專(zhuān)題53固定面積的存在性問(wèn)題

【題型演練】

一、解答題

1.【探索發(fā)現(xiàn)】

⑴如圖1,是一張直角三角形紙片，ZB=90。，小明想從中剪出一個(gè)以NB為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)

過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線(xiàn)DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過(guò)證明驗(yàn)證了其正

確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為.

【拓展應(yīng)用】

⑵如圖2,在AABC中，BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上,

頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，求出矩形PQMN面積的最大值（用含a、h的代數(shù)式表示）；

【靈活應(yīng)用】

⑶如圖3,有一塊“缺角矩形"ABCDE,AB=28,BC=36,AE=18,CD=14,小明從中剪出了一個(gè)面積

最大的矩形（4為所剪出矩形的內(nèi)角），直接寫(xiě)出該矩形的面積.

2.已知二次函數(shù)、="2+法-4（a>0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（A在B左側(cè)，且OACOB）,與y

軸交于點(diǎn)C.

（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷b的正負(fù)性;

（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)D,已知DC：CA=1：2,直線(xiàn)BD與y軸交于點(diǎn)E,

連接BC,

①若△BCE的面積為8,求二次函數(shù)的解析式；

②若△BCD為銳角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出OA的取值范圍.

y

X

萬(wàn)一

3.“構(gòu)造圖形解題”，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是有些技巧性很強(qiáng)的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾

何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無(wú)措，難以下手，這時(shí)，如果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題

目中隱含的幾何條件，通過(guò)構(gòu)造適合的幾何圖形，將會(huì)得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實(shí)例：

實(shí)例一：1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽非爾德利用實(shí)例一圖證明了勾股定理：由S四邊彩旗8=5少?+5加￡+5少￡得

222

g(a+6)2=2x："+gc2,化簡(jiǎn)得：a+b=c.

實(shí)例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關(guān)于x的方程Y+依=〃的圖解法是：畫(huà)RfABC,使NACF=90。，

BC=|,AC=\b\,再在斜邊AB上截取BC=5,則的長(zhǎng)就是該方程的一個(gè)正根(如實(shí)例二圖).

根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問(wèn)題：

(1)如圖1,請(qǐng)利用圖形中面積的等量關(guān)系，寫(xiě)出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是,乙圖要證明的數(shù)學(xué)

公式是,體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是;

(2)如圖2,按照實(shí)例二的方式構(gòu)造成AABC,連接。，請(qǐng)用含字母b的代數(shù)式表示AO的長(zhǎng)，AD的

表達(dá)式能和己學(xué)的什么知識(shí)相聯(lián)系；

(3)如圖3,已知。。，A3為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)。，連接CO,設(shè)D4=a,

BD=b,求證：^-^->\[ab.

2

a

bAaDB

實(shí)例TB實(shí)例二as

4.【探索發(fā)現(xiàn)】

如圖①，是一張直角三角形紙片，?B90?,小明想從中剪出一個(gè)以為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過(guò)

多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線(xiàn)小、防剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過(guò)證明驗(yàn)證了其正確

性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為.

如圖②，在AABC中，BC=a,邊上的高AD=//,矩形PQMN的頂點(diǎn)尸、N分別在邊A3、AC上，

頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為.（用含〃的代數(shù)式表示）

【靈活應(yīng)用】

如圖③，有一塊“缺角矩形"ABCDE,AB=32,3c=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個(gè)面積最

大的矩形（/3為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積.

【實(shí)際應(yīng)用】

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測(cè)量AB=60cro,BC=105cm,CD=y0cm,且tan8=；

tanC=2,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)V、N在邊上且面積最大的矩形尸QWN,求該矩形的

面積.

5.某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞矩形ABCD（ABVBC）的對(duì)

角線(xiàn)的交點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)（①一②—③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的

交點(diǎn).

（1）該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①中（三角板一邊與CC重合），BN、CN、CD這三條線(xiàn)段之間存在一定的

數(shù)量關(guān)系：CN2=BN2+CD2,請(qǐng)你對(duì)這名成員在圖①中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論說(shuō)明理由；

（2）在圖③中（三角板一直角邊與0D重合），試探究圖③中BN、CN、CD這三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，直接

寫(xiě)出你的結(jié)論.

（3）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

6.如圖1,在RdABC中，ZACB=90°,AC^BC,點(diǎn)。為AB邊上一點(diǎn)，連接CD,/ADC=120。，把△AOC

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADC'（旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'、"），設(shè)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為m（0°<m<360°）.

（1）當(dāng)加=30。時(shí)，如圖2,連接CC并延長(zhǎng)，交A8于點(diǎn)E.請(qǐng)直接寫(xiě)出NACC'的度數(shù)；

（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷AOCE的形狀，并說(shuō)明理由；

（3）①小明在探究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)機(jī)=90。時(shí)，如圖3,四邊形ACBC'為平行四邊形，請(qǐng)證明小明的結(jié)

論的正確性；

②請(qǐng)你再探究：在AAOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、C'四點(diǎn)組成的

四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并請(qǐng)直接寫(xiě)出機(jī)的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

7.如圖示AB為。。的一條弦，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，E為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線(xiàn)上,

且BE=EF,線(xiàn)段CE交弦AB于點(diǎn)D.

①求證：CE//BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：石，求△BCD的面積（注：根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可知OCLAB）.

\C

D

■

2

8.如圖，已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，0c在x軸的正半軸上，0A=AB=2,拋物線(xiàn)y=-^

x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,交正x軸于點(diǎn)D,E是0C上的動(dòng)點(diǎn)(不與C重合)連接EB,過(guò)B點(diǎn)作BFLBE

交y軸與F

(1)求b,c的值及D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)E在0C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性？并證明你的結(jié)論；

(3)連接EF,BD,設(shè)OE=m,△BEF與△BED的面積之差為S,問(wèn)：當(dāng)m為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)

最小值.

9.在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，兩個(gè)同學(xué)利用計(jì)算機(jī)軟件探索函數(shù)問(wèn)題，下面是他們交流片斷：

MN

圖1：小韓：若直線(xiàn)x=m(m>0)分別交x軸，直線(xiàn)y=x和y=2x于點(diǎn)P、M、N時(shí)，有——=1.

圖2：小蘇：若直線(xiàn)x=m(m>0)分別交x軸，雙曲線(xiàn)y=—(x>0)和y=—(x>0)于點(diǎn)P、M、N時(shí),

XX

*MN

有---=...

PM

問(wèn)題解決

mK

圖①圖②VJA/

1圖①

(1)填空：圖2中，小蘇發(fā)現(xiàn)的M箸N=_______________；

PM

(2)若記圖1,圖2中MN為山，ch分別求出山，d2與m之間的函數(shù)關(guān)系式.并指出函數(shù)的增減性；

(3)如圖3,直線(xiàn)x=m(m>0)分別交x軸，拋物線(xiàn)y=x2-4x和y=x2-3x于點(diǎn)F>,M,N,設(shè)A,B為拋物

線(xiàn)y=x2-4x,y=x2-3x與x軸的非原點(diǎn)交點(diǎn).當(dāng)m為何值時(shí)，線(xiàn)段OP,PM,PN,MN中有三條能?chē)傻冗?/p>

三角形？并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)A,B,M,N圍成的圖形的面積.

10.如圖：已知直線(xiàn)/：y=-2元+2與X軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)、,拋物線(xiàn)＞=-/+6x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)且

與x軸交于點(diǎn)C(2,0).

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(2)已知點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為如四

邊形。4MB的面積為S,求S與相的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

(3)若點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)A3上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)尸使得以O(shè),B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.若

存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)〉=混+扇+。交》軸于點(diǎn)4(-4,0),3(2,0),交y軸于點(diǎn)C(0,6),

在y軸上有一點(diǎn)醺0,-2),連接AE.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。為拋物線(xiàn)在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求VADE的面積的最大值；

(3)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在著點(diǎn)P,使△AEP為等腰三角形.符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)有若干個(gè)，請(qǐng)求出任意一

個(gè)符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo).

12.如圖，拋物線(xiàn)y-d+bx+c與無(wú)軸交于A(2,0),B(T,0)兩點(diǎn).

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(2)若拋物線(xiàn)交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)。，使得的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出

。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在拋物線(xiàn)的第二象限圖像上是否存在一點(diǎn)P,使得APBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)及APBC

的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.如圖，己知拋物丫=-/+法+°與軸交于4(-1,0),8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接3C.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

⑵若點(diǎn)尸為線(xiàn)段BC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與2、C重合)，RW//y軸，且交拋物線(xiàn)于點(diǎn)交x軸于點(diǎn)N,求AMBC

的面積的最大值；

(3)若點(diǎn)。為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)E,使E到點(diǎn)8的距離與點(diǎn)E到點(diǎn)。的距離之差最大？若

存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.如圖1,拋物線(xiàn)y=*-4x與x軸相交于原點(diǎn)。和點(diǎn)A,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為8點(diǎn)，

拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C點(diǎn).

(1)求點(diǎn)8和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)。，使得/DOB=/OBC?若存在，求出所有點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3汝口圖2,點(diǎn)E是點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，所與直線(xiàn)08

交于點(diǎn)G.設(shè)△班G和ABEG的面積分別為既和邑，求善的最大值.

15.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AS=10cm,AC:BC=4:3,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)沿A3方向向點(diǎn)B運(yùn)

動(dòng)，速度為lcm/s,同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿CfA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)

終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

C

4——apB

(1)AC=______cm；BC=______cm；

⑵設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒(x>0),APBQ的面積為ycm2,當(dāng)APBQ存在時(shí)，求y與尤的函數(shù)關(guān)系式，并

寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

>

(3)當(dāng)點(diǎn)。在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，多少秒時(shí)APB。的面積為15cm?!

16.如圖，AC、是。O的兩條弦，且3DLAC于點(diǎn)E

(1)如圖1：若AE=BE,求證DE=CE；

(2)如圖2：若AC=8,BD=6,OE=而，求弓形BAD的面積

(3)連結(jié)AB/CC。，若C4=CD,

①-ACB與/ACD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.

②在8。上存在點(diǎn)產(chǎn)，滿(mǎn)足斯=2AB,點(diǎn)M是AO的中點(diǎn)，連結(jié)MF,已知AB=2應(yīng),加=2,求O。的半

徑.

17.如圖，直線(xiàn)4：y=履+1與無(wú)軸交于點(diǎn)。，直線(xiàn)4：y=r+b與X軸交于點(diǎn)A,且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)2(-1,5),直

線(xiàn)4與4交于點(diǎn)C(2,㈤.

⑴填空：k=；b-;m=;

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)E,使A3CE的周長(zhǎng)最短？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若動(dòng)點(diǎn)尸在射線(xiàn)。C上從點(diǎn)。開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接AP,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.是

否存在/的值，使△ACP和△4PP的面積比為1:2?若存在，直接寫(xiě)出/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

k

18.如圖，一次函數(shù)必=x+l的圖像與反比例函數(shù)%=—的圖像相交于點(diǎn)A(肛2),8兩點(diǎn)，分別連接0B.

x

⑴求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖像的軸對(duì)稱(chēng)性，直接寫(xiě)出點(diǎn)8的坐標(biāo)為,當(dāng)M＞為，則自變量尤的取值范圍

是;

(3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，是否存在一點(diǎn)尸，使以點(diǎn)。，A,B,P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接

寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

專(zhuān)題53固定面積的存在性問(wèn)題

【題型演練】

一、解答題

1.【探索發(fā)現(xiàn)】

⑴如圖1,是一張直角三角形紙片，4=90。，小明想從中剪出一個(gè)以NB為內(nèi)角且面積

最大的矩形，經(jīng)過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線(xiàn)DE、EF剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，

隨后，他通過(guò)證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為

【拓展應(yīng)用】

（2）如圖2,在AABC中，BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在

邊AB、AC上，頂點(diǎn)Q、M在邊BC上，求出矩形PQMN面積的最大值（用含a、h的代數(shù)

式表示）；

【靈活應(yīng)用】

（3）如圖3,有一塊“缺角矩形"ABCDE,AB=28,BC=36,AE=18,CD=14,小明從中

剪出了一個(gè)面積最大的矩形（NB為所剪出矩形的內(nèi)角），直接寫(xiě)出該矩形的面積.

1ah

【答案】⑴⑵7⑶當(dāng)x=21時(shí)，矩形BGPH的面積取得最大值，最大值為567.

S矩形五瓦用_EF?DE

【分析】（1）由中位線(xiàn)知EF=^BC、ED=2AB、由S一1gA「可得;

2

PNAEa

（2）由△APNs^ABC知力7=77?，可得PN=a-：P。，設(shè)PQ=x,由S矩形PQMN=PQ?PN=

AUh

-^（彳一4『+￥，據(jù)此可得；

h24

（3）結(jié)合圖形過(guò)DE上的點(diǎn)P作PGLBC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)GP交AE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)I,過(guò)點(diǎn)P作

EIPJQ

PHXAB,設(shè)PG=x,知PI=28-x,由△EIPs/\EKD知——=——,據(jù)此求得EI=36一-%,

EKDK7

999

PH=54--x,再根據(jù)矩形BGPH的面積5二%（54-7］）=-7（1-21）2+567可得答案.

777

【詳解】解：（1）???EF、ED為△ABC中位線(xiàn),

..ED//AB,EF//BC,EF=-BC,ED=-AB,

22

又ZB=90°,

四邊形FEDB是矩形，

S矩形FEDB_EF?DE_

則S-1—2，

人J^ABC-ABBC乙

2

故答案為彳；

2

（2）vPN//BC,

/.△APN^AABC,

PNAEf,口ETa「八

二.——二——,可得PN=a——PQ,

BCADh

2

設(shè)PQ=x,由s矩形PQMN=PQ-PN=-^-（x-^）+^-,

「?當(dāng)PQ=5時(shí)，S矩形PQMN最大值為—.

（3）如圖，過(guò)DE上的點(diǎn)P作PGLBC于點(diǎn)G,延長(zhǎng)GP交AE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)I,過(guò)點(diǎn)P作PHLAB

于點(diǎn)H,

則四邊形AHPI和四邊形BGPH均為矩形，

設(shè)PG=x,貝iJPI=28—x,

???AB=28,CD=14,BC=36,AE=18,

.?.DK=14,EK=18,

,,EIPI

由△EIPS^EKD知一=大二，

EKDK

EI28-x4曰9

18147

99

.?.PH=AI=AE+EI=18+36——x=54——x,

77

則矩形BGPH的面積S=X（54_￡XJ=_T（X_21）2+567,

???當(dāng)x=21時(shí)，矩形BGPH的面積取得最大值，最大值為567.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線(xiàn)定理（三角形的中位線(xiàn)

平行于第三邊并且等于第三邊的一半），相似三角形的判定與性質(zhì)（相似三角形任意對(duì)應(yīng)線(xiàn)

段的比等于相似比），矩形的判定與性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等）等知識(shí)點(diǎn).

2.已知二次函數(shù)>=依2+區(qū)-4（a>0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（A在B左側(cè)，且

OA<OB),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求C點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷b的正負(fù)性；

(2)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)D,已知DC：CA=1：2,直線(xiàn)BD

與y軸交于點(diǎn)E,連接BC,

①若△BCE的面積為8,求二次函數(shù)的解析式；

②若△BCD為銳角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出OA的取值范圍.

【答案】(1)C(0,-4),b<0；(2)①y=gx2-x-4；②2乓OA<4

【分析】⑴把x=0代入y=QX-4,即可求得點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)OAVOB,可知一丁>。，

2a

由a>0即可求得b<0；

⑵①過(guò)點(diǎn)D作DMLy軸，垂足為M,則有饕=奈=會(huì)=；,由此可得。

設(shè)A(-2m,0)m>0,則AO=2m,DM=m,繼而可得D(m,-6),B(4m,0),AB=6m,BN=3m,

再由DN//OE,可得△BNDs^BOE,繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OE=8,再根據(jù)

S-BCE=gx4x4〃2=8,可求得m=1,由此可得A(-2,0),B(4,0),設(shè)y=a(x+2)(x-4),

繼而可得C(0,-8a),再根據(jù)C點(diǎn)(0,-4)可求得a值，即可求得答案；

②由①易知：B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),/CBD一定為銳角，利用勾股定理求得

CB2=16m2+l6,CD2=m2+4,DB2=9m2+36,然后分兩種情況進(jìn)行討論即可得.

【詳解】⑴當(dāng)x=0時(shí)，y=ax2+Z?x-4=-4,

.,.C(0,-4),

h

VOA<OB,對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，Bp-->0,

2a

Va>0,.,.b<0；

(2)①過(guò)點(diǎn)D作DM，y軸，垂足為M,則有DM〃OA,

/.△DCM^AACO,

.DMMCDC

"~OA~^O~~CA~2"

：.DM=~AO,

2

設(shè)A(-2m,0)m>0,則AO=2m,DM=m,

VOC=4,???CM=2,

-6),B(4m,0),AB=6m,BN=3m,

VDN//OE,

.,.△BND^ABOE,

.DNBN

9，~OE~~OB"

口r63m

即——=——，

OE4m

AOE=8,

.,.CE=OE-OC=4,

S^BCE=5*4x4m=8,

m=1,

AA(-2,0),B(4,0),

設(shè)y=〃(x+2)(x-4),

即y=ax2-lax-Sa,

令x=0,則y=-8a,

AC(O,-8a),

.*.-8a=-4,

,1

1

y=—x9-x-4；

2

②由①易知：B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),NCBD一定為銳角,

由勾股定理可得：CB2=16m2+16,CD2=m2+4,DB2=9m2+36,

當(dāng)NCDB為銳角時(shí)，CD2+DB2>CB2,

m2+4+9m2+36>16m2+16，

解得-2VmV2；

當(dāng)NBCD為銳角時(shí)，CD2+CB2>DB2,

m2+4+16m2+16>9m2+36，

解得或mV-疝舍)，

綜上：V2<m<2，

20V2m<4，

2^<OA<4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理以

及不等式等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解

題的關(guān)鍵.

3.“構(gòu)造圖形解題”，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是有些技巧性很強(qiáng)的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題

目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無(wú)措，難以下手，這

時(shí)，如果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件，通過(guò)構(gòu)造適合的幾何圖形，將會(huì)得到事

半功倍的效果，下面介紹兩則實(shí)例：

實(shí)例一：1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽非爾德利用實(shí)例一圖證明了勾股定理：由S四邊形

ABC￡>=S44BC+S44DE+SA4BE得=2X,化間得：+6"=/.

實(shí)例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關(guān)于X的方程無(wú)2+依=〃的圖解法是：畫(huà)RSABC,

使/ACB=90。，BC=|,AC=\b\,再在斜邊AB上截取2C=f則AD的長(zhǎng)就是該方程

的一個(gè)正根（如實(shí)例二圖）.

根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問(wèn)題：

（1）如圖1,請(qǐng)利用圖形中面積的等量關(guān)系，寫(xiě)出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是,乙

圖要證明的數(shù)學(xué)公式是,體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是；

（2）如圖2,按照實(shí)例二的方式構(gòu)造成AABC,連接請(qǐng)用含字母。、6的代數(shù)式表示AO

的長(zhǎng)，AO的表達(dá)式能和已學(xué)的什么知識(shí)相聯(lián)系；

（3）如圖3,已知。0,A3為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作。。，他于點(diǎn)。，連接CO,

設(shè)DA=a,BD=b,求證：＞4ab.

2

【答案】（1）完全平方公式，平方差公式，數(shù)形結(jié)合的思想；（2）3AD

2

的表達(dá)式能和一元二次方程的求根公式相聯(lián)系；（3）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)大正方形面積=各個(gè)部分面積之和，即可得到完全平方公式和平方差公式,

進(jìn)而即可得到答案；

(2)根據(jù)勾股定理以及一元二次方程的求根公式，即可得到答案；

(3)連接AC,CB,易證△ACDSACBD,CD2=ADBD,結(jié)合。C=g(a+b)CO'CD,

即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)如圖1中,圖甲大正方形的面積=(。+力2=6+2"+火

圖乙中大正方形的面積=/—(a—by+Z?2+2b(a—b),即:

a2-b2=(Q-b)(a-b+2b)=(Q+b)(a-b).

它們都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

故答案是：完全平方公式，平方差公式，數(shù)形結(jié)合的思想；

(2):在RSABC中，BC=|,AC=W，

??AB=

ci《4b之+Q2—a

--AD

解/+依=匕2,由求根公式可得x=一“士+4匕

答：AD的表達(dá)式能和一元二次方程的求根公式相聯(lián)系；

(3)由已知，可得0C=JAB=萬(wàn)①+6),連接AC,CB.

；AB為直徑，

ZACB=90°,

，ZACD+ZDCB=90°,

'：CD±AB,

：.ZCAD+ZACD=90°,ZCDA=Z.CDB,

NDCB=NCAD,

：.AACDs^CBD,

CD2=ADBD,即CZ)=?K,

在Rt/\COD中，CO2=OD2+CD2,

CO2>CD2,即CO2CD,

呼H

【點(diǎn)睛】本題主要考查乘法公式與幾何圖形的面積，勾股定理，一元二次方程的求根公式,

圓周角定理的推論以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，勾股

定理以及圓周角定理的推論，是解題的關(guān)鍵.

4.【探索發(fā)現(xiàn)】

如圖①，是一張直角三角形紙片，？890?,小明想從中剪出一個(gè)以—3為內(nèi)角且面積最大

的矩形，經(jīng)過(guò)多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線(xiàn)DE、/方剪下時(shí)，所得的矩形的面積最大，隨

后，他通過(guò)證明驗(yàn)證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為

如圖②，在AABC中，BC=a,邊上的高=矩形尸的頂點(diǎn)？、N分別在邊

AB,AC上，頂點(diǎn)2、M在邊BC上，則矩形PQVW面積的最大值為.（用含

的代數(shù)式表示）

【靈活應(yīng)用】

如圖③，有一塊“缺角矩形"ABCDE,AB=32,3c=40,AE=20,8=16,小明從中剪

出了一個(gè)面積最大的矩形（/3為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積.

【實(shí)際應(yīng)用】

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABC。，經(jīng)測(cè)量AB=60c〃z,BC=105cm,CD=74cm,

4

且tanB=§,tanC=2,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)M、N在邊BC上且面積最大

的矩形尸QMN,求該矩形的面積.

【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】：；【拓展應(yīng)用】半；【靈活應(yīng)用】720；【實(shí)際應(yīng)用】2205cm2.

24

S矩形產(chǎn)磯用_EF■ED

【分析】（1）【探索發(fā)現(xiàn)】：由中位線(xiàn)知EF=[BC、ED=[AB、由S4“一1”一可

22AABC—AD?nC

2

得結(jié)論；

(2)【拓展應(yīng)用】：設(shè)PN=b,證明AAPNs^ABC,表示PQ的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的面積公式得：

S=b?PQ=M，嘰-且+bh,根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；

aa

(3)【靈活應(yīng)用】:添加如圖1輔助線(xiàn)，取BF中點(diǎn)LFG的中點(diǎn)K,由矩形性質(zhì)知AE=EH=20、

CD=DH=16,分另lj證△AEF咨/kHED、△CDGgZ^HDE得AF=DH=16、CG=HE=20,從而

判斷出中位線(xiàn)IK的兩端點(diǎn)在線(xiàn)段AB和DE上，利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可；

(4)【實(shí)際應(yīng)用】：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EHLBC于點(diǎn)H,由tanB和tanC得

BH和CH、EH的長(zhǎng)，繼而求得BE和CE的長(zhǎng)，可判斷中位線(xiàn)PQ的兩端點(diǎn)在線(xiàn)段AB、CD

上，利用【拓展應(yīng)用】結(jié)論解答可得.

【詳解】(1)【探索發(fā)現(xiàn)】:設(shè)EF=x,ED=y,

：EF、ED為八ABC中位線(xiàn)，

AEDAB,EF/7BC,EF=yBC,ED=；AB,

；.AB=2ED=2y,BC=2EF=2x,

又/B=90。，

四邊形FEDB是矩形，

S矩形FEDB_EF.ED_陰_J_

則一^―1一1,

JXABCAB-BC-?2X?y/

22

故答案為：g；

(2)【拓展應(yīng)用】：設(shè)PN=b,

：PN〃BC,

.'.△APN^AABC,

.AE_PN

"AD-BC'

1/BC=a,BC邊上的高AD=h,

.h-PQ_bah-bh

PQ=---------

haa

：?@/L〃/

.S=bPQ=--+bh

a

—h2ah

s的最大值為：.h4;

4x(——)

a

則矩形PQMN面積的最大值為日；

故答案為：牛；

(3)【靈活應(yīng)用】：如圖1,延長(zhǎng)BA、DE交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)AE、

CD交于點(diǎn)H,取BF中點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,

由題意知四邊形ABCH是矩形，

VAB=32,BC=40,AE=20,CD=16,

，EH=20、DH=16,

，AE=EH、CD=DH,

在AAEF和AHED中，

ZFAE=ZDHE

?：(AE=AH,

NAEF=NHED

.'.△AEF^AHED(ASA),

；.AF=DH=16,

同理△CDG^AHDE,

.?.CG=HE=20,

VBI=24<32,

中位線(xiàn)IK的兩端點(diǎn)在線(xiàn)段AB和DE上，

過(guò)點(diǎn)K作KL±BC于點(diǎn)L,

由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為gxBG?3BF=3x(40+20)x|(32+16)=720,

答：該矩形的面積為720；

(4)【實(shí)際應(yīng)用工如圖2,延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EHLBC于點(diǎn)H,

E

圖2

VtanB=—

BH3

設(shè)EH=4x,BH=3x,

*.*tanC=2=,

CH

.,.CH=2x,

VBC=BH+CH=105=3x+2x,x=21,

???BH=63,CH=42,EH=84,

由勾股定理得：BE=ylEH2+BH2=A/632+842=105,CE=y/CH2+EH2=V842+422=42人，

VAB=60,

.'.AE=45,

ABE的中點(diǎn)Q在線(xiàn)段AB上，

VCD=70,

ACE的中點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上，

???中位線(xiàn)PQ的兩端點(diǎn)在線(xiàn)段AB、CD±,

由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為：BC-EH=%O5X84=22。5cm2,

答：該矩形的面積為2205cm2.

【點(diǎn)睛】此題考查四邊形的綜合問(wèn)題，熟練掌握中位線(xiàn)定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等

腰三角形的性質(zhì)及類(lèi)比思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

5.某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問(wèn)題時(shí)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞矩形

ABCD(ABVBC)的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)(①一②—③)，圖中的M、N分別為直角三角形的

直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點(diǎn).

（1）該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①中（三角板一邊與CC重合），BN、CN、CD這三條線(xiàn)段

之間存在一定的數(shù)量關(guān)系：CN2=BN2+CD2,請(qǐng)你對(duì)這名成員在圖①中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論說(shuō)明理由；

⑵在圖③中（三角板一直角邊與0D重合），試探究圖③中BN、CN、CD這三條線(xiàn)段之間的

數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

（3）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明

理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BN2=NC2+CD2；（3）CM2+CN2=DM2+BN2,理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）連結(jié)AN,由矩形知AO=CO,/ABN=90。，AB=CD,結(jié)合ON_LAC得NA=NC,

由NABN=90。知NA2=BN2+AB2,從而得證；

（2）連接DN,在R3CDN中，根據(jù)勾股定理可得：ND2=NC2+CD2,再根據(jù)ON垂直平

分BD,可得：BN=DN,從而可證：BN2=NC2+CD2；

（3）延長(zhǎng)MO交AB于點(diǎn)E,可證：△BEO也△DMO,NE=NM,在RtABEN和RtAMCN

中，根據(jù)勾股定理和對(duì)應(yīng)邊相等，可證：CN2+CM2=DM2+BN2.

【詳解】（1）證明：連結(jié)AN,

:矩形ABCD

.?.AO=CO,ZABN=90°,AB=CD,

VON±AC,

；.NA=NC,

ZABN=90°,

；.NA2=BN2+AB2,

.\NC2=BN2+CD2.

:四邊形ABCD是矩形,

.\BO=DO,ZDCN=90°,

VON±BD,

???NB=ND,

?IZDCN=90°,

???ND2=NC2+CD2,

BN2=NC2+CD2.

(3)CM2+CN2=DM2+BN2

理由如下：延長(zhǎng)MO交AB于E,

:矩形ABCD,

ABO=DO,ZABC=ZDCB=90°,AB//CD,

???NABO=NCDO,ZBEO=ZDMO,

.,.△BEO^ADMO(ASA),

.,.OE=OM,BE=DM,

VMO1EM,

ANE=NM,

VZABC=ZDCB=90°,

NE2=BE2+BN2,NM2=CN2+CM2,

???CN2+CM2=BE2+BN2,

即CN2+CM2=DM2+BN2.

【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性

質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

6.如圖1,在RQABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。為AB邊上一點(diǎn)，連接CD,ZADC

=120。,把^AOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADC(旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C、DC),

設(shè)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為加(0°<m<360°).

(1)當(dāng)加=30。時(shí)，如圖2,連接CC并延長(zhǎng)，交A3于點(diǎn)E.請(qǐng)直接寫(xiě)出NACC的度數(shù)；

(2)在(1)的條件下，請(qǐng)判斷△OCE的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)①小明在探究的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)機(jī)=90。時(shí)，如圖3,四邊形ACBC為平行四邊形，請(qǐng)

證明小明的結(jié)論的正確性；

②請(qǐng)你再探究：在△AOC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在其他的情形，使以A、B、。、

C'四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并請(qǐng)直接

寫(xiě)出相的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)75°；(2)等邊三角形，理由見(jiàn)解析；(3)①見(jiàn)解析；②存在，畫(huà)圖見(jiàn)解析，

"2=90°或瓶=270°

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)知AC=AC',根據(jù)NC4C'=30。得/ACC=幽二75。；

2

(2)在RdABC中，ZACB=9Q°,A8=AC知NA2C=/a4C=45。，結(jié)合NACC'=75°

知NBCE=90。-ZACC=15°,繼而知/AEC=/ABC+NBCE=60。，根據(jù)N4Z)C+/CZ)E

=180°,乙位＞。=120。得/。5=60。，繼而知NCOE=NOEC=NECr)=60。，即可得證；

(3)①初=90°時(shí)，由NACB=90°,ZBAC=90°知NACB+NA4C'=180°,據(jù)此得AC'〃3c,

再由AC'=AC,AC=8C知AC'=8C,即可得四邊形ACSC'為平行四邊形；

②加=270。時(shí)，由/C'AC=90。知NC'AC=/AC8,從而得AC'=BC,結(jié)合AC'=CB證得

四邊形AC'CB為平行四邊形.

【詳解】解：(1)由旋轉(zhuǎn)知AC=AC,

,：ZCAC=30°,

(2)ADCE是等邊三角形，

理由：在RfAABC中，ZACB=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZBAC=45°,

由(1)知，/ACC'=75。,

ZBCE=90°-ZACC=15°,

ZAEC=ZABC+NBCE=60。,

ZADC+ZCDE=180°,ZADC=120°,

AZCDE=60°,

ZCDE=ZDEC=ZECD=60°,

...△OCE是等邊三角形；

(3)①當(dāng)加=90。時(shí)，四邊形4cBe為平行四邊形，如圖3所示:

VZACB=90°,ZBAC=90°,

JZACB+NBAC=180°,

???AC//BC,

VAC=AC,AC=BC,

：.AC=BCf

???四邊形ACBC為平行四邊形；

②當(dāng)m=270。時(shí)，四邊形AC3C為平行四邊形，如圖4所示:

圖4

當(dāng)機(jī)=270。時(shí)，/C'AC=90。，

：.ZC'AC=ZACB,

：.AC=BC,

'：AC=CB,

四邊形ACCB為平行四邊形，

綜上所述，當(dāng)機(jī)=90?；颉?=270。時(shí)，以A、B、C、C四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理、等腰直角三

角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討

論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

7.如圖示AB為。。的一條弦，點(diǎn)C為劣弧AB的中點(diǎn)，E為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AE

的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BE=EF,線(xiàn)段CE交弦AB于點(diǎn)D.

①求證：CE〃:BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：逐，求△BCD的面積（注:根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性可知OCLAB）.

【答案】①證明見(jiàn)解析；②ABCD的面積為：2.

【分析】①連接AC,BE,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出/F=g/AEB,由

圓周角定理得出NAEC=/BEC,證出NAEC=/F,即可得出結(jié)論；

AZ)3BDBE

②證明△ADEs/XCBE,得出"=亍，證明ACBES/XCDB,得出一=—,求出CB=2

"CBCE

石，得出AD=6,AB=8,由垂徑定理得出OC_LAB,AG=BG=；AB=4,由勾股定理求出

CG7cB2-BG?=2,即可得出△BCD的面積.

【詳解】①證明：連接AC,BE,作直線(xiàn)OC,如圖所示：

,/BE=EF,

NF=NEBF；

ZAEB=ZEBF+ZF,

/.ZF=1-ZAEB,

：C是AB的中點(diǎn)，

AC=BC>

：.ZAEC=ZBEC,

ZAEB=ZAEC+ZBEC,

，/AEC=g/AEB,

；./AEC=NF,

；.CE〃BF；

②解：VZDAE=ZDCB,ZAED=ZCEB,

.".△ADE^ACBE,

.ADAEmAD3

CBCECB75

,.,ZCBD=ZCEB,ZBCD=ZECB,

/.△CBE^ACDB,

.BDBE即2=_L

"CB=CE'即CB非'

：.CB=2y[5,

AD=6,

???AB=8,

:點(diǎn)c為劣弧AB的中點(diǎn)，

.,.OCXAB,AG=BG=1AB=4,

.,.CG=7CB2-BG2=2,

.,.△BCD的面積=；BD?CG==x2x2=2.

8.如圖，已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=AB=2,

2一

拋物線(xiàn)y=-§x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,交正x軸于點(diǎn)D,E是OC上的動(dòng)點(diǎn)(不與C重合)

連接EB,過(guò)B點(diǎn)作BFLBE交y軸與F

(1)求b,c的值及D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)E在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性？并證明你的結(jié)論；

(3)連接EF,BD,設(shè)OE=m,△BEF與△BED的面積之差為S,問(wèn)：當(dāng)m為何值時(shí)S最

小，并求出這個(gè)最小值.

4

【答案】(1)b=y,c=2；D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).(2)點(diǎn)E在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OEBF

的面積不變；(3)當(dāng)m=2-a時(shí)S最小為0.

2

【詳解】試題分析：⑴把點(diǎn)A,B代入拋物線(xiàn)產(chǎn)-12+bx+c求得b、c即可，y=0,建立

方程求得點(diǎn)D；

(2)四邊形OEBF的面積不變，利用三角形全等證得結(jié)論即可；

(3)用m分別表示出兩個(gè)三角形的面積，求差探討得出答案即可.

c=2

2

試題解析：(1)把點(diǎn)A(0,2)、B(2,2)代入拋物線(xiàn)y=-7x2+bx+c得｛8.

3-----1-2b+c=2

3

入，4

解得b=w，c=2；

24

y=——x2+—x+2；

)33

24

令一1x2+—x+2=0

解得Xl=-1,X2=3

???D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).

(2)點(diǎn)E在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OEBF的面積不變；

?..四邊形OABC是正方形

.\AB=BC,ZBCE=ZBAE=ZABC=90°

X'/BF±BE

ZFBE=90°

；./ABF=NCBE

.,.△ABF^ABCE

.??四邊形OEBF的面積始終等于正方形OABC的面積.

(3)如圖，

-

可以看出SABEF=S梯形OCBFSAOEF-SABEC

(2+2+m)x2-Jm(2+m)-g(2-m)x2

=-ym2+m+2

SABED=^-X(3-