4.3穩(wěn)定性分析——Nyquist判據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)為為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程1+GH(s)=0的全部根，都必須位于左半s平面。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應G(j

)H(j

)與1+GH(s)=0在右半s平面內(nèi)的零點數(shù)和極點數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)。這種方法無須求出閉環(huán)極點，得到廣泛應用。1、幅角原理復變函數(shù)F(s)為s平面上一條封閉的曲線

s不通過F(s)的奇點；映射在F(s)平面上也是一條封閉的曲線

F

s順時針包圍F(s)的零點個數(shù)為Z,極點個數(shù)為P；曲線

F逆時針圍繞原點旋轉的圈數(shù)為NN=P-ZN>0表示逆時針包圍的圈數(shù)；N<0表示順時針包圍的圈數(shù)；封閉曲線形狀無關2、輔助函數(shù)定義復變函數(shù)F(s)為若開環(huán)傳遞函數(shù)為輔助函數(shù)的極點(P)就是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點零點(Z)就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點

Z=P-N3、封閉曲線

s關心的是F(s)=1+G(s)H(s)在s右半平面的極點數(shù)，所以封閉曲線應包括整個s右半平面。半圓的半徑為無窮大將封閉曲線

s分為三段第1段，負虛軸；第2段，正虛軸；第3段，無窮大半園。1）虛軸上無開環(huán)零、極點當n>m時，映射1+G(s)H(s)平面的原點；當n=m時，映射1+G(s)H(s)平面的實軸上；映射平面轉到了1+G(j

)H(j

)平面上

F。在(－∞,0)頻率特性在(0,∞)頻率特性1+G(j

)H(j

)曲線對原點的包圍，恰等于G(j

)H(j

)軌跡對-1+j0點的包圍F(s)=1+G(s)H(s)在右半s平面的零點數(shù)Z與極點數(shù)P以及G(j

)H(j

)在G(j

)H(j

)平面上逆時針圍繞-1+j0點旋轉的圈數(shù)N的關系

Z=P-N穩(wěn)定的充要條件是：P=N映射平面轉到了1+G(j

)H(j

)平面上

F。2）虛軸上有開環(huán)零、極點的情況比如

s曲線增加第4部分，以原點為圓心，無窮小半徑逆時針作圓，那么第4段為映射到G(j

)H(j

)為平面半徑為無窮大的圓弧，圓弧角度為順時針；對于虛軸上有共軛虛根，也可采用類似的方法。關于穩(wěn)定性的充要條件仍然是P=NNyquist判據(jù)應用舉例步驟：繪制出幅相曲線[在(0,∞)]關于實軸對稱的繪制出在(－∞,0)范圍的G(j

)H(j

)曲線；若是型系統(tǒng)，從0－到0＋順時針補畫圓??；形成封閉曲線。判斷所繪制封閉曲線圍繞-1+j0點圈數(shù)N;已知F(s)在右半平面的極點數(shù)P(就是開環(huán)傳遞函數(shù)極點）最后可得Z=P-N若Z=0,系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有Z個不穩(wěn)定根。例：試用奈氏判據(jù)分析當T>t，T=t和T<t時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：

T>tT=tT<tP=0N=0Z=0穩(wěn)定經(jīng)過－1+j0點臨界穩(wěn)定P=0N=－2Z=P-N=2不穩(wěn)定例設一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：P=1N=-1Z=P-N=2系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個不穩(wěn)定根。Nyquist判據(jù)中“穿越”的概念(只需繪制ω0～∞的幅相曲線即可）

穿越：指開環(huán)Nyquist曲線穿過(-1,j0)點左邊實軸時的情況。

正穿越：ω增大時，Nyquist曲線由上而下穿過-1~-∞

段實軸。正穿越次數(shù)用N+表示。正穿越時，相角增加，相當于Nyquist曲線逆向包圍(-1,j0)點一圈。負穿越：ω增大時，Nyquist曲線由下而上穿過-1~-∞

段實軸。負穿越相當于Nyquist曲線反向包圍(-1,j0)點一圈。負穿越次數(shù)用N－表示。那么有N=2(N+-N－)奈氏判據(jù)可以敘述為Z=P-2(N+-N－)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當ω由0變化到∞時，N+=2N－=1Z=P-2(N+-N－)=2-2(2-1)=0所示系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)Nyquist圖與Bode圖的對應關系Nyquist圖上以原點為圓心的單位圓對應對數(shù)幅頻特性圖上的0分貝線。Nyquist圖上負實軸對應對數(shù)相頻特性圖上的－180°線。Nyquist曲線與(-1,j0)點以左實軸的穿越點相當于L(ω)>0的所有頻率范圍內(nèi)的對數(shù)相頻特性曲線與－180°線的穿越點。Nyquist曲線的輔助線反映在對數(shù)相頻特性曲線上。即將對數(shù)相頻特性曲線的起始點

(0+)與

(0+)+v90°線相連(v為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目)。ω1為負穿越，ω2為正穿越；ω2為對應的0分貝以下，不考慮。對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)存在P個位于右半s平面的特征根，當在L(ω)>0的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線

(ω)(含輔助線)與-180°線的正負穿越次數(shù)之差應滿足下列關系：

Z=P-2(N+-N－)當正負穿越次數(shù)之差等于P/2，則系統(tǒng)穩(wěn)定。例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)沒有位于右半s平面的開環(huán)特征根，P=0N－＝1N+＝0Z=P-2(N+-N－)＝2系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.4相對穩(wěn)定性當——幅值裕度和相位裕度相對穩(wěn)定性，時域分析中可以用超調(diào)量或者特征根靠近虛軸的遠近來衡量。在頻域分析中也有衡量相對穩(wěn)定性的量，就是幅值裕度和相位裕度。結論：開環(huán)Nyquist曲線與(-1,j0)點的接近程度可以反映系統(tǒng)閉環(huán)的相對穩(wěn)定性，即穩(wěn)定程度。1、

幅值裕度Kg開環(huán)頻率特性曲線與GH平面負實軸的交點頻率稱為相位穿越頻率，顯然它應滿足幅值裕度Kg：是指相位穿越頻率所對應的開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)值，即對于開環(huán)系統(tǒng)沒有右半平面的極點情況，即P=0，Kg>1[Kg(

dB)>0]代表系統(tǒng)穩(wěn)定；Kg＝

1[Kg(

dB)=0]代表系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；Kg<

1[Kg(

dB)<0]代表系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于開環(huán)系統(tǒng)有右半平面的極點情況,正好相反?；蜷_環(huán)系統(tǒng)沒有右半平面的極點情況：幅值裕度的物理意義可表述為： 在保持系統(tǒng)穩(wěn)定條件下，開環(huán)增益所允許增加的最大分貝數(shù)。幅值裕度的局限條件穩(wěn)定系統(tǒng)條件穩(wěn)定系統(tǒng)需要兩個幅值裕度Kg1(>1)和Kg2(<1)共同表示。物理意義：條件穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)增益放大Kg1或Kg2倍時，系統(tǒng)均達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。幅值裕度相同但穩(wěn)定程度不同的系統(tǒng)2、相位裕度

(ωc)幅值穿越頻率ωc開環(huán)Nyquist曲線與單位圓的交點對應的頻率ωc稱為幅值穿越頻率，又稱剪切頻率。顯然：或相位裕度是指幅值穿越頻率所對應的相移

與－1800角的差值，即

對于開環(huán)系統(tǒng)在右半平面無極點時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則有>0；閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，則有＝0；閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，則有<0；對于開環(huán)有右半平面的極點時，正好相反。相位裕度的含義：就是在幅值穿越頻率ωc上，使系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線穿過(-1,j0)點（即達到臨界穩(wěn)定）尚可增加（對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)）的相位滯后量

(ωc)。相位裕度的局限相位裕度相同但穩(wěn)定程度也可能不同的系統(tǒng)由此可見，應同時考慮幅值裕度和相位裕度來說明系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。最小相位系統(tǒng)，只有幅值裕度和相位裕度都是正值時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。一般要求：

Kg>6dB且

(ωc)

＝30°～60°3、幅值裕度與相位裕度計算（1）根據(jù)定義求先根據(jù)相位等于－180°，求出相應的相位穿越頻率ωg，然后代入幅值的公式求幅值裕度Kg。根據(jù)幅值等于1求相應的幅值穿越頻率ωc，然后根據(jù)定義求相位裕度。例：已知求幅值裕度。解：求出相應的相位穿越頻率ωg若T1＝1，T2＝0.25顯然閉環(huán)穩(wěn)定時，要求：K<5求相位裕度首先求剪切頻率

c用迭代法代入相位裕度的定義式系統(tǒng)不穩(wěn)定。當系統(tǒng)階次較高時，

g和

c用解析法不好求，可用作圖法求。（2）根據(jù)圖形求根據(jù)bode圖求根據(jù)幅相曲線求Kg=?Kg=∞求相位裕度和幅值裕度解：首先求剪切頻率

c系統(tǒng)穩(wěn)定。例：已知單位反饋系統(tǒng)作bode圖4、穩(wěn)定裕度與時域性能指標的關系標準二階系統(tǒng)可以求出剪切頻率

c，令求出代入相位裕度準確關系所以

與最大超調(diào)量存在確定的關系。調(diào)節(jié)時間與

和

n有關,而

n與

c有關,都與

有關對確定的

(ωc)(或ξ)，ts與ωc成反比。二階系統(tǒng)和ωc與系統(tǒng)動態(tài)性能密切相關4.5用開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)性能開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻段(第一個轉折頻率ω1

之前的頻段)、中頻段(ω1~10ωc)、高頻段(10ωc

以后的頻段)分別表征了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、動態(tài)性能和抗干擾的能力。1、低頻段由型別和K決定的，穩(wěn)態(tài)性能要求型別越高越好；2、高頻段：要求衰減越快，抗擾動性能越好。最好－40dB/dec斜率或－60dB/dec斜率3、中頻段（ωc附近）中頻段反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。最小相位系統(tǒng)的相位裕量主要取決于開環(huán)對數(shù)幅頻特性中頻段的斜率，同時，低頻段和高頻段的斜率、中頻段的帶寬等都對系統(tǒng)的相位裕量有影響。當?shù)?、中、高頻段斜率相同斜率負的越大，相位裕度越小。（1）低頻段斜率變化對

的影響低頻段有更大的斜率將導致相位裕量減?。ㄔ瓉頌?0°），影響的大小與ωc/ω1有關，ω1離ωc越遠，影響越小。（2）高頻段斜率變化對

的影響高頻段有更大的斜率同樣導致相位裕量減小。ω2離ωc越遠，影響越小。（3）高、低頻段斜率對

的影響當

1<<c<<2易知：

1、

2離

c

越遠，即h=

2

/

1越大，相位裕量

越大。當

最大結論一個設計合理的系統(tǒng)：

中頻段的斜率以－20dB為宜；

低頻段和高頻段可以有更大的斜率。 低頻段斜率大，提高穩(wěn)態(tài)