第06講向量法求空間角（含探索性問(wèn)題）

（精講）

目錄

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：異面直線所成的角

題型二：直線與平面所成的角

角度1:求直線與平面所成角（定值問(wèn)題）

角度2：求直線與平面所成角（最值問(wèn)題）

角度3：已知線面角求其他參數(shù)（探索性問(wèn)題）

題型三：二面角

角度1：求平面與平面所成角（定值問(wèn)題）

角度2：求平面與平面所成角（最值問(wèn)題）

角度3：己知二面角求其他參數(shù)（探索性問(wèn)題）

第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

知識(shí)點(diǎn)一：異面直線所成角

設(shè)異面直線4和所成角為其方向向量分別為〃，V；則異面直線所成角向量求法：

A--W-v

①COS<UyV>=—~-

l?Hv|

②cos夕=|cosV

知識(shí)點(diǎn)二：直線和平面所成角

設(shè)直線/的方向向量為〃，平面a的一個(gè)法向量為〃，直線/與平面。所成的角為。，則①

an

cos<a,n>=----；

②sin6=|cos<a,〃>\.

第1頁(yè)共60頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)三：平面與平面所成角（二面角）

（1）如圖①，AB，CQ是二面角。一/一夕的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大

小。=<AB,CD>.

（2）如圖②③，外,%分別是二面角二一/一分的兩個(gè)半平面尸的法向量，則二面角的

大小夕滿足:

%”

①COS<>=

I%II%I

②cos0—±cos<nvn2>

若二面角為銳二面角（取正），則cos0=|cos<%,〃2>l；

若二面角為頓二面角（取負(fù)），則（：05。=一|（：0$<〃],/12>1；

（特別說(shuō)明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒(méi)有明顯提示，需考生自己看圖判定為

銳二面角還是鈍二面角.）

第二部分：典型例題剖析

題型一：異面直線所成的角

典型例題

例題1.（2022?遼寧?沈陽(yáng)市第八十三中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）正方體人8。。-人田。。|中，E,

產(chǎn)分別為RG，B用的中點(diǎn)，則異面直線A七與/C所成角的余弦值為（）

2舊

rU.----

15。?當(dāng)

第2頁(yè)共60頁(yè)

【答案】D

【詳解】如圖，建立空間直接坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

3

因?yàn)槭?，戶分別為AG，BB1的中點(diǎn)，易知，42,0,0),E(0,1,2),

C(0,2,0),F(2,2,1),所以=(-2,1,2),#=(2,0,1)，

因?yàn)楫惷嬷本€AE與R7所成角為銳角.

所以異面直線AE與尸。所成角的余弦值為也.故A,B,C錯(cuò)誤.

故選：D.

例題2.（2022?新疆?烏蘇市第一中學(xué)高二期中（理））如圖，在直三棱柱

中，AC=3fBC=4,CC,=3,ZACB=90°,則與4。所成角的余弦值為（）

C.叵D.此

【答案】A

【詳解】因?yàn)锳B。-A&G為直三棱柱，且4C8=9O。，所以建立.如圖所示的空間直帶坐

標(biāo)系，8（0,4,0）,。（0,0,0）｛（0,0,3），4（3,0,3）,所以g=（0,T,3）,4。=（一3,0,-3）,

陷=5,何=內(nèi)再=3、回，

第3頁(yè)共60頁(yè)

設(shè)8G與AC所成角為e,所以cos。=k°s(3G,Ac)

5x372110

則BQ與AC所成角的余弦值為逑.

10

故選：A.

例題3.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))在正方體/WCO-ABGR中，直線BG與AC所

成角的余弦值為.

【答案】1##0.25

【詳解】空間一組基底為卜氏力。,14},

設(shè)正方體的校長(zhǎng)為1,則,G|=0,\AC\=42.

BC\AC=(BC+CCl)(AB+BC)=(AD+AAi)(AB+Ab)=ADAB+AD+AAiAB+AAxAD

=()+12+()+0=1.

“^.ACI1

因?yàn)?S體,AC)=網(wǎng)祠=用7r「

所以直線BC、與AC所成角的余弦值為?.

第4頁(yè)共60頁(yè)

故答案為：3

例題4.（2022?安徽省岳西縣湯池中學(xué)高一階段練習(xí)）正四棱柱A8CO-A5G。中，8c

與平面ACC.A所成角的正弦值為旦,則異面直線BC與QG所成角的余弦值為

4

■

3

【答案】-##0.75

4

【詳解】以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AA所在直線為xy,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槔庵獮檎睦庵?，設(shè)4月=4）=1,AA=。，

則8（1,0,0），4（1,0,〃）,。（1/,0）,。（0,1,0）,0（1,1,々），

其中平面ACG4的法向量為5。=（_1,1,0）,5c=（0,1,-〃）

設(shè)3c與平面4CGA所成角為。，

則啊卜碼閑-gg一70壽一彳‘

解得：a=出,

所以8c=（0,1,-6），oq=（1.0,6）,

設(shè)異面直線與DG所成角為。，

麻岡|（0,1,73）13

所以cosa=7——---J=----------;-------=—.

|耐n岡2x24

故答案為：43

4

題型歸類練

第5頁(yè)共60頁(yè)

1.（2022?山東?高密三中高二階段練習(xí)）在正方體ABC。-4向6。中，E,〃分別為棱AQ,

A用的中點(diǎn)，則異面直線石尸與AR所成角的余弦值為（）.

A.6B.且C.叵D.也

6323

【答案】A

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的楂長(zhǎng)為2,

則E（l,0,0）,E（2,l,2）,A（20,0），A（0,0,2）,

EF=（1,1,2）,AD,=（-2,0,2）,

?COS（EF,AD）=[E[AA2且

'/歸產(chǎn)].河|6x2加6

即異面直線E"與42所成角的余弦值為理.

6

故選：A.

2.（2022?貴州畢節(jié)?三模（理））在正四棱錐S-ABCZ）中，底面邊長(zhǎng)為2&，側(cè)棱長(zhǎng)為4,

點(diǎn)P是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SP=Jii,則當(dāng)4,P兩點(diǎn)間距離最小時(shí)，直線8P與直線

SC所成角的余弦值為（）

A.也B.且C.巫D.1

1（）101010

【答案】A

【詳解】如圖所示，連接AC8C交于點(diǎn)。，連接P。，

因?yàn)樗睦忮FS-八8a）為正四棱錐，可得20_1_底面ABCD,

由底面邊K為2加，可得AC=4,所以47=2,

第6頁(yè)共60頁(yè)

在直角一5。4中，SA=4,AO=2,可得SO=JSA?-AO2=28，

又由SP=>/萬(wàn)，在直角△SOP中，可得8=Js尸—SO2=1，

即點(diǎn)P在以0為圓心，以I為半徑的圓匕

所以當(dāng)圓與0A的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)4P兩點(diǎn)間距離最小，最小值為4?=1,

以。1,O8,OS分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

可得P（l,0,0）,3（0,2,0）,S（0,0,2石）,。（一2,0,0）,

\BP-SC］_|_2|_V5

則BP=(1,-2,0),SC=(-2,0,-2x/3),可得cos（BRSC）=

網(wǎng)?卜4啟乂410

所以直線BP與直線SC所成角的余弦值為坦.

10

故選：A.

3.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知AB和8是異面直線,48=（21,-3）,8=（1,-3,2）,

則AB和。。所成角的大小為.

【答案】60°##y

ABCD=2-3-6_\_

［詳解］cos(4B,CD)二=

|/1?|-|CD|714X7142

???異面直線夾角范圍是（0,90],

.1.A8和。所成角的大小為60。.

故答案為：60。.

4.（2022?云南省楚雄天人中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，設(shè)有底面半徑為3的圓錐.已知

圓錐的側(cè)面積為154，。為P4中點(diǎn)，NAOC=?.

第7頁(yè)共60頁(yè)

⑴求圓錐的體積；

⑵求異面直線CD與A8所成角.

【答案】⑴12雙2號(hào)

(1)設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為/,

S泅=冗"=3兀1=15冗，..1=5,即PA=P8=5,

???圓錐的高力=。尸=Jp后一o#=4，

:.V=--h--n-OA2OP=-7rx9x4=124.

3氏33

(2)解法一：取。4邊上中點(diǎn)￡,連結(jié)。E,CE,AC,

DE是AOP的中位線，..OQ/OP：

。。垂直于底面，.?.￡)￡垂直于底面，「.DE，AA；

vCA=CO,E為04中點(diǎn)，..CE1OA,即4B人CK；

\CEcDE=E,CE,OEu平面CDE,..ABL平面COE,

又CDu平面CDE,.?.AB_LC￡>,即異面直線4B與8所成角為

解法二：取圓弧A8中點(diǎn)E,連結(jié)OE,則OE_LA8；

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE,OMOP的正方向?yàn)椤?，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

第8頁(yè)共60頁(yè)

(3

DO.--,2

2

..44=(060),

:.ABCD=0^即A5_LCD,.,.異面直線AB與C￡＞所成角為

題型二：直線與平面所成的角

角度1:求直線與平面所成角（定值問(wèn)題）

典型例題

例題1.（2022?云南麗江?高二期末（理））正四棱錐S-A88中，SA=AB=2f則直

線AC與平面SBC所成角的正弦值為

A.立B.如C.6D.如

6633

【答案】C

【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

有圖知so=>ISA2-AO2=^-41二及，

由題得人(l,T,0)、0(-1,1,0).網(wǎng)1』,0)、S(0,0,V2).

.?.04=(2,-2,0),BS=(T,7網(wǎng),C5=(l,-l,x/2).

設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量〃=(x,y,z),

第9頁(yè)共60頁(yè)

n-HS=O-x-y+41z=0

則

n-CS=O'x-y+\[2z=0

令z=0,得x=0,y=2,

/./?=((),2,V2).

4「百

設(shè)宜線AC與平面SBC所成的角為6,則sin?=cos(〃,4C)

2>/2xx/6-3

故選：C.

例題2.（2022嚏國(guó)育二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體A8CO-A8'CD,

且A8=l,BC=2,A4'=2,求直線B'C與平面883所成角的正弦值.

府

【答案】

而

【詳解】a。,0,2),C(l,2,0),8(1,0,0),儲(chǔ)(0,2,0),B'C-(0,2,-2),B'B-=(0,0,-2),

m-B'B=-2z=0，……

BD=(-1,2,0),設(shè)平11BDiy的法向最為〃?=(x,y,z)?則，，解得：z=0,

m-BD=-x+2y=0

令），=1得：m2,則〃2=（2,1,0）,設(shè)直線夕。馬平面？BDZ7夾角為6e0玲，則

mH*卜喘呼嚕

故直線BCIJ平面FBDD所成角的正弦值為如

10

例題3.（2022?湖南?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知單位正方體/WCD-A4GR,￡,F

分別是棱8c和GR的中點(diǎn)，試求AF與平面BER所成角的正弦值.

第10頁(yè)共60頁(yè)

【答案】骼

【詳解】以。為原點(diǎn),分別以。4、DC、。。為x軸、軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

1

則A(l,0,0),8(1,1,0),

[z2)\^/

1",一1

即〃笈=(1,1,—1),D(E=-,l,0tFA

\N/

n-D1B=x+y-z=O

設(shè)平面8EA的法向量為〃=](x,y,z),則，

n-DiE=^x+y=O

令x=2,則y=-l,z=l,即〃?=(2,—1,1),

設(shè)行1與〃?所成的角為夕，則

2+--1

FA-rn2_76

叫小|xV6"6'

則/V7與平面BER所成角4=3-。,即sin4=sin--0=cos8=旦

2\2)6，

故版與平面所成角的正弦值為亞

6

例題4.(2022?北京八十中高三開(kāi)學(xué)考試)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，從4，平面

ABC,ABLAC,AB=AC=AA]=\,M為線段4G上的一點(diǎn).

第11頁(yè)共60頁(yè)

(1)求證：人與；

(2)若M為線段AG上的中點(diǎn)，求直線AB｝與平面8cM所成角大小.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析，

嗚

(1)

證明：因?yàn)槿巳?，平面A8C,48,ACu平面A8C,

所以A4,_LA4,/U,，AC，

因?yàn)锳8_LAC,所以4B,AC,AA兩兩垂直，

所以以A為原點(diǎn)，分別以AB,ACMA所在的直線為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則4。，0,0),?(1,0,0),C(0,1,0),^(0,0,1),^(1,0,1),^(0,1,1).

設(shè)”(0,41),

所以8M=(—1M』),A4=(1,0,1),

所以8M?做=-1+0+1=0,

所以J.4g,

所以8M_LAq

(2)

因?yàn)镸為線段AG上的中點(diǎn)，所以

所以8M=8c=(-1/0),

設(shè)平面BCM的法向量為ra=(x,)，,z),則

m-BM=-x+—y+z=0.f,,1A

2-，令x=l,則/〃=[U,-I,

m-BC=—A+y=0-

第12頁(yè)共60頁(yè)

設(shè)直線AB】與平面BCM所成角為。，則

因?yàn)橄0，3，所以畤,

所以直線的與平面研所成角的大小%

例題5.(2022?福建?泉州鯉城北大培文學(xué)校高二期末)如圖，在四棱錐尸一ABC。中，

PA_L平面A3C。，ABA.AD,AB//CDtAI3=2AD=2CD=GtPD=3非,E為PA上

一點(diǎn)，且P￡=2A￡.

(1)證明：平面EBC_L平面尸AC；

(2)求直線PB與平面BEC所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

喈

(1)

證明：

第13頁(yè)共60頁(yè)

???PAJ_平面ABCD,8Cu平面4BCO,

/.PA±BCt

.,在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABLAD,AB=6,AD=CD=3,

AC=BC=3&，

「.AC2+BC2=A3、

/.ACLBC,

又P4AC=A.R4u平面PAC.ACu平面PAC

/.8C_L平面PAC,

,/BCu平面EBC,

/.平面E8CJL平面PAC.

(2)

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，A。，AB,40分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).

PA"L平面ABC。，AZ)u平面/WCQ,

PA±ADf

vAD=3,PD=36

PA=6,

VPE=2AE,

AE=2,

易知8(0,6,0),C(3,3,0),尸(0,0,6),E(0,0,2).

則3c=(3,-3,0),BE=(0,-6,2),BP=(0,-6,6).

設(shè)〃=(>,)，,z)是平面8CE的法向量.

fi-BC=03x-3y=0

即所以可取〃=(1,1,3)

nBE=0-6y+2z=0

nBP叵

cos<w,BP)=

n-BPTF

二.直線相與平面改所成角的正弦值為嚕.

第14頁(yè)共60頁(yè)

題型歸類練

1.（2022?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)附屬江門(mén)學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐P-A8C中，Q4_L平面

ABC,NBAC=90°,D,E,尸分別是棱八a8C,C尸的中點(diǎn)，AB=AC,PA=2AB,則直線小

與平面。所所成角的正弦值為（）

因?yàn)椤?_1_平面/WC,而八&ACu平面A8C,

故%_LA及PA_LAC,而N84C=90。，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)|陰=2,則1401=2^4)=4且尸(0,0,4),A(0,0,0),5僅0,0)9(020),

故。(1,0,0),E(l,10),尸(0,1,2),

故斗尸=(0,0,4),DE=(0,1,0),EF=(-l,0,2),

設(shè)平面以力的法向量為〃=（x,y,z）,則:

n-DE=0y=0

由「可得取z=l,則。=(2,0,1),

n?EF=0-x+2z=0

設(shè)直線PA與平面OEE所成角為

4_V5

則sin6=cos{AP,n

4x石5

第15頁(yè)共60頁(yè)

故選：B.

2.(2022?山西?渾源縣第七中學(xué)校高二階段練習(xí))如圖所示，在直三棱柱ABC-AMG中,

NBC4=90。，點(diǎn)匕是AC的中點(diǎn)，BC=CA=2,CC,=1.

⑴求異面直線斗耳與CB、所成角的余弦值；

⑵求直線與平面BCCA所成的角.

【答案】(1)等;

嗚.

(1)

如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以C4,CB,所在直線為X軸、)，軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo),

由5C=C4=2,CC1=1,得A(2,0,0),8(0,2,0)，G=(0,0,1)，A=(201)，4=(0,2,1),

因?yàn)辄c(diǎn)的是A￡的中點(diǎn)，所以耳(1,0,1),

所以=(O,2,l),A￡=(-1,0,1),

CB^AF,(O,2,l)(-hOJ)

所以cos

|叫卜川—x/5xV2記

即異面直線M與C4所成角的余弦值為魯

(2)

因?yàn)樵谥比庵鵄BC—A8c中，8q_L平面A8C,4Cu平面48C,

所以84_LAC,因?yàn)镹8C4=90。，所以8C_LAC,

因?yàn)椤╟rB,BC,BB\u平面4CG4，

第16頁(yè)共60頁(yè)

所以ACJ.平面,所以C4=(2,0,0)是平面8CGB的一個(gè)法向量，

設(shè)直線與平面8CC￡所成的角。w0,：，

則sin6=kos{4",C4)|=^^=￥,所以6=(,

所以直線A石與平面8CC4所成的角為：.

3.(2022?河南?北大公學(xué)禹州國(guó)際學(xué)校高一開(kāi)學(xué)考試)如圖，在正力體ABCD-AMGRM

棱長(zhǎng)為2,M、N分別為AB、AC的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面BCG4；

⑵求人用與平面4冊(cè)。。所成角的大小.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)30°

(1)

如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為工釉，。。為y釉，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

y

則A（2,0,0）,C（0,2,0）,A（2,0,2）,8（2,2,0）,g（2,2,2）,M（2,l,l）,N（l』,0）.

第17頁(yè)共60頁(yè)

所以

因?yàn)椤_L平面8CCM,

所以平面BCC筋的一個(gè)法向量為DC=(0,2,0),

因?yàn)镸N-OC=0，所以MN_LOC，

因?yàn)镸NU平面BCC]與，

所以MN//平面BCC[8]

(2)

DC=(0,2,0),DA,=(2,0,2),A8=(0,2,-2).

設(shè)平面的?個(gè)法向量為〃=(x,y,z)

.DA.-n=2A+2Z=0/..人

貝rl叫，令z=l,則rx=-l,y=。，

DCn=2y=0

所以〃=(T0,l)

設(shè)AB與平面4與co所成角為。.

則sine*os〈AB,“卜鼎=七=]

因?yàn)?。工。＜180。，

所以AB與平面A^CD所成角為30。.

4.(2022?新疆?烏魯木齊101中學(xué)高二期中(理))如圖，四棱錐產(chǎn)一A8C。的底面若8。。

是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZA￡C=\PAJL底面/IBC。，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn).

⑴求證：PA〃平面BMD；

⑵當(dāng)上4=6時(shí)，求直線AM與平面P3c所成角的正弦值.

⑴

連接4c.與A。交于點(diǎn)O.

第18頁(yè)共60頁(yè)

因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形

則0為AC中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)M是梭PC的中點(diǎn)，

所以O(shè)M//PA,

因?yàn)镺Mu平面BMD,

R4Z平面BMD,

所以P4II平面HMD.

（2）

因?yàn)槭?_L底面A8C。，OM//PA,

所以0M_1平面A3CQ,

因?yàn)榈酌?8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，

所以0B上0C,

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,0M所在直線分別為工軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镹AB"會(huì)所以A（0,—1,O）,M0,0,用,。（0,-1,同,8（6,0,0）,。（0』,。），

設(shè)平面P8C的法向量為/?;=（.r,>,,z）,

PB-in=6t+y-Viz=0

則令Z=1得：y=-x=-,

PCm=2y-顯=(),2t2

則=爭(zhēng)

設(shè)直線AM與平面P8C所成角為0,

則直線AM與平面P3C所成角的正弦值為速.

7

第19頁(yè)共60頁(yè)

角度2：求直線與平面所成角（最值問(wèn)題）

典型例題

例題1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知E、F、。分別是正方形A8C。邊8C、AD及

對(duì)角線AC的中點(diǎn)，將三角形ACD沿著AC進(jìn)行翻折構(gòu)成三棱錐，則在翻折過(guò)程中，直線EF

與平面40。所成角的余弦值的取值范圍為（）

【答案】A

【詳解】如圖所示:

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則04=08=00=夜,OA_LOAOA_LOD,

設(shè)NB0D=a,aw（0,乃），直線EF與平面8。。所成的角為^^€（0.1）,

以｛OLO氏OD｝為?組基底，

則班'=O~OE=：Q+OD）-；（C>C+OB）=O八-;OB+goD,

所以同卜/QA—g08+g0O）=^OA2+^OB：+^OD2-OAOB+OAOD-^OBOD=x/3-cosa,

貝UAC=OC-OA=-2OA,所以|=2,刈=2右,

第20頁(yè)共60頁(yè)

故選：A

例題2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在如圖的正方體ABC?！狝TTCTy中，AB=3f

點(diǎn)”是側(cè)面8CC'9內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足AA/_LR）,設(shè)4W與平面8CCB所成角為0,則

tan，的最大值為（）

加

L?---B.母

2

,4

【答案】B

【詳解】如下圖，以A為原點(diǎn)，CH/RRP分別為x，LZ軸的正方向構(gòu)建審問(wèn)直角坐標(biāo)系,

則有40,-3,0),8(0,0,0),以0,0,3),。'(一3,-3,3)，令"(x,0,z),

/.AM=(x,3,z),B。'=(-3,-3,3),乂4M_L8。'，有z=x+3且一3WxWO,

4M與平面Bare所成角為&即乙u/8=e,而3M=ao,x+3),

tan0-廠3=3

42/+6x+9/9z329,-3<x<0.

JZ(X+—I+—

第21頁(yè)共60頁(yè)

?二當(dāng)x=-T時(shí)，（tan。）1mx=正，

故選：B.

例題3.（2022?江蘇省揚(yáng)州市教育局高二期末）正四棱柱ABC。-ABGR中，4％=4,

AB=g,點(diǎn)N為側(cè)面BCC圈上一動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），且滿足RNJ.CW.記直線QN與平

面8CC崗所成的角為。，則tan。的取值范圍為.

【答案】伶即借t

【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則4（0,0,4）,。（0,6,0）,設(shè)不卜,瘋z）,

所以4N=卜，石,Z-41,CN=（X,0,Z）,

因?yàn)镈、NLCN,

所以〃產(chǎn)?-4z=0,

則x2=-z2+4z，因?yàn)?vxvG,則0v+4z<3，

解得0<z<l或3vz<4,

易知平面的一個(gè)法向量為〃=（0,1,0）,

..?_21—z+4八

貝！Jcos0―—/”，,tan0——..—,

yj-4z+192，-z+4

（611fV3□

所以tan92J-z+4€

\/\z

第22頁(yè)共60頁(yè)

(43

故答案為:：

PT2

題型歸類練

1.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）如圖，已知圓柱A在圓。上，AO=1,股=應(yīng),產(chǎn)、

。在圓Oi上，且滿足尸0=手，則直線4。與平面OPQ所成角的正弦值的取值范圍是（）

-76-33+x/6-

【答案】A

【詳解】取PQ中點(diǎn)例，則Q|M_LPQ,以點(diǎn)。1為坐標(biāo)原點(diǎn)，例。為x軸，。。1為z軸建立

如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則0（0,0,-旬、P一孚岑0、Q-半耳,。

第23頁(yè)共60頁(yè)

—㈤，OQ=

OP=

JJ33

設(shè)平面OPQ的法向量為祐=(x,y,z),

w-0P=-^-x-—y+V2z=0

；；,取1=百，則產(chǎn)0,z=1?則〃?=(G,0,1),

則

〃?OQ=一半x+苧),+岳=0

設(shè)A(cos6,sina—板)，直線AO1的方向向量為〃=aA=(cose.sin。,一板卜

所以電線AQ與平面OPQ所成角的正弦值為

|/n-/z|明856-閩R-3cos8'3+6一

|w|-|n|2\H6.，6，

故選：A.

2.(2021?福建?泉州五中高二期中)直三棱柱ABC-A5G中,ABLBC,AB=BC=CC「

點(diǎn)。為線段AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)?在線段cq上，則直線OP與平面4。3所成角的正弦值的取

值范圍是()

x/62百

A.B.-3-,—C.爭(zhēng)

【答案】A

【詳解】如圖所示：以為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=8C=CG=2,

則3(0,0,0),0(1,1,0),4(。，2,2),尸(2,0,間,?€(0,2],

n-BA]=2y+2z=0

設(shè)平面A03的法向量為”=(x)，,z),則?

n-BO=x+y=0

取4=1得到〃=(1,一1,1),OP=(1,-1,〃。，

宜線OP與平面\OB所成角的正弦值為|cos(OP,〃)OP712+tn

\/2+in2-y/3

設(shè)2+m=f,則ze[2,4],

2+〃？_t

y12+m2-75J3/-⑵+18

當(dāng)1=3時(shí)，有最大值為1,當(dāng)，=2時(shí)有最小值為好.

3

故選：A.

第24頁(yè)共60頁(yè)

3.(2022?江蘇?鹽城市伍佑中學(xué)高二階段練習(xí))如圖，在三棱錐。-ABC中，

AB=BC=CD=DA,ZABC=9()°,E,F,。分別為棱8C,DA,AC的中點(diǎn)，記直線E/

與平面40。所成角為。，則。的取值范圍是.

【詳解】解：因?yàn)锳4=〃C=CO=D4,AB=BA，

所以△A8C蘭4ADC,

所以NAQC=NA8C=90。，

又因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，

所以O(shè)Z)J.AC,O8_L4C,

又ODcOB=O,所以AC_L平面800,

設(shè)Z.BOD=a,ae(0,zr),

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則平面90。與平面xOz重合，

不妨設(shè)AB=BC=CD=DA=&，

則。4=OB=OC=OQ=I,

則A(0,-1,0),5(1,0,0),C(0,1,0),D(cosa,0,sina),

第25頁(yè)共60頁(yè)

11.

—cosa.——sina

嗚222

/I1

則七尸=—(800-1),-1,二$皿0,

(22J

因?yàn)榘?。_1_平面8。。,

所以O(shè)C=（0,1,0）即為平面80。的?條法向量,

因?yàn)橹本€EE與平面“OD所成角為。，。弓，

所以sin0=kos(E￡OC)卜jEFOC\

EF\-\OC\

■i^(cosa-l)2+(-2)2+sin2a-1V3-cos(z，

因?yàn)閍w(O,/r),所以cosae(-1,1),

所以sin。e

角度3:己知線面角求其他參數(shù)（探索性問(wèn)題）

典型例題

例題1.（2022?浙江?玉環(huán)市玉城中學(xué)高一階段練習(xí)）在正四棱錐P-AAC/）中，PAd

直線姑與平面ABC。所成的角為60,E為尸。的中點(diǎn)，則異面直線必與慨:所成角為

（）

A.90B.60C.45D.30

第26頁(yè)共60頁(yè)

【答案】c

【詳解】試題分析：連接AC,BD交于點(diǎn)。，連接OE,OP.因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以O(shè)EIPA,

所以N0E8即為異面直線PA與BE所成的角.因?yàn)樗睦忮FP-ABCD為正四棱錐，所以

月。1.平面4a7。，所以4?為州在面A8CO內(nèi)的射影，所以NE4O即為序與面A8CO所

成的角，即NP4O=60。，因?yàn)镽4=2,所以04=05=1,0E=1.所以在直角三角形石。8中

/OEB=45。,即面直線PA與BE所成的角為45

故選C.

例題2.(2022?湖南?高一課時(shí)練習(xí))如圖，已知四邊形A8CD,CDGF,ADGE均為

正方形,且邊長(zhǎng)為L(zhǎng)在棱DG上是否存在點(diǎn)M,使得直線MB與平面8所所成的角為45?

若存在，求出點(diǎn)"的位置；若不存在，試說(shuō)明理由.

【答案】存在點(diǎn)M,此時(shí)財(cái)。的長(zhǎng)度為3拒-4.

【詳解】以。為原點(diǎn)，以。4。。，。知所在的直線分別為1軸、y軸和z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)。M的長(zhǎng)度為。，可得8(1,1,0),1(1,0,1),尸(0,1,1),"(0,0,。),

則BE=(0,-1,1),BF=(-1,0,1),BM=(―一。),

n-BE=—v+z=0

設(shè)平面8￡尸的法向最為〃=(x.y,z),則〈,

/l-BF=-x+z=0

取z=i,可得x=Ly=i,即〃

\n-BM\_|6/_2|_V2

設(shè)M7?與平面8所所成的足為，，可得sin"

忖.卜必75.J/+22

整理得々2+84-2=0,解得〃=3&-4或。=-3夜-4(舍去)，

第27頁(yè)共60頁(yè)

此時(shí)MO=3>/5-4，

即存在點(diǎn)此時(shí)M。的長(zhǎng)度為30-4.

例題3.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在三棱錐。一ABC中，底面是邊長(zhǎng)為4的

正三角形，B4=2,E4_L底面ABC,點(diǎn)E,尸分別為AC,PC的中點(diǎn).

(1)求證：平面跖/_L平面PAC；

(2)在線段依上是否存在點(diǎn)G,使得直線AG與平面PNC所成角的正弦值為巫？若存

5

在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

B

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑵存在滿足條件的點(diǎn)G,點(diǎn)G為PB的中點(diǎn)

(1)證明：,?,A8=BC,E為4c的中點(diǎn)，BE_LAC.

又尸A_L平面ABC,8Eu平面ABC,R4J_8E.

??,PAcAC=4,???8￡_L平面PAC

?/平面BEF,I.平面比孑」平面PAC.

(2)存在.由(1)及已知得PA±ACf

???點(diǎn)E,/分別為AC，PC的中點(diǎn)，

/.EFWPA,：.EFA.BE,EF±AC.

第28頁(yè)共60頁(yè)

又BELAC,..EB,EC,E尸兩兩垂直.

分別以E&ECE/的方向?yàn)閤,y,z軸正方向建。：空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則A(0,—2,0),P(0,-2,2),426,0,0),C(0,2,0).

設(shè)86=義82=卜2百尢一2/1,2/1),2e[0,l],

UUinUUUUIW1(L\UUU/L\UUU

所以AG="十3G=(26(1一—冗),2孫30=(-2石,2,0),60=(0,4,-2)

設(shè)平面PBC的法向最為〃=（尤居z）,

n-BC=0-2\/3x+2y=()

則

n-PC=04y-2z=0

令x=l,則y=V5,z=2\f3,

/.〃=",2回

f—UU?1r—r-

V15AGn岳4上,,

由已知得7-=由丁，即一T=I,……即16(1—2)2+4萬(wàn)=5

5AGn54V16(l-2)2+422

2022-32A+ll=0,解得4=；或4=魯，由之w[0,l]，故％=；.

所以存在滿足條件的點(diǎn)G,點(diǎn)G為P8的中點(diǎn).

例題4.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，四棱錐尸-A8CD中，平面EW_L平面A8C。，

平面小￡>_L平面AACO,四邊形A8C。中，AB1AD,AB+AD=4f。。=&,ZC￡H=45°.

⑴求證：PAJ_平面A8C。；

（2）設(shè)A8=AP,若直線依與平面PC。所成的角為30。，求線段A8的長(zhǎng).

第29頁(yè)共60頁(yè)

p

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(1)

因?yàn)槠矫嬉?_L平面A8CQ,平面平面A8CO=A3,ADYABrAOu平面ABC”

所以AO_L平面Q4/L

因?yàn)锽Au平面B46，所以ADJ.Q4,同理可得

因?yàn)锳8cAZ)=A,所以PA_L平面ABC。，

如圖以A為原點(diǎn)，以A3,AD,AP所在更線為x?，z軸建立空間坐標(biāo)系4-町z,

在底面A8CD內(nèi)，作CE〃48交AO丁石，則CE_LA。，

在直角中，DE=CE=1

設(shè)A8=AP=f,則8(7,0,0),P(0,0j),

由48+40=4,則AO=4—/,貝!JE(0,3—/,0),C(1,3T,0),D(0,4—Z,0),

ULUUli

所以PD=(O,4T,T),CD=(-1,LO),PB=(f,O,T)

r、\n-PD=(4-t)v-tz=0

設(shè)平面PC。的法向量為〃=?z)"),得.'人，

n-CD=-x+y=0

取X=,，則〃=(/J,4T)

第30頁(yè)共60頁(yè)

rULT

n-PB

故由直線即與平面PC。所成角大小為30。,則有sin3(T=

I?/-4/

即寸:,化簡(jiǎn)得：5r-24r+16=0，

2后/—JJ產(chǎn)+產(chǎn)+（4_/『

44

解得：或，=4（舍去，因?yàn)锳￡>=4-，>0）,即AB=《.

JJ

題型歸類練

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）正方形A8C。的邊長(zhǎng)是2,E、尸分別是48和C。的中點(diǎn),

將正方形沿￡尸折成直二面角（如圖所示）.M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn)，如果

NMBE=NMBC,M8和平面8c尸所成角的正切值為g,那么點(diǎn)M到直線所的距離為

【詳解】如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

則E（0,0,0）,5（1,0,0）,0（120）,設(shè)M（0,y,z）（0Wy42,0WzWl）