PAGE1-第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例[考綱傳真]1.會(huì)作兩個(gè)相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖相識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能依據(jù)給出的線性回來方程系數(shù)公式建立線性回來方程.3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其初步應(yīng)用.4.了解回來分析的基本思想、方法及簡潔應(yīng)用．1．相關(guān)性(1)線性相關(guān)若兩個(gè)變量x和y的散點(diǎn)圖中，全部點(diǎn)看上去都在一條直線旁邊波動(dòng)，則稱變量間是線性相關(guān)的．(2)非線性相關(guān)若全部點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是一條直線)旁邊波動(dòng)，則稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的．(3)不相關(guān)假如全部的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的．2．最小二乘估計(jì)(1)最小二乘法假如有n個(gè)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表達(dá)式來刻畫這些點(diǎn)與直線y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式達(dá)到最小值的直線y＝a＋bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法．(2)線性回來方程方程y＝bx＋a是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的線性回來方程，其中a，b是待定參數(shù)．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝\f(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).,a＝\x\to(y)－b\x\to(x).))3．回來分析(1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．(2)樣本點(diǎn)的中心對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))稱為樣本點(diǎn)的中心．(3)相關(guān)系數(shù)r①r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))；②當(dāng)r>0時(shí)，稱兩個(gè)變量正相關(guān)．當(dāng)r<0時(shí)，稱兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．當(dāng)r＝0時(shí)，稱兩個(gè)變量線性不相關(guān)．4．獨(dú)立性檢驗(yàn)若一個(gè)2×2列聯(lián)表為：BAB1B2總計(jì)A1aba＋bA2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d則統(tǒng)計(jì)量χ2為：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).(1)當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的；(2)當(dāng)χ2>2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(3)當(dāng)χ2>3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(4)當(dāng)χ2>6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．eq\o([常用結(jié)論])1．線性回來方程y＝bx＋a肯定過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．2．由回來直線求出的數(shù)據(jù)是估算值，不是精確值．[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“名師出高徒”可以說明為老師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系． ()(2)某同學(xué)探討賣出的熱飲杯數(shù)y與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，得回來方程y＝－2.352x＋147.767，則氣溫為2℃時(shí)，肯定可賣出143杯熱飲． ()(3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測值都可以求得一個(gè)線性回來方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)． ()(4)若事務(wù)A，B關(guān)系越親密，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的值越?。?()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2.(教材改編)為調(diào)查中學(xué)生近視狀況，測得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視．在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有勸服力()A．回來分析 B．均值與方差C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率C[“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷．]3．(教材改編)已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回來方程可能是()A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4A[因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，解除選項(xiàng)C，D．又樣本中心(3,3.5)在回來直線上，解除B，選項(xiàng)A滿意．]4．下面是2×2列聯(lián)表：則表中a，b的值分別為()y1y2合計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120A．94,72 B．52,50C．52,74 D．74,52C[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]5．某校為了探討學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的看法(支持和不支持兩種看法)的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝7.069，則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有多少的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”． ()附：P(χ2≥x0)0.1000.0500.0250.0100.001x02.7063.8415.0246.63510.828A．0.1%B．1%C．99%D．99.9%C[因?yàn)?.069與附表中的6.635最接近，所以得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”．]相關(guān)關(guān)系的推斷1．已知變量x和y滿意關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)C[因?yàn)閥＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)．因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)z＝by＋a，b＞0，則z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x與z負(fù)相關(guān)．]2．(2024·廣州模擬)依據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)的條形統(tǒng)計(jì)圖.以下結(jié)論不正確的是()A．逐年比較，2008年削減二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈削減趨勢D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)D[從2006年，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項(xiàng)正確；2007年二氧化硫排放量較2006年降低了許多，B選項(xiàng)正確；雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，C選項(xiàng)正確；自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D．]3．(2024·日照模擬)變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則()參考公式：線性相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2))A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1 D．r1＝r2C[由己知中的數(shù)據(jù)可知：第一組數(shù)據(jù)正相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)大于零，其次組數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)小于零，故選C．][規(guī)律方法]判定兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)相關(guān)系數(shù)：r>0時(shí)，正相關(guān)；r＜0時(shí)，負(fù)相關(guān)．(3)線性回來方程中：b>0時(shí)，正相關(guān)；b<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．線性回來分析及應(yīng)用【例1】(2024·全國卷Ⅱ)如圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回來模型．依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：y＝－30.4＋13.5t；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由．[解](1)利用模型①，可得該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)．利用模型②，可得該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為y＝99＋17.5×9＝256.5(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．理由如下：(i)從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢，2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．[規(guī)律方法]線性回來分析問題的類型及解題方法(1)求線性回來方程：①利用公式，求出回來系數(shù)b，a.②待定系數(shù)法：利用回來直線過樣本點(diǎn)中心求系數(shù)．(2)利用回來方程進(jìn)行預(yù)料：把回來直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．(3)利用回來直線推斷正、負(fù)相關(guān)：確定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是系數(shù)b.(2024·全國卷Ⅲ)如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2008～2014(1)由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回來方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)料2024年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2))，回來方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b＝eq\f(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t).[解](1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))tiyi－eq\x\to(t)eq\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,2×2.646×0.55)≈0.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回來模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\x\to(y)＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得b＝eq\f(\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up13(7),\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y關(guān)于t的回來方程為y＝0.92＋0.10t.將2024年對(duì)應(yīng)的t＝9代入回來方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預(yù)料2024年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸．獨(dú)立性檢驗(yàn)及應(yīng)用【例2】(2024·全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：(1)記A表示事務(wù)“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較．附：P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828，χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事務(wù)A的概率估計(jì)值為0.62.(2)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466則χ2＝eq\f(200×62×66－34×382,100×100×96×104)≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．[規(guī)律方法]獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)依據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，計(jì)算χ2的值；(3)查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．(2024·合肥質(zhì)檢)某校在高一年級(jí)學(xué)生中，對(duì)自然科學(xué)類、社會(huì)科學(xué)類校本選修課程的選課意向進(jìn)行調(diào)查．現(xiàn)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取180名學(xué)生，其中男生105名；在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為45名．(1)試問：從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為多少？(2)依據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下面的2×2列聯(lián)表．并推斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？選擇自然科學(xué)類選擇社會(huì)科學(xué)類合計(jì)男生女生合計(jì)附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥x0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[解](1)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為eq\f(105,180)＝eq\f(7,12).(2)依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表如下：選擇自然科學(xué)類選擇社會(huì)科學(xué)類合計(jì)男生6045105女生304575合計(jì)9090180則χ2＝eq\f(180×60×45－30×452,105×75×90×90)＝eq\f(36,7)≈5.1429＞5.024，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān).(2024·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，其次組工人用其次種生產(chǎn)方式．依據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，