年茂名市高三年級(jí)第二次綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁，小題，滿分分考試用時(shí)分鐘.注意事項(xiàng)：．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上將條形碼橫貼在答題卡右上角條形碼粘貼處．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效.．考生必須保持答題卡的整潔考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)求模長(zhǎng)即可．【詳解】，，故選：A．2.設(shè)集合，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件第1頁/共20頁【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，推得是的真子集，即可判斷．【詳解】∵集合，，∴是的真子集，是的充分不必要條件．故選：A．3.已知向量不共線，且，則實(shí)數(shù)（）A.3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線，可設(shè)，利用向量相等的條件求解即可．【詳解】因?yàn)橄蛄坎还簿€，且，設(shè)，即，所以，解得．故選：D．4.若，則（）A.0B.C.1D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩角和正切公式展開后再代入即可.【詳解】，即，第2頁/共20頁則，.故選：C.5.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為（）A.B.C.40D.80【答案】B【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式列方程，求出，求出項(xiàng)的系數(shù)即可．【詳解】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式得：，令，解得：，所以的系數(shù)為：，故選：B．6.甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，每次傳球時(shí)，持球者會(huì)等可能地傳給另外兩人中的任意一位，若第一次由甲開始傳球，則經(jīng)過四次傳球后，球回到甲手中的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意可列出球在甲手中的概率遞推關(guān)系式，構(gòu)造出等比數(shù)列，求出第次球在甲手中的概率表達(dá)式，代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知：，又，所以，構(gòu)造等比數(shù)列，因?yàn)榈谝淮斡杉讉髑颍烧J(rèn)為第次傳球在甲，即，第3頁/共20頁所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故，則.故選：C.7.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到在各區(qū)間的符號(hào)，再分類討論即可解出不等式.【詳解】構(gòu)造，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則此時(shí)，單調(diào)遞增，則正負(fù)符號(hào)由決定，又因?yàn)?，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，又因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，則當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，且，則若，則或第4頁/共20頁即或，解得或，綜上，的解集為.故選：D.8.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則的離心率為（）AB.C.D.【答案】B【解析】建立等式求解離心率即可.【詳解】的漸近線為，聯(lián)立，因?yàn)樵诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為，得，即，所以，又，故，第5頁/共20頁化簡(jiǎn)得：，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.等差數(shù)列中，．記數(shù)列前項(xiàng)和為，下列選項(xiàng)正確的是（）A.數(shù)列的公差為2B.取最小值時(shí)，C.D.數(shù)列的前10項(xiàng)和為50【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得關(guān)于的方程，解出，則得到，最后一一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意知，解得，故A正確；對(duì)B，，，則當(dāng)時(shí)，取最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，數(shù)列的前10項(xiàng)和為，故D正確.故選：AD.10.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.可能成立第6頁/共20頁C.可能是等腰三角形D.面積的最大值為20【答案】AC【解析】【分析】由三角恒等變換公式結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)即可判斷A邊關(guān)系即可判斷B，假設(shè)結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可判斷C，由三角形的面積公式結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可判斷D.【詳解】由正弦定理可得,即，即，即，且，所以，且，所以，故A正確；假設(shè)，則，又，則，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故不可能成立，故B錯(cuò)誤；假設(shè)，由余弦定理可得，代入可得，又，即，則成立，所以成立，成立，所以成立，故C正確；由三角形的面積公式，由余弦定理可得，即，且，，第7頁/共20頁所以，化簡(jiǎn)可得，解得，所以時(shí)，三角形的面積最大，最大值為，故D錯(cuò)誤；故選：AC設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)（其中）進(jìn)行一次變換，得到點(diǎn)，記為，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.為圖象上一動(dòng)點(diǎn)，，若的軌跡仍為函數(shù)圖象，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，驗(yàn)證旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)是否滿足，即斜率乘積是否為，對(duì)于B，旋轉(zhuǎn)不改變點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，直接計(jì)算和是否相等，對(duì)于C，根據(jù)變換得到的坐標(biāo)關(guān)系可得變換形式，從而可判斷正誤，對(duì)于D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的范圍可出參數(shù)的范圍后可判斷正誤.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)?，故，故，而，故?頁/共20頁，同理，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，故將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后仍為函數(shù)圖像，故圖象上的任意一點(diǎn)切線的斜率大于或等于，故即在上恒成立，故，故D成立.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸于點(diǎn)，若，則______．【答案】8【解析】等于其到準(zhǔn)線的距離，即.【詳解】由題意可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義可知.故答案為：.13.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】恒成立問題，可以用參變分離求最值的方法，結(jié)合放縮即可得答案.【詳解】第9頁/共20頁由于，兩者都是當(dāng)且僅當(dāng)x＝1等號(hào)成立則所以．故答案：．14.已知棱長(zhǎng)為的正四面體，為側(cè)面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為______．【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，得到，得到點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡為以為半徑的圓的一部分，求得，得到，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度.【詳解】以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，因?yàn)椋傻?，設(shè)，因?yàn)?，即，可得，整理得，?0頁/共20頁所以點(diǎn)在空間中的軌跡是以為球心，半徑為的球，又因?yàn)樵趥?cè)面內(nèi)，過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則為的中心，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，因?yàn)?，所以，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知為常數(shù)，且．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有且僅有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，求的值．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.（2）【解析】1）直接代入求導(dǎo)即可得到其單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)得到其單單調(diào)性，再跟三次函數(shù)特點(diǎn)得到，解出方程即可.第11頁/共20頁【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.【小問2詳解】因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以有2個(gè)零點(diǎn)，又由（1）可知，，因?yàn)椋瑒t當(dāng)，，當(dāng)，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，解得或或或，又，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若為線段上一點(diǎn)，且四點(diǎn)共面，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；第12頁/共20頁（2）.【解析】1）利用向量數(shù)量積證得，再利用線面垂直的性質(zhì)與判定定義即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系得平面的一個(gè)法向量，再設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系得值，最后利用體積公式即可.【小問1詳解】由題意知，因?yàn)?，所以，又平面，又平面，所以，又平面，且，所以平面，又平面，所?【小問2詳解】因?yàn)槠矫妫制矫?，所以，又，所以兩兩垂直，如圖以A為原點(diǎn)，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，不妨令，則所以設(shè)，則，第13頁/共20頁因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，則，解得，即，所以.17.某運(yùn)動(dòng)員為了解自己的運(yùn)動(dòng)技能水平，記錄了自己1000次訓(xùn)練情況并將成績(jī)（滿分100分）統(tǒng)計(jì)如下表所示.成績(jī)區(qū)間頻數(shù)100200300240160（1（2）該運(yùn)動(dòng)員用分層抽樣的方式從的訓(xùn)練成績(jī)中隨機(jī)抽取了6次成績(jī)，再從這6次成績(jī)中隨機(jī)選2次，設(shè)成績(jī)落在區(qū)間的次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）對(duì)這1000次訓(xùn)練記錄分析后，發(fā)現(xiàn)某項(xiàng)動(dòng)作可以優(yōu)化.優(yōu)化成功后，原低于80分的成績(jī)可以提高10分，原高于80分的無影響，優(yōu)化失敗則原成績(jī)會(huì)降低10分，已知該運(yùn)動(dòng)員優(yōu)化動(dòng)作成功的概率為80分.用樣本估計(jì)總體的方法，求使得入圍的可能性變大時(shí)p的取值范圍.【答案】（1）平均值為，上四分位數(shù)為；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）.【解析】1）根據(jù)平均值計(jì)算公式和上四分位數(shù)計(jì)算方法即可得到答案；第14頁/共20頁（2）寫出的可能取值，再分別計(jì)算出其分布列，最后再利用數(shù)學(xué)期望公式即可；（3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率計(jì)算公式得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得到不等式，解出即可；法二：根據(jù)比例法得到相關(guān)概率表達(dá)式，解出不等式即可.【小問1詳解】依題意，平均值，，上四分位數(shù)落在區(qū)間，且等于.【小問2詳解】由樣本數(shù)據(jù)可知，訓(xùn)練成績(jī)?cè)谥畠?nèi)的頻數(shù)之比為2:1，由分層抽樣的方法得，從訓(xùn)練成績(jī)?cè)谥须S機(jī)抽取了6次成績(jī)，在之內(nèi)的4次，在之內(nèi)的抽取了2次，所以可取的值有：0，1，2，，，，分布列為：012.【小問3詳解】法一：設(shè)事件分別表示動(dòng)作優(yōu)化前成績(jī)落在區(qū)間，，，則相互互斥，所以動(dòng)作優(yōu)化前，在一次資格賽中，入圍的概率，設(shè)事件B為＂動(dòng)作優(yōu)化成功＂，則，第15頁/共20頁動(dòng)作優(yōu)化后，在一次資格賽中，入圍事件為：，且事件相互互斥，所以在一次資格賽中入圍的概率，故，由解得，又的取值范圍是.法二：因?yàn)槿雵某煽?jī)標(biāo)準(zhǔn)是80分，所以進(jìn)行某項(xiàng)動(dòng)作優(yōu)化前，該運(yùn)動(dòng)員在資格賽中入圍的概率為：，進(jìn)行某項(xiàng)動(dòng)作優(yōu)化后，影響該運(yùn)動(dòng)員入圍可能性變化的是落在區(qū)間或的成績(jī)，當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)作優(yōu)化成功，落在這兩個(gè)區(qū)間的成績(jī)才能符合入圍標(biāo)準(zhǔn)，所以進(jìn)行優(yōu)化后，該運(yùn)動(dòng)員在資格賽中入圍的概率，由，得，又的取值范圍是.18.已知橢圓的焦距為2，點(diǎn)在上，是的右焦點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）直線不與軸重合，且平分．①求的值；②若點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）①；②證明見解析.【解析】1）根據(jù)焦距得到，再代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得到橢圓方程；（2第16頁/共20頁整體代入化簡(jiǎn)即可；②轉(zhuǎn)化為證明，而，替換其中的化簡(jiǎn)即可.【小問1詳解】橢圓的焦距為，∴橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，又點(diǎn)在橢圓上，，，橢圓的方程為：．【小問2詳解】①依題意設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組：，則，即，且，①由，的坐標(biāo)可知軸，平分，等價(jià)于，即，把代入并化簡(jiǎn)得：，把①代入上式得：，化簡(jiǎn)得：（經(jīng)檢驗(yàn)，符合，則.②欲證，只需證：，第17頁/共20頁由（2）可得，又，，即.19.已知滿足：是關(guān)于的“可差數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）若是關(guān)于的“可差數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式及；（2）已知滿足：，若