求解；（3）由（2）的結(jié)論，分別求出各方案的利潤，再比較大小得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)恰好用A型鋼板x塊，B型鋼板y塊，則：2x+y=14x+3y=12解得：x=6y=2答：恰好用A型鋼板6快，B型鋼板2塊；（2）解：設(shè)購買A型鋼板a塊，購買B型鋼板50?a塊，則：2a+50?a解得：30≤a≤36，∴a的整數(shù)解有：30，31，32，33，34，35，36共7個，∴共有7種購買方案；（3）解：當(dāng)a=30時，利潤為：80×100+90×120=18800（元），當(dāng)a=31時，利潤為：81×100+88×120=18660（元），當(dāng)a=32時，利潤為：82×100+86×120=18520（元），當(dāng)a=33時，利潤為：83×100+84×120=18380（元），當(dāng)a=34時，利潤為：84×100+82×120=18240（元），當(dāng)a=35時，利潤為：85×100+80×120=18100（元），當(dāng)a=36時，利潤為：86×100+78×120=17960（元），∵18800>18660>17520>18380>17240>17100>17960，∴全部售出C、D型鋼板可獲得的最大利潤為18800元，故答案為：18800．【題型3運(yùn)輸問題】【例3】（23-24七年級·湖南湘西·期末）中國第一條具有自主知識產(chǎn)權(quán)的長沙磁浮線連接了長沙火車南站和黃花國際機(jī)場兩大交通樞紐，沿線生態(tài)綠化帶走廊的建設(shè)尚在進(jìn)行中，屆時將給乘客帶來美的享受．星城渣土運(yùn)輸公司承包了某標(biāo)段的土方運(yùn)輸任務(wù)﹐擬派出大、小兩種型號的渣土運(yùn)輸車運(yùn)輸土方，已知2輛大型渣土運(yùn)輸車與3輛小型渣土運(yùn)輸車一次共運(yùn)輸土方31噸，4輛大型渣土運(yùn)輸車與5輛小型渣土運(yùn)輸車一次共運(yùn)輸土方57噸．(1)一輛大型渣土運(yùn)輸車和一輛小型渣土運(yùn)輸車一次各運(yùn)輸土方多少噸？(2)該渣土運(yùn)輸公司決定派出大，小兩種型號的渣土運(yùn)輸車共10輛參與運(yùn)輸土方，每輛大型渣土車一次需費(fèi)用200元，每輛小型渣土車一次需費(fèi)用180元．若運(yùn)輸土方總量不少于65噸，且總費(fèi)用小于1960元．你作為渣土運(yùn)輸公司的經(jīng)理，列出所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少？【答案】(1)一輛大型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸8噸，一輛小型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸5噸(2)第一種方案：大型運(yùn)輸車5輛，小型運(yùn)輸車5輛；第二種方案：大型運(yùn)輸車6輛，小型運(yùn)輸車4輛；第三種方案：大型運(yùn)輸車7輛，小型運(yùn)輸車3輛．大型運(yùn)輸車5輛，小型運(yùn)輸車5輛所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是1900元．【分析】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．（1）設(shè)一輛大型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸x噸，一輛小型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸y噸，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設(shè)該渣土運(yùn)輸公司決定派出大型渣土運(yùn)輸車分別為m輛，則小型渣土運(yùn)輸車10?m輛，根據(jù)題意可以列出不等式組，從而可以求得有幾種方案，然后求出各方案的費(fèi)用即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)一輛大型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸x噸，一輛小型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸y噸，則2x+3y=314x+5y=57解得x=8y=5即一輛大型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸8噸，一輛小型渣土運(yùn)輸車一次運(yùn)輸5噸；（2）設(shè)該渣土運(yùn)輸公司決定派出大型渣土運(yùn)輸車分別為m輛，則小型渣土運(yùn)輸車（10?m）輛，由題意可得，8m+5解得：5≤x<8故有三種派車方案，第一種方案：大型運(yùn)輸車5輛，小型運(yùn)輸車5輛；第二種方案：大型運(yùn)輸車6輛，小型運(yùn)輸車4輛；第三種方案：大型運(yùn)輸車7輛，小型運(yùn)輸車3輛．5×200+5×180=1900元；6×200+4×180=1920元；7×200+3×180=1940元；∵1900<1920<1940∴大型運(yùn)輸車5輛，小型運(yùn)輸車5輛所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是1900元．【變式3-1】（23-24七年級·黑龍江雞西·期末）在今年的新冠疫情期間，政府緊急組織一批物資送往武漢．現(xiàn)已知這批物資中，食品和礦泉水共410箱，且食品比礦泉水多110箱．(1)求食品和礦泉水各有多少箱？(2)現(xiàn)計(jì)劃租用A、B兩種貨車共10輛，一次性將所有物資送到群眾手中，已知A種貨車最多可裝食品40箱和礦泉水10箱，B種貨車最多可裝食品20箱和礦泉水20箱，試通過計(jì)算幫助政府設(shè)計(jì)幾種運(yùn)輸方案？(3)在（2）條件下，A種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)600元，B種貨車每輛需付運(yùn)費(fèi)450元，政府應(yīng)該選擇哪種方案，才能使運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少？【答案】(1)食品有260箱，礦泉水有150箱(2)共有3種運(yùn)輸方案，方案1：租用A種貨車3輛，B種貨車7輛；方案2：租用A種貨車4輛，B種貨車6輛；方案3：租用A種貨車5輛，B種貨車5輛(3)政府應(yīng)該選擇方案1，才能使運(yùn)費(fèi)最少，所需運(yùn)費(fèi)為4950元【分析】（1）設(shè)食品有x箱，礦泉水有y箱，依題意，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)租用A種貨車m輛，則租用B種貨車10?m輛，依題意，建立不等式組，結(jié)合m為正整數(shù)，確定整數(shù)解，整數(shù)解的個數(shù)就是方案數(shù)．（3）計(jì)算各種方案的費(fèi)用，比較大小后決策即可．本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）利用總運(yùn)費(fèi)＝每輛車的運(yùn)費(fèi)×租車輛數(shù)，分別求出三個運(yùn)輸方案所需總運(yùn)費(fèi)．【詳解】（1）設(shè)食品有x箱，礦泉水有y箱，依題意，得：x+y=410x?y=110解得：x=260y=150答：食品有260箱，礦泉水有150箱．（2）解：設(shè)租用A種貨車m輛，則租用B種貨車10?m輛，依題意，得：40m+2010?m解得：3≤m≤5，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為3，4，5，∴共有3種運(yùn)輸方案，方案1：租用A種貨車3輛，B種貨車7輛；方案2：租用A種貨車4輛，B種貨車6輛；方案3：租用A種貨車5輛，B種貨車5輛．（3）解：根據(jù)題意，得選擇方案1所需運(yùn)費(fèi)為600×3+450×7=4950（元），選擇方案2所需運(yùn)費(fèi)為600×4+450×6=5100（元），選擇方案3所需運(yùn)費(fèi)為600×5+450×5=5250元）．∵4950<∴政府應(yīng)該選擇方案1，才能使運(yùn)費(fèi)最少．【變式3-2】（2024·四川攀枝花·二模）為響應(yīng)習(xí)總書記“扶貧先扶志，扶貧必扶智”的號召，攀枝花市教體局向木里縣中小學(xué)捐贈一批書籍和實(shí)驗(yàn)器材共360套，其中書籍比實(shí)驗(yàn)器材多120套(1)求書籍和實(shí)驗(yàn)器材各有多少套？(2)現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種型號的貨車共8輛，一次性將這批書籍和實(shí)驗(yàn)器材運(yùn)往該縣，已知每輛甲種貨車最多可裝書籍40套和實(shí)驗(yàn)器材10套，每輛乙種貨車最多可裝書籍30套和實(shí)驗(yàn)器材20套，運(yùn)輸部門安排甲、乙兩種型號的貨車時，有幾種方案？請你幫助設(shè)計(jì)出來【答案】(1)書籍和實(shí)驗(yàn)器材各有240套，120套；(2)有5種方案：①運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車0輛，乙種型號的貨車8輛；②運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車1輛，乙種型號的貨車7輛；③運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車2輛，乙種型號的貨車6輛；③運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車3輛，乙種型號的貨車5輛；③運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車4輛，乙種型號的貨車4輛．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，正確建立方程組和不等式組是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)書籍有x套，實(shí)驗(yàn)器材有y套，根據(jù)書籍和實(shí)驗(yàn)器材共360套，其中書籍比實(shí)驗(yàn)器材多120套建立方程組，解方程組即可得；（2）設(shè)運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車m輛，乙種型號的貨車8?m輛，根據(jù)兩種型號的貨車運(yùn)輸量建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】（1）解：設(shè)書籍和實(shí)驗(yàn)器材各有x套，y套，由題意得，x+y=360x?y=120解得x=240y=120答：書籍和實(shí)驗(yàn)器材各有240套，120套；（2）解：設(shè)運(yùn)輸部門安排甲種型號貨車m輛，則運(yùn)輸部門安排乙種型號貨車8?m輛，由題意得，40m+308?m解得0≤m≤4，∴有5種方案：①運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車0輛，乙種型號的貨車8輛；②運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車1輛，乙種型號的貨車7輛；③運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車2輛，乙種型號的貨車6輛；③運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車3輛，乙種型號的貨車5輛；③運(yùn)輸部門安排甲種型號的貨車4輛，乙種型號的貨車4輛．【變式3-3】（23-24七年級·重慶·期末）為了支持一次大型活動，某物流公司需要運(yùn)輸一批展覽材料．根據(jù)調(diào)查得知，3輛重型卡車與2輛輕型卡車可以一次共同運(yùn)輸800箱：7輛重型卡車與4輛輕型卡車可以一次共同運(yùn)輸1800箱．(1)求1輛重型卡車和1輛輕型卡車分別能夠單獨(dú)運(yùn)輸多少箱展覽材料？(2)計(jì)劃用兩種類型的貨車總共15輛來完成這批物資的運(yùn)輸任務(wù)，每趟每輛重型貨車的費(fèi)用為6000元，每趟每輛輕型貨車的費(fèi)用為4000元．如果要求至少使用7臺重型貨車，并且總費(fèi)用不超過78000元，請列出所有可能的配送方案，并指出哪種方案最經(jīng)濟(jì)實(shí)惠以及所需最低費(fèi)用是多少？【答案】(1)1輛重型卡車能夠單獨(dú)運(yùn)輸200箱展覽材料，1輛輕型卡車能夠單獨(dú)運(yùn)輸100箱展覽材料；(2)方案1：使用7輛重型貨車，8臺輕型貨車；方案2：使用8輛重型貨車，7臺輕型貨車；方案3：使用9輛重型貨車，6臺輕型貨車；使用7輛重型貨車，8臺輕型貨車最經(jīng)濟(jì)實(shí)惠，所需最低費(fèi)用是74000元．【分析】（1）設(shè)1輛重型卡車能夠單獨(dú)運(yùn)輸x箱展覽材料，1輛輕型卡車能夠單獨(dú)運(yùn)輸y箱展覽材料，根據(jù)題意可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)使用m臺重型貨車，則使用15?m臺輕型貨車，根據(jù)題意列出不等式組即可求解；本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組和一元一次不等式組．【詳解】（1）設(shè)1輛重型卡車能夠單獨(dú)運(yùn)輸x箱展覽材料，1輛輕型卡車能夠單獨(dú)運(yùn)輸y箱展覽材料，根據(jù)題意得：3x+2y=8007x+4y=1800解得：x=200y=100答：1輛重型卡車能夠單獨(dú)運(yùn)輸200箱展覽材料，1輛輕型卡車能夠單獨(dú)運(yùn)輸100箱展覽材料；（2）設(shè)使用m臺重型貨車，則使用15?m臺輕型貨車，根據(jù)題意得：m≥76000m+4000解得：7≤m≤9，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為7，8，9，∴共有3種配送方案，方案1：使用7輛重型貨車，8臺輕型貨車；方案2：使用8輛重型貨車，7臺輕型貨車；方案3：使用9輛重型貨車，6臺輕型貨車；選擇方案1所需費(fèi)用為6000×7+4000×8=74000（元）；選擇方案2所需費(fèi)用為6000×8+4000×7=76000（元）；選擇方案3所需費(fèi)用為6000×9+4000×6=78000（元）；∵74000<76000<78000，∴使用7輛重型貨車，8臺輕型貨車最經(jīng)濟(jì)實(shí)惠，所需最低費(fèi)用是74000元．【題型4水費(fèi)電費(fèi)問題】【例4】（23-24七年級·江蘇鎮(zhèn)江·期末）為了增強(qiáng)公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控手段來引導(dǎo)市民節(jié)約用水：每戶居民每月用水不超過15立方米時，按基本價格x元/立方米進(jìn)行收費(fèi)；超過15立方米時，加價收費(fèi)，超過的部分按y元/立方米收費(fèi).該市某戶居民今年3、4、5月份的用水量和水費(fèi)如下表所示：月份用水量(立方米)水費(fèi)(元)31650420705m不低于36元且不超過95元（1）求x、y的值；（2）求該居民5月份用水量m的范圍.【答案】(1)x=3y=5;(2)12≤m≤25【詳解】分析：（1）分兩種情況：當(dāng)x≤15時；當(dāng)x>15時，求得用戶用水為x立方米時的水費(fèi)，列出方程組求解即可；（2）根據(jù)所交水費(fèi)，列出不等式組求解即可.詳解：（1）設(shè)基本水費(fèi)價格為：x元/立方米，超過的部分的水費(fèi)價格為：y元/立方米，根據(jù)題意得，15x+(16?15)y=5015x+(20?15)y=70解這個方程組得x=3y=5答：該市居民用水的基本價格為3元/立方米，超過15立方米部分的價格為5元/立方米.（2）根據(jù)題意得3m≥363×15+(m?15)×5≤95解之得12≤m≤25，∴該居民5月份用水量m的范圍是12≤m≤25點(diǎn)睛：本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出x和y的二元一次方程組，此題難度不大【變式4-1】（23-24七年級·福建龍巖·期末）為鼓勵市民節(jié)約用電，某市對居民用電實(shí)行“階梯收費(fèi)”（總電費(fèi)=第一階梯電費(fèi)+第二階梯電費(fèi)），規(guī)定．用電量不超過200度按第一階梯電價收費(fèi)，超過200度的部分按第二階梯電價收費(fèi)，用電度數(shù)均取整數(shù)．下表是劉先生家2022年4月和5月所交電費(fèi)的清單．戶名電表號月份用電量（度）金額（元）劉××12054220112劉××12055265139(1)該市規(guī)定的第一階梯電費(fèi)和第二階梯電費(fèi)單價分別為多少元/度?(2)劉先生家6月份家庭支出計(jì)劃中電費(fèi)不超過160元，他家最大用電量為多少度？【答案】(1)該市規(guī)定的第一階梯電費(fèi)單價為0.5元/度，第二階梯電費(fèi)單價為0.6元/度．(2)他家最大用電量為300度．【分析】（1）設(shè)該市規(guī)定的第一階梯電費(fèi)單價為x元/度，第二階梯電費(fèi)單價為y元/度，根據(jù)劉先生家2022年4月和5月所交電費(fèi)的清單中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)劉先生6月份用電量為m度，根據(jù)劉先生家6月份家庭支出計(jì)劃中電費(fèi)不超過160元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)該市規(guī)定的第一階梯電費(fèi)單價為x元/度，第二階梯電費(fèi)單價為y元/度，依題意得：{200x+(220?200)y=112解得：{x=0.5答：該市規(guī)定的第一階梯電費(fèi)單價為0.5元/度，第二階梯電費(fèi)單價為0.6元/度．（2）解：設(shè)劉先生6月份用電量為m度，依題意得：0.5×200+0.6(m?200)?160，解得：m?300．答：他家最大用電量為300度．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式4-2】（廣西南寧市興寧區(qū)新興學(xué)校2024年七年級數(shù)學(xué)中考模擬試卷）為響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，鼓勵居民節(jié)約用電，各省市先后出臺了居民用電“階梯價格”制度，下表是某市的電價標(biāo)準(zhǔn)（每月）.階梯一戶居民每月用電量x（單位：度）電費(fèi)價格（單位：元/度）一檔0＜x≤180a二檔180＜x≤280b三檔x＞2800.82（1）已知小華家四月份用電200度，繳納電費(fèi)105元；五月份用電230度，繳納電費(fèi)122.1元，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出表格中a，b的值；（2）六月份是用電高峰期，小華家計(jì)劃六月份電費(fèi)支出不超過208元，那么小華家六月份最多可用電多少度？【答案】（1）a的值是0.52，b的值是0.57；（2）小華家六月份最多可用電350度.【詳解】（1）由題意得：，解得：，

答：a的值是0.52，b的值是0.57；

（2）因?yàn)楫?dāng)小華家用電量x=280時，

180×0.52+（280﹣180）×0.57=150.6＜208，

所以小華家用電量超過280度.

設(shè)小華家六月份用電量為m度，根據(jù)題意得：

0.52×180+（280﹣180）×0.57+（m﹣280）×0.82≤208，

解得：m≤350

答：小華家六月份最多可用電350度.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用.根據(jù)四月份和五月份交的電費(fèi)各列一個方程，組成方程組求解；先根據(jù)用電量280度，求出小華家的用電量繳費(fèi)的檔次，然后列不等式求解.【變式4-3】（2024·浙江杭州·一模）甲市居民生活用水收費(fèi)按階梯式水價計(jì)量：20立方米及以下，按基本水價計(jì)收，20﹣30立方米（包括30立方米）的部分，按基本水價的1.5倍計(jì)收，30立方米以上的部分，按基本水價的2倍計(jì)收．從2018年7月1日起，該市居民生活用水基本水價將進(jìn)行調(diào)整，收費(fèi)方式仍按原來階梯式水價計(jì)量．小明讀到有關(guān)新聞后立刻對他家兩個月的水費(fèi)進(jìn)行計(jì)算，得到下表：請根據(jù)以上信息，回答以下問題：月份用水量（立方米）按調(diào)整前水價計(jì)費(fèi)（元）若按調(diào)整后水價計(jì)費(fèi)（元021645.652.832265.5575.9（1）求本次基本水價調(diào)整提幅的百分率？（保留3個有效數(shù)字）（2）小明家07年7月的水費(fèi)是128.25元，該月用水量若按調(diào)整后水價計(jì)費(fèi)需繳多少元？（3）小明又上網(wǎng)查了有關(guān)資料發(fā)現(xiàn)：甲市取水點(diǎn)分散，引水管線合計(jì)350千米，而同類城市乙市只有一座水庫供水，引水管線合計(jì)70千米．若兩市每年每千米引水管線的運(yùn)行成本都為150萬元，乙市的現(xiàn)行基本水價為2.35元，甲市共有200萬戶家庭，乙市共有180萬戶家庭．若甲乙兩市都按平均每戶每月用水量為11.21立方米計(jì)算，請你確定出甲市的基本水價至少調(diào)整為多少時甲市自來水公司的年收入（全市居民總水費(fèi)﹣引水管線運(yùn)行成本）不低于乙市？（保留3個有效數(shù)字）【答案】（1）15.8%；（2）148.5元；（3）甲市的基本水價至少調(diào)整為3.68元/立方米時，甲市自來水公司的年收入不低于乙市．【分析】（1）基本水價調(diào)整提幅的百分率為：（3月份的基本水價?2月份的基本水價）÷2月份的基本水價×100%；（2）應(yīng)先判斷出是否超過基本用水單位，若超過基本用水單位，應(yīng)先算出用水量，則：新付費(fèi)為：3.3×20+3.3×10×1.5+（用水?dāng)?shù)-30）×3.3×2；（3）關(guān)系式為：甲市水費(fèi)收入-運(yùn)營成本≥乙市水費(fèi)收入-運(yùn)營成本．【詳解】解：（1）調(diào)整前基本水價為：45.6÷16＝2.85（元）；調(diào)整后基本水價為：52.8÷16＝3.3（元）；∴本次水價調(diào)整提幅為：3.3?2.852.85（2）∵2.85×20+2.85×1.5×10＝99.75＜128.25，∴用水量超過30m3，設(shè)小明家09年7月的用水量為x立方米．2.85×20+2.85×10×1.5+（x﹣30）×2.85×2＝128.25，解得：x＝35，∴新付費(fèi)為：3.3×20+3.3×10×1.5+（35﹣30）×3.3×2＝148.5（元）；（3）設(shè)基本水價為y元/立方米，則11.21×12×y×200﹣350×150≥11.21×12×2.35×180﹣70×150，解得y≥3.68，答：甲市的基本水價至少調(diào)整為3.68元/立方米時，甲市自來水公司的年收入不低于乙市．【點(diǎn)睛】此類題目是一元一次方程和不等式的綜合題目,旨在考查學(xué)生對一元一次方程和不等式求解的掌握程度,所以掌握解一元一次方程和不等式的一般步驟是解題的關(guān)鍵.【題型5行程問題】【例5】（23-24七年級·重慶永川·期末）甲、乙兩人共同設(shè)計(jì)了一條從A地到B地，B地到C地，C地到D地的路線．某一天上午10點(diǎn)，甲騎自行車從A地出發(fā)，沿該路線勻速行駛40千米后恰好到達(dá)B地，到達(dá)B地的時間是當(dāng)天中午12點(diǎn)，在B地原地休息30分鐘后，以原來的速度沿該路線勻速行駛40千米后恰好到達(dá)C地，到達(dá)C地后立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回A地．在甲出發(fā)x小時后，乙開小汽車從A地出發(fā)，沿該路線勻速行駛直接到達(dá)C地，到達(dá)C地后立即沿該路線勻速行駛5千米恰好到達(dá)D地，在D地休息y小時后，立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回A地．已知在行駛的過程中，乙的速度是甲的3倍．(1)求甲、乙兩人行駛的速度；(2)在甲從B地到C地的行駛過程中，若乙與甲第一次相遇，且相遇地點(diǎn)不與B地和C地重合，求x的取值范圍；(3)當(dāng)x=3時，甲、乙兩人能否在B地與C地之間（不包括B地與C地）相遇2次？如果能，請求出y的取值范圍，如果不能，請說明理由．【答案】(1)甲行駛的速度是20千米/時，乙行駛的速度是60千米/時(2)11(3)當(dāng)x=3時，甲、乙兩人能在B地與C地之間（不包括B地與C地）相遇2次，所求y的取值范圍是0≤y<【分析】（1）根據(jù)甲的路程和時間求出速度，從而得到乙的速度；（2）根據(jù)題意列出不等式組，解之可得x的范圍；（3）分若乙與甲第二次相遇時還在甲從B地到C地的行駛過程中，若乙與甲第二次相遇時是在甲從C地返回B地的行駛過程中，兩種情況，列出不等式組，根據(jù)解集即可得解．【詳解】（1）解：由題意，知甲從A地到B地用了2小時，行程是40千米，∴甲行駛的速度是402=20∵乙的速度是甲的3倍，∴乙行駛的速度是20×3=60（千米/時）．答：甲行駛的速度是20千米/時，乙行駛的速度是60千米/時．（2）由題意，得x+40解之，得116答：所求x的取值范圍是116（3）∵116∴由（2）可知，當(dāng)x=3時，在甲從B地到C地的行駛過程中，乙與甲第一次相遇．

若乙與甲第二次相遇時還在甲從B地到C地的行駛過程中，則3+8060+5若乙與甲第二次相遇時是在甲從C地返回B地的行駛過程中，則有3+80解之，得0≤y<4答：當(dāng)x=3時，甲、乙兩人能在B地與C地之間（不包括B地與C地）相遇2次，所求y的取值范圍是0≤y<4【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，題中條件較多，要仔細(xì)理解題干，抽象出不等式組．【變式5-1】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）2個小組計(jì)劃在10天內(nèi)生產(chǎn)1000個零件，并且每天的生產(chǎn)量相同，且生產(chǎn)的零件數(shù)為整數(shù)，按原來的生產(chǎn)速度，不能完成任務(wù)；如果每個小組每天比原來多生產(chǎn)2個零件，就能提前完成任務(wù)，求每個小組原來平均每天生產(chǎn)多少個零件．【答案】每個小組原來平均每天生產(chǎn)49個零件【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每個小組原來平均每天生產(chǎn)x個零件，根據(jù)題意可知原來2個小組10天內(nèi)生產(chǎn)的零件數(shù)小于1000，在每天比原來多生產(chǎn)2個零件后2個小組10天內(nèi)生產(chǎn)的零件數(shù)大于1000，據(jù)此列出不等式組求解即可．【詳解】解：設(shè)每個小組原來平均每天生產(chǎn)x個零件，根據(jù)題意，得20x<100020解得48<x<50．∵x是整數(shù)，∴x=49．答：每個小組原來平均每天生產(chǎn)49個零件．【變式5-2】（2024春·吉林四平·七年級統(tǒng)考期末）星期天，小明騎自行車去姥姥家，速度為每小時12km【答案】小明的爸爸至少以48km【分析】先設(shè)小明爸爸的速度為xkm【詳解】解：設(shè)小明爸爸的速度為xkm2060解得x≥48．故小明的爸爸至少以48km【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，關(guān)鍵在于弄清題意，找出不等關(guān)系：小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程．【變式5-3】（2024春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）有a名居民在排隊(duì)等候檢查．檢查開始后，仍有居民繼續(xù)前來排隊(duì)檢查，設(shè)居民按m人/分鐘的速度增加，每個窗口的檢查速度為n人/分鐘．若開放一個檢查窗口，則需要25分鐘將排隊(duì)等候檢查的居民全部檢查完畢；若同時開放兩個檢查窗口，則需要10分鐘將排隊(duì)等候檢查的居民全部檢查完畢．(1)若a=100，求m和n的值；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果猜想m與n的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如果要在5分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候檢查的居民全部檢查完畢，以便后來的居民能隨到隨檢，則至少要同時開放幾個檢查窗口？【答案】(1)m=2(2)n=3m，理由見解析(3)至少要同時開放4個檢查窗口【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系：居民總數(shù)=所有窗口檢查總?cè)藬?shù)，列方程計(jì)算即可；（2）當(dāng)a為任意值時，根據(jù)等量關(guān)系：居民總數(shù)=所有窗口檢查總?cè)藬?shù)，列方程計(jì)算即可；（3）設(shè)開放x個窗口，根據(jù)不等關(guān)系：5分鐘總居民人數(shù)≤x個窗口5分鐘檢查人數(shù)，列不等式求解即可．【詳解】（1）解：若a=100，由題意得：100解得：m=2n=6（2）解：n=3m，理由如下：由題意得：a由①?②得：（3）解：設(shè)開放x個窗口，由題意得：a+5m≤5xn，由（2）可得a=25n?25m=50m，∴50m+5m≤5x?3m，∵m>0，∴解得：x≥∴至少要同時開放4個檢查窗口．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的等量關(guān)系和不等關(guān)系式：居民總數(shù)=所有窗口檢查總數(shù)．難點(diǎn)是需要考慮的變量比較多．【題型6得分問題】【例6】（23-24七年級·重慶·期中）學(xué)校工會舉行了一場趣味排球比賽，比賽為單循環(huán)制，即所有參賽選手彼此只比賽一場．記分規(guī)則是：每場比賽勝者得2分、負(fù)者扣1分，平局各得1分．賽后統(tǒng)計(jì)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)所有參賽者的得分總和為32分，且平局?jǐn)?shù)至少有5局，那么本次趣味排球賽共有參賽選手人．【答案】7或8/8或7【分析】由比賽的規(guī)則可知每場比賽會有兩種結(jié)果，一種結(jié)果一勝一負(fù)，一種結(jié)果兩個平局，設(shè)所有參賽者共勝了x局，平局y局，則共負(fù)了x局，共賽了x+y+x2場，根據(jù)所有參賽者的得分總和為32分，即可得出x+y=32，進(jìn)而可得出x+y+x2=32-y2，結(jié)合x為非負(fù)整數(shù)且y≥5，y為偶數(shù)，即可得出16≤x+y+x2≤29，設(shè)本次趣味排球賽共有參賽選手m人，則共賽了12m（m-1）場，進(jìn)而可得出32≤m（m【詳解】解：設(shè)所有參賽者共勝了x局，平局y局，則共負(fù)了x局，共賽了x+y+x2依題意，得：2x+y-x=32，∴x+y=32，∴x+y+x2=32-y又∵y≥5且y為偶數(shù)，x為非負(fù)整數(shù)，∴16≤x+y+x2設(shè)本次趣味排球賽共有參賽選手m人，則共賽了12m（m∴16≤12m（m∴32≤m（m-1）≤58．又∵m為正整數(shù)，∴m可以為7或8．故答案為：7或8．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，由所有參賽者的得分總和，找出比賽場數(shù)的范圍是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24七年級·山東濰坊·期中）小亮和小穎共下了8盤圍棋（沒有平局），兩人商定的規(guī)則為：小亮勝一盤記1分，小穎勝一盤記2分．下完第7盤后，小亮得分高于小穎；下完第8盤后，小穎得分高于小亮，小亮最終勝（

）A．2盤 B．3盤 C．4盤 D．5盤【答案】D【分析】本題考查的是一元一次不等式的運(yùn)用，設(shè)小亮贏了x盤，然后列出一元一次不等式組x>27?xx<28?x【詳解】解：設(shè)小亮最終勝了x盤．根據(jù)題意得x>27?x解得143∵x為正整數(shù)∴x=5答：小亮最終勝5盤．故選：D．【變式6-2】（23-24七年級·河北承德·期末）一次智力測驗(yàn)，共設(shè)20道選擇題，評分標(biāo)準(zhǔn)為：對1題得a分，答錯或不答1題扣b分．下表記錄了2名參賽學(xué)生的得分情況．參賽學(xué)生答對題數(shù)答錯或不答題數(shù)得分甲17379乙11937(1)若參賽學(xué)生小亮只答對了16道選擇題，則小亮的得分是多少？(2)參賽學(xué)生至少要答對幾道題，總分才不會低于60分．(3)參賽學(xué)生小王獲得二等獎（75~85分），請你算算小王答對了幾道題？【答案】(1)小亮的得分是72分(2)參賽學(xué)生至少要答對15道題，總分才不會低于60分(3)小王答對了17道題【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式和一元一次不等組的應(yīng)用：（1）先根據(jù)表格列出二元一次方程組，求出a,b的值，進(jìn)而根據(jù)得分規(guī)則，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）設(shè)參賽學(xué)生要答對x道題，總分才不會低于60分，列出不等式進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)小王答對了y道題，列出不等式組，求出整數(shù)解，即可．【詳解】（1）解：由題意，得：17a?3b=7911a?9b=37解得：a=5b=2故對1題得5分，答錯或不答1題扣2分，16×5?20?16答：小亮的得分是72分；（2）設(shè)參賽學(xué)生要答對x道題，由題意，得：5x?220?x解得：x>100∴參賽學(xué)生至少要答對15道題，總分才不會低于60分；（3）設(shè)小王答對了y道題，由題意，得：75≤5y?220?y解得：1157∵x為整數(shù)，∴x=17，答：小王答對了17道題．【變式6-3】（23-24七年級·河南鄭州·期中）“天空課堂”開課以來，受到廣大青少年的喜愛．某校利用課后服務(wù)時間開展“追尋‘天宮’”知識競賽，共有15個班級參加．(1)比賽規(guī)定：每場比賽都要分出勝負(fù)，勝一場積5分，負(fù)一場積3分，某班級在14場比賽中獲得總積分54分，該班級勝、負(fù)場數(shù)分別是多少？(2)比賽中設(shè)置了20道多選題，全部選對可得3分，選對但選不全可得2分，其余情況均不得分．某班在一場比賽中，共答對了18道題（選對但選不全的也算在內(nèi)），其中選對但選不全的題目至少比全部選對的多2道，且多選題所得的總分不少于41分，該班級在這場比賽中多選題最多能得多少分？【答案】(1)該班級勝了6場，負(fù)了8場(2)該班級在這場比賽中多選題最多能得44分【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用等知識點(diǎn)，審請題意、正確列出方程組和不等式組成為解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該班級勝了x場，負(fù)了y場．然后根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)該班級在這場比賽中全部選對的有a道，則選對但選不全的有(18?a)道．然后根據(jù)題意列不等式組求解，然后根據(jù)實(shí)際意義即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)該班級勝了x場，負(fù)了y場．根據(jù)題意，得x+y=14,5x+3y=54.解得x=6答：該班級勝了6場，負(fù)了8場．（2）解：設(shè)該班級在這場比賽中全部選對的有a道，則選對但選不全的有(18?a)道．根據(jù)題意可列出不等式組18?a?a≥2,3a+218?a≥41,根據(jù)題意知全部選對的題越多，得分越多．∴當(dāng)a=8時，多選題得分最多，為8×3+2×(18?8)=44（分）．答：該班級在這場比賽中多選題最多能得44分．【題型7古文問題】【例7】（2024七年級·全國·專題練習(xí)）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：(1)求每頭牛、羊各值多少兩銀子？(2)若某商人準(zhǔn)備用50兩銀子買牛和羊共20只，要求羊的數(shù)目不超過牛的數(shù)目的兩倍，且銀兩可以有剩余，請問商人有幾種購買方法？列出所有可能的購買方案．【答案】(1)每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子．(2)共有4種購買方法，方案1：購買10頭牛，10只羊；方案2：購買9頭牛，11只羊；方案3：購買8頭牛，12只羊；方案4：購買7頭牛，13只羊．【分析】本題考查了二元一次方程組及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程思想與不等式組求解．（1）設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，根據(jù)“5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買m頭牛，則購買（20?m）只羊，利用羊的數(shù)目不超過牛的數(shù)目的兩倍，且銀兩可以有剩余，列出關(guān)于m的不等式組，結(jié)合【詳解】（1）解：設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，依題意得：5x+2y=192x+5y=16解得：x=3y=2答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子；（2）解：設(shè)購買m頭牛，則購買(20?m)只羊，依題意得：20?m≤2m3m+2解得：203∵m為整數(shù)，∴m=7，8，9，10∴有4種方案：①購買7頭牛，購買13只羊；②購買8頭牛，購買12只羊；③購買9頭牛，購買11只羊；④購買10頭牛，購買10只羊．【變式7-1】（23-24七年級·黑龍江大慶·階段練習(xí)）我國古代《易經(jīng)》記載，遠(yuǎn)古時期人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，用來記錄采集到野果的個數(shù)．若她采集到的一筐野果不少于46個則在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)至少是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，一方面學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識，另一方面也考察了學(xué)生的思維能力．根據(jù)題意，類比我們現(xiàn)在的十進(jìn)制滿十進(jìn)一，各個數(shù)位上的和不小于46，列不等式求解即可．【詳解】解：設(shè)在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)至少是x個．根據(jù)題意可知，從右到左的數(shù)分別為3，5x，1×5×5，所以有3+5x+1×5×5≥46解得：x≥3.6因?yàn)榇蚪Y(jié)數(shù)為整數(shù)，所以最少為4個．故選：C【變式7-2】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）程大位是明代商人、珠算發(fā)明家．在其杰作《算法統(tǒng)宗》（如圖）中記載有如下問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？”(1)請你求出上述問題的解；(2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬m(xù)尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬m(xù)尺；第四天休息，下滑2尺…這只青蛙按照這樣的規(guī)律向上爬與休息，若它想要在9天內(nèi)（包括第9天）爬出井外，求m至少要為多少尺？【答案】(1)繩長48尺，井深11尺(2)19【分析】（1）設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)“以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺”，列出方程組，求解即可；（2）根據(jù)題意可假設(shè)青蛙在第8天結(jié)束時，還沒有爬出井口，把每兩天分為一組，第8天結(jié)束時，青蛙離井底的距離為4m?2尺，因而離井口的距離為11?4【詳解】（1）解：設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)題意，得：x3?y=5x答：繩長48尺，井深11尺；（2）解：因?yàn)橐蟮氖莔的最小值，所以可假設(shè)青蛙在第8天結(jié)束時，還沒有爬出井口（若已爬出井口，則m的值會更大）．把每兩天分為一組，第8天結(jié)束時，青蛙離井底的距離為4m?2尺，因而，離井口的距離為11?4根據(jù)題意，得：11?4m?2≤解得：m≥195答：m的最小值為195【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確列出方程組和不等式是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24七年級·福建龍巖·期末）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？根據(jù)以上譯文，回答以下問題：(1)籠中雞、兔各有多少只？(2)若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過32只．雞每只值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？【答案】(1)籠中雞有23只，兔有12只(2)這籠雞兔最多值2260元，最少值2060元【分析】（1）設(shè)籠中有x只雞，y只兔，根據(jù)上有35個頭、下有94只腳，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)籠中有m只雞，則兔有94?2m4【詳解】（1）解：（1）設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，依題意得：x+y=352x+4y=94解得：x=23y=12答：籠中雞有23只，兔有12只；（2）設(shè)籠中雞有m只，則兔有94?2m4依題意得：m+94?2m解得：13≤m≤17.∵m為整數(shù)∴m=13、14、15、16、17①當(dāng)m=13時，94?2m這籠雞兔共值80×13+60×17=2060（元）②當(dāng)m=14時，94?2m此種情況不符合題意③當(dāng)m=15時，94?2m這籠雞兔共值80×15+60×16=2160（元）④當(dāng)m=16時，94?2m此種情況不符合題意⑤當(dāng)m=17時，94?2m這籠雞兔共值80×17+60×15=2260（元）綜上所述，當(dāng)m=13，m=15，m=17，符合實(shí)際意義答：這籠雞兔最多值2260元，最少值2060元.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系列出方程不等式是解題的關(guān)鍵．【題型8數(shù)字問題】【例8】（23-24七年級·重慶·階段練習(xí)）若一個自然數(shù)，其十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，百位數(shù)字比十位數(shù)字大3，千位數(shù)字比百位數(shù)字大3，…，這樣的數(shù)，我們稱為“大3數(shù)”．例如：52，9630．寫出一個兩位數(shù)，要求既是奇數(shù)又是“大3數(shù)”．將一個兩位的“大3數(shù)”，再加上這個“大3數(shù)”各位數(shù)字之和的2倍，所得的結(jié)果能被4整除，求滿足條件的兩位“大3數(shù)”的和．【答案】41或63或85104【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法和一元一次方程的應(yīng)用．設(shè)兩位的“大3數(shù)”的個位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是x+3，根據(jù)x+3≤9x+3≥1得到0≤x≤6，結(jié)合是奇數(shù)，確定x=1,x=3,x=5，計(jì)算即可；設(shè)兩位的“大3數(shù)”的個位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是x+3，根據(jù)題意，10x+3【詳解】設(shè)兩位的“大3數(shù)”的個位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是x+3，根據(jù)題意，得x+3≤9x+3≥1∴0≤x≤6，∵是奇數(shù)，∴x=1,x=3,x=5，∴既是奇數(shù)又是“大3數(shù)”的兩位數(shù)有41或63或85；故答案為：41或63或85．設(shè)兩位的“大3數(shù)”的個位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是x+3，根據(jù)題意，得10x+3∵所得的結(jié)果能被4整除，∴15x4是整數(shù)即可，且0≤x≤6故x=0或x=4，∴所有“大3數(shù)”是30或74，∴30+74=104，故答案為：104．【變式8-1】（23-24七年級·重慶長壽·期末）有一個兩位數(shù)，其十位數(shù)字比個位數(shù)字大2，且這個兩位數(shù)在50和70之間，則這個兩位數(shù)是．【答案】53或64【分析】設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為：x+2，可得50＜10(x+2)+x＜70，再解不等式組可得答案．【詳解】解：設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為：x+2，由題意得，50＜10(x+2)+x＜70，∴50＜11x+20＜70，∴30＜11x＜50，∴3011＜x＜50∵x為非負(fù)整數(shù)，∴x=3或x=4，∴這個兩位數(shù)為：53或64．故答案為：53或64．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字問題，一元一次不等式組的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵，注意這里未知數(shù)的值為非負(fù)整數(shù)．【變式8-2】（23-24七年級·江蘇常州·期末）2024年央視春晚上的撲克牌魔術(shù)不僅是一場視覺盛宴，還是數(shù)學(xué)文化的傳播．受此啟發(fā)，小麗設(shè)計(jì)了一個魔術(shù)：從代表數(shù)字1到9的撲克牌中，依次抽出兩張牌，記下牌面上的數(shù)字．將第一個數(shù)乘7后加6，然后乘3，再加上第二個數(shù)，最后減去8，得到計(jì)算結(jié)果．根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可以知道抽出兩張牌的牌面數(shù)字．(1)如果小明依次抽出兩張牌的牌面數(shù)字是2和5，則計(jì)算結(jié)果是______；(2)如果小明得到的計(jì)算結(jié)果是143，求小明抽出兩張牌的牌面數(shù)字；(3)如果小明得到的計(jì)算結(jié)果是106，小圖思考片刻后，認(rèn)為小明算錯了．你贊成小圖的觀點(diǎn)嗎？請說明理由．【答案】(1)57(2)6，7(3)贊成，理由見解析【分析】本題主要考查了有理數(shù)四則混合運(yùn)算，不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出不等式組．（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可；（2）設(shè)小明抽出兩張牌的牌面數(shù)字依次為x，y，1≤x≤9,1≤y≤9,x≠y，根據(jù)小明得到的計(jì)算結(jié)果是143得出37x+6+y?8=143，整理得出y=133?21x，根據(jù)1≤y≤9得出133?21x≥1133?21x≤9，求出12421≤x≤6，根據(jù)x（3）設(shè)小明抽出兩張牌的牌面數(shù)字依次為x，y，1≤x≤9,1≤y≤9,x≠y，計(jì)算結(jié)果是106得出37x+6+y?8=106，得出y=96?21x，再根據(jù)解析（2）的方法得出297≤x≤95【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：2×7+6×3+5?8=57（2）解：設(shè)小明抽出兩張牌的牌面數(shù)字依次為x，y，1≤x≤9,1≤y≤9,x≠y，根據(jù)題意得：37x+6整理得：21x+y=133，∴y=133?21x，∴133?21x≥1133?21x≤9解得：519∵x取正整數(shù)，∴x=6，∴y=133?21×6=7，∴小明抽出兩張牌的牌面數(shù)字為6，7．（3）解：贊成；理由如下：設(shè)小明抽出兩張牌的牌面數(shù)字依次為x，y，1≤x≤9,1≤y≤9,x≠y，根據(jù)題意得：37x+6整理得：21x+y=96，∴y=96?21x，∴96?21x≥196?21x≤9解得：41∵x取正整數(shù)，∴沒有適合x的值，∴小明得到的計(jì)算結(jié)果不可能是106．【變式8-3】（2024·四川達(dá)州·二模）一個正數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，且都不為為0，現(xiàn)要將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，此最大數(shù)與最小數(shù)的差記為N的“差數(shù)”，此最大數(shù)與最小數(shù)的和記為N的“和數(shù)”，例如，245的“差數(shù)”為542-245=297，“和數(shù)”為：542+245=787，一個四位數(shù)M，其中千位數(shù)字和百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為1，個位數(shù)字為b（且a≥1，b≥1）若它的“和數(shù)”是6666，求M的“差數(shù)”．【答案】4356或3996【分析】分a>b，a=b，a<b，三種情況討論，分別利用和數(shù)列出方程，求出a，b，從而確定這個數(shù)并求“差數(shù)”．【詳解】①當(dāng)a>b時，最大數(shù)千位數(shù)字和百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為1，即最大數(shù)是1000a+100a+10b+1=1100a+10b+1，最小數(shù)千位數(shù)字為1，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字和個位數(shù)字為a，即最小數(shù)是1000×1+100b+10a+a=11a+100b+1000．∵M(jìn)的“和數(shù)”是6666，∴1100a+10b+1+∴110b=5665?1111a．∵1≤b≤9，∴110≤110b=5665?1111a≤990，∴425101∴a=5．將a=5代入110b=5665?1111a解得b=1，所以這個數(shù)是5511，最大數(shù)是5511，最小數(shù)是1155，所以M的“差數(shù)”是：5511-1155=4356．②當(dāng)a=b時，最大數(shù)千位數(shù)字、百位數(shù)字和十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為1，此時a即最大數(shù)是1000a+100a+10a+1=1110a+1，最小數(shù)千位數(shù)字為1，百位數(shù)字、十位數(shù)字和個位數(shù)字為a，即最小數(shù)是1000×1+100a+10a+a=111a+1000．∵M(jìn)的“和數(shù)”是6666，∴1110a+1+∴a=515即此時無解．③當(dāng)a<b時，最大數(shù)千位數(shù)字為b，百位數(shù)字和十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為1，即最大數(shù)是1000b+100a+10a+1=1000b+110a+1，最小數(shù)千位數(shù)字為1，百位數(shù)字和十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，即最小數(shù)是1000×1+100a+10a+b=110a+b+1000．∵M(jìn)的“和數(shù)”是6666，∴1000b+110a+1+∴220a=5665?1001b．∵1≤a≤9，∴220≤220a=5665?1001b≤1980，∴33591∴b=4或?qū)=4代入220a=5665?1001b解得a=151將b=5代入220a=5665?1001b解得a=3，∴這個數(shù)是3315，最大數(shù)是5331，最小數(shù)是1335，所以M的“差數(shù)”是：5331-1335=3996．綜上所述，M的“差數(shù)”為4356或3996．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，二元一次方程的正整數(shù)解，審清題意列出方程以及分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型9幾何問題】【例9】（23-24七年級·江蘇宿遷·期末）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】項(xiàng)目主題：數(shù)學(xué)智慧拼圖項(xiàng)目背景：為了緩解同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力，提高思維能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，并促進(jìn)同學(xué)們的全面發(fā)展．王老師將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組分成三組，每組領(lǐng)取一些矩形卡片，開展“數(shù)學(xué)智慧拼圖”為主題的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)．任務(wù)一：觀察建模如圖1，第一小組領(lǐng)了8個大小、形狀完全相同的小矩形，拼成一個大矩形，每個小矩形的長和寬分別分別為x、y（x<y），小組同學(xué)測得拼成的大矩形長為30，寬為16，可得方程組5x=30x+y=16，則：x=，y=任務(wù)二：推理分析第二小組也領(lǐng)了8個大小、形狀完全相同的小矩形，把它們按圖2方式放置在一個大矩形中，求圖2中陰影部分的面積；任務(wù)三：設(shè)計(jì)方案第三小組領(lǐng)了A、B、C三種類型的矩形卡片，它們的長為18，寬分別為a、b、c，其中a<b<c且a、b、c均為正整數(shù)，分別取A、B、C卡片2、3、4張，把它們按圖3方式放置在一個邊長為36的正方形中，則陰影部分的面積為144；若分別取A、B、C卡片3、2、5張，能否把它們放置在邊長為36的正方形中（不能有重疊），如果能，請你在圖4中畫出放置好的示意圖，并標(biāo)注a、b、c的值，如果不能，請說明為什么．【答案】任務(wù)一：5，10任務(wù)二：31任務(wù)三：a=1，b=6，c=11，圖見解析【分析】此題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用積不等式組的應(yīng)用，正確理解圖形中各線段之間的關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．任務(wù)一：直接解方程組即可；任務(wù)二：設(shè)8個大小、形狀完全相同的小矩形長為m，寬為n，列方程組求出長寬，再求出陰影部分面積即可；任務(wù)三：先列方程組求出b=8?2ac=a+10，根據(jù)題意得出a=1或2，進(jìn)而求出兩種情況下a、b、c的值，根據(jù)面積得出當(dāng)a=2時無法放置，當(dāng)a=1【詳解】解：任務(wù)一：5x=30由①得：x=6，把x=6代入②，得：y=10，∴原方程組的解是x=6y=10任務(wù)二：設(shè)8個大小、形狀完全相同的小矩形長為m，寬為n，由題意得：m+3n=13m+2n?3n=5解得：m=7n=2則圖2中陰影部分的面積=13×5+3×2任務(wù)三：由題意得：2×18a+3×18b+4×18c+144=36解得：b=8?2ac=a+10∵a<b<c且a、b、c均為正整數(shù)，∴a<8?2a解得：0<a<8∴a=1或2，當(dāng)a=2時，b=8?2a=4，c=a+10=12，分別取A、B、C卡片3、2、5張，拼成的不重疊的圖形面積為：3×18×2+2×18×4+5×18×12=1332>36故此時不能放置；當(dāng)a=1時，b=8?2a=6，c=a+10=11，分別取A、B、C卡片3、2、5張，拼成的不重疊的圖形面積為：3×18×1+2×18×6+5×18×11=1260<36故此時能放置，放置方式如下圖：【變式9-1】（2024春·江蘇淮安·七年級?？计谀┮阎糜趪H比賽的足球場的長在100～110m之間，寬在64～75m之間．一個長方形足球場的長為xm，寬為70m，如果它的周長大于350m【答案】這個足球場可以用于國際足球比賽【分析】長方形足球場的長為xm，根據(jù)長方形的周長大于350m，而面積小于【詳解】解：長方形足球場的長為xm2x+70解這個不等式組，得105<x<108，已知用于國際比賽的足球場的長在100～110m之間，而這個足球場的長在105～108【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)不等關(guān)系列出不等式組是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24七年級·內(nèi)蒙古興安盟·期末）如圖，正方形ABCD的邊長是2厘米，E為CD的中點(diǎn)，Q為正方形ABCD邊上的一個動點(diǎn)，動點(diǎn)Q以每秒1厘米的速度從A出發(fā)沿A→B→C→D運(yùn)動，最終到達(dá)點(diǎn)D，若點(diǎn)Q運(yùn)動時間為x秒．（1）當(dāng)x=1時，SΔAQE=平方厘米；當(dāng)x=32時，（2）在點(diǎn)Q的運(yùn)動路線上，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)E相距的路程不超過14厘米時，求x（3）若ΔAQE的面積為13平方厘米，直接寫出x【答案】（1）1；32

（2）194≤x≤【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)題意列出不等式組故可求解；（3）分Q點(diǎn)在AB上、BC上和CD上分別列出方程即可求解．【詳解】（1）當(dāng)x=1時，SΔAQE=當(dāng)x=32時，SΔAQE=故答案為1；32（2）解：根據(jù)題意，得5?x≤解得194故x的取值范圍為194（3）當(dāng)Q點(diǎn)在AB上時，依題意可得1解得x=1當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時，依題意可得2×2?解得x=19當(dāng)Q點(diǎn)在AB上時，依題意可得12×解得x=143或∴x值為x=1【點(diǎn)睛】此題主要考查不等式組與一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到方程或不等式組進(jìn)行求解．【變式9-3】（23-24七年級·江蘇泰州·期中）如圖所示的矩形包書紙中，虛線是折痕，陰影是裁剪掉的部分，四個角均為大小相同的正方形，正方形的邊長為折疊進(jìn)去的寬度．（1）設(shè)課本的長為acm，寬為bcm，厚為ccm，如果按如圖所示的包書方式，將封面和封底各折進(jìn)去3cm，用含a，b，c的代數(shù)式，分別表示滿足要求的矩形包書紙的長與寬；（2）現(xiàn)有一本長為19cm，寬為16cm，厚為6cm的字典，你能用一張長為43cm，寬為26cm的矩形紙，按圖所示的方法包好這本字典，并使折疊進(jìn)去的寬度不小于3cm嗎．請說明理由．【答案】（1）長為（2b+c+