再次總結(jié)ζ不同，決定特征根位置的不同，決定系統(tǒng)不同的動態(tài)特性。

取適當?shù)淖枘釙rts最小。系統(tǒng)一般設(shè)計在欠阻尼狀態(tài)，ζ取0.4~0.8。實根：單位階躍響應(yīng)呈單調(diào)特性根具有負實部（左半平面）：過渡過程穩(wěn)定、收斂；復根：振蕩特性根具有正實部（右半平面）：發(fā)散，不穩(wěn)定，根在虛軸：臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3.1.2

控制系統(tǒng)過渡過程的性能指標評價和設(shè)計控制系統(tǒng)的量化指標－性能指標。

系統(tǒng)希望的輸出與實際輸出之間誤差的某個函數(shù)的積分，如：平方誤差積分指標（ISE）

設(shè)■常用在最優(yōu)系統(tǒng)的設(shè)計當中，求取使J達到最小的控制作用?！?/p>

誤差性能指標—通常采用兩大類的性能指標?！襁^渡過程的性能指標－

直接評價控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖3-2單位階躍響應(yīng)曲線1.50.510t以階躍響應(yīng)曲線形式表示的質(zhì)量指標(1)峰值時間tp階躍響應(yīng)曲線達到第一峰值所需要的時間。tptp愈小，表明控制系統(tǒng)反應(yīng)愈靈敏。A

最大偏差A:被控輸出第一個波的峰值與輸出穩(wěn)態(tài)值的差，如圖中的A。超調(diào)量y(∞)為過渡過程的穩(wěn)態(tài)值。超調(diào)量σ％（百分數(shù)表示的最大偏差）：1.50.510tptA注意與教材的的不同處(3)衰減比n在過渡過程曲線上，同方向上相鄰兩個波峰值之比。如圖，n=A:A’。n愈大，過渡過程衰減的越快，反之，n愈小，過渡過程的衰減程度也愈小;一般操作經(jīng)驗希望過程有兩、三個周波結(jié)束，一般常取n=4:1~10:1。l

當n＝1時，過渡過程則為等幅振蕩；0.150.050.10ttpA(4)調(diào)節(jié)時間ts階躍響應(yīng)到達穩(wěn)態(tài)的時間。工程上常取在被控變量進入新穩(wěn)態(tài)值的土5％或土2％的誤差范圍，并不再超出的時間。ts的大小一般與控制系統(tǒng)中的最大時間常數(shù)有關(guān)，ts越短，系統(tǒng)響應(yīng)越快。1.50.510tptAts1.50.510tptA(5)上升時間tr僅適用隨動系統(tǒng)。第一次達到系統(tǒng)新穩(wěn)態(tài)值所需的時間，定義為上升時間。(6)余差或穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)過渡過程結(jié)束時穩(wěn)態(tài)值與給定值之差，是表示控制系統(tǒng)精度的重要質(zhì)量指標。tr對于非振蕩的過渡過程曲線：從穩(wěn)態(tài)值的10％上升到90％所需的時間。tse(∞）總結(jié)：1、峰值時間tp和上升時間tr反映了系統(tǒng)的初始快速性。4、穩(wěn)態(tài)誤差反映了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。3、最大偏差、超調(diào)量和衰減比反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。2、調(diào)節(jié)時間ts反映了系統(tǒng)的整體快速性。1.50.510tptAtrts3.3.3二階欠阻尼系統(tǒng)的質(zhì)量指標單位階躍響應(yīng)過程的質(zhì)量指標和二階系統(tǒng)的兩個特征參數(shù)ζ和ωn值之間存在定量關(guān)系。單位階躍響應(yīng)輸出為：（3-22）其中，標準二階形式的單位階躍響應(yīng)過渡過程曲線如圖3-13。ty(t)1.00Atrtpts±0.02或±0.05圖3-13二階欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線1.50.510tAtp得峰值時間tp就是式(3-17)的一階導數(shù)等于零時所對應(yīng)的最小時間。3.3.3.1峰值時間tp=(3-17)方程的解為：（3-23）因為達到第一個峰值的時間為tp，m＝1，即（3-24）

將峰值時間代入式(3-22)中，便得到第一個峰值：因為因此最大偏差（3-22）（3-26）

ζ與超調(diào)量σ%的關(guān)系超調(diào)量σ%僅為衰減系數(shù)ζ的函數(shù)，與ωn無關(guān)。ζ越大，超調(diào)量越小。超調(diào)量：00204060801000.20.40.60.81ζ超調(diào)量：問題：ζ=0，1時，σ=？1.50.510tAtp3.3.3.3衰減比n由式(3-23)可知，第三個波峰值出現(xiàn)的時間是：則第三個峰值為：于是因而衰減比為：衰減比與阻尼系數(shù)ζ的關(guān)系如圖所示。ζ與超調(diào)量和衰減比的關(guān)系00204060801000.20.40.60.81ζ超調(diào)量：衰減比n(3-23)問題：ζ=0時，n=？2.521.50.510-0.50T2T3T4T3.3.3.4調(diào)節(jié)時間ts函數(shù)的曲線是二階系統(tǒng)過渡過程曲線的包絡(luò)線，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線總是包含在這一對包絡(luò)線之內(nèi)。圖3-13系統(tǒng)過渡過程的包絡(luò)線調(diào)節(jié)時間定義為階躍響應(yīng)曲線進入最終穩(wěn)態(tài)值土5％或士2％誤差范圍內(nèi)所需時間，則：因此求出：當0＜ζ＜0.9時，可取ts的近似值：（3-30）3.3.3.5上升時間tr由方程3-22，令y(tr)=1,有因此，（3-31）(3--22)=01.50.510tptstAtr3.3.3.6余差e（∞）余差是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過程的一個質(zhì)量指標，由終值定理求出。歸納（1）峰值時間tp、上升時間tr、調(diào)節(jié)時間ts與ζ和ωn有關(guān)（2）超調(diào)量σ、最大偏差A、衰減比n僅與ζ有關(guān)。為什么要計算控制系統(tǒng)的質(zhì)量指標？(1)分析、評價控制系統(tǒng)：已知G(s)，即特征參數(shù)ζ、ωn，不必求系統(tǒng)的過渡過程，根據(jù)公式，就可知系統(tǒng)的質(zhì)量指標，對控制系統(tǒng)做出評價和分析。(2)設(shè)計控制系統(tǒng)：給定系統(tǒng)的質(zhì)量指標后，根據(jù)以上公式，可求出ζ和ωn，即確定系統(tǒng)參數(shù)。一般的做法是：由超調(diào)量等確定ζ，而由ts等確定ωn

。例3-1

已知某反饋控制系統(tǒng)如圖所示。當R(s)為單位階躍信號時，試決定結(jié)構(gòu)參數(shù)K和τ，使得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)滿足動態(tài)性能指標σ=20%，tp=1s，并計算上升時間tr和調(diào)節(jié)時間ts。1+τsR(s)Y(s)﹣解：思路：1、求閉環(huán)傳遞函數(shù)（標準形式）2、根據(jù)σ，求ζ3、根據(jù)tp，求ωn。4、根據(jù)ζ、ωn確定k和τ。5、計算其它指標。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：1、2、根據(jù)給定條件利用式（3-26）和（3-24），1+τsR(s)Y(s)﹣3、(180°=π弧度)4、根據(jù)二階系統(tǒng)的標準形式：1+τsR(s)Y(s)﹣5、在上述參數(shù)下，計算上升時間tr（式3-31）和調(diào)節(jié)時間ts（式3-30）：解畢。1+τsR(s)Y(s)﹣過渡過程曲線如圖3-13。ty(t)1.00Atrtpts±0.02或±0.05圖3-13二階欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線3.3.3.7非標準的二階欠阻尼系統(tǒng)過渡過程性能指標的計算例3-2R(s)Y(s)﹣

閉環(huán)傳遞函數(shù)解：轉(zhuǎn)換成標準二階系統(tǒng)形式：即：結(jié)論：任何分子不含零點的線性二階系統(tǒng)均可表示為系數(shù)K與二階標準系統(tǒng)連乘的形式。閉環(huán)傳遞函數(shù)﹙﹚當K≠1或階躍輸入的幅值不為1時，其階躍響應(yīng)輸出的質(zhì)量指標如何計算？任何線性二階系統(tǒng)(分子不含零點）均可表示為以下傳遞函數(shù)：當輸入為階躍函數(shù)R(s)=C/s，即幅值為C的階躍信號時，輸出等于：對上式求拉氏反變換，得到輸出的時域表達式：當t→∞時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：從上式可知，此時系統(tǒng)階躍響應(yīng)的輸出被成比例放大CK倍，包括穩(wěn)態(tài)值，階躍信號的幅值C與系統(tǒng)增益K對系統(tǒng)輸出有相同的影響。因此，以下暫設(shè)C＝1，分析二階系統(tǒng)的過渡過程和相應(yīng)的性能指標由圖可知：l

時間指標不變被標準二階系統(tǒng)的特征參數(shù)唯一決定。l

反映絕對誤差的最大偏差A數(shù)值不同，成比例放大?！?.521.50.5100510152032530AAAK=2K=1K=0.5trtptsl

相對指標σ和n不變說明什么？A’A’K≠1時，穩(wěn)態(tài)誤差不為零！<問題>對標準二階系統(tǒng)，幅值不是1（非單位）的階躍信號的質(zhì)量指標？結(jié)論：階躍信號幅值C對輸出的作用與增益K相同，使階躍響應(yīng)輸出成比例C放大。線性系統(tǒng)兩個重要性質(zhì)：可疊加性和均勻性因此：●最大偏差A數(shù)值不同，亦成比例C放大?！瘛褓|(zhì)量指標中沒有變化，符合原公式。說明穩(wěn)態(tài)誤差不為0嗎？解：利用二階標準系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)質(zhì)量指標的求解原理，求解質(zhì)量指標。（第一個滿足要求的時間解）已知非二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)y(t)，如何求過渡過程的質(zhì)量指標？？例題系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：(1)已知的單位階躍響應(yīng)為，求。(2)當時，求：①

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出；②

系統(tǒng)的峰值時間tp,超調(diào)量σ%,調(diào)節(jié)時間ts，粗略繪出系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線；③

穩(wěn)態(tài)誤差。

解：2種解法：1、根據(jù)傳遞函數(shù)定義求得2、求單位脈沖響應(yīng)：(1)已知的單位階躍響應(yīng)為，求。（2）解：①系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)利用終值定理求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。②由求出由公式：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出粗略繪出系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖：解：例題ty(t)1.111.291.21③求穩(wěn)態(tài)誤差ess（2）2.09已知系統(tǒng)的方塊圖如圖所示。當時，在的初始條件下，試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的表達式；

在p＝4時，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為非零條件下的拉氏變換：？

非零初始條件下過渡過程時域響應(yīng)3.4

高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)兩種處理方法：1、通過因式分解，把高階系統(tǒng)分解為若干個低階系統(tǒng)的組合，其過渡過程是各部分曲線的疊加（線性疊加原理）；2、通過降階，把高階系統(tǒng)近似表示為低階（一、二階加純滯后）系統(tǒng)。3.4.1高階系統(tǒng)的解析分析例3-3某三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：寫成零極點的形式：它包含一個閉環(huán)實數(shù)根s1=﹣3和一對共軛復根s2、3=﹣1±j，還有兩個閉環(huán)零點

z1=﹣1,z2=﹣2

。(3-33)在單位階躍信號作用下，其輸出可表示為：寫成部分分式的形式：其中，a是輸出Y(s)在輸入函數(shù)極點處的留數(shù)，值等于傳遞函數(shù)（式（3-33））中分子與分母常數(shù)項的比值，有：(3-33)依上式可求出:bi

(i=1,2,3)是輸出Y(s)在各閉環(huán)極點處的留數(shù)，可根據(jù)復變函數(shù)中的留數(shù)定理求出：代入Y(s)的表達式：把上式后兩項合并，即把復數(shù)極點用它的實部和虛部表示，得到：對上式取拉氏反變換，得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：觀察上式，我們注意到：(1)這個三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是由它的實數(shù)極點和復數(shù)極點以及輸入函數(shù)的極點構(gòu)成的響應(yīng)分量疊加而成，即包括一些一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。s1=﹣3,s2、3=﹣1±j(2)當時間趨于無窮大時，其中的指數(shù)項均衰減為零，輸出的穩(wěn)態(tài)值等于輸入函數(shù)極點處的留數(shù)a，即閉環(huán)傳遞函數(shù)中分子與分母常數(shù)項的比值。(4)閉環(huán)零點決定輸出響應(yīng)的形狀。輸出函數(shù)各部分系數(shù)（各極點的留數(shù)）的符號和大小與閉環(huán)零點密切相關(guān)。(3)輸出響應(yīng)的形式由閉環(huán)極點的形式?jīng)Q定。實數(shù)極點產(chǎn)生單調(diào)變化的指數(shù)分量，復數(shù)極點產(chǎn)生阻尼正弦曲線的分量?？刂葡到y(tǒng)的一般閉環(huán)傳遞函數(shù)為：n階系統(tǒng)，分母多項式的最高次數(shù)是n，分子多項式的最高次數(shù)是m，n≥m。因式分解：l

-zi(i=1..m)是使分子等于零的根，叫做系統(tǒng)的閉環(huán)零點l

-pi(i=1..n)是使分母等于零的根，稱為系統(tǒng)的閉環(huán)極點l閉環(huán)系統(tǒng)的零點和極點可以是實數(shù)，也可以是共軛復數(shù)（1）Ai是極點上的留數(shù)，由復變函數(shù)的留數(shù)定理計算出。a是輸出Y(s)在輸入函數(shù)極點處的留數(shù)。對Y(s)取拉氏反變換，可得系統(tǒng)的過渡過程為：若所有閉環(huán)極點為不相同的實根，并且都分布在[S]平面的左半部（具有負實部），則系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的拉氏變換式是：（2）若既有實數(shù)極點又有共軛復數(shù)極點，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換式可寫成如下的一般形式：式中q+2r=n。如果閉環(huán)極點是互不相同的，則上述方程可以展開成下列部分分式：其中，系數(shù)可由復變函數(shù)的留數(shù)定理求出。Y(s)的拉氏反變換為：高階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線是由一些指數(shù)曲線和阻尼正弦曲線疊加而成。當所有的閉環(huán)極點都位于s左半平面時，因此，當t→∞時，上式中所有的指數(shù)項和阻尼指數(shù)項都趨于零，因此它們是系統(tǒng)的暫態(tài)分量，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為

y(∞)=a。3.4.2高階系統(tǒng)的降階近似分析例：設(shè)有一個高階系統(tǒng)（5階），其閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)零極點：對傳遞函數(shù)作拉氏反變換，得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)：高階系統(tǒng)零極點分布及過渡過程-4-30210-2-1-612300.005-0.015-0.0100.010.00545s1s2s3s4s5z1S1,2s3S4,5y(t)閉環(huán)零極點：單位脈沖響應(yīng)函數(shù)從高階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線可知：

閉環(huán)極點s1,2離虛軸最近，引起的響應(yīng)分量衰減最慢；閉環(huán)極點s3靠近閉環(huán)零點z1，構(gòu)成一對偶極子，s3上的留數(shù)?。?.005)，零極點的作用互相抵消；

s4,5極點的位置離虛軸很遠，留數(shù)很小，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)項比較小，持續(xù)時間很短,對系統(tǒng)的過渡過程影響不大;總的單位脈沖響應(yīng)曲線大部分時間與由s1,2引起的過渡過程曲線相同，僅在開始階段受其它極點的分量的影響。-4-30210-2-1-6s1s2s3s4s5z112300.005-0.015-0.0100.010.00545S1,2s3S4,5y(t)結(jié)論：②離虛軸較近的閉環(huán)極點對應(yīng)的過渡過程分量衰減的較慢，這些分量主要決定過渡過程形式；①從閉環(huán)極點到虛軸的水平距離（極點的實部）決定了由此極點引起的瞬態(tài)過程分量的過渡時間，兩者成反比；:根的實部如二階欠阻尼系統(tǒng)，③遠離虛軸的閉環(huán)極點具有很大的負實部，它們對應(yīng)的輸出響應(yīng)的指數(shù)項迅速地衰減到零值，對系統(tǒng)的過渡過程影響不大；④偶極子的影響可以忽略?；氐奖纠诮品治鲋校梢钥闯?，這個高階系統(tǒng)可以用一個二階系統(tǒng)近似表示，s1、s2稱為閉環(huán)主導極點：-4-30210-2-1-6s1s2s3s4s5z112300.005-0.015-0.0100.010.00545S1,2s3S4,5y(t)或根據(jù)穩(wěn)態(tài)不變性的原則：

閉環(huán)主導極點要滿足的兩個條件是：l

控制系統(tǒng)過渡過程的形式以及性能指標主要取決于這對閉環(huán)主導極點。2、與其它閉環(huán)極點距虛軸的距離在5倍以上。1、在S平面上，距離虛軸比較近，且周圍沒有其它的零極點。l

一般高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)都是振蕩的，主導極點往往是一對共軛復根。閉環(huán)零極點：偶極子：一對靠得非常近的零點和極點，附近沒有其它零極點?？偨Y(jié)1、標準二階系統(tǒng)性能指標求法2、非標準二階系統(tǒng)的性能指標求法3、高階系統(tǒng)時域響應(yīng)分析3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)設(shè)計的首要目的就是要確保被控系統(tǒng)的穩(wěn)定；線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的一種屬性。3.6.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念及條件二階系統(tǒng)：ζ>0時，系統(tǒng)的極點具有負實部，系統(tǒng)階躍響應(yīng)過程按指數(shù)衰減趨勢變化，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；ζ＝0時，系統(tǒng)極點是純虛數(shù)，階躍響應(yīng)過程等幅振蕩，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；ζ＜0時，系統(tǒng)特征根具有正實部，階躍響應(yīng)過程曲線發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。一個穩(wěn)定系統(tǒng)可定義為：在有界輸入的情況下，其輸出也是有界的。極點的實部出現(xiàn)在單位階躍響應(yīng)的指數(shù)項中，決定輸出響應(yīng)的形式，負實部使指數(shù)項衰減，最終輸出恒定，正實部使指數(shù)項無限增加，最終輸出發(fā)散，實部為零，指數(shù)項為0，輸出等幅振蕩。問題：極點虛部決定單位階躍響應(yīng)的什么部分？問題：極點實部決定單位階躍響應(yīng)的什么部分？推廣結(jié)論：解析方法－求解系統(tǒng)的特征方程

roots(abc)→求(as2+bs+c)的根高階系統(tǒng)求解困難勞斯穩(wěn)定判據(jù)－不用求解系統(tǒng)的特征方程，就可以得知系統(tǒng)閉環(huán)極點的分布情況線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征根（極點）全部具有負實部。

3.6.2勞斯(E.J.Routh)穩(wěn)定判據(jù)已知系統(tǒng)的特征方程式為：特征根全部具有負實部(3-52)(1)系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)必須皆為正—必要條件；(2)勞斯行列式第一列的系數(shù)全為正—充分條件；(3)第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)等于實部為正的根的個數(shù)。勞斯行列式：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要且充分條件是：在系統(tǒng)特征方程的系數(shù)全為正的基礎(chǔ)上，勞斯行列式中第一列的系數(shù)全為正號。勞斯穩(wěn)定判據(jù)：例3-6利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判斷下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：它的特征方程式是：特征方程式中系數(shù)皆為正，滿足穩(wěn)定性的必要條件，勞斯行列式：勞斯行列式第一列全為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。實際上該系統(tǒng)的4個根為：例3-7若一系統(tǒng)的特征方程為：利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：特征方程的系數(shù)均為正，列寫勞斯行列式：該系統(tǒng)的特征方程式有兩個實部為正的特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的4個根為：符號改變一次→符號改變一次→幾種特殊情況（1）第一列有零值出現(xiàn)用一很小的正數(shù)ε來代替這個零，并繼續(xù)勞斯行列式的計算；當?shù)玫酵暾膭谒剐辛惺胶?，令ε?，檢驗第一列的符號變化次數(shù)；若符號沒有發(fā)生變化，則說明系統(tǒng)具有一對純虛根,可利用輔助方程求出；若符號發(fā)生變化，符號變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不穩(wěn)定根的個數(shù)。例3-8系統(tǒng)特征方程判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：勞斯行列式：ε上下符號相同，說明系統(tǒng)有一對共軛虛根。通過解輔助方程可知，02ε0例3-9試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)特征方程為：解：特征方程的系數(shù)均為正，計算勞斯行列式如下：ε→0首列整理為:系統(tǒng)有二個實部為正的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。方程解為：05/2符號改變一次→符號改變一次→（2）某行的系數(shù)都為零l

表明系統(tǒng)具有成對的實根或共軛虛根，這些根大小相等，符號相反；l

利用全零行上面的一行系數(shù)構(gòu)成輔助多項式P（s），然后由的系數(shù)代替零行，繼續(xù)勞斯行列式的計算；l

輔助多項式為系統(tǒng)特征多項式的因子式，可以通過求解輔助方程求出那些對根。

若全零行上下符號沒有變化，則說明系統(tǒng)具有一對純虛根；若第一列符號發(fā)生變化，符號變化的次數(shù)，就是系統(tǒng)具有不穩(wěn)定根的個數(shù)；例3-10試判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的特征方程為：解：計算勞斯行列式輔助多項式：00求p(s)對s的導數(shù):導數(shù)方程的系數(shù)代入s3行。896例3-11可利用輔助方程求出那些大小相等，符號相反的根：行列式第一列系數(shù)符號變化一次，說明系統(tǒng)有一個正實部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。輔助方程是系統(tǒng)特征方程的一個因子式。