最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)理論部分基本概念：基本概念：1、公因數(shù)和最大公因數(shù)幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。例如：12的因數(shù)有1，2，3，4，6，12；30的因數(shù)有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公因數(shù)有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公因數(shù)。一般地我們用（a,b）表示a,b這兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,則a,b兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。2、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有12，24，36，48，60，72，…18的倍數(shù)有18，36，72，90，…12和18的公倍數(shù)有：36，72…其中36是12和18的最小公倍數(shù)。一般地，我們用[a,b]表示自然數(shù)，a,b的最小公倍數(shù)，如[12，18]=36。3、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的求法A．最大公因數(shù)求兩個數(shù)的最大公因數(shù)一般有以下幾種方法（1）分解質(zhì)因數(shù)法（2）短除法（3）輾轉(zhuǎn)相除法（4）小數(shù)縮倍法（5）公式法前兩種方法在數(shù)學(xué)課本中已經(jīng)學(xué)過，在這里我們主要介紹輾轉(zhuǎn)相除法。當(dāng)兩個整數(shù)不容易看出公因數(shù)時（一般是數(shù)字比較大），我們可以合用輾轉(zhuǎn)相除法。B．最小公倍數(shù)求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法也有以下幾種方法：（1）分解質(zhì)因數(shù)法（2）短除法（3）大數(shù)翻倍法（4）a×b=（a,b）×[a,b]上面的公式表示：兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。典型例題與練習(xí)例1、437與323的最大公因數(shù)是多少？例2、24871和3468的最小公倍數(shù)是多少？例3、把一塊長90厘米，寬42厘米的長方形鐵板剪成邊長都是整厘米，面積都相等的小正方形鐵板，恰無剩余。至少能剪塊?！痉治觥浚焊鶕?jù)題意，剪得的小正形的邊長必須是90和42的最大公因6。所以原長方形的長要分90÷6＝15段，寬要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（塊）解：（１）求90和42的最大公因數(shù)2904234521157（90，42）＝60（2）求至少剪多少塊正方形鐵板90÷6＝1545÷6＝715×7＝105（塊）答：至少可以剪105塊正方形鐵板。說明：用短除法求小數(shù)的最大公因數(shù)比較容易。例4、10個自然數(shù)之和等于1001，求這十個自然數(shù)的最大公因數(shù)可能取的最大值是多少？例5、用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？【分析】：因?yàn)?44克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分裝的袋數(shù)應(yīng)相同，即分裝的袋數(shù)應(yīng)是144，180，240的公因數(shù)。題目要求每袋的價格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，應(yīng)是144，180，240的最大公因數(shù)。所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最低是60÷12=5（元）。例6、用自然數(shù)a去除498，450，414，得到相同的余數(shù)，a最大是多少？【分析】：因?yàn)?98，450，414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公因數(shù)應(yīng)能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求數(shù)是（48，36，84）=12。例7、現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公因數(shù)中，最大的可以是多少？【分析】：只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公因數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個數(shù)的和是1111，它們的公因數(shù)一定是1111的因數(shù)。因?yàn)?111=101×11，它的因數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個自然數(shù)的和是1111，所以三個自然數(shù)都小于1111，1111不可能是三個自然數(shù)的公因數(shù)，而101是可能的，比如取三個數(shù)為101，101和909。所以所求數(shù)是101。例8、甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點(diǎn)出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點(diǎn)相會？【分析】：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因?yàn)橐谄瘘c(diǎn)相會，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時間應(yīng)是60，75，90的公倍數(shù)。所求時間為[60，75，90]=900（秒）=15（分）。例9、爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？【分析】：爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數(shù)。[6，5，4，3，2]=60，爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍。考慮到年齡的實(shí)際情況，爺爺與小明的年齡差應(yīng)是60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=60÷（7-1）=10（歲），爺爺?shù)哪挲g=10×7=70（歲）。例10、甲、乙、丙三人定期向王老師求教。甲每隔6天去一次，乙每隔8天去一次，丙每隔9天去一次。如果6月17日他們?nèi)硕荚谕趵蠋熂乙娒?，那么下一次三人都在王老師家見面的時間是幾月幾日？例11、有甲、乙兩個互相銜接的齒輪，甲輪有437齒，乙輪有323齒，甲的某一齒與乙的某一齒從第一次接觸到第二次接觸，需要各轉(zhuǎn)幾周？例12、加工一種零件有三道工序，第一道工序每個工人每小時可完成48個，第二道工序每個工人每小時可完成32個，第三道工序每個工人每小時可完成28個。在每道工序至少安排多少工人，才能搭配合適，使每道工序不產(chǎn)生積壓或停工待料。例13、有一堆蘋果共五千多個，按10個裝一袋，裝到最后少一個；9個裝一帶，最后還少1個；按8個，7個，…，2個裝一袋，總是少1個。這堆蘋果到底有多少個？例14、能同時被2，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數(shù)整除的最大六位數(shù)是多少？例15、三個連續(xù)的自然數(shù)的最小公倍數(shù)是168，那么這三個自然數(shù)的和等于。【分析】：168=2×3×7，因此這三個連續(xù)自然數(shù)是6，7，8。和為6+7+8=21.例16、甲數(shù)是24，甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是168，最大公因數(shù)是4，求乙數(shù)。例17、已知甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是36，求甲、乙兩數(shù)。例18、兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77，求這兩個自然數(shù)?！痉治觥浚喝绻麑蓚€自然數(shù)都除以7，則原題變?yōu)椋骸皟蓚€自然數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11，求這兩個自然數(shù)?！备淖円院蟮膬蓚€數(shù)的乘積是1×30=30，和是11。30=1×30=2×15=3×10=5×6，由上式知，兩個因數(shù)的和是11的只有5×6，且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個數(shù)是5和6，故原來的兩個自然數(shù)是7×5=35和7×6=42。例19、已知a與b，a與c的最大公因數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。【分析】：因?yàn)?2，15都是a的因數(shù)，所以a應(yīng)當(dāng)是12與15的公倍數(shù)，即是[12，15]=60的倍數(shù)。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，說明c沒有質(zhì)因數(shù)2，又因?yàn)閇a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。因?yàn)閍是c的倍數(shù)，所以求a，b的問題可以簡化為：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”當(dāng)a=60時，b=（a，b）×[a，b]÷a=12×120÷60=24；當(dāng)a=120時，b=（a，b）×[a，b]÷a=12×120÷120=12。所以a，b，c為60，24，15或120，12，15。例20、求，，的最大公因數(shù)。求一組分?jǐn)?shù)的最大公因數(shù)的方法：（1）先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；（2）求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a；（3）求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大公因數(shù)b；例21、求，，的最小公倍數(shù).求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法：（1）先將各個分?jǐn)?shù)化為