第27章

相似形

27.2.1.1

相似三角形的性質(zhì)定理1三角形中有各種各樣的幾何量，例如三條邊的長(zhǎng)度，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，高、中線、角平分線的長(zhǎng)度等，如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的這些幾何量之間有什么關(guān)系呢？思考新課導(dǎo)入根據(jù)相似三角形的定義可知,相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.現(xiàn)在,我們研究相似三角形的其他幾何量之間的關(guān)系.新課講解已知:如圖,△ABC∽△A′B′C′,它們的相似比為k,AD,A′D′是對(duì)應(yīng)高.1.相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高有什么關(guān)系呢？求證:ABCDC′B′A′D′新課講解證明∵△ABC∽△A′B′C′,

∴∠B=∠B′.∵∠BDA=∠B′D′A′=90°,∴Rt△ABD∽R(shí)t△A′B′D′.

∴ABCDC′B′A′D′相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比.新課講解2.相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線有什么關(guān)系呢？（1）如圖,△ABC,AE為BC邊上的中線,則把三角形擴(kuò)大2倍后得△A′B′C′,A′E′為BC邊上的中線.△ABC與△A′B′C′的相似比是多少？AE與A′E′的比是多少？ABCEE′A′B′C′新課講解（2）如右圖兩個(gè)相似三角形的比為k,則對(duì)應(yīng)邊上的中線的比是多少呢？說(shuō)說(shuō)你判斷的理由是什么？ABCEE′A′B′C′相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比等于相似比.新課講解3.相似三角形對(duì)應(yīng)角的角平分線有什么關(guān)系呢？B′A′C′D′BACD已知:如圖,△ABC∽△A′B′C′,它們的相似比為k,AD,A′D′分別是∠BAC,∠B′A′C′的角平分線.求證:新課講解證明∵△ABC∽△A′B′C′,

∴∠BAC=∠B′A′C′,∴∠DAC=∠D′A′C′,∴△DAB∽△D′A′B′.

∴B′A′C′D′BACD∠C=∠C′.又∵AD,A′D′分別是∠BAC,∠B′A′C′的角平分線.相似三角形對(duì)應(yīng)角的角平分線之比等于相似比.新課講解相似三角形的性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.ABCDEFA′B′C′D′E′F′新課講解1.判斷題（1）相似三角形的中線比等于相似比()（2）兩個(gè)相似三角形的邊長(zhǎng)之比等于高之比.

()××課堂練習(xí)2.填空.（1）相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2∶3,那么相似比為_______,對(duì)應(yīng)角的角平分線的比為______.（2）兩個(gè)相似三角形的相似比為1∶4,則對(duì)應(yīng)高的比為______,對(duì)應(yīng)角的角平分線的比為______.2∶32∶31∶41∶4課堂練習(xí)3.如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,點(diǎn)F在BC上,連DF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.（1）求證:△CDF∽△BGF;（2）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí),過(guò)F作EF∥CD交AD于點(diǎn)E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的長(zhǎng).課堂練習(xí)（1）證明:∵在梯形ABCD中,AB∥CD,

∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,∴△CDF∽△BGF.

課堂練習(xí)（2）由（1）知△CDF∽△BGF,又F是BC的中點(diǎn),

∴BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=FG,CD=BG.又∵EF∥CD,AB∥CD,∴EF∥AG,得2EF=AB+BG.∴BG=2EF-AB=2×4-6=2,∴CD=BG=2cm．課堂練習(xí)課堂小結(jié)第三部分PART

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相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.ABCDEFA′B′C′D′E′F′課堂小結(jié)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，這是判定三角形全等的SSS方法.類似地，我們能不能通過(guò)三邊來(lái)判定兩個(gè)三角形相似呢？新課導(dǎo)入任意畫一個(gè)三角形，再畫一個(gè)三角形，使它的各邊長(zhǎng)都是原來(lái)三角形各邊長(zhǎng)的k倍.度量這兩個(gè)三角形的角，他們分別相等嗎？這兩個(gè)三角形相似嗎？與同學(xué)交流一下，看看是否有同樣的結(jié)論.交流新課導(dǎo)入如圖，在△ABC和△A'B'C‘中，求證:△ABC∽△A'B'C'.ABCA′B′C′新課講解ABCA′B′C′證明：在線段A′B′（或它的延長(zhǎng)線）上截取A′D=AB,過(guò)點(diǎn)D作DE∥B′C′

,交A′C′于點(diǎn)E,根據(jù)前面的定理,可得△A'DE∽△A'B'C'.DE新課講解∴.又,A'D=AB.∴,.∴DE=BC,A'E=AC.∴△A′DE≌△ABC.∴△ABC∽△A'B'C'.ABCA′B′C′DE新課講解如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.相似三角形判定定理3可以簡(jiǎn)單說(shuō)成:三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.新課講解幾何語(yǔ)言：∵ABCA′B′C′∴△A′B′C′∽△ABC.新課講解例1在△ABC和△A′B′C′中,已知下列條件成立,判斷這兩個(gè)三角形是否相似,并說(shuō)明理由.（1）AB=5,AC=3,∠A=45°,A′B′=10,A′C′=6,

∠A=45°;（2）∠A=38°,∠C=97°,∠A′=38°,∠B′=45°;（3）AB=5,BC=,AC=,A′B′=,B′C′=1,A′C′=.新課講解（1）AB=5,AC=3,∠A=45°,A′B′=10,A′C′=6,

∠A=45°;解∵,

∴.

∵∠A=∠A′

=45°.

∴△ABC∽△A′B′C′

.

新課講解（2）∠A=38°,∠C=97°,∠A′=38°,∠B′=45°;∵∠B=180°-(∠A+∠C)

=180°-(38°+97°)=45°.

∴∠B=∠B′=45°.∵∠A=∠A′=38°,∴△ABC∽△A′B′C′

.

新課講解（3）AB=5,BC=,AC=,A′B′=,B′C′=1,A′C′=.∵,

,

,

∴.∴△ABC∽△A′B′C′

.

新課講解A例3如圖,方格網(wǎng)的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形,△ABC與△A′B′C′的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,判斷△ABC與△A′B′C′是否相似,為什么？CBA′B′C′新課講解解由于△ABC與△A′B′C′的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,根據(jù)勾股定理,得ACBA′B′C′,AC=2,

新課講解ACBA′B′C′∴△ABC∽△A′B′C′

.

新課講解

1.試判定△ABC與△A′B′C′是否相似并說(shuō)明理由.已知:AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,

A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm.解∵∴△ABC∽△A′B′C′

.

課堂練習(xí)2.試判定△ABC與△A′B′C′是否相似,并說(shuō)明理由.在△ABC和△A′B′C′中,已知:AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm,A′B′=16cm,B′C′=

20cm,A′C′=30cm.不相似，因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊的比不相等.課堂練習(xí)3.要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為4、5、6,另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為2,它的另外兩條邊長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)是多少？你有幾個(gè)答案？解設(shè)另外兩條邊長(zhǎng)分別為x,y.

方案(1)課堂練習(xí)3.要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為4、5、6,另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為2,它的另外兩條邊長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)是多少？你有幾個(gè)答案？方案(2)課堂練習(xí)3.要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為4、5、6,另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為2,