專題19圖形的相似與位似的核心知識點(diǎn)精講

O復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì).

2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實際問題.

3.掌握圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個圖形放大或縮小.

4.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫出

它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同方式確定物體的位置。

O考點(diǎn)植理O

考點(diǎn)1:比例線段

1.比例線段的相關(guān)概念

如果選用同一長度單位量得兩條線段a,b的長度分別為m,n,那么就說這兩條線段的比是巴=竺，或?qū)?/p>

bn

成a：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比

例線段.

若四條a,b,c,d滿足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項，線段a,d叫做比例外項，線

段b,c叫做比例內(nèi)項.

如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即色=2或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中項.

bc

2,比例的基本性質(zhì)：①a：b=c：d=ad=be②a：b=b：cOb?=ac.

3.黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC(AOBC),并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，

點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=止二IAB^O.618AB.

2

考點(diǎn)2：相似圖形

1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似

圖形).

2.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等

于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等,

那么這兩個三角形相似.

考點(diǎn)3：位似圖形

1.位似圖形的定義

兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過交點(diǎn)的對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩

個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫位似中心.

2.位似圖形的分類

(1)外位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點(diǎn)的線段之外.

(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點(diǎn)的線段上.

3.位似圖形的性質(zhì)

位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；

位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.

4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關(guān)鍵點(diǎn),并任取一點(diǎn)作為位似中心;

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接截取點(diǎn).

【注意】在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的

坐標(biāo)的比等于k或-k.

*弓典例引領(lǐng)

【題型i：相似三角形的相關(guān)計算】

【典例1】（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，點(diǎn)E,F分別在正方形4BCD的邊BC,CD上，BE=3,EC=6,

CF=2.求證：LABEsAECF.

【答案】見解析

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.根

據(jù)正方形的性質(zhì)，得出NB=NC=90。，4B=CB=9,進(jìn)而得出喋=萼，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等

C,LCr

的兩個三角形相似即可證明.

【詳解】解：vBE=3,EC=6,

BC=9,

??,四邊形4BCD是正方形，

AB=CB=9,4B=￡C=90。,

,,AB_9_3BE_3

'~EC~'6~2"'CF~29

AB_BE

：'~EC^~CF

又???/8=4C=90。，

???△ABE?4ECF.

即時檢淵

1.（2024?遼寧?中考真題）如圖，ABWCD,與相交于點(diǎn)。，且△40B與△￡>"的面積比是1:4,若

AB=6,貝UCD的長為

【答案】12

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，把握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)

鍵.

可得△AOBDOC,再根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】"ABWCD,

；.AAOBFDOC,

.SNOB_(

'Swoc=\CD)'

,0=(5),

.-.CD=12,

故答案為：12.

2.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，點(diǎn)人(0,-2)，5(1,0).將線段4B平移得到線段DC,若

AABC=90°,BC=2AB,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

【答案】(4,-4)

【分析】由平移性質(zhì)可知4B=CD,ABWCD,則四邊形力BCD是平行四邊形，又乙4BC=90。，則有四邊

形4BCD是矩形，根據(jù)同角的余角相等可得N0B4=AEAD,從而證明△04BEDA,由性質(zhì)得看=史

==，設(shè)E4=a,貝傷D=2a,DA=^a,則村。=2標(biāo)，解得：a=2,故有瓦4=2,ED=4,得出

OE^OA+EA^4即可求解.

【詳解】如圖，過D作DEly軸于點(diǎn)E,貝ijN4ED=90。，

由平移性質(zhì)可知：AB=CD,ABWCD,

四邊形4BCC是平行四邊形，

■：^ABC=90°,

.??四邊形4BCD是矩形，

."40=90°,BC=AD^2AB,

：./.OAB+Z.EAD=90°,

：Z-OAB+Z-OBA=90°,

：.Z-OBA=Z.EAD,

-Z-AOB=ADEA=90°,

△OAB?△EDA,

OA_AB_OB

'''ED~~DA~~EAf

”(0,-2)，8(1,0),

.?.04=2,OB=1,AB=運(yùn),

.2_=匹=工

''EDDAEZ'

設(shè)EA=a,貝IJED=2G,DA=0,

=2^5，解得：a=2,

：.EA—2,ED=4,

：.OE—OA+EA—4,

???點(diǎn)。在第四象限，

，。(4,—4),

故答案為：(4,-4>

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)、

平移的性質(zhì)，同角的余角相等等知識點(diǎn)，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?山東日照,中考真題)如圖，以口ABCD的頂點(diǎn)8為圓心，力B長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E,再分別以

點(diǎn)4E為圓心，大于%1E的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F,畫射線8F,交ZD于點(diǎn)G,交CD的延長線于

點(diǎn)、H.

⑴由以上作圖可知，與N2的數(shù)量關(guān)系是

⑵求證：CB=CH

(3)若AB=4,AG=2GD,/.ABC=60°,求△BCH的面積.

【答案】(1)41=42

(2)證明見解析

(3)973

【分析】本題考查了角平分線定義，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定與性

質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握以上知識點(diǎn)并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)作圖可知，為乙4BC的角平分線，即可得到答案；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知Nl=NH,結(jié)合41=42,從而推出N2=NH,即可證明；

(3)過點(diǎn)H作BC的垂線交BC的延長線于點(diǎn)M,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)力B=CD=4,

NHCM=NABC=60。，4f=黑，結(jié)合4G=2GD,推出=為8,從而得到CH,BC,HMCH-sin

UnUUZ

乙HCM,最后由計算即可.

【詳解】(1)解：由作圖可知，BF為N4BC的角平分線

???z.1=z2

故答案為：/1=42

(2)證明：???四邊形ABCD為平行四邊形

???AB||CD

???41=乙H

???41=Z2

???42=乙H

??.CB=CH

(3)解：如圖，過點(diǎn)H作的垂線交BC的延長線于點(diǎn)M

AB||CD,AB=CD=4

???ZJ7CM=4ABC=60。，AABGFDHG

AB_AG

：,~DH=~GD

又AG=2GD

AG

GD=2

ABAG

'DH=~GD=2

11

DH=-AB=-x^=2

??.CH=DH+CD=6

.?.BC=CH=6

CH-sinz/ZCM=CH-sin600=6x=3V3

SABCH=JBC?HM=|x6x3百=9百.

“碼典例引領(lǐng)

【題型2：相似三角形的實際應(yīng)用】

【典例2】（2024?湖北?中考真題）小明為了測量樹4B的高度，經(jīng)過實地測量，得到兩個解決方案：

方案一：如圖（1）,測得C地與樹4B相距10米，眼睛。處觀測樹48的頂端4的仰角為32。：

方案二：如圖（2）,測得C地與樹力B相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)E,眼睛。在鏡子C

中恰好看到樹A8的頂端4

已知小明身高1.6米，試選擇一個方案求出樹48的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，tan32°?0.64）

【答案】樹的高度為8米

【分析】本題考查了相似三角形的實際應(yīng)用題，解直角三角形的實際應(yīng)用題.

方案一：作DE14B,在RtaADE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射規(guī)律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【詳解】解：方案一：作DE14B,垂足為E,

ca

則四邊形BCDE是矩形，

.?.DE=BC=10米，

在Rt中，"IDE=32。，

：.AE=DE-tan32°~10x0.64=6.4（米）,

樹AB的高度為6.4+1.6=8米.

方案二：根據(jù)題意可得N/1C8=NDCE,

■.-Z.B=Z.E=90°,

△ACB“△DCE

ABBCanAB10

DECE'1.62

解得：力B=8米，

答：樹2B的高度為8米.

⑥⑦即時檢測

1.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，小杰從燈桿4B的底部點(diǎn)3處沿水平直線前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)C處，他在燈光

下的影長CD=3米，然后他轉(zhuǎn)身按原路返回到點(diǎn)8處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（）

A

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【答案】D

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，設(shè)回過程中小杰身高為FH,連接4F并延長交BC于點(diǎn)G,根

據(jù)題意得到CEIIFHII4B,證明△DCEsaDBAaGHFsaGBA,得到*=黑幕=黑，由CE=F”推出

/iDDU/IDClD

需=篙，即可得出結(jié)論.

DL）（JD

【詳解】解：設(shè)回過程中小杰身高為F”，連接ZF并延長交于點(diǎn)G,

A

DCGHB

根據(jù)題意得到CEIIFHII/B,

???△DCE?△DBA,△GHF?△GBA,

CE_CDFH_GH

**布—麗布—布’

???CE=FH

CD_GH

??~BD~'GB"

???BD>GB,

???CD>GH,

???CD=3米，

???GH<3,

???返回過程中小杰在燈光下的影長可以是2.5米,

故選：D.

2.（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）物理課上學(xué)過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現(xiàn)圖像投

影的方法.如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）4B經(jīng)小孔。在屏幕（豎直放置）上成像4B'.設(shè)力B=36

cm,A'B'=24cm.小孔。到A8的距離為30cm,則小孔。到4B'的距離為cm.

【答案】20

【分析】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，由題意得2BII4B',△AOBFA'OB',過。作OCL4B于

點(diǎn)C,C。交4B'于點(diǎn)C',利用已知得出進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可，熟練

掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】由題意得:ABWA'B',

△AOBMA'OB',

如圖，過。作。C14B于點(diǎn)C,C。交AB'于點(diǎn)C',

：.0C1A'B'0C=30cm,

?.4竺=2￡,即蘭=%,

AB0C3630

??.0C'=20（cm）,

即小孔。到AB'的距離為20cm,

故答案為：20.

3.（2024,湖南長沙?模擬預(yù)測）某同學(xué)在做"小孔成像"實驗時，將一支長為3cm的蠟燭（包括火焰高度）立

在小孔前，蠟燭所立位置離小孔的水平距離為6cm,此時蠟燭火焰通過小孔剛好在小孔另一側(cè)距小孔

2cm處的投影屏上形成了一個"像"，若以小孔為坐標(biāo)原點(diǎn)，構(gòu)建如圖所示的平面直角坐標(biāo)系久Oy,設(shè)蠟

燭火焰頂端A點(diǎn)處坐標(biāo)為（-6,3），則A點(diǎn)對應(yīng)的"像”的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】(2,-1)

【分析】本題考查相似三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)小孔成像實驗可得△a。?！啊鰾OD,據(jù)此求解即可.

【詳解】如圖所示，/點(diǎn)對應(yīng)的"像”的點(diǎn)8,則

PC_AC

"'OD一麗'

???蠟燭火焰頂端/點(diǎn)處坐標(biāo)為(-6,3)，剛好在小孔另一側(cè)距小孔2cm處的投影屏上形成了一個"像”,

.".AC—3,0C—6,OD—2,

[=磊，解得BD=1,

ZtiLJ

■■A點(diǎn)對應(yīng)的"像'的點(diǎn)B(2,-1),

故答案為：(2,-1>

典例引領(lǐng)

【題型3：位似】

【典例3】(2024?黑龍江綏化?中考真題)如圖，矩形。力BC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。(0,0),4(3,0)，B(3,2)，C

(0,2)，以原點(diǎn)。為位似中心，將這個矩形按相似比(縮小，則頂點(diǎn)B在第一象限對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

i

s

Bj

A.(9,4)B.(4,9)C.1,1D.1，|

【答案】D

【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意B橫縱的坐標(biāo)乘以去即可求解.

【詳解】解：依題意，B(3,2)，以原點(diǎn)。為位似中心，將這個矩形按相似比!縮小，則頂點(diǎn)B在第一象限

對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,|)

故選：D.

即時檢淵

1.(2024?浙江?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)

0.若點(diǎn)力(-3,1)的對應(yīng)點(diǎn)為4(-6,2),則點(diǎn)B(-2,4)的對應(yīng)點(diǎn)方的坐標(biāo)為()

【答案】A

【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點(diǎn)力、4的坐標(biāo)可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似

變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：「△ABC與是位似圖形，點(diǎn)4(-3,1)的對應(yīng)點(diǎn)為4(—6,2),

與△ABC的位似比為2,

二點(diǎn)B(-2,4)的對應(yīng)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(-2x2,4X2)，即(一4,8)，

故選：A.

2.(2024?四川涼山?中考真題)如圖，一塊面積為60cm2的三角形硬紙板(記為△4BC)平行于投影面時,

在點(diǎn)光源。的照射下形成的投影是△41邑的，若。B:BBI=2:3,則△&B1C1的面積是()

【答案】D

【詳解】解：???一塊面積為60cm2的三角形硬紙板(記為△48C)平行于投影面時，在點(diǎn)光源。的照射下

形成的投影是△4/母1，OB:BB1=2:3,

OB2

,.可=5?

???位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2:5,

??,三角形硬紙板的面積為60cm2,

S^ABC_p\2_4

\5/25'

?e?△Z/iCi的面積為375cm2.

故選：D.

o好題沖關(guān)o

基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2024?湖南株洲?模擬預(yù)測）如圖，已知4BIIDE且4B:DE=3:4,乙4=。氏若4:=6,則80的長度為

A.8B.12C.14D.16

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì).先得出BC=ZC=6,通過證

明得出BC:CD=ZB:DE=3:4,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：???乙4二乙8,ZC=6,

；.BC=AC=6,

-ABWDE,

.?.△ABC?△EDC,

..BC-.CD=AB,.DE=3:4,

.,.6:CD=3:4,

；.CD=8,

??.BD=8C+CD=6+8=14,

故選：c.

2.（2024?安徽?模擬預(yù)測）如圖，△力8c中，E是4B的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作ED||8C,交"于點(diǎn)D,則△4ED與四

邊形BCDE的面積比是（）

A

瓦D

B.C

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】C

【分析】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)，證明并且根據(jù)相似三角形面積的比等

于相似比的平方求出△4ED與△4BC的面積比是解題的關(guān)鍵.設(shè)△ABC的面積為小，由EDIIBC證明

AAED-AABC,再由E是的中點(diǎn)證明△4ED與△2BC的面積的比為;，再用含小的式子分別表示

△4ED的面積與四邊形BCDE的面積，再求出它們的比即可得到問題的答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)aABC的面積為根，

???E是的中點(diǎn)，

.-.AE=BE=^AB,

AE1

???EDIIBC,

???△AEDFABC,

.S^AED_但Y_Z1A2_1

?,s△,一匕房-\2)-4,

11

^AAED=4^AABC=4m,

13

???S四邊形BCDE=m-m=嚴(yán)，

S44E￡>_1

??S四邊形BCDE-~3'

.??△4￡7)與四邊形8。?！?的面積比是1:3,

故選：c.

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)4與點(diǎn)B分別在反比例函數(shù)、=%>0）與丫=-%>0）的圖像上，且

OALOB,則tanNBA。的值為（）

【答案】C

【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，過點(diǎn)2作

4cly軸，過點(diǎn)B作BDly軸，根據(jù)k值的幾何意義，得至SAB0D=2,證明

△ACOsaODB,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出2。:8。的值，即可.

【詳解】解：過點(diǎn)4作ACly軸，過點(diǎn)B作BDly軸，則：^ACO=Z.BDO=90°,

??2。/。+"。4=90。，

-OALOB,

.?.乙4。8=90。，

.?2。。+/8。。=90。，

.'.Z-OAC=BOD,

??.△ACOFODB,

.SABOD_(OB,

=\0A)'

,??點(diǎn)2與點(diǎn)B分別在反比例函數(shù)y=%>0)與y=-1(%>0)的圖像上，

1

??,S&40c=5，S4BOD=2，

.SABOD_(03)2_4

S^AOC\OA/1'

OB仁

/.——二z,

OA

-Z-AOB=90°,

0D

.-.tanzBXO=—=2；

OA

故選C.

4.(2024?四川廣安?模擬預(yù)測)如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，直線AB與CD交

于點(diǎn)。，點(diǎn)/,B,C,D,。都在橫線上.若線段47=4,則線段BD的長是()

【答案】A

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，過點(diǎn)。作OELZC于點(diǎn)E,交過點(diǎn)8的平行線于點(diǎn)R

與中間兩條平行線分別相交于點(diǎn)G和"，根據(jù)題意得到EG=GH=HO=OF=h,利用相似三角形的判

定與性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作0EL4C于點(diǎn)E,交過點(diǎn)8的平行線于點(diǎn)R與中間兩條平行線分別相交

于點(diǎn)G和H,

AC

E

G?

根據(jù)題意，設(shè)EG=GH=HO=OF=h,

,?,a||6||c||d,

??.△ZOC?△8。。，

^C_EO_3h_

：'~BD-而一不一J'

-AC=4f

.-.—=3,

BD，

..BD=p

故選：A.

5.（2024?河北?模擬預(yù)測）如圖，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一個可以探究小孔成像特點(diǎn)的

物理實驗裝置，他在薯片筒的底部中央打上一個小圓孔。，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏,

可知得到的像與蠟燭火焰位似，其位似中心為。，其中薯片筒的長度為16cm.蠟燭火焰AB高為6cm,若

像高CD為3cm,則蠟燭到薯片筒打小孔的底部的距離為（）

?25

A.—cmB.25cmC.32cmD.64cm

4

【答案】C

【分析】本題考查位似，相似的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.連接48,CD,過點(diǎn)。

作。ELAB于點(diǎn)MOFLCO于點(diǎn)憶先判定△C。。?△BOZ,即可得對應(yīng)高比之比等于相似比，即可得

案=1,即可求解.

Ur,N

【詳解】解：如圖，連接45,CD,過點(diǎn)。作。于點(diǎn)M于點(diǎn)F,

H

由像與蠟燭火焰位似，其位似中心為。,

/.△COD-△804

??.相似比為：=|1

/IDO2

???對應(yīng)高的比為:黑=3

Ut,Z

：.0E—20F=2x16=32(cm)，

???蠟燭到薯片筒打小孔的底部的距離為32cm,

故選：C.

6.(2024?山西大同?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A,B,C,。四個點(diǎn)都在格點(diǎn)上.若正方形4BCD

和正方形4B￡'D'是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且相似比為1:2,則點(diǎn)用的坐標(biāo)為()

A.(4,2)或(4,一2)B.(—4,—2)或(—4,2)

C.(4,2)或(—4,—2)D.(4,一2)或(一4,2)

【答案】C

【分析】本題考查了中心位似圖形，根據(jù)正方形4BCD和正方形AB'C'。'是以原點(diǎn)。為位似中心的位似

圖形，且相似比為1:2,即可得出答案，掌握中心位似圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖：

由圖可知，點(diǎn)8(2,1)，

?.?正方形4BCD和正方形ABC。'是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且相似比為1:2,

二點(diǎn)B'(4,2)或B”(—4,—2)，

故選：C.

7.（2024,廣東?模擬預(yù)測）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的.如圖是“小狗手影"游戲，光源。

與手A8的距離OE為3米，手與墻壁的距離為1米，AB與墻壁平行.在光源。不動的情況下，要使

在墻壁上的"小狗手影"CD的高度增加一倍，則手與墻壁的距離應(yīng)增加—米

【答案】1.5

【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△。的”△。⑺.得甯=寨=],設(shè)AB=3x,

LUUr4

CD=4x,當(dāng)"小狗手影"CD的高度增加一倍時，CD,=8%.設(shè)此時E'F=m,則。？=4-m,即可得到

附=N，解得爪=2.5,進(jìn)而即可求出答案.

OX4

【詳解】解：由題意可知48||CD,

/.AOAB?△OCD.

???OE=3,EF=1

AB_OE_3

"CD-OF-4

?，?可設(shè)AB=3x,CD=4x,

.??當(dāng)〃小狗手影〃CD的高度增加一倍時，

如圖，CD'=8x.設(shè)此時=則。E=4-7n,

“C

彳

-F

D'3X_4—m

8x~4f

解得血=2.5,

???手與墻壁的距離應(yīng)增加2.5-1=1.5（米）.

故答案為：1.5

8.（2024?海南?中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱。M經(jīng)過AB的中點(diǎn)O,OM與地面CD垂直于點(diǎn)"，

OM=40cm,當(dāng)蹺蹺板的一端/著地時，另一端2離地面的高度為cm.

【答案】80

【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì).過點(diǎn)8作BN1CD交4C的延長線于N,求得

0M||BN,得至“△AOM?△ABN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：過點(diǎn)5作BN1CD交/C的延長線于N,

-0M1CD,

：.0M||BN,

AAOM-AABN,

OM_AO

：A0—OB,OM=40cm,

.40_1

：.BN=80cm,

???另一端3離地面的高度為80cm.

故答案為：80.

9.（2024?四川樂山?模擬預(yù)測）如圖，已知線段力B,CD相交于點(diǎn)0,AD\\CD,AO=2,AB=5.求二.

AD

CB

【答案瑤巖

［分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可證ND=NC,

根據(jù)對頂角相等可得Nd。。=NBOC,所以可證△力。Ds△BOC,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可求

結(jié)果.

【詳解】解：如下圖所示，

???Z-D—乙C,

又?.?乙4。。=乙BOC,

???△AOD-ABOC,

OD_OA

~OC~~OB

AO=2,AB=5,

??.OB=AB—OA=3,

.OD_OA_2

10.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，在RtaABC中，4c=90。，過點(diǎn)E作EDIAB,垂足為D.

⑴若AB=10,AC=8,

(2)連接BE,若ACEB?ACBA,且CE=1,AE=3,求DE的長.

【答案】（1）4

⑵當(dāng)

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

(1)證明△ADESAACB即可求解；

(2)由△CE8“△CB4得至*(=芻,求得BC=2,利用勾股定理可得AB=2限再證明△4ED“△4BC

CDL.A

即可求解；

【詳解】(1)解：???ED1Z-

.-.Z^DE=ZC=9O°,

???△/=乙4,

.\AADE-AACB,

AD_AE

,,就一布’

AD5

--=—,

8--10

：.AD=4；

(2)解：,：4CEBFCBA,

CE_CB

，'"CB~'CA，

：.BC2=CE-CA=1x(1+3)=4,

；.BC—2,

在Rta4BC中，AB=Vxc2+BC2=742+22=2V5.

?/Zi4=Z,A,Z-ADE=zC=90°,

AAED-AABC,

AE_DE

"~AB一~BC"

3___DE

年=，

■.DE=這

5

11.(2024,四川眉山?二模)如圖，M是正方形48CD的邊BC上一點(diǎn)，尸是4W的中點(diǎn)，過點(diǎn)尸作4M的垂線，交

DC于點(diǎn)N,交2。的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：/\ABM-AEFA；

(2)若正方形的邊長為12,MC=7,求DE的長.

【答案】⑴見解析

碇

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，是解

題的關(guān)鍵：

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，垂線的定義，得到NB=NZMB=N4FE=90。，同角的余角相等，得到

^BAM=^AEF,即可得證；

(2)勾股定理求出的長，中點(diǎn)求出2F的長，相似三角形的性質(zhì)，列出比例式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：???正方形48CD,

：.z.B=乙DAB=90°,

vEF1AM,

.?z”E=90。，

：.Z-B=Z-DAB=Z-AFE,

=2LAEF=90°-A.EAM,

.'.AABM-AEFA；

(2)?.?正方形的邊長為12,MC=7,

,-.AD=AB=BC=12,BM=BC-CM=S,

...XM=V52+122=13,

???F是AM的中點(diǎn)，

：.AF=^AM=^-,

由（1）知：AABM-/XEFA,

AFAE蘭AE

?*.-----=------,nBnP：-2_=----

BMAM1513

.?AAHE~--10

16949

:.DE=AE-AD=—-12=—,

能力提升

1.（23-24九年級下?貴州黔東南,階段練習(xí)）如圖，△48C中,AB=AC=4,BC=2而,以AB為直徑

的。。分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,連接ED,貝代。的長為（)

A.1B-IC.2D-f

【答案】B

【分析】本題考查圓中求線段長，涉及圓周角定理及其推論、等腰三角形判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形

性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，先由直徑所對的圓周角是直角，再由等腰三角形三線合一得

到BE=CE=而,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到NC=NB=乙EDC,結(jié)合三角形相似的判定與性質(zhì)即可得

到答案，熟練掌握圓的性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)求線段長是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接人已如圖所示:

??4B為o。的直徑,

.?.乙4EB=90°,即4E1BC,

在△ABC中，AB=AC=4,BC=2五,

則BE=CE=百,

四邊形4BEC是0。的內(nèi)接四邊形,

Z.EDC=Z.B,

???在△ABC中，乙C=LB,

Z.C=Z-B=Z-EDC,

???△ABC?AECD,

CD_EC

即蓑=￥，解得5）=空誓=|,

故選：B.

2.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ABC中，^BAC=90°,AB=5,AC=12,。為BC上一點(diǎn)，且

滿足AD=CD,E為AC的中點(diǎn)，連接BE交ZD于點(diǎn)尸，則4ABF的面積為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，連接DE,

先利用等腰三角形的性質(zhì)證明點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，可得DE為△力BC的中位線，進(jìn)而得DEII4B,DE=g

AB,即得△DEF74BK得到黑=喘=],再根據(jù)已知可得S^BC=9員47=30,進(jìn)而由中線性質(zhì)

得到S〃BD=虹麗=15,再由煞=抑可得到S3BF=|^BD=1°，由△。*，△回尸得到第=黑

=：是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接OE,

-AD=CD,

Z.C=Z.DAC,

/.Z-C+eABC=Z.DAC+^DAB=90°,

/.ABC=/-DAB,

BD=AD,

BD=CD,

.??點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)

???E為4c中點(diǎn)，

??.DE為△4BC的中位線，

.-.DEWAB,DE=^AB,

:.ADEFsAABF,

DF_DE_1

''~AF~~AB~21

???，^BAC=90°,AB=5,AC=12,

-SAABC=^AB-AC=1x5x12=30,

.—1_r

:'^^ABD=5s△AB。=115,

DF1

,/--=—.

AF2’

H尸_2

AD3

22

'-SAABF=3SAABD=3X15=10,

故選：C.

3.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖是一個常見的鐵夾的剖面圖，。4。3表示鐵夾的剖面的兩條邊，點(diǎn)C是

轉(zhuǎn)動軸的位置，CDLOA,垂足為。，DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm,且鐵夾的剖面圖是軸

對稱圖形，則4B兩點(diǎn)間的距離為（）

A.30mmB.32.5mmC.60mmD.65mm

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，連接2B,延長0C交4B于

H,由勾股定理得出。C=26mm,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出CH148,AH=BH,證明△。。。“△。人”,

由相似三角形的性質(zhì)計算即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接48,延長。C交于“，

在Rt^OCD中，0C=個CD?+0.2=26mm,

???鐵夾的剖面圖是軸對稱圖形，

■.CH1AB,AH=BH,

：.^AHC=乙CDO=90°

：^DOC=^HOA,

：.△OCDOAH,

CD_0CR||10_26

"AH-Ol'即麗—15+24'

解得：AH-15mm,

.■.AB=2AH=30mm,

故選：A.

4.（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中,AB<4C,將△ABC以點(diǎn)N為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,

點(diǎn)。在BC邊上，DE交4C于點(diǎn)尸；下列結(jié)論：

①△AFEs△￡??（；；

②D4平分NBDE；

③力C平分AD4E,其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】A

【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，先證明N4FE=ADFC,結(jié)合對頂角的

性質(zhì)可判定①，證明乙8=乙4。日乙B=^ADB,可判定②，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得不到③，從而可得結(jié)

論；

【詳解】解：???△ABC以點(diǎn)/為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ZDE,

.?-Z.C=乙E,

'：Z-AFE=Z.DFC,

/\AFE-ADFC,所以①正確；

力BC以點(diǎn)A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,

：.AB=AD,Z-B=Z.ADE,

'.Z-B=Z.ADB,

;ZADB=Z.ADE,

即ZM平分ABDE,所以②正確；

???△4BC以點(diǎn)A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,

：.Z-BAD=Z-CAE,

而不能確定AD平分N8/C,

二不能確定4C/E=NDAC,所以③錯誤.

故選：A.

5.（2024?重慶?二模）如圖，已知與是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，位似比為2:3,下列說

法錯誤的是（）

A.AC\\A'CB.OB,.BB'=3:2

C.ABCO-△B'C'OD,^ABC-

【答案】B

【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì).根據(jù)"位似圖形的對應(yīng)邊互相平行，位似圖形是相似圖形，相似圖

形的面積比等于相似比的平方”逐項判斷可得答案.

【詳解】解：A、△48C與△ABC是位似圖形，則其對應(yīng)邊互相平行，即ACWA'C,原說法正確，本

選項不符合題意；

B、△AB'C'與△ABC是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，位似比為2:3,貝|。8'：08=2:3,所以。B'：B9=2:1,

原說法錯誤，本選項符合題意；

C、△4BC與△ABC是位似圖形，則其對應(yīng)邊互相平行，即BCIIBC,則△BCOs/s9。。，原說法正

確，本選項不符合題意；

D、△4B￡'與△ABC是相似圖形，相似比為2:3,則其面積之比等于相似比的平方，即S2^/S^BC

=4:9,原說法正確，本選項不符合題意.

故選B.

6.(2022?浙江?二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以P(0,-1)為位似中心，在y軸右側(cè)作aABP放大2倍

后的位似圖形△DCP,若點(diǎn)2的坐標(biāo)為(-2,-4)，則點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(4,5)B.(4,6)C,(2,4)D.(2,6)

【答案】A

【分析】過點(diǎn)B,C作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)M,N,可得△BMP-aCNP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

需=需=K，根據(jù)位似比等于相似比可得竽=.=*繼而得NO,CN的長，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)M,N,

???BMWCN,

4CNP,

.CN_NP_PC

??前一麗―港'

v以P(O,—1)為位似中心，在丁軸右側(cè)作△ABP放大2倍后的位似圖形△OCP,

.BP_1

??8(-2,-4)，

BM=2,PM=3,

,CNNPPCpeNNP2

由前=麗=而即1rl三=石=7

CN=4,NP=6,

NO=6-1=5,

???C(4,5>

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的

關(guān)鍵.

7.（2024?山東德州?中考真題）如圖RtZi4BC中，N4BC=90。，BD1AC,垂足為D,4E平分NB4C,分別

交BD,BC于點(diǎn)凡E.若力B:BC=3:4,則BF:FD為（）

A.5:3B.5:4C.4:3D.2:1

【答案】A

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識，熟

練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.設(shè)2B=3x,BC=4x,利用勾股

ARACq

定理求得ac=5x,^ABD+^CBD=90°,再證明△ACB“△ABD得到*=*=些=：再利用角平分

nUr\DSX3

線的性質(zhì)和三角形的面積得到#=霽=甯=￡即可求解.

、AADFrL)AU3

【詳解】解：???4B:BC=3:4,

設(shè)4B=3x,BC=4%,

"BC=90°,

■■AC=JAB2+BC2=5x,^ABD+Z.CBD=90°,

?BD1AC,

???乙ADB=^ABC=90。,ZC5D+ZC=9O°,

=Z.