專題8.3完全平方公式與平方差公式【十大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用乘法公式進(jìn)行簡便運(yùn)算】 2【題型2利用乘法公式求代數(shù)式的值】 4【題型3由完全平分式求字母的值】 5【題型4平方差公式的幾何背景】 7【題型5完全平方公式的幾何背景】 12【題型6乘法公式的應(yīng)用】 16【題型7乘法公式的證明】 19【題型8由乘法公式求最值】 23【題型9乘法公式的規(guī)律探究】 25【題型10乘法公式中的新定義問題】 29知識點(diǎn)：乘法公式1．平方差公式（1）平方差公式語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特點(diǎn)①左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，并且這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．③公式中的a和b可以表示具體的數(shù)或單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，語言敘述：兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特點(diǎn)：兩個公式的左邊都是一個二項(xiàng)式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．【題型1利用乘法公式進(jìn)行簡便運(yùn)算】【例1】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）用簡便方法計(jì)算：502?49×51=．【答案】1【分析】考查平方差公式的相關(guān)應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵；按照平方差公式將49×51進(jìn)行轉(zhuǎn)化為50?1×【詳解】50====1．故答案為：1．【變式1-1】（23-24八年級·寧夏銀川·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)99×101；(2)20012【答案】(1)9999(2)4004000【分析】本題考查平方差公式，（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式==10=10000?1=9999；（2）解：原式2001+1=2002×2000=4004000．【變式1-2】（23-24八年級·上海徐匯·階段練習(xí)）計(jì)算：201920192【答案】2019.【分析】原式利用數(shù)的變形化為平方差公式2020×2018=(2019+1)(2019?1)=2019【詳解】解：∵2020×2018=(2019+1)(2019?1)=∴20192019故答案是：2019.【點(diǎn)睛】此題考查了用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算，熟悉公式特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24八年級·湖南懷化·期末）計(jì)算：1012÷1?1【答案】2023【分析】利用平方差公式將1?1n2【詳解】解：1012÷=1012÷1?1=1012÷=1012÷=1012×=2023故答案為：2023．【點(diǎn)睛】本題考查利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是將1?1n2【題型2利用乘法公式求代數(shù)式的值】【例2】（23-24八年級·重慶渝中·階段練習(xí)）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，則x3+2x2y2+y3的值為．【答案】?12【分析】首先根據(jù)題意得出x2?y2=x+yx?y=2y?x【詳解】∵x2=2y+5，∴x2?y∵x≠y，而x+yx?y∴x+y=?2，∴x2∴xy=?1，∴x3故答案為：?12.【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘法公式的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)公式及方法是解題關(guān)鍵.【變式2-1】（23-24八年級·山東聊城·期末）若x+2y=8，x2+4y2【答案】7【分析】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵x+2y=8，x2∴(x+2y)∴x∴xy=7，故答案為：7．【變式2-2】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）如果a2?2a=1，那么代數(shù)式a(a?2)+(a?1)A．?1 B．1 C．3 D．2【答案】C【分析】本題考查了整式的化簡求值；分別利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則與完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)，最后整體代入即可．【詳解】解：a(a?2)+==2=2(a當(dāng)a2原式=2×1+1=3．故選：C．【變式2-3】（23-24八年級·重慶北碚·期末）已知a，b滿足a2+1b2【答案】5【分析】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．由a?12≥0，b?22≥0，a2【詳解】解：∵a?12≥0，∴a2+1≥2a，b2+4≥4b，當(dāng)∴a2+1b2+4∵a2∴a=1，b=2，∴ab+故答案為：52【題型3由完全平分式求字母的值】【例3】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）若多項(xiàng)式4x2+Q+1是完全平方式，請你寫出所有滿足條件的單項(xiàng)式Q【答案】±4x,4x4，-1，-4x2【分析】根據(jù)題意可知本題是考查完全平方式，設(shè)這個單項(xiàng)式為Q，①如果這里首末兩項(xiàng)是2x和1這兩個數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去2x和1積的2倍，故Q=±4x;②如果如果這里首末兩項(xiàng)是Q和1，則乘積項(xiàng)是4x2=2×2x2，所以Q=4x4.【詳解】解：∵4x2+1±4x=(2x±1)24x2+1+4x4=(2x2+1)2;∴加上的單項(xiàng)式可以是±4x,4x4,-1，-4x2中任意一個,故答案為：±4x,4x4，-1，-4x2【點(diǎn)睛】本題主要考查完全公式的有關(guān)知識，根據(jù)已知兩個項(xiàng)分類討論求出第三項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.【變式3-1】（23-24八年級·山東青島·期末）若x2?kx+36是一個完全平方式，則k=【答案】±12【分析】本題主要考查完全平方式，利用完全平方式的結(jié)構(gòu)特征即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵x2即x±62=∴k=±12故答案為：±12．【變式3-2】（23-24八年級·陜西寶雞·期末）已知x2+2k+1x+16是一個完全平方式，則A．2 B．3或?5 C．1 D．±2【答案】B【分析】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出k的值．【詳解】解：∵x2∴2k+1解得：k=3或k=?5，故選：B．【變式3-3】（23-24八年級·上海長寧·期中）填空：已知多項(xiàng)式x2+【答案】1【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可．【詳解】解：完全平方公式(a+b)2（1）當(dāng)x4相當(dāng)于2ab項(xiàng)時，x（2）當(dāng)x2相當(dāng)于2ab項(xiàng)時，x（3）當(dāng)x4與x2相當(dāng)于a與b，則需要求的是2ab項(xiàng)，則故答案為14【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，以及單項(xiàng)式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【題型4平方差公式的幾何背景】【例4】（23-24八年級·安徽六安·期中）如圖，邊長為a的大正方形是由1個邊長為b的小正方形和4個形狀大小完全相同的梯形組成．(1)用含a，b的代數(shù)式表示其中一個梯形的面積：_________；(2)請用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，由此，你能得到一個怎樣的公式？【答案】(1)14a+b(2)方法一：a+ba?b，方法二：a2【分析】本題主要考查的是平方差公式的幾何背景，整式的運(yùn)用，運(yùn)用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)梯形的面積公式求解即可；（2）方法一：用（1）中梯形面積乘以4即可；方法二，用大正方形的面積減去小正方形的面積即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：梯形的面積為a+b×或：a2故答案為：14a+ba?b（2）解：方法一：用梯形面積乘以4，即14方法二：用大正方形的面積減去小正方形的面積，即a2【變式4-1】（23-24八年級·浙江杭州·期中）兩個大小不一的正方形①和②如圖1放置時，AB=a，CD=b．現(xiàn)有①和②兩種正方形各四個，擺放成如圖2所示形狀，那么陰影部分的面積可用a，A．4a2?4b2 B．4ab 【答案】B【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，設(shè)正方形②的邊長為x，正方形①的邊長為y，由圖1可得x+y=a，x?y=b，即可得x+yx?y=ab，得到x2?y【詳解】解：設(shè)正方形②的邊長為x，正方形①的邊長為y，由圖1可得，x+y=a，x?y=b，∴x+yx?y即x2∴S陰影故選：B．【變式4-2】（23-24八年級·陜西咸陽·階段練習(xí)）【知識生成】（1）我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，例如：從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖2．圖1中剩余部分的面積為______，圖2的面積為______，請寫出這個代數(shù)恒等式；【知識應(yīng)用】（2）應(yīng)用（1）中的公式，完成下面任務(wù)：若m是不為0的有理數(shù)，已知P=a+2ma?2m，Q=a+ma?m，比較【知識遷移】（3）事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖3表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖3中圖形的變化關(guān)系，通過計(jì)算寫出一個代數(shù)恒等式．

【答案】（1）?3m2；（2）P<Q；（3）【分析】（1）分別用代數(shù)式表示圖1，圖2的面積即可；（2）利用（1）中得到的等式計(jì)算P?Q的值即可；（3）分別用代數(shù)式表示圖3中左圖和右圖的體積即可．【詳解】解：（1）圖1中剩余部分的面積為a2圖2的面積為a+ba?b所以代數(shù)恒等式為a+ba?b（2）∵P=a+2ma?2m，∴P?Q=a+2ma?2m?a+m因?yàn)閙是不為0的有理數(shù)，所以?3m2<0，即P?Q<0（3）圖3中左圖的體積為x?x?x?1×1×x=x圖3中右圖是長為x+1，寬為x，高為x?1的長方體，因此體積為x+1?x?x?1，所以有【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，利用代數(shù)式表示圖形的面積和體積是正確解答的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24八年級·河南濮陽·階段練習(xí)）如圖1，邊長為a的大正方形內(nèi)有一個邊長為b的小正方形．

（1）用含字母的代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積為__________；（2）將圖1的陰影部分沿斜線剪開后，拼成了一個如圖2所示的長方形，用含字母的代數(shù)式表示此長方形的面積為__________；（多項(xiàng)式乘積的形式）（3）比較圖1和圖2的陰影部分面積，請你寫出一個整式乘法的公式__________；（4）結(jié)合（3）的公式，計(jì)算：①(x?2)(x+2)x②1+1【拓展】直接寫出2+12【答案】（1）a2?b2；（2）a+ba?b；（3）a【分析】（1）用大正方形面積減去小正方形面積，即可得到圖1中陰影部分的面積；（2）由圖1可知，長方形的長為a+b，寬為a?b，即可求出此長方形的面積；（3）根據(jù)圖1中陰影面積與圖2長方形面積相等，結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論，即可得到答案；（4）①利用（3）中的整式乘法的公式直接計(jì)算，即可得到答案；②將原式×21?拓展：將原式×2?1變形，再利用（3）中的整式乘法的公式計(jì)算，得到結(jié)果264，再分析2n【詳解】解：（1）由圖1可知，陰影部分的面積為a2故答案為：a2（2）由圖1可知，長方形的長為a+b，寬為a?b，∴圖2中長方形的面積為a+ba?b故答案為：a+ba?b（3）由題意可知，圖1中陰影面積與圖2長方形面積相等，∴a故答案為：a2（4）①(x?2)(x+2)==x②1+=2=2=2=2=2=2?=2；拓展：2+1========2∵21=2，22=4，23=8，2∴2∵64÷4=16，∴2【點(diǎn)睛】本題考查了平方差的幾何背景以及平方差公式的應(yīng)用，正確理解平方差公式的結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵．【題型5完全平方公式的幾何背景】【例5】（23-24八年級·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）我們知道，通過幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)慎等式．例如：如圖1得到a+b2(1)【直接應(yīng)用】若x+y=3，x2+y(2)【類比應(yīng)用】若x3?x=1，則(3)【知識遷移】兩塊完全一樣的直角三角板∠AOB=∠COD=90°如圖2放置，其中A，O，D在一條直線上，連接AC，BD．若AD=16，△AOC和△BOD的面積和S△AOC【答案】(1)2(2)7(3)128【分析】本題考查通過對完全平方公式變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用：（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式將原式變形為x+3?x（3）設(shè)OA=OC=a，OB=OD=b，則a+b=AD=16，S△AOC+S△BOD=【詳解】（1）解：xy=1故答案為：2；（2）解：x2故答案為：7；（3）解：設(shè)OA=OC=a，OB=OD=b，由題意知，a+b=AD=16，S△AOC∴a2∴ab=1∴S△AOB∴四邊形ABCD的面積=S【變式5-1】（23-24八年級·江蘇宿遷·期末）現(xiàn)有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1，已知點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，連接DH、FH，將乙紙片放到甲的內(nèi)部得到圖2，已知甲、乙兩個正方形邊長之和為12，圖2的陰影部分面積為10，則圖1的陰影部分面積為（

）A．24 B．29 C．41 D．45【答案】C【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，設(shè)甲正方形的邊長為x，乙正方形的邊長為y，根據(jù)題意得x+y2=144，x?y2【詳解】解：設(shè)甲正方形的邊長為x，乙正方形的邊長為y，則AD=x，EF=y，AE=x+y=12，∴x+y2∴x2∵點(diǎn)H為AE的中點(diǎn)，∴AH=EH=6，∵圖2的陰影部分面積為x?y2∴x+y2∴x2∴圖1的陰影部分面積為x2故選：C．【變式5-2】（23-24八年級·浙江杭州·期中）在數(shù)學(xué)活動課上，一位同學(xué)用四張完全一樣的長方形紙片（長為a，寬為b，a>b）搭成如圖一個大正方形，面積為132，中間空缺的小正方形的面積為28．下列結(jié)論中，不正確的有（

）A．a(chǎn)?b2=28； C．a(chǎn)2+b【答案】D【分析】本題考查平方差公式、完全平方公式的幾何背景，根據(jù)拼圖得出，a+b2=132，【詳解】解：由拼圖可知，大正方形的面積的邊長為a+b，中間的小正方形的邊長為a?b，∴a+b2=132，∴a+b2?a?b∴a2∴4ab=104，∴ab=26，∴a2∵a+b2=132，∴a+ba?b∵a>b，∴a2故選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯誤，故選：D．【變式5-3】（23-24八年級·安徽合肥·期中）某些等式可以根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系進(jìn)行解釋，例如，等式2a+ba+b=2a2+3ab+b2

(1)根據(jù)圖（2）的面積關(guān)系可以解釋的一個等式為________；(2)已知等式x+px+q(3)請你設(shè)計(jì)一個幾何圖形，并解釋：a+ba?b【答案】(1)a+b2(2)見解析；(3)圖見解析，解釋見解析．【分析】本題主要考查完全平方公式及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式與幾何圖形的關(guān)系；熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵；（1）利用正方形的面積公式即可證明．（2）畫一個長為x+p，寬為x+q的長方形即可；（3）把邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的正方形后，拼成一個長為a+b，寬為a?b的長方形即可．【詳解】（1）解：在圖2中，大正方形的邊長為a+b2組成大正方形的5個部分的面積和為a2所以有a+b2故答案為：a+b2（2）解：如圖3所示：

整體大長方形的長為x+p，寬為x+q，組成長方形的4個部分的面積和為x2因此有x+px+q（3）解：如圖4，

把邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的正方形后，拼成一個長為a+b，寬為a?b的長方形，因此可以驗(yàn)證a+ba?b【題型6乘法公式的應(yīng)用】【例6】（23-24八年級·山東青島·期中）已知長方形金魚池的面積為1平方米，周長為6米，以長方形魚池相鄰兩邊向外作正方形的小花園，則兩個正方形小花園面積之和是．【答案】7【分析】設(shè)金魚池的長與寬各為a米和b米，得ab=1，a+b=3，由完全平方公式變形得a2【詳解】解：設(shè)金魚池的長與寬各為a米和b米，得ab=1，a+b=3，由完全平方公式a+b2a2故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式幾何背景的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形和完全平方公式靈活變式應(yīng)用．【變式6-1】（23-24八年級·湖南邵陽·期中）如圖，某校一塊邊長為2am的正方形空地是八年級四個班的清潔區(qū)，其中分給八年級（1）班的清潔區(qū)是一塊邊長為a?2bm

(1)分別求出八年級（2）班、八年級（3）班的清潔區(qū)的面積．(2)八年級（4）班的清潔區(qū)的面積比八年級（1）班的清潔區(qū)的面積多多少？【答案】(1)八年級（2）班、八年級（3）班的清潔區(qū)的面積均為a+2b(2)多8ab【分析】（1）根據(jù)圖形可知：八年級（2）班、八年級（3）班的清潔區(qū)為長方形，通過2a?a?2b=a+2b（2）由正方形的面積公式可得到：a+2b2【詳解】（1）解：（1）因?yàn)?a?a?2b所以八年級（2）班、八年級（3）班的清潔區(qū)的面積均為a+2ba?2b（2）因?yàn)閍+2b2所以八年級（4）班的清潔區(qū)的面積比八年級（1）班的清潔區(qū)的面積多8ab?【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法，熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24八年級·浙江溫州·期中）學(xué)校為迎接藝術(shù)節(jié)，準(zhǔn)備在一個正方形空地ABCD上搭建一個表演舞臺，如圖所示，正中間是“紅五月”三個正方形平臺．其中“五”字正方形和“月”字正方形邊長均為a米，“紅”字正方形邊長為b米．Ⅰ號區(qū)域布置造型背景，Ⅱ號區(qū)域設(shè)置為樂隊(duì)演奏席．(1)用含a，b的代數(shù)式表示陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）并化簡；(2)若陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）為288平方米，且a+b=20米，求“紅”字正方形邊長b的值．【答案】(1)2(2)16【分析】（1）根據(jù)題意，分別表示出正方形空地ABCD的面積和“紅五月”三個正方形平臺的面積，相減即為陰影部分的面積；（2）根據(jù)陰影部分的面積求出a2+2ab=144，再根據(jù)a+b=20，得到a2+2ab+b【詳解】（1）解：由題意可知，正方形空地ABCD的邊長為2a+b，∴正方形空地ABCD的面積為2a+b2∵“紅五月”三個正方形平臺的面積為a2∴陰影部分的面積為2a+b2（2）解：陰影部分的面積為288平方米，∴2a∴a∵a+b=20，∴a+b∴b∵b>0,∴b=16．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面積公式，列代數(shù)式，完全平方公式，平方根知識，根據(jù)題意正確得出陰影部分的面積是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24八年級·廣東佛山·期中）某樓盤推出“主房+多變?nèi)霊艋▓@”的兩種戶型．即在圖1中邊長為a米的正方形主房進(jìn)行改造．戶型一是在主房兩側(cè)均加長b米（0<b<a）．陰影部分作為入戶花園，如圖2所示．戶型二是在主房一邊減少b米后，另一邊再增加b米，陰影部分作為入戶花園，如圖3所示，設(shè)戶型一與戶型二的主房面積之差為M，入戶花園的面積之差為N．請計(jì)算M?N．【答案】?2b2【分析】分別計(jì)算兩種戶型的主房面積，相減可得M，再計(jì)算兩種戶型的入戶花園的面積，相減可得N，最后計(jì)算M?N．【詳解】解：（1）∵M(jìn)＝a2?a（a?b）＝a2?a2＋ab＝ab，N＝（a＋b）2?a2?b（a?b）＝a2＋2ab＋b2?a2?ab＋b2＝ab＋2b2，∴M?N＝ab?（ab＋2b2）＝?2b2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了完全平方公式的幾何背景和整式的混合運(yùn)算，正確利用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【題型7乘法公式的證明】【例7】（23-24八年級·遼寧沈陽·期末）如圖，將大正方形通過剪、割、拼后分解成新的圖形，利用等面積法可證明某些乘法公式，在給出的四種拼法中，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】C【分析】本題考查平方差公式、完全平方公式的幾何背景，用不同的代數(shù)式表示兩個面積相等的部分是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)各個圖形的拼圖的面積計(jì)算方法分別用等式表示后，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】圖①的如圖陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2?b2，拼成的如圖陰影部分是底為a+b，高為a?b的平行四邊形，因此面積為圖②的如圖陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2?b2，拼成的如圖陰影部分是長為a+b，寬為a?b的矩形，因此面積為圖③的如圖陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即a2?b2，拼成的如圖陰影部分是底為a+b，高為a2圖④的如圖陰影部分的面積可以看作兩個正方形的面積差，即a+b2?a?b2’，拼成的如圖陰影部分是長為2a，寬為2b的長方形，因此面積為綜上所述，能驗(yàn)證平方差公式的有①②③，故選∶C．【變式7-1】（23-24八年級·山西呂梁·期末）初中數(shù)學(xué)中很多公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋，如圖，請你利用這個圖形的幾何意義證明某個數(shù)學(xué)公式．

(1)利用這個圖形可以證明的數(shù)學(xué)公式是；(2)在證明（1）中數(shù)學(xué)公式的過程中，滲透的主要數(shù)學(xué)思想是什么？(3)請你寫出完整的證明過程．【答案】(1)平方差公式或(a+b)(a?b)=(2)數(shù)形結(jié)合(3)證明見解析【分析】本題考查了公式與幾何圖形的意義，數(shù)形結(jié)合思想，公式的證明．(1)根據(jù)圖形整體面積等于各部分面積之和即可解答．(2)根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想解答即可．(3)根據(jù)面積的意義，證明即可掌握面積法是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得平方差公式或(a+b)(a?b)=a故答案為：平方差公式或(a+b)(a?b)=a（2）解：主要思想是數(shù)形結(jié)合思想．（3）解：由題意可知：長方形ABCD的長AD=a+b，寬DC=a?b，∴S矩形∵長方形BGHM的長BM=a?b，寬MH=b，∴長方形BGHM與長方形FECD的面積相等，∴S長方形ABCD=S=S正方形AGNF?∵S正方形AGNF=a2，S∴(a+b)(a?b)=

【變式7-2】（23-24八年級·江蘇南京·期末）（1）求證：a2（2）已知41×53=2173，證明2173是兩個正整數(shù)的平方之和．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是∶（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算左邊，利用完全平方公式計(jì)算右邊，然后驗(yàn)證即可；（2）把41，53分別寫成兩個正整數(shù)的平方和，然后利用（1）中a2【詳解】證明：（1）∵左邊=a右邊==a∴左邊=右邊，∴a2（2）∵41=16+25=42+由（1）知：a2∴42或4又41×53=2173，∴2173=43即2173是正整數(shù)43，18的平方之和或正整數(shù)27，38的平方之和．【變式7-3】（23-24八年級·山東聊城·期末）如圖1，△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別記為a、b、C.實(shí)驗(yàn)一：小聰和小明用八張這樣的三角形紙片拼出了如圖2所示的正方形.（1）在圖2中，正方形CDEF的面積可表示為，正方形IJKL的面積可表示為(用含a，b的式子表示)（2）請結(jié)合圖2，用面積法說明a+b2，ab，a?b實(shí)驗(yàn)二：小聰和小明分別用四個這樣三角形紙片拼成了如圖3所示的圖形.他們根據(jù)面積法得到了一個關(guān)于邊a、b、c的等式，整理后發(fā)現(xiàn)，a2（3）請你用面積法證明：a2【答案】（1）a+b2，a?b2；（2）【分析】本題考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，掌握完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．（1）直接表示出正方形的面積即可解題；（2）運(yùn)用兩種不同的方法表示正方形的面積，然后整理解題；（3）運(yùn)用兩種不同的方法表示圖形的面積，然后整理即可．【詳解】解：（1）在圖2中，正方形CDEF的面積可表示為a+b2，正方形IJKL的面積可表示為a?b故答案為：a+b2，a?b（2）由圖可知：a+b2=8×1（3）選擇是圖3，正方形的面積為a即a2∴a2【題型8由乘法公式求最值】【例8】（23-24·江蘇南通·二模）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+ab+b2=1，若p=ab+2a+2b【答案】?2【分析】本題考查完全平方公式的運(yùn)用、平方式的非負(fù)性，先利用完全平方公式將已知等式化為ab=a+b2?1，再將p=ab+2a+2b【詳解】解：∵a2∴a+b2?ab=1，即∴p=ab+2a+2b==a+b+12?2當(dāng)a+b+1=0時取等號，∴p的最小值為?2，故答案為：?2．【變式8-1】（23-24八年級·山東威?！て谥校┊?dāng)多項(xiàng)式?x2?12【答案】?【分析】將該多項(xiàng)式配方，轉(zhuǎn)化為非負(fù)性的形式即可；【詳解】解：?∵?∴?當(dāng)x=?14時，原代數(shù)式有最大值，最大值為故答案為：?【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，熟練掌握配完全平方式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（23-24八年級·江蘇常州·期末）已知：x+y＝12，則代數(shù)式3x2+y2的最小值為．【答案】108【分析】根據(jù)題意把y=12-x代入式子中化簡求最值即可．【詳解】解：由題意可得：y=12-x，代入式子3x2+y2中，3x2+y2=3x2+（12-x）2=3x2+144-24x+x2=4x2-24x+144=（2x-6）2+108≥108，∴3x2+y2的最小值為108．故答案為：108．【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（23-24八年級·全國·競賽）已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2?2a+6b=5，則a+3b的最大值為【答案】9【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵a2∴a2a?22∵a?2∴2a+3b可得a+3b≤9∴a+3b的最大值為92故答案為：92【題型9乘法公式的規(guī)律探究】【例9】（23-24八年級·寧夏銀川·期末）觀察下列等式，并回答問題．4×1=24×2=34×3=44×4=5……(1)將2024寫成兩整數(shù)平方差的形式：2024=4×______=______?______(2)用含有字母n（n≥1的整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，并用已學(xué)的知識驗(yàn)證這一規(guī)律．(3)相鄰的兩個整數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)嗎？請說說你的理由．【答案】(1)506，5072，(2)見詳解(3)相鄰的兩個整數(shù)的平方差不是4的倍數(shù)，理由見詳解【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的規(guī)律運(yùn)算，平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是整理題目給出的規(guī)律．（1）根據(jù)題意給出的規(guī)律即可求出答案；（2）利用平方差公式的應(yīng)用即可驗(yàn)證；（3）根據(jù)題意列出式子即可求證．【詳解】（1）解：2024=4×506=507故答案為：506，5072，505（2）由題意可知：4n=(n+1)2?證明：右邊=(n+1)（3）相鄰的兩個整數(shù)的平方差不是4的倍數(shù)，理由如下：設(shè)相鄰的兩個整數(shù)分別：a，根據(jù)題意可知：(a+1)2∵a≥1的整數(shù)，∴2a+1為奇數(shù)，∴相鄰的兩個整數(shù)的平方差不是4的倍數(shù)．【變式9-1】（23-24·遼寧大連·一模）如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9個小正方形拼成；第3個圖形由25個小正方形拼成，依此規(guī)律，若第n個圖形比第（n-1）個圖形多用了72個小正方形，則n的值是.【答案】10【分析】依次觀察前幾個圖形以及正方形的個數(shù)，進(jìn)而歸納得到拼成第n個圖形需要(2n?1)2【詳解】第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9=(2×2?1)第3個圖形由25=(2×3?1)……拼成第n?1個圖形需要(2n?3)2拼成第n個圖形需要(2n?1)2(2n?1)2?解得：n=10；故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形類規(guī)律探索，根據(jù)圖形得出小正方形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（23-24八年級·河南周口·階段練習(xí)）仔細(xì)觀察，探索規(guī)律：(1)a?ba+ba?baa?ba①a?ban?1+an?2②2?1×③2?1×④2?1×⑤2?1×(2)根據(jù)上述規(guī)律求22023(3)根據(jù)上述規(guī)律：29【答案】(1)（1）①an?bn，②22?1，③(2)2(3)342【分析】本題考查了平方差公式以及拓展應(yīng)用，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式規(guī)律等知識，熟練掌握平方差公式并根據(jù)題目中呈現(xiàn)的式子發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)結(jié)果的規(guī)律得出答案；（2）將22023+2（3）由(a?b)(an?1+an?2b+…+abn?2+bn?1)=an?【詳解】（1）解：（1）由上式的規(guī)律可得，an①故答案為：an由題干中提供的等式的規(guī)律可得，②(2+1)(2?1)=2故答案為：22③(2?1)(2故答案為：23④(2?1)(故答案為：24⑤(2故答案為：2n（2）解：2=(2?1)(=2（3）解：∵(a?b)(a∴取a=2，b=?1，n=10，∴(2+1)(∴=====342．【變式9-3】（23-24八年級·河南鄭州·期末）觀察下列各式：152=225，252=625(1)個位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，末尾的兩個數(shù)有什么規(guī)律?(2)如果一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為5，十位數(shù)字為n（1≤n≤9且n為整數(shù)），請你借助代數(shù)式解釋（1）中的規(guī)律．(3)如果把三位數(shù)595看成十位數(shù)字為“59”個位數(shù)字為“5”的“兩位數(shù)”，請利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算5952【答案】(1)末尾的兩個數(shù)都是25(2)(10n+5)(3)計(jì)算過程見解析，結(jié)果354025【分析】（1）觀察各式，找到規(guī)律，即可求解，（2）根據(jù)題意得到兩位數(shù)為：10n+5，將10n+52（3）根據(jù)（2）得到的公式代入n=59，即可求解，本題考查了，數(shù)字規(guī)律探索，完全平方式，解題的關(guān)鍵是：用代數(shù)式表示出數(shù)字的規(guī)律．【詳解】（1）解：個位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，末尾的兩個數(shù)總是25，（2）解：這個兩位數(shù)是：10n+5，∵10n+52∴個位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，末尾的兩個數(shù)總是25，（3）解：5952故答案為：354025．【題型10乘法公式中的新定義問題】【例10】（23-24八年級·遼寧沈陽·期末）定義：對于一組多項(xiàng)式：x+a，x+b，x+c(a，b，c都是非零常數(shù))，當(dāng)其中一個多項(xiàng)式的平方與另外兩個多項(xiàng)式的乘積的差除以x是一個常數(shù)m時，稱這樣的三個多項(xiàng)式是一組和諧多項(xiàng)