專題05坐標(biāo)平面上的直線單元復(fù)習(xí)與測試

三目錄

新知導(dǎo)航：熟悉課程內(nèi)容、掌握知識(shí)脈絡(luò)

基礎(chǔ)知識(shí)：知識(shí)點(diǎn)全面梳理，掌握必備

?學(xué)以致用：考點(diǎn)剖析，提升能力

一：小試牛刀：過關(guān)檢測，成果評定

直線的傾斜角

1.定義：當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上方向之間所成的角a叫

做直線/的傾斜角.

2.取值范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是0。<0<180。.，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角

為0°.

(2)對直線的傾斜角的理解

①傾斜角直觀地表示了直線相對于x軸正方向的傾斜程度..

②平面內(nèi)任何一條直線都有唯一的傾斜角，不同的直線可以有相同的傾斜角.

二.直線的斜率

1.定義一條直線的傾斜角c的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母女表示，即左=tanc.

注意：當(dāng)直線的傾斜角為90。時(shí)，直線的斜率不存在，并不是該直線不存在，而是該直線垂直于尤軸(平

行于y軸或與y軸重合).因此，所有直線都有傾斜角，但不是所有直線都有斜率.

2.傾斜角與斜率上的關(guān)系

由左向右上

直線情況平行于X軸垂直于X軸由左向右下降

升

a的大小0°0°<?<90°90°90°<?<180°

后的范圍0左>0不存在左<0

隨a增大而隨夕增大而增

k的增減性

增大大

補(bǔ)充：斜率和傾斜角的特點(diǎn)

①斜率和傾斜角都反映直線的傾斜程度，其中斜率是從代數(shù)角度描述的，傾斜角是從幾何角度描述的；

②直線的斜率是隨著傾斜角的變化而變化的，并且當(dāng)直線的傾斜角不是90。時(shí)，傾斜角相同的直線，其

斜率相同，傾斜角不同的直線，其斜率不同；

③直線有斜率必有傾斜角，傾斜角是90。的直線沒有斜率，傾斜角不是90。的直線都有斜率..

三.直線斜率的坐標(biāo)表示

公式：經(jīng)過兩點(diǎn)《（為,％）,固（羽,%）（芯/々）的直線的斜率公式為左="=.

————--

四.直線斜率與直線方向向量

1.若直線/的斜率為左，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（x,y）,則左=上.

X

2.若直線/的斜率為左且直線過兩點(diǎn)2（々，%），6（%1，%），它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為

利=（%-%,%-X）,則左

五.直線的點(diǎn)斜式方程

已知直線/經(jīng)過點(diǎn)4（%,為），且斜率為左，則直線/的方程為y-%=左（%-%）.

這個(gè)方程是由直線上一定點(diǎn)及其斜率確定的，因此稱為直線的點(diǎn)斜式方程，簡稱點(diǎn)斜式.

當(dāng)直線/的傾斜角為0。時(shí)（如圖1）,tanO=0,即仁0,這時(shí)直線/與無軸平行或重合，/的方程就

是y一%=0，或〉=%?

當(dāng)直線/的傾斜角為90。時(shí)（如圖2）,直線沒有斜率，這時(shí)直線/與y軸平行或重合，它的方程

不能用點(diǎn)斜式表示.因?yàn)檫@時(shí)/上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于與,所以它的方程是刀-%=0,或

#

p\y

—1

02

圖1圖2

六.直線的斜截式方程

我們把直線/與y軸交點(diǎn)(01)的縱坐標(biāo)b叫做直線I在y軸上的截距.

如果直線/的斜率為左，且在y軸上的截距為6,則方程為y-6=左(％-0),即丁=履+人叫做直線的斜截

式方程，簡稱斜截式.

當(dāng)6=0時(shí)，y=H表示過原點(diǎn)的直線；當(dāng)仁。且厚0時(shí)，y=6表示與x軸平行的直線；當(dāng);0且

b=0時(shí)，y=0表示與x軸重合的直線.

七.直線的兩點(diǎn)式方程

1.直線的兩點(diǎn)式方程的定義

已知直線/過兩點(diǎn)片(%1，%),￡02，%)，當(dāng)玉W片為時(shí)，直線/的方程為

之二21=上二.這個(gè)方程是由直線/上的兩點(diǎn)確定的，因此稱為直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式.

%一M工2一七

2.直線的兩點(diǎn)式方程的推導(dǎo)

已知直線/過兩點(diǎn)片(為，％),鳥(々，％)(其中石片々，％/%)，此時(shí)直線的位置是確定的，也就

是直線的方程是可求的.

當(dāng)X]WX,時(shí)，所求直線的斜率左

%2~X\

任取4K中的一點(diǎn)，例如取塊和％),由點(diǎn)斜式方程，得y-%=絲=(％-七)，

x2_%]

當(dāng)％/乃時(shí)，可寫為?？诠?土心.

y2f々一七

八.直線的截距式方程

1.直線的截距式方程的定義

已知直線/過點(diǎn)A(a,0),3(0/)(a/0力/0),則由直線的兩點(diǎn)式方程可以得到直線/

的方程為2+』=1.

ab

我們把直線/與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a叫做直線在x軸上的截距，此時(shí)直線在y軸上的截距是匕.

這個(gè)方程由直線/在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距。和〃確定，因此叫做直線的截距式方程，簡稱截距式.

2.直線的截距式方程的推導(dǎo)

已知直線/與x軸的交點(diǎn)為A(a,0),與y軸的交點(diǎn)為3(0/)，如圖，其中

將兩點(diǎn)A(a,O),3(0/)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得匕9=土二0,即土+2=1.

b-00-aab

九.中點(diǎn)坐標(biāo)公式

若點(diǎn)耳,鳥的坐標(biāo)分別為(和%),(%,%),且線段片鳥的中點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x,y),貝U

‘%+/2

?X——

/.此公式為線段片鳥的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

y=A±A

r2

十.直線的一般式方程

在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于X,y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于尤，y的二元

一次方程不+為+。=0(其中A,B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.

直線的一般式、斜截式、截距式如下表：

一般式斜截式截距式

A「"cT菅=KAB,C都不為0)

Ac+gy+C=0(A,5不同時(shí)為0)y=--x--(B^O)

DD

直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)任意一條直線.因此在一定條件下，直線的一般式方程可以進(jìn)

行如下轉(zhuǎn)化：

Ar1rA

(1)當(dāng)BwO時(shí)，瓜+3丫+。=0可化為y=——x——,它表示在y軸上的截距為——，斜率為一一

BBBB

的直線.

(2)當(dāng)A,3,C均不為零時(shí)，瓜+為+。=0可化為當(dāng)+當(dāng)=1,它表示在無軸上的截距為在

“A

y軸上的截距為的直線.

十一.兩直線平行

1.特殊情況下的兩條直線平行的判定

兩條直線中有一條直線沒有斜率，當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩直線的傾斜角都為90。，故它

們互相平行.

2.兩條直線的斜率都存在時(shí)，兩條直線平行的判定

兩條直線都有斜率而且不重合時(shí)，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相

等，那么它們平行，即/]〃/2=匕=左2?

十二.兩直線垂直

1.特殊情況下的兩條直線垂直的判定

當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率，另一條直線的斜率為。時(shí)，即一條直線的傾斜角為90。，另一條

直線的傾斜角為0°時(shí)，兩條直線互相垂直.

2.兩條直線的斜率都存在時(shí)，兩條直線垂直的判定

如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于-1；反之，如果兩條直線的斜率

之積等于T,那么它們互相垂直，即秘2=—L

十三.兩條平行直線間的距離

1.兩條平行直線間的距離

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長.

2.兩條平行直線間的距離公式

一般地，兩條平行直線A：Ax+By+C^O,^：Ax+By+C2^0(其中A與8不同時(shí)為0,且

G力C2.)間的距離d=1JJ.

十四.直線關(guān)于直線對稱

(1)直線4與/2關(guān)于直線/對稱，它們具有以下幾種幾何性質(zhì)：

①若4與乙相交，則直線/是4、6夾角的平分線；

②若乙與4平行，則直線/在乙、4之間且到4、4的距離相等；

③若點(diǎn)A在4.上，則點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)2一定在乙上，此時(shí)4B，/，且線段AB的中點(diǎn)M在/上

(即/是線段A8的垂直平分線).充分利用這些性質(zhì)，可以找出多種求直線"的方程的方法.

(2)常見的對稱結(jié)論有：設(shè)直線/為及+By+C=0,

①/關(guān)于x軸對稱的直線是Ax+8(-y)+C=0；

@l關(guān)于y軸對稱的直線是A(―x)+By+C=0；

③/關(guān)于直線y=x對稱的直線是Bx+Ay+C=0；

④/關(guān)于直線產(chǎn)-x對稱的直線是A(->)+B(-%)+C=0.

十五.兩點(diǎn)間的距離

兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)《(西,%),鳥(%2,%)間的距離公式為

IPXP21={(%2-芯)2+(%-%『?

特別地，原點(diǎn)。(0,0)與任一點(diǎn)尸(x,y)的距離|。。|="干.

十六.對稱問題

對稱問題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱、直線關(guān)于點(diǎn)的對稱.

1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱是對稱問題中最基本的問題，是解決其他對稱問題的基礎(chǔ)，一般用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決這種

對稱問題.

xQ+x

二a

x=2a-x0

設(shè)點(diǎn)「（公,%）關(guān)于點(diǎn)M（a,b）的對稱點(diǎn)為P（尤，y）,則有〈,所以<即點(diǎn)

y=2b-y

%+y=b0

.2

P'（2a-x0,2b-y0）.特別地，點(diǎn)尸關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為%）.

2.點(diǎn)關(guān)于直線對稱

對于點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，若點(diǎn)尸關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為P,則直線/為線段PP的中垂線，于是

有等量關(guān)系：

①%）,/=-1（直線/的斜率存在且不為零）；

②線段PP的中點(diǎn)在直線/上；

③直線/上任意一點(diǎn)M到尸，P的距離相等，即|MP|=|MP'|.

常見的點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)：

①點(diǎn)P（XO,%）關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)P'（-Xo,%）；

②點(diǎn)P（x（）,%）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P'（-x0,y0）；

③點(diǎn)尸（%,%）關(guān)于直線>=無的對稱點(diǎn)P'（y0,^0）；

④點(diǎn)尸（x0,%）關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)P'（―y0,—x0）；

⑤點(diǎn)「（玉），%）關(guān)于直線（%和）的對稱點(diǎn)P'（2/"-%,%）；

⑤點(diǎn)產(chǎn)（%,%）關(guān)于直線y=w（存0）的對稱點(diǎn)尸'（%,2”-為）.

十七.點(diǎn)到直線的距離

1.點(diǎn)到直線的距離

點(diǎn)兄到直線/的距離，是指從點(diǎn)不到直線/的垂線段凡Q的長度，其中。為垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的

距離是直線上的點(diǎn)與直線外一點(diǎn)所連線段的長度的最小值.

2.點(diǎn)到直線的距離公式

平面上任意一點(diǎn)6（飛,兄）到直線/：Ax+Bv+C=0（A,B不同時(shí)為0）的距離為8=IAXO+.O+Q.

VA2+B2

【點(diǎn)撥】用向量法推導(dǎo)點(diǎn)P到直線/的距離IPQ公式的向量法推導(dǎo)，在直線上取任意一點(diǎn)與直線方向

向量垂直的單位向量為〃，則有=，所以有,0=儼四?9.

十八.點(diǎn)到直線的距離問題

（1）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)

用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

(2)對于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線或kb,求點(diǎn)(%，為)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直

線的距離公式，也可以直接寫成d=14-。|或d=|%-61.

(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)或直線方程時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即

可.

S@@@

一.直線的傾斜角(共1小題)

1.(2023春?上海市奉賢中學(xué)高二第二學(xué)期期中)直線x=l的傾斜角為

【答案】90

【分析】根據(jù)直線的方程可得出直線的傾斜角.

【詳解】直線x=l垂直于x軸，故直線x=l的傾斜角為90.故答案為：90.

二.直線的斜率(共1小題)

2.(2022?徐匯區(qū)校級開學(xué))若直線/的傾斜角為120。貝心的斜率是.

【答案】-^3

【分析】直接利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

【詳解】解：直線/的傾斜角為120°貝心的斜率是：tanl20°=故答案為：-F.

三.直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系(共2小題)

3.(2022春?金山區(qū)期中)經(jīng)過A(1,0),B(0,M)兩點(diǎn)的直線斜率為.

【答案】-V3

【分析】把兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式k=71,計(jì)算即可求得結(jié)論.

xl-x2

【詳解】解：；直線經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(0,A/3)1

直線的斜率為卜=返二。=-

0-1

故答案為：-Vs.

四.直線斜率與直線方向向量(共1小題)

4.過A(4,y),2(2,-3)兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為“=(-1,-1),則＞=()

V3V3

A.-------B.-----------C.-lD.1

22

【答案】c

【分析】由A,B坐標(biāo)，可以求得48,然后與方向向量平行，可以求得y值

【詳解】解法一:由直線上的兩點(diǎn)A(4,y),B(2,-3),得AB=(-2,-3-y),

又直線AB的一個(gè)方向向量為"=(-1,-1),因此n//AB,

(-2)x(/)-(-3-y)x(-1)=0,解得y=-l,故選C.

-1y—(-3)

解法二:由直線的方向向量為GL-l)得，直線的斜率為一=1,所以」1)=1,解得y=-l.故選C.

-14-2

五.直線的點(diǎn)斜式方程(共1小題),

5.(2023春上海市?虹口?期中)設(shè)點(diǎn)”(2,3),若直線/經(jīng)過點(diǎn)H,且與直線垂直(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，貝U

直線/的方程為.

【答案】2x+3y-13=0

【分析】由直線1與直線垂直，求出直線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求直線1的方程.

【詳解】因?yàn)椤?2,3),所以％3又直線1與直線垂直，所以直線1斜率為-2:，

又因?yàn)橹本€1經(jīng)過點(diǎn)H,所以直線1的方程為y-3=-("-2),lip2x+3y-13=0.

故答案為：2x+3y-13=0.

六.直線的斜截式方程(共1小題)

6.(2023春?上海市青浦區(qū)?二模)過點(diǎn)尸(1,-3)與直線x+VJy+l=0垂直的直線方程為.

【答案］A/3x—y-3—\［3=0

【分析】設(shè)所求直線方程為5-y+c=0,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入所求直線方程，求出。的值，即可得出所求直

線的方程.

【詳解】設(shè)所求直線方程為抬x-y+c=0,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入所求直線方程可得6+3+c=0,

解得c=-3-A/3，

故所求直線方程為底-y-3-g=0.

七.直線的兩點(diǎn)式方程(共1小題)

7.(2022秋?上海浦東新?高二上海市川沙中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知△ABC中，S(2.11.C(-23)

求8C邊所在直線的方程

【答案】r+2y-4=0

【分析】可以通過兩點(diǎn)式求直線方程，也可以通過點(diǎn)斜式求方程

［詳解］的斜率為晝=-:，直線方程為y-1=—/一2),即久+2y-4=0；

八.直線的一般式方程(共1小題)

8.(2022春?上海楊浦?高二上海市楊浦高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知直線/經(jīng)過點(diǎn)C(2,l),且與x軸、y軸

的正半軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,。是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)當(dāng)。R的面積最小時(shí)，求直線/的一般式方程；

（2）當(dāng)|C4|?|CB|取最小值時(shí)，求直線/的一般式方程，并求此最小值.

［答案］（l）x+2y_4=0

⑵x+y-3=0,|C4|?|C8|的最小值為4

21

【分析】（1）設(shè)出直線的截距式方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得到W+；=1,結(jié)合基本不等式求出面積最值，得

ab

到/的方程；

（2）表達(dá)出y-1=左。-2）伏<0）,得至i］|CA|=1Zi,|尸例="7正，由基本不等式得至力/|-1?1的

最小值，得到％=-1,得到直線方程，

【詳解】（1）設(shè)/的方程為二+：=1（。>0,6>0）,

ab

21

由直線過。（2,1）得一+丁=1,

ab

由基本不等式得：-+->2.f4，即122、區(qū)，解得：ab>8,

abVabvab

當(dāng)且僅當(dāng)a=4,6=2時(shí)取等號，此時(shí)/的方程為［+1=1,即x+2y-4=0；

42

（2）因?yàn)橹本€/與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)3,

所以直線/的斜率存在，

可設(shè)直線I的方程為y-l=k（x-2）（k<0）,

所以4（2-三,0）,B（0,l-2k）,所以|CA|=Jg+1，|PB\=\/4+4k2>

所以|CA|-|C8|=J（，+l）（4+4/）=2j^+，+224,

當(dāng)且僅當(dāng)左2=g時(shí)取等號，此時(shí)左=—1,

此時(shí)直線的方程為尤+，-3=0,IC4MCBI的最小值為4.

九.直線方程的綜合應(yīng)用（共2小題）

9.（2023春?浦東新區(qū)?模擬預(yù)測）過點(diǎn)（3,-2）且在x軸，y軸上截距相等的直線方程為

【答案】2x+3y=0和尤+>—1=0

【分析】根據(jù)斜率是否為0,分兩種情況，結(jié)合直線的截距式方程即可求解.

【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線方程為2x+3y=0,且在x軸，）軸的距離均為0,符合題意，

當(dāng)直線在尤軸，》軸均不為。時(shí)，設(shè)直線方程為2+）=1（。*0）,

aa

o_r）

將（3,-2）代入得3+」=l,解得。=1,故直線方程為無+，一1=0,

aa

故答案為：2x+3y=0和％+>-1=0

10.(2023春上海市?浦東新區(qū)?階段練習(xí))方程N(yùn)+|y|=l所表示的圖形圍成的區(qū)域的面積是.

【答案】2

【分析】由曲線的方程可得，曲線關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸及原點(diǎn)都是對稱的，畫出曲線的圖象，知曲線圍成的區(qū)域

是邊長為行的正方形，進(jìn)而求解

【詳解】方程|x|+|y|=l,即x+y=l(xN0,yN0),x-y=l(xN0,y<0),

—x+y=l(x<0,^>0),—x—j=l(x<0,y<0),

故方程表示的曲線圍成的圖形是正方形，其邊長為血，如圖所示：

所以方程|x|+|y|=i所表示的圖形圍成的區(qū)域的面積為0x&=2

十.兩條直線的平行關(guān)系(共2小題)

11.(2023春?上海市崇明?一模)已知方程組二。無解，則實(shí)數(shù)加的值等于___.

[mx+loy=6

【答案】-4

fx+my=2

【分析】方程組J。無解，轉(zhuǎn)化為直線X+沖=2與直線如+16y=8平行，即可解決.

[mx+loy=6

[x+my=2

【詳解】由題知，方程組M。無解，

[mx+16y=8

所以直線x+2X=2與直線+=8平行，

所以16—〃，=o,解得〃?=±4,

當(dāng)機(jī)=4時(shí)，兩直線重合，方程組有無數(shù)解，不滿足題意，

當(dāng)加=T時(shí)，兩直線平行，方程組有無解，滿足題意，

故答案為：-4

12.(2023春?上海市復(fù)旦附中高二第二學(xué)期期中)直線/過點(diǎn)(-1,2)且與直線2x—3y+4=0平行，則直

線/的方程是.

【答案】2x-3y+8=0

【分析】設(shè)與直線2x—3y+4=0平行的直線方程為2x—3y+c=0,代入已知點(diǎn)計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)與直線2光一3y+4=0平行的直線方程為2x—3y+c=0,

帶入點(diǎn)（一1,2）得—2—3x2+c=0,得c=8,所以直線/的方程是2x—3y+8=0.

故答案為：2x—3y+8=0.

十一.兩條直線的垂直關(guān)系（共2小題）

13.（2023春?上海市徐匯區(qū)?三模）已知直線4：x+y=0,公依+2y+l=0,若/J/?，貝.

【答案】-2

【分析】根據(jù)給定的條件，利用兩直線的垂直關(guān)系列式計(jì)算作答.

【詳解】若貝hxa+lx2=0,解得。=—2.

故答案為：-2.

14.（2023春?上海市長寧區(qū)?三模）己知直線[：x+y=0和4：2x——+3=0（aeR）,若則

a—,

【答案】2

【分析】直接根據(jù)直線垂直公式計(jì)算得到答案.

【詳解】直線4：x+y=。和鄉(xiāng)：2%—到+3=0（aeR），/11Z2,

貝!|lx2—axl=0,解得a=2.

故答案為：2.

十二.根據(jù)直線的位置關(guān)系求參數(shù)（共1小題）

15.（2023春?上海市奉賢中學(xué)高二第二學(xué)期期中）直線y=ax—2與直線y=Gx的夾角0,g],則a

的取值范圍是.

【答案】

[3J

【分析】利用兩條直線的夾角公式求解即可.

【詳解】由題知直線y=ax—2的斜率為左=a,直線y=氐的斜率為左2=6，

一與直線的夾角

因?yàn)橹本€y=雙2y=6%0€0,^-j,

J^le>即3(a—6)2<(1+若(2)2,

2

所以tan。='zz

1+勺42

解得a〉.故答案為：+c0.

3I3）

十三.兩直線位置關(guān)系的應(yīng)用（共2小題）

16.（2023秋,上海市嘉定區(qū)?階段練習(xí)）直線y=2與直線3x-y+l=0的夾角的正弦值為.

r答窣】

io

【分析】依題意得到兩直線的傾斜角的正切值，設(shè)兩直線夾角為，，則tan8=3,再根據(jù)同角三角函數(shù)的

基本關(guān)系計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)>=2的斜率為勺，由y=2得匕=tanq=。，

設(shè)3%—>+1=0的斜率為左2,由3%—〉+1=0得左2=1@11<92=3,

71

設(shè)兩直線夾角為。，0,—,則tan8=tan%=3,

Xtan0==3Hsin20+cos23=1^解得sin。=3或八。?如。（舍去）.

cos。1010

17.（2023?上海市靜安?二模）設(shè)直線小工-2y-2=0與4關(guān)于直線4=0對稱，則直線4的方程是

A.llx+2y-22=0B.llx+y+22=0

C.5x+y-ll=0D.10x+_y-22=0

【答案】A

【分析】根據(jù)三條直線交于一點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)公式，求直線6上一點(diǎn)，即可求解.

[x-2y-2=0[x-2

【詳解】聯(lián)立c./c，得C，

[2尤一4=0[y=0

取直線4：%-2y-2=0上一點(diǎn)（0,-1）,設(shè)點(diǎn)（0,-1）關(guān)于直線/：2x-y-4=。的對稱點(diǎn)為（。涉），則

b+l_1

a2々刀乙曰1211

\，解得：a=-,b=--,

。ab-\.55

2x-------------4=0n

[22

直線4的斜率左=-?，所以直線4的方程為y=~（x-2）,

整理為：lU+2y-22=0.

十四.兩直線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用（共2小題）

18.（2023秋上海市?浦東新區(qū)?開學(xué)考試）己知定點(diǎn)P（6,4）與定直線3y=4x,過尸點(diǎn)的直線/與《交于第

一象限。點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)M,求使0QM面積最小的直線方程為.

【答案】x+y-10=0

【分析】分斜率存在與不存在兩種情況，分別求出。,加坐標(biāo)，從而表示出0QM的面積，進(jìn)而可求出0QM

的面積的最小值，得出結(jié)果.

\x=6

【詳解】當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=6,由“，得到x=6,y=24,

即Q(6,24),又易知M(6,0),所以，OQM的面積為S=！X6X24=72,

2

(2)當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線/為＞-4=左。-6),

4

令y=0,得到％=6-7,

K

y=4x24Z—16

又由消x得到y(tǒng)=

y-^-k{x-6)k—4

4

6——>0

k

由題知＜，得到七＜0,

24^-16八

------->0

、七一4

此時(shí)，OQM的面積為S=[X(6_.)X(24*T68(4一2)2,

2k左一4k2-4k

令3k-2=t,得到左=.,

S_8(3%-21_8產(chǎn)_72tl_72

貝U、~k2-4k~(f+2)24(1+2)一/一8"20一?820,

12

93tt

又因?yàn)?_§_a=_20仕+工]+-,又由/=孚<0,得至！k<—2,故一!<!<0,

tt15532t

j+2/,故$=小而4=4。

所以0<—20155「7下5止匕時(shí)［=-5,左=-1,

因?yàn)?0＜72,所以使OQM面積最小的直線方程為、-4=-4-6),即x+y-10=0,

19.(2023春?上海市控江中學(xué)高一下期末)已知直線/：x-2y+l=0.

(1)若直線4：2x+y+l=0求直線/與直線4的夾角；

(2)若直線4與直線/的距離等于1，求直線的一般式方程.

兀

【答案】(1)-(2)x-2y+l±&=0

【分析】(1)求出直線/、乙的斜率，利用斜率判斷兩直線垂直，從而得出兩直線的夾角;

（2）依題意設(shè)直線的一般式方程為X-2y+%=。，利用兩平行直線間的距離公式求解即可.

【詳解（1）】因?yàn)橹本€/:%—2y+l=0,斜率A=

直線4:2x+y+l=0,斜率匕=—2,因?yàn)榈?一1,所以/，小

7T

即直線/與直線4的夾角為,；

【詳解（2）】若直線4與直線/的距離等于1，則〃4，

Im-11

設(shè)直線的一般式方程為無一2y+m=。，則M,二六二1，

+（-2）-

解得〃z=1土A/5，

所以直線4的一般式方程為尤-2y+l士石=0.

十五.兩點(diǎn)間的距離（共1小題）

20.在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)有四點(diǎn)A（T,0）,8（2,1）,C（l,5）,￡>（-2,2）,尸為該平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，貝1］尸到

A、B、C、。四點(diǎn)的距離之和的最小值為（）

A.1072B.741+729C.14^D.717+729

【答案】D

【分析】根據(jù)R4+PC之AC和尸3+/>￡>25￡>可知當(dāng)尸為兩條對角線的交點(diǎn)時(shí)，「尸到A、B、C、。四點(diǎn)

的距離之和取得最小值，經(jīng)計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】依題意，四點(diǎn)A（-l,0）,6（2,1）,C（l,5）,0（-2,2）構(gòu)成一個(gè)四邊形ABC。，

因?yàn)镻A+PC2AC,當(dāng)且僅當(dāng)P在對角線AC上時(shí)取得等號，

因?yàn)镻B+PD2BD,當(dāng)且僅當(dāng)P在對角線上時(shí)取得等號，

所以B4+PC+P8+PD2AC+aD=7（-1-1）2+（0-5）2+7（-2-2）2+（2-1）2=咽+后，

當(dāng)且僅當(dāng)尸為兩條對角線的交點(diǎn)時(shí)取得等號.

故P到A、B、C、。四點(diǎn)的距離之和的最小值為回+&7

十六.對稱問題（共1小題）

21.如圖，一束平行光線從原點(diǎn)0（0,0）,出發(fā)，經(jīng)過直線/:8%+6丁=25反射后通過點(diǎn)？（-4,3）,求反射光線

所在的直線的方程.

【答案】y=3

【分析】作出入射光線關(guān)于直線1的對稱光線AQ,求得對稱點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)，又該對稱光線經(jīng)過點(diǎn)P,進(jìn)而求

解得反射光線直線方程

【詳解】如圖，過原點(diǎn)關(guān)于/的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,與，由直線Q4與/垂直和線段AO的中點(diǎn)在/上.得

aI3)a=4

解得|，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3),因?yàn)榉瓷涔饩€的反向延長線過A(4,3),又因

b=3

8x—+6x—=25

I22

為反射光線過尸(T,3),所以兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，故反射光線所在直線的方程為y=3

十七.求點(diǎn)到直線的距離(共2小題)

22.(2023春?上海市松江區(qū)?階段練習(xí))斜率為人的直線/過點(diǎn)4(0,2),〃為直線/的一個(gè)法向量，坐標(biāo)平面上

的點(diǎn)3滿足條件|n-AB\=\n\,則點(diǎn)B到直線I的距離為.

【答案】1

【分析】根據(jù)條件求向量AB在法向量〃上的投影數(shù)量的絕對值即可.

【詳解】\n-AB|=||w|-|AB|-cos<n,AB>|n||AB\-cos<n,AB>|=1,即洋在力上的數(shù)量投影的絕對值等于

1,所以點(diǎn)8到直線/的距離為1.故答案為：1

23.(2023春上海市?徐匯?一模)已知正實(shí)數(shù)a力滿足3。+2。=6,則人+TZ萬^71的最小

值_________.

【答案】i2f9

【分析】利用代數(shù)式和幾何圖形的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為距離之和的最小值即可求解.

【詳解】設(shè)直線3x+2y=6,點(diǎn)尸(。力)在直線3x+2y=6上，且在第一象限，

設(shè)點(diǎn)A(0,l),/(a,0),

所以/2b+i=/+業(yè)+伍―葉+,

如圖所示,

yt

3x+2y—6

\B

40,1)P(a,b)

o\M(a,o)X

點(diǎn)A關(guān)于直線3無+2y=6對稱的點(diǎn)設(shè)為B（m,ri）,

n-1_2

24

m3m=——

則有“13

A解得'

-----+l=O29

2n=——

13

24

所以尸加+以=尸加+依，由圖可知，當(dāng)氏在直線％=五時(shí)，

29-------------------29

PM+PB最小，最小值為力=正，即b+Qa2+廿-2耳+1的最小值為yy，

29

故答案為：—.

十八.綜合應(yīng)用（共2小題）

24.（2023春?上海市?階段練習(xí)）平行直線x+百y+石=0與Jir+3y-9=0之間的距離為

【答案】2石

【分析】直接由平行線的距離公式求解即可.

【詳解】直線氐+3y-9=0即為x+石y-3g=0,

貝U平行直線x+退y+石=。與6+3y-9=0之間的距離為忸土2^=2G?故答案為：2道

A/T+3

25.（2023?上海市松江區(qū)?階段練習(xí)）若對一個(gè)角/目0,2兀），存在角/40,2兀）滿足

cos（?+/?）=cosa+cos/3,則稱夕為a的"伴隨角”.有以下兩個(gè)命題：

①若。謂3

,則必存在兩個(gè)"伴隨角"e[0,2兀）;

，則必不存在"伴隨角〃?0,2n）；

則下列判斷正確的是（）

A.①正確②正確；B.①正確②錯(cuò)誤;

C.①錯(cuò)誤②正確；D.①錯(cuò)誤②錯(cuò)誤.

【答案】B

【分析】將已知方程變形為(cose-l)cos/7+(-sina)sin；0=cos(z,則(cos月,sin/7)為直線

(cosa-l)x+(-sina)y=coso與單位圓V+y?=1的交點(diǎn)用圓心到直線的距離解決問題

【詳解】將已知方程變形為(cosa-l)cos/?+(-sina)sin尸=cos(z,

則(85月同11萬)為直線(850；-1)彳+(-5m1)>=851與單位圓/+丁=1的交點(diǎn).

考慮圓心到直線的距離

COS6Zcosa1.a

--si心=

八一二---才，其中/=sm—

J(cosa-1)2+(-sina)22sin12sin122t---------------2

則用,于是咤-，

對于①，若〃襄《

，即d<1,

直線與圓必有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

(cos^sin^)為直線(cosa-l)x+(-sina)y=cosa與單位圓x2+y2=1的交點(diǎn),

故必存在兩個(gè)“伴隨角，，/目0,2兀)，即①正確；

對于②若ae[o,。，則于是d=

即直線與圓可能公共點(diǎn)，故可能存在“伴隨角”/?武。,2兀)，即②錯(cuò)誤；

綜上，①正確②錯(cuò)誤，故選:B.

s@?0

一、填空題

1.(2023春?上海市奉賢中學(xué)高二第二學(xué)期期中)直線x=l的傾斜角為

【答案】90

【分析】根據(jù)直線的方程可得出直線的傾斜角.

【詳解】直線1=1垂直于X軸，故直線1=1的傾斜角為90.故答案為：90.

2.(2023春?上海市普陀?階段練習(xí))設(shè)”=(1,1)是直線/的一個(gè)法向量，貝心的傾斜角的大小為

【答案】135

【分析】由題意求出直線斜率，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?(1,1)是直線/的一個(gè)法向量，

所以直線/的斜率為：k=-l,所以/的傾斜角的大小為135.故答案為：135.

3.(2022?上海市新中高級中學(xué)高三期中)直線丫+1=6(*-1)的傾斜角為.

【答案】|

【分析】由斜率直接求出傾斜角.

【詳解】由直線y+l=^（x-l）可得：斜率為k=若.

設(shè)傾斜角為仇（0＜，＜兀），所以tan9=6,解得：。=方.故答案為：!

4.（2023春?上海市復(fù)旦附中高二第二學(xué)期期中）直線2x-y-l=0的傾斜角是.

【答案】arctan2

【分析】直接根據(jù)斜率可得傾斜角.

【詳解】2x_y_l=0即y=2x—l,

設(shè)傾斜角為。,0＜。＜兀，則tana=2所以夕=arctan2.故答案為：arctan2.

5.（2023春?上海市黃浦區(qū)?期中）過尸（-2,租）、Q（租,4）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45,那么加=.

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，利用直線斜率的定義及坐標(biāo)公式求解作答.

【詳解】依題意，直線尸。的斜率原g=tan45=1,又左=上與，貝1]==1,解得m=1,

m+2m+2

所以根=1.故答案為：1

6.（2023秋?上海市松江區(qū)?階段練習(xí)）若直線/的一個(gè)方向向量d=（3,l）,則直線/的傾斜角是.

【答案】arctan!

【分析】根據(jù)直線/的一個(gè)方向向量d=（3/），設(shè)直線/的傾斜角為a,貝hana=；,由此得到直線的傾斜角.

【詳解】直線/的一個(gè)方向向量2=（3,1）,

設(shè)直線/的傾斜角為a,貝i]tana=g,

又因?yàn)?Va<7i,且tana=g>0,7T

所以0＜。＜萬,所以a=arctan—.

故答案為：arctan!.

7.（2023春?上海市奉賢中學(xué)高二第二學(xué)期期中）己知直線/：（a+3）x+y-5=0,則原點(diǎn)到直線/的距離

的最大值是.

【答案】5

【分析】求出動(dòng)直線所過定點(diǎn)，可知原點(diǎn)與定點(diǎn)的距離即為所求.

【詳解】直線/：（a+3）x+y-5=0可化為依+3尤+丁-5=0,

x=0%二0

當(dāng)時(shí)，即《廠時(shí)方程恒成立,

3x+y-5=03=5

所以直線/恒過定點(diǎn)M（0,5）,

所以當(dāng)直線/與垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線/的距離最大，最大值為|OM|="2+52=5.

故答案為：5

8.（2023春?上海市奉賢中學(xué)高二第二學(xué)期期中）直線y=ax—2與直線丁=氐的夾角0,巳；則”的

取值范圍是.

【答案】一，+s

[3J

【分析】利用兩條直線的夾角公式求解即可.

【詳解】由題知直線y=ax—2的斜率為％=%直線y=氐的斜率為左2=6，

因?yàn)橹本€y=—2與直線丁=石》的夾角0，W]，

所以tan8=，i]：=|---0,-^-,即3（。-6）2<（1+6。）2,

1+k1k2|l+V3t?|3J

解得a〉Y3.故答案為：~~~>+c0.

3I3）

9.（2022?上海?曹楊二中模擬預(yù)測）直線y=2與直線y=2x-l的夾角大小等于.

【答案】ai-ctan2

【分析】求出兩直線的傾斜角，從而得到夾角的大小.

【詳解】y=2x-1的斜率為2,傾斜角為6=arctan2,

>=2的斜率為0,傾斜角為e=0,故兩直線的夾角為e-a=arctan2故答案為：arctan2

10.（2023春?上海市復(fù)旦附中高二第二學(xué)期期中）直線/過點(diǎn)（-1,2）且與直線2x—3y+4=0平行，則直

線/的方程是.

【答案】2x-3y+8=0

【分析】設(shè)與直線2x—3y+4=0平行的直線方程為2x—3y+c=0,