高步頁(yè)易錯(cuò)快慶對(duì)點(diǎn)剖析通透

你臺(tái)在考場(chǎng)上￡采過(guò)的雷.敬銘的題.去過(guò)的分.我I門(mén)幫你擺平

“糾正錯(cuò)誤~近勝于“盲目刷題”

高中數(shù)學(xué)30個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)1判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽、視定義士或

工問(wèn)題1】判斷函數(shù)?=）5：^1）的奇偶性。

/6七JC\X——1）

-I-］

［錯(cuò)解］原因數(shù)即y=---,所以為奇國(guó)教。

［剖析］只關(guān)注解析式化簡(jiǎn)，息咯定義域。

［正解］非奇非偶函數(shù)。

□句題2］判斷函數(shù)y（x）=7好二^+71-2的奇偶性。

［錯(cuò)解］因?yàn)樗詾榕嘉靼?

［剖析］不求西敷定義域只看表面解析式，只能得到4國(guó)函數(shù)這一結(jié)彳侖，導(dǎo)致隹音誤。

［正解］既是奇函教叉是偶函數(shù)。

VIDIANTONGIII

函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果不具備這個(gè)條件.一定是非奇非

偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，如果對(duì)定義域內(nèi)任意X都有立一x）=一7?x）,則/X）為

奇函數(shù)；如果對(duì)定義域內(nèi)任意X都有/（一x）=y?x）,則｛X）為偶函數(shù)；如果定義域內(nèi)存在X。使/（一

Xo）R—Jtxo）,則_Ax）不是奇函數(shù)；加果定義域內(nèi)存在Xo使H—JCO）X7CMO）,則次X）不是偶函數(shù)。

易錯(cuò)點(diǎn)2解“二次型函數(shù)”問(wèn)題時(shí)忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論

工問(wèn)題】函數(shù)八X）=5?—1）—+2（2+1）X—1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值

范圍。

［錯(cuò)解］由4=0角牟得m=O或m=-3。

［剖析］知￡只歹戔續(xù)，沒(méi)有分類(lèi)討論意三只，未考慮m—1=0的，倩；兄。

［正解］（13,0,15

YID1ANTONGIII

在函數(shù)y=￡tx2+bx-i-c中，當(dāng)。*0時(shí)為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當(dāng)a=O,Z>#O時(shí)為--

次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)密切注意F項(xiàng)的系數(shù)是否為O.若不能確定，應(yīng)

分類(lèi)討論，另外有關(guān)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系的結(jié)論也是我們應(yīng)關(guān)注的對(duì)象。例如：“+"+

oO的解集■為R<z>tz>O,zlvO或a=h=O,e>O；ax2+bx-i-oO的解桀為0<=^avO,jWO或a=h=O

c*WO。

易錯(cuò)點(diǎn)3用函數(shù)圖象解題時(shí)作圖不準(zhǔn)確

可題】求函數(shù)Jtx）=x2的圖象與函數(shù)浜.）=2*的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

［錯(cuò)解］兩個(gè)

［剖析］忽視指數(shù)函數(shù)與霸藥數(shù)增減速度快慢對(duì)作圖的影響。

［正解］三個(gè)

“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，因其準(zhǔn)確、快速、靈活及操作性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，

頗受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的青睞。但我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)性質(zhì)，畫(huà)舉圖形，不能主觀臆造，導(dǎo)致

圖形“失真”，從而得出錯(cuò)誤的答窠。

易錯(cuò)點(diǎn)4分視轉(zhuǎn)化的等價(jià)性

「句題11已知方程〃——3x+l=0有且只有一個(gè)根在區(qū)間（0.1）內(nèi)，求實(shí)數(shù)”,的取值范圍。

［辛昔解］國(guó)為方程，也道一3x+1=。有且只有一個(gè)才艮在區(qū)間（0,1）內(nèi)，所以函婁攵），二小2—3x+1

白勺圖象與x軸在（0.1）內(nèi)有且只有一個(gè)無(wú)，息，所以_AO）Al）vO,角竿得mv2。

［智J標(biāo)］知1只淺跳，在4??方程轉(zhuǎn)彳匕為國(guó)教日寸，應(yīng)考慮至寸rn=O,zJ=0及4>00才/1）=0的情■況>。

Q

［正解］”?=1或小€（-8,2］

【問(wèn)題2】函數(shù)y=eMM一|“一1|的圖象大致是（）

r>

［錯(cuò)解一］c

［剖析］在轉(zhuǎn)化過(guò)程中,去絕對(duì)值時(shí)出錨，從而得到錯(cuò)誤的圖象。

［錯(cuò)解二］B

［剖析］在圖象變換:過(guò)程中出錯(cuò)，搞錨平移方向。

［正解］D

一上殂YIDIANTONGIII

等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當(dāng)會(huì)起到意想不到的效果，但等價(jià)轉(zhuǎn)化的前提

是轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，反之會(huì)出現(xiàn)各種離奇的錯(cuò)誤。

易錯(cuò)點(diǎn)5分段函數(shù)問(wèn)題

□句題1】已知函數(shù)公)=卜：一"三『1'"I'是R上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

［alX三1

［錯(cuò)解］(1,2)

［剖析］知識(shí)殘皎，只考慮到各校國(guó)數(shù)在才目應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)，忽視_/<x)在分界.懸忸近西

數(shù)位的大小關(guān)系。

［正解］［|,2］

【問(wèn)題2】設(shè)函數(shù)c'?’若4—4)=/fO),X—2)=—2,求關(guān)于x的方

程K0=X解的個(gè)數(shù)。

［車(chē)昔解］兩個(gè)

［剖析］基石出不實(shí)，沒(méi)有分類(lèi)討論意識(shí)，未能將方程、/?x)=x分兩種情況來(lái)解。

［正解］三個(gè)

一忐圓

與分段函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題有作圖、求值、求值域、解方程.解不等式、研究單調(diào)性及討論奇偶

性等等。在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，如果自變量取值不能

確定，要對(duì)自變量取值進(jìn)行分類(lèi)討論,同時(shí)還要關(guān)注分界點(diǎn)附近函數(shù)值的變化情況。

易錯(cuò)點(diǎn)6誤解“導(dǎo)數(shù)為O”與“有極值”的邏輻關(guān)系

3

工「可題】函數(shù)./(工)=;t+卬：2-|-加(［-+02在工=1處有極值1O,求a,/，的值。

［辛昔解］li?,A1)=10>.f*(1)=0,解彳尋a=4,b=—11或。=—3,。=3。

［剖析］對(duì)“導(dǎo)數(shù)為O”與“有極值”運(yùn)轉(zhuǎn)關(guān)系分涉不清，錯(cuò)才巴人X。)為極值自勺必要條件當(dāng)作

充妥條件。

［正解］a=4,b=—11。

一金、A.Y1DIAWTONG

在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，很容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是求出使導(dǎo)函數(shù)等于o的點(diǎn).而沒(méi)有對(duì)這些點(diǎn)

左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于O的點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)。出現(xiàn)這種錯(cuò)誤

的原因就是對(duì)導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清。可導(dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為。只是這個(gè)函數(shù)在此點(diǎn)取到

極值的必要條件，充要條件是jT(xo)=O且jf'(x)在xo兩側(cè)異號(hào)。

易錯(cuò)點(diǎn)7對(duì)“導(dǎo)數(shù)值符號(hào)”與“函數(shù)單調(diào)性”的關(guān)系理解不透徹

11、可題】若函數(shù)次工>=8^一x在R上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(?<O,

［辛昔解］由尸(XJnBQ2—IvO在R上寸亙成立.所以彳解得avO。

(4=12?<O,

［剖桁］概念模糊，錯(cuò)■把在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞上曾(減,)西寶t的芫分條件當(dāng)成充要?條件。事

實(shí)上當(dāng)cz=O日寸也5靖足_題意

［正角岸］aWO

_土通V1DIANTONGIII

一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的充要條件是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大（?。┯?/p>

等于O,且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為O。切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?。僅

為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞增《減）的充分條件。

易錯(cuò)點(diǎn)8由S”求a?時(shí)忽略對(duì)“m=I”檢臉

工問(wèn)題】已知數(shù)歹U｛&"｝的前，2項(xiàng)和S”="2—1,求4”。

［辛昔解］由a?=S?—Sn-x商率將a“=2〃-2。

［剖析］考慮不全面，錯(cuò)誤原因是忽咯了如=5”一又_1成立的條件是，2三2,實(shí)際上當(dāng)n=1

時(shí)就出現(xiàn)了So,而So是無(wú)意義,勺，所以使用a“=S“一S“T求?！?，只能,表示第2項(xiàng)以后的各項(xiàng)，而

第1項(xiàng)能否用這個(gè)a?表示,尚需檢驗(yàn)o

一上連YIDIANTONGII

在數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列的通項(xiàng)與其前〃項(xiàng)和S.之間的關(guān)系如下：an—

Si,n=-1,

在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出教列

Sn—Sn-1■,”.三2,zi三z",

｛&“｝中詼與S,,的關(guān)系時(shí)，先令〃=1求出首項(xiàng)m,然后令n耳2求出通項(xiàng)ae=S"—S“_i,最后代入

驗(yàn)證。

易錯(cuò)點(diǎn)9分視兩個(gè)“中項(xiàng)”白勺區(qū)另U1「可題】於=ac是mb,c成等比數(shù)列的《）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［錯(cuò)解］C

［剖析］思維不縝密，沒(méi)有注意到當(dāng)萬(wàn)2=4。時(shí)，a,b,c可能為O。

［正解］B

一上通YIOIANTONG

若a,b,c成等比數(shù)列，則方為a和c的等比中項(xiàng)。由定義可知只宥同號(hào)的兩數(shù)才有等比中

項(xiàng)，“序=奴■"僅是“方為。和。的等比中項(xiàng)”的必要不充分條件，在解題時(shí)條必要注意此點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)1O等比數(shù)列求和時(shí)忽視對(duì)q的討論

【問(wèn)題】在等比數(shù)列｛?。?，S”為其葡"項(xiàng)和，且S3=3G，求它的公比4。

S\:="］：一）:3a3,解?彳尋q'='義。

［剖析］知識(shí)殘,塊，直接用等比凌攵列的求茅口公式，沒(méi)有對(duì)?公上匕“是否等于1進(jìn)行詞?論，導(dǎo)及

失誤。

［正解］q=—/或4=1

Y1DIANTONG

與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質(zhì)，如等比數(shù)列的每一項(xiàng)及公比均不為O,等比數(shù)

列的前〃項(xiàng)和S”為分段函數(shù)，其中當(dāng)9=1時(shí)，s“=〃m。而這一點(diǎn)正是我們解題中容易忽略的。

易錯(cuò)點(diǎn)11用錯(cuò)了等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式與性質(zhì)

工問(wèn)題】已知等莖數(shù)列｛。“｝的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為1OO,求它的前3m項(xiàng)和Sn

［錯(cuò)解一］170

［剖析］基碼不實(shí)，記錯(cuò)性質(zhì)，誤以為S,“,$2,”，S3G成等差數(shù)列。

［錯(cuò)解二］130

［剖析］基礎(chǔ)不實(shí)，誤以為S“，S?”,S3rn滿足S3m=Sm+S2m。

［正解］210

一上通YIDIANTONG

等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質(zhì)，這些公式和性質(zhì)是解題的根本，用錯(cuò)了公式和

性質(zhì)，自然就失去了方向。解決這類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)就是考慮問(wèn)題要全面，把各種可能性

都考慮進(jìn)去，認(rèn)為正確的命題給予證明，認(rèn)為不正確的命題舉出反例予以說(shuō)明。

易錯(cuò)點(diǎn)12用錯(cuò)位相臧法求和時(shí)項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng)

【問(wèn)題】求和S,,=1+3°+5〃2-1---------b(2rt—l)^-1o

［錯(cuò)解］叉=++筆二f

［剖析］(3＞考慮不全面，養(yǎng)對(duì)a進(jìn)行討論，丟辭a=1時(shí)的情開(kāi)多。②可等兩個(gè)開(kāi)口式錯(cuò)住相減,后，

成等比數(shù)列妁項(xiàng)教弄錯(cuò)。③可守兩個(gè)和式錯(cuò)住相減,后，丟肄最后一項(xiàng)6

［正解］

M2,￡3=1,

SfI=\1.2a(1一］Li)2w—1,

?/*x2~，a亍￡1

L1—a(1—a)/1—a

一上運(yùn)

如果一個(gè)數(shù)列為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得到的，那么該數(shù)列可用錯(cuò)位相

減法求和?；痉椒ㄊ窃O(shè)這個(gè)和式為S",在這個(gè)和式的兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公叱得到另一個(gè)

和式，將這兩個(gè)和式錯(cuò)位相減，得到一個(gè)新的和式，該式分三部分二①原來(lái)數(shù)列的第一項(xiàng)；②一

個(gè)等比數(shù)列的前n—1項(xiàng)和；③原來(lái)數(shù)列的第1項(xiàng)乘以公比的相反數(shù)。在用錯(cuò)位相減法求和時(shí)務(wù)

必要處理好這三個(gè)部分，特別是等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，有時(shí)含原來(lái)數(shù)列的第一項(xiàng)共九項(xiàng)，有時(shí)只有5

—1)項(xiàng)。另夕卜，如果公比為字母需分類(lèi)討論。

易錯(cuò)點(diǎn)13求解時(shí)分略角的范圍

35

1問(wèn)11^±.Z\ABC中，sinA=^.coscosA,sinB的4M。

Lt昔解］cosA=±^,sin

［剖析］基礎(chǔ)不實(shí)，忽視開(kāi)方時(shí)符號(hào)的選取。

一412

［正解］cosA=-^,sin

【問(wèn)題2】在ZXABC1中，A,3為銳角，且sinA=當(dāng)，sinB=求A+B的值。

［錯(cuò)解］先求出sin(A+S)=-^^,因?yàn)锳+3巨(O,兀)，所以A+3=作或4

由［J析］知識(shí)底線，由于A,。為統(tǒng)南，所以A+6巨(O,冗)。又由于正弦函差t在(O,打)上不

是單調(diào)苗數(shù)，所以本邈不宜求sin(A+B),宜改求cos(A+8)或tan(A+B)。

［正解］A+B=g

【問(wèn)題3］在Z^AbC中，已知＜3=-\/2,b=y/3,B=w，求角A

［錯(cuò)解］用正弦定理求得sinA=岑，所以4=于或苧。

［剖析］出硬不牢，忽視隱含條件反＞a出錯(cuò)。

［正解］A=5

一盅逆

三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是易錯(cuò)點(diǎn)之一。解題時(shí)，務(wù)必重視“根據(jù)已知

蒲的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進(jìn)行定號(hào)“O

易錯(cuò)點(diǎn)14求關(guān)于sin工，8SX的最值時(shí)忽視正、余弦函數(shù)值域

【問(wèn)I題］已矢口sinx+siny7=29求siny—COS2JC的最大值。

|jt昔角星］/=sinJV,得siny—cos2x=Z2—t一家一iWrWl),通過(guò)西己方、作圖角軍褥■siny—COS2JC

■＞,4

的量1大值為3。

［剖析］本邈雖注意到sinx的值域，但未考慮至，】sinx與siny才目互帝］約，Hp由于一1WsinyW1,

一IVsin*W1,

一1一

｛—1V?—sinxW10

4

［正解］5

YIDIANTONGIII

求關(guān)于sinx,cosx最值的常規(guī)方法是通過(guò)令r=sin或cosx)將三角函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

關(guān)于r的二次函數(shù)問(wèn)題求解。但由于正、余弦函數(shù)值域限制，r只能在某一特定范圍內(nèi)以值，解

題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。

易錯(cuò)點(diǎn)15三角函數(shù)單調(diào)性判斷失誤

工問(wèn)題】已知函數(shù)），=cos［J—2?求它的單調(diào)遞減區(qū)間。

［錯(cuò)解］［一—kit,專一說(shuō)］（A：巨Z）

［剖析］概念混淆，錯(cuò)因在于把復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與基本函藪妁單調(diào)性概念才目混?淆。應(yīng)化成

，s〔2jf一小莖解

［正解］左兀十五，fcj}reX)

Y1DIAWTONG

對(duì)于函數(shù)券=Asinazx+0）（A>O）來(lái)說(shuō)，當(dāng)3>O時(shí)，由于內(nèi)層函數(shù)u=cox~\-（/>是單調(diào)遞增的，

所以函數(shù)y=Asin（cox-+~<p）的單調(diào)性與函數(shù)jp=sinx的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)y=sinx的

單調(diào)性來(lái)解決；但當(dāng)svO時(shí)，內(nèi)層函數(shù)u=oyx-\-<p是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)y=Asin（8_r+0）的單

調(diào)性與函數(shù)尸=sinx的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性來(lái)解決。一般來(lái)說(shuō)，

應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)力口以解決,對(duì)于帶有絕對(duì)值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上

加以解決。

易錯(cuò)點(diǎn)16對(duì)圖象變換的方向把握不準(zhǔn)

□句題】要得到函數(shù)尸sinxfi勺圖象，只需將函數(shù)y=cosQ—第的圖象（）

A一向右平移點(diǎn)個(gè)單位

B.向右中移當(dāng)個(gè)單位

C.向左中移全個(gè)單位

D.向左平移裝個(gè)單位

［錯(cuò)解一］C

［剖析］知識(shí)殘線，未壯函數(shù)化成同名函數(shù)。

［錯(cuò)解二］D

［剖析］基石出不牢，弄錯(cuò)了平移方向。

［正角軍］A

YIDIANTONGIII

圖象的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，y=sinx-y=sin（x+m平移的量

（）平移的量為號(hào)^

sinxy=sincox—^ysina>x+8）（3>O

易錯(cuò)點(diǎn)17解含參數(shù)不等式時(shí)分類(lèi)討論不當(dāng)

【問(wèn)題】解關(guān)于x的不等式|2x一1|W〃一2。

［錯(cuò)解一］原不等式等價(jià)于一（a—2）W2x—1Wa—2,解得一冬+微WxW告一件。

［司J析］基礎(chǔ)不實(shí)，直接利用絕對(duì)值不等式的角軍隼公式，而忽視對(duì)。一2進(jìn)行分類(lèi)討論。

［€昔^^二J當(dāng)a—2Vo日寸，原不等式^不咸._2_°當(dāng)a—2>O時(shí),原不等式等脩"可'—（口—2）W2r—1Wa

-2,角軍不等一菱+自WxW3一手

［剖析］技能不熟，沒(méi)有對(duì)口—2=0進(jìn)行討論。

［正解］當(dāng)a—2Vo時(shí)，不等式妁解集是。：當(dāng)。一2三0H寸.不等式解集是卜|士薩L

YIDIANTONG

含參數(shù)不等式的解法是不等式問(wèn)題的難點(diǎn)。解此類(lèi)不等式時(shí)一定要注意對(duì)字母分類(lèi)討論，討

論時(shí)要做到不重不漏，分類(lèi)解決后，要對(duì)各個(gè)部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大迸行整合。

易錯(cuò)點(diǎn)18忽視均值不等式應(yīng)用條件

2

1「可題1］若xvO,求函數(shù)./00=工+工的最值。

［辛昔解］當(dāng)x=9時(shí)，_/u）取彳等最小值2S。

［司」析］基礎(chǔ)不實(shí)，基本不等式a+成立的條件為a>O,b>Or本題中A<O,不能

直接使用公式。

［正角軍］最大彳直為一2^/2,無(wú)最小4直。

【問(wèn)題2】設(shè)。<立<兀，求函數(shù)/x)=sinx+前的最小值。

［錯(cuò)角翠］X=sinX+2-X/sin=4(>

4］Hu5>J1.Ill

4

［剖析1名口識(shí)殘線，因?yàn)樯鲜鼋夥ㄈ〉忍?hào)條件是sinx=MQ,sin^=±2,而運(yùn)是不可能的。

［正解］最小值為5o

23

【問(wèn)題3］設(shè)a>O,b>O,且a+h=l,求函數(shù)./CO=￡+萬(wàn)的最小值。

國(guó)為1+i=（""管+1）22環(huán).2、/5=4年,

［錯(cuò)角的所以西數(shù)次x)的最■】'值為4-\/6?

［剖析］技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但兩次使用均值不等式時(shí)取等號(hào)的條件不一樣，

因止匕取不至q4^/6O

［正解］最小彳直為5H-2-\/6

YlDIANTOfMGIII

均值不等式a+b三27Z^(a>O,方>O)取等號(hào)的條件是“一正，二定,三才目等“。在解題過(guò)程

中，務(wù)必要先檢驗(yàn)取等號(hào)的三個(gè)條件是否成立。常規(guī)的解法是：①如果積或和不是定值，設(shè)法構(gòu)

造“定值”：②者是Q>O,3>O不能保證，可構(gòu)造“正數(shù)”或利用導(dǎo)數(shù)求解；⑤若是等號(hào)不能成

立，可根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”圖象，利用單調(diào)性求解。

易錯(cuò)點(diǎn)19空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不清

【問(wèn)題】給定下列四個(gè)命題：

①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行：

②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一^1、平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直：

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)千面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另個(gè)平面也不垂直。

其中為真命蹈的是(>

A-0和⑨B.②和③

C.③和④D.②和④

［辛昔解］A

［剖析］①空間枳拳能力欠軌，不會(huì)借助身邊的幾何體作出判斷；②空間線面關(guān)系模拗.定

理不熟?；蚨ɡ碛密?chē)告。

［正解］D

一士通

空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對(duì)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握

程度的重要題型。解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路有兩條：一是逐個(gè)尋找反例作出否定的判斷，逐個(gè)進(jìn)

行邏轉(zhuǎn)證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長(zhǎng)方體模型或?qū)嶋H空間位置(如教室、課桌、燈管)作出判

斷，但要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確，考慮問(wèn)題全面細(xì)致。

易錯(cuò)點(diǎn)20平行關(guān)系定王里使用不當(dāng)

工問(wèn)題】正方體ABCD-A歸iGQi中,M,N,己分別是0C，AQi，80的中點(diǎn)，戶在對(duì)

~2-

角線8以上，且萬(wàn)戶=百8。1，給出下列四個(gè)命題：①A/7V〃平面APC：②G0〃平面AFC7；③A,

P,M三點(diǎn)共線；④平面AY2V2〃平面辦<7。正確選項(xiàng)為()

A.①②B.①④

C.②③D.(3)@

［錯(cuò)解］B

［剖析］空間線面關(guān)系模糊，定理不熟恚，未能推出MV在平面A產(chǎn)U內(nèi)而導(dǎo)致有昔誤。

［正解］C

【一上通】YIDIANTONGIII

證明空間平行關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸，但要正確應(yīng)用定理并注意定理的應(yīng)用條件。如

在證明直線a〃平面a時(shí)，不能忽咯直線a在平面a夕卜。證明有關(guān)線線，線面，面面平行時(shí)使用

定理應(yīng)注意找足條件，書(shū)寫(xiě)規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)。

易錯(cuò)點(diǎn)21利用空間向量求線面角的常見(jiàn)錯(cuò)誤

可題】女口圖，已知兩個(gè)正方形A3U?和Z>CE廣不在同一平面內(nèi)，M,7V分別為AB,DF

的中點(diǎn)，若平面ABCQJ-平面QCEk，求直線/WV與平面DDE戶所成角的余弦值。

B

Z

［剖析］本題在求得平面DCEF的一個(gè)法向量"4=(。,0,2)及71/"=(—1,1,一2)后，可彳導(dǎo)cos

<AYAA,DA〉=J；=_3"可育左今皆誤地認(rèn)為直線"/V與平面QCE廠所成南的余弦值為一晉

|A^V||Z>A|

或O

［正解］亭

—互通YIDIANTONGIII

若直線與平面所成的角為G.,直線的方向向量為a,平面的法向量為n,則sinO=|cos<?,n)

I。容易出錯(cuò)的是：①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角：②誤以為直線

的方向向量與平面的法向量所成用的余弦就是線面用的正弦，而忘了加絕對(duì)值；③不清楚線面角

的范圍。

易錯(cuò)點(diǎn)22二面角概念模糊

「句題】女口圖，四棱錐S-AEUQ中.J層面AAOD為矩形，S。_1_底面ABUQ,AZ>=S，DC

=SD=1,點(diǎn)■在惻棱SC上,^ABAf=600o

(1)證明二"是1則棱SC的中點(diǎn)；

(2)求二面角S-AM-B的余弦值。

［吾I」析］本題在求彳尋平面SAA/,平面M4B的法向量。=(9，1,1),￡?=(>/2,0,2),然后計(jì)算

出cos<a,b>=-s^;援■者可"育豈專皆誤少也以為二面南S-AM-B妁余弓玄0L為其實(shí)本題中妁二面南

是拿電南，<?,b>僅為其家卜南。

［正解］

3

—互通YIDIANTONGIII

若兩個(gè)平面的法向量分別為a,b,兩個(gè)平面所成的銳二面用為夕則cos0=|cos<a,b\\；

若兩個(gè)平面所成二面角為鈍角，則cos&=一|cos<.a,by|o總之，在解此類(lèi)題時(shí)，應(yīng)先求出兩個(gè)

平面的法向量及其夾角，然后視二面角的大小而走。

利用空間向量證明線面位置關(guān)系基本步驟為：①建立空間直角坐標(biāo)系.寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②用向量表示相