2025屆“武鳴高中—貴百河”高三4月聯(lián)考測試數(shù)學（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．3．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.2 D.43.雙曲線兩個焦點，焦距為8，為曲線上一點，，則（）A.1 B.1或9 C.9 D.34.空間中，已知兩條直線，其方向向量分別為，則“”是“與所成角為”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件5.若方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則（）A.2 B. C. D.6.已知函數(shù)的周期為1，且在上單調(diào)遞減，則可以是（）A. B.C. D.7.若正整數(shù)a，b滿足等式，且，則（）A.1 B.2 C.2022 D.20238.定義的實數(shù)根為的“堅定點”，已知，且，則下列函數(shù)中，不存在“堅定點”的是（）A. B.C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.一組樣本數(shù)據(jù)．其中，，，求得其經(jīng)驗回歸方程為：，殘差為．對樣本數(shù)據(jù)進行處理：，得到新的數(shù)據(jù)，求得其經(jīng)驗回歸方程為：，其殘差為，、分布如圖所示，且，，則（）A.樣本正相關 B.C. D.處理后的決定系數(shù)變小10.已知函數(shù)在上增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有實數(shù)根，，，則（）A. B.C. D.的最小值為511.如圖，在長方體中，為棱上一點，且，平面上一動點滿足是該長方體外接球（長方體的所有頂點都在該球面上）上一點，設該外接球球心為，則下列結論正確的是（）A.長方體外接球的半徑為B.點到平面距離為C.球心到平面的距離為D.點的軌跡在內(nèi)的長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為銳角，且，則______．13.已知函數(shù)的定義域，值域，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是__________．14.過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，若的最小值是，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知在△ABC中，.（1）求A；（2）證明：.16.為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取80名學生．通過測驗得到了如表數(shù)據(jù)：學校數(shù)學成績合計不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校301040乙校202040合計503080（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間是否存在差異；如果表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍．在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學校和數(shù)學成績之間的關聯(lián)性，結論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因．（2）據(jù)調(diào)查，丙校學生數(shù)學成績的優(yōu)秀率為30%，且將頻率視為概率、現(xiàn)根據(jù)甲、乙、丙三所學?？側藬?shù)比例依次抽取了24人，30人，30人進行調(diào)查訪談．如果已知從中抽到了一名優(yōu)秀學生，求該名學生來自丙校的概率．附：臨界值表：α010.050.010.0050.001xα27063.84166357.87910.82817.如圖，在四棱雉中，底面為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面．（1）作出點在平面的射影，并證明平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．18.設函數(shù).（1）當時，證明：；（2）若在上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）證明：.19.已知圓和點（1）過點M作圓O的切線，求切線的方程；（2）已知，設P為滿足方程的任意一點，過點P向圓O引切線，切點為B，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點N，使得為定值?若存在，則求出定點N的坐標，并指出相應的定值；若不存在，則說明理由；（3）過點M作直線l交圓O于兩個不同的點C，線段CD不經(jīng)過圓心，分別在點C，D處作圓O的切線，兩條切線交于點E，求證：點E在一條定直線上，并求出該直線的方程.

2025屆“武鳴高中—貴百河”高三4月聯(lián)考測試數(shù)學（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．3．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)與指冪的互換，結合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)交集，可得答案.【詳解】由，，，則.故選：B．2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算性質(zhì)、共軛復數(shù)模的定義等即可解出.【詳解】依題意，，所以．故選：A．3.雙曲線兩個焦點，焦距為8，為曲線上一點，，則（）A.1 B.1或9 C.9 D.3【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的焦距求出，再根據(jù)雙曲線的定義即可得解.【詳解】由題意可得，即，又，即，由雙曲線的定義可得，解得或9，又，所以．故選：C.4.空間中，已知兩條直線，其方向向量分別為，則“”是“與所成角為”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間兩直線所成角的以及直線方向向量的定義，結合充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，可以推出與所成角為，但與所成角為時，或，所以是與所成角為的充分不必要條件.故選：A.5.若方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意設方程的兩個根為，方程的兩個根為，，利用韋達定理結合等差數(shù)列的首項求出公差，進而可求出，即可得解.【詳解】由，得或，設方程的兩個根為，方程的兩個根為，則，因為函數(shù)的對稱軸都是，則不妨設，又因為方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則，所以，設等差數(shù)列的公差為，則，解得，則等差數(shù)列為，所以，則.故選：A.6.已知函數(shù)的周期為1，且在上單調(diào)遞減，則可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期及單調(diào)性逐項分析即可.【詳解】對于A，的周期為，當時，，所以不單調(diào)，故A錯誤；對于B，的周期為可知的周期為2，故B錯誤；對于C，的周期為，當時，，所以單調(diào)遞減，符合題意，故C正確；對于D，因為的周期為，不合題意，故D錯誤.故選：C．7.若正整數(shù)a，b滿足等式，且，則（）A.1 B.2 C.2022 D.2023【答案】D【解析】【分析】由，再根據(jù)二項式定理展開后可求的值.【詳解】∵，∴.故選：D.8.定義的實數(shù)根為的“堅定點”，已知，且，則下列函數(shù)中，不存在“堅定點”的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對各個選項的函數(shù)求導，根據(jù)“堅定點”的定義判斷方程是否有解即可.【詳解】對選項A：，令，則，解得，，存在“堅定點”；對選項B：，在上單調(diào)遞減，時，，時，；在上單調(diào)遞增，時，，時，，所以關于的方程在上有一解，存在“堅定點”；對選項C：，令，則，即，顯然是“堅定點”；對選項D：，令，則，因為且，所以不存在“堅定點”．故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.一組樣本數(shù)據(jù)．其中，，，求得其經(jīng)驗回歸方程為：，殘差為．對樣本數(shù)據(jù)進行處理：，得到新的數(shù)據(jù)，求得其經(jīng)驗回歸方程為：，其殘差為，、分布如圖所示，且，，則（）A.樣本正相關 B.C. D.處理后的決定系數(shù)變小【答案】BC【解析】【分析】利用回歸方程的系數(shù)正負性可判斷A；利用樣本中心點計算判斷B；利用圖象的波動性可判斷CD.【詳解】A，經(jīng)驗回歸方程的斜率，則樣本負相關，故A錯誤；B，原樣本，因回歸方程過樣本中心，則，解得，故B正確；C，由已知的、分布圖可知，的集中度更高，則更小，故C正確；D，由圖可知，圖2的殘差波動范圍更接近軸，擬合效果更好，決定系數(shù)更大，D錯誤．故選：BC．10.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有實數(shù)根，，，則（）A B.C. D.的最小值為5【答案】ABD【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性得到，求出，同時的另外一個根，求得，再由，比較系數(shù)構造等式即可判斷；【詳解】解：由得，因為在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，所以，此時的另外一個根，所以，因為方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，所以，所以，且，所以，則，所以，因為，所以，所以的最小值是5，故選：ABD11.如圖，在長方體中，為棱上一點，且，平面上一動點滿足是該長方體外接球（長方體的所有頂點都在該球面上）上一點，設該外接球球心為，則下列結論正確的是（）A.長方體外接球的半徑為B.點到平面的距離為C.球心到平面距離為D.點的軌跡在內(nèi)的長度為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)外接球的概念計算即可判斷A；如圖，點A到平面的距離為正方體體對角線長的，即可判斷B；利用面面垂直的判定定理與性質(zhì)可得平面，結合余弦定理計算即可判斷C；確定點的軌跡為以為直徑的圓，即可判斷D.【詳解】對于A，長方體外接球的半徑，故A正確.對于B，以為A一頂點，為以A為頂點的棱，構造棱長為3的正方體，連接，則點A到平面的距離為正方體體對角線長的，得，故B正確；對于C，取的中點，連結，則，又面，所以面.面平面平面.過作于，則平面.在中，計算得，所以，于是，故C錯誤.對于D，過點A向平面作垂線，垂足為，連結，則，又，得，即點的軌跡為以為直徑的圓，在中，，所以點的軌跡在內(nèi)的長度為，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點點睛：解決本題選項D的關鍵是根據(jù)確定點的軌跡為以為直徑的圓.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知為銳角，且，則______．【答案】【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式可求得的值，再由同角的三角函數(shù)值的平方關系可求得.【詳解】由．所以．由于為銳角，所以，則，結合，所以，因此．故答案為：．13.已知函數(shù)的定義域，值域，則函數(shù)為增函數(shù)的概率是__________．【答案】【解析】【分析】求出所有函數(shù)的個數(shù)，再求出增函數(shù)的個數(shù)，利用古典概型的概率公式可求對應的概率.【詳解】若函數(shù)的定義域為，值域為，則不同的函數(shù)的個數(shù)為，其中增函數(shù)共有3個：（1）；（2）；（3）；故所求概率為，故答案為：.14.過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，若的最小值是，則______.【答案】【解析】【分析】設，利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把表示為的函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】設，則，圓的圓心，半徑為，由切圓于點，得，

則，當且僅當時，等號成立，可知的最小值為，整理可得，解得，且，所以，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)切線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)面積結合幾何性質(zhì)求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知在△ABC中，.（1）求A；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角和與差的正弦公式，將題中所給條件化為，再根據(jù)角是三角形內(nèi)角，即可求出結果；（2）根據(jù)正弦定理，以及（1）的結果，要證，即證，不妨設（其中），將不等式左側化簡整理，即可證明結論成立.【詳解】（1）由題意，，即，化簡得，即，故或，又，解得或（舍去），故．（2）要證，即證，即證，由（1），，所以，即證．不妨設（其中），則顯然恒成立．故，命題得證．16.為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取80名學生．通過測驗得到了如表數(shù)據(jù)：學校數(shù)學成績合計不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校301040乙校202040合計503080（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間是否存在差異；如果表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍．在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學校和數(shù)學成績之間的關聯(lián)性，結論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因．（2）據(jù)調(diào)查，丙校學生數(shù)學成績的優(yōu)秀率為30%，且將頻率視為概率、現(xiàn)根據(jù)甲、乙、丙三所學?？側藬?shù)比例依次抽取了24人，30人，30人進行調(diào)查訪談．如果已知從中抽到了一名優(yōu)秀學生，求該名學生來自丙校的概率．附：臨界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.635787910.828【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）由卡方公式進行求解即可；（2）利用全概率公式、條件概率公式進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間沒有關系，所有數(shù)據(jù)都擴大10倍后：這時兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間有關系，所以相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷學校和數(shù)學成績之間的關聯(lián)性，結論不一樣，主要是因為樣本容量的不同，只有當樣本容量越大時，用樣本估計總體的準確性會越高.【小問2詳解】抽取甲、乙、丙三所學校優(yōu)秀學生人數(shù)分別為：，記分別為事件“抽到的學生來自甲、乙、丙學?！保瑸槭录俺榈揭幻麅?yōu)秀學生”，則，，所以，所以從中抽到了一名優(yōu)秀學生，該名學生來自丙校的概率為：.17.如圖，在四棱雉中，底面為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面．（1）作出點在平面的射影，并證明平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）要證明平面，應用余弦定理得出，再結合面面垂直性質(zhì)定理得出平面，，最后根據(jù)線面垂直判定定理證明；（2）由平面平面時，建立空間直角坐標系，求解二面角的余弦公式即可.【小問1詳解】在中，作，垂足為，點即為點在平面的射影．下面證明平面：因為四邊形為等腰梯形，所以，在，中，，，解得，．又，．又平面平面，平面平面平面，平面，又平面，．又，，，平面，平面．【小問2詳解】連接點與的中點，則．又平面平面，平面平面，平面，平面．如圖，以為原點，過點且平行于的方向為軸，直線，分別為軸，軸建立空間直角坐標系，則．設平面的法向量為，易知，所以，則取，則，則．設平面的法向量為，，，所以，則取，則，則．，故平面與平面的夾角的余弦值為．18.設函數(shù).（1）當時，證明：；（2）若在上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）證明：.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）當時，.根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)在上的單調(diào)性，再結合函數(shù)的奇偶性即可證明；（2）由函數(shù)在上為增函數(shù)可知對恒成立，利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可求解；（3）由（1）可知：當時，.令，，則.由（2）可得，當時，，進而，即，即可求證結論.【小問1詳解】當時，.因為是偶函數(shù)，先證當時，.由，設，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.因為是偶函數(shù)，所以當時，，.綜上，.【小問2詳解】由，得.因為在上為增函數(shù)，所以對恒成立.①當時，恒成立，此時；②當時，即對恒成立.令，.由（1）知在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，解得，即a的取值范圍為.【小問3詳解】由（1）可知，當，時，，即，當且僅當時，等號成立.令，，則，即