第1頁（共1頁）2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個性化分層教輔學(xué)困生篇《空間向量基本定理及坐標(biāo)表示》一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?泊頭市校級月考）《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在第五卷《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．已知在塹堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=AA1=3，A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．12．（2024春?西青區(qū)校級期末）已知空間向量a→=（1，﹣1．﹣2），b→=（0，1，x），c→=（2，0，0），若a→A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或03．（2024春?濰坊期末）如圖，已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外任意一點，且平面ABC中的小方格均為邊長為1的正方形，＜OA→，AB→＞=＜OA→，AC→A．15 B．15 C．23 4．（2023秋?濟(jì)南期末）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AC→=a→，AB→A．a(chǎn)→+b→?c→ B．5．（2024春?淮安期末）已知空間向量a→=(2，1，0)，b→=(?1，t，3)，c→=(0，0，1)，若向量a→A．1 B．?12 C．﹣3 6．（2024春?白銀期中）已知向量a→=(?3，0，?1)，bA．（﹣5，1，﹣2） B．（5，﹣1，2） C．（﹣8，1，﹣3） D．（8，﹣1，3）7．（2024春?銅山區(qū)月考）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為CC1中點，BM→=2MC→，A．12 B．23 C．1 8．（2023秋?合肥期末）已知a→=（1，﹣2，1），a→A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（﹣2，0，﹣2） D．（2，1，﹣3）9．（2023秋?梅州期末）如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，AC＝2A1C1，M、N分別為AC、A1B1的中點，設(shè)AB→=a→，A．14a→?C．12a→10．（2023秋?信宜市期末）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1→=xAB→+2yBC→+3zA．1 B．76 C．56 二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024春?大荔縣期末）給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個向量都可以作為一個基底 B．已知向量a→∥b→，則aC．對空間任一向量p→，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得pD．如果a→，b→（多選）12．（2024春?吉林期末）已知{aA．a(chǎn)→+2c→，a→+2b→，bC．a(chǎn)→?b→，a→+c→，（多選）13．（2023秋?趙縣期末）下列四個命題中為假命題的是（）A．已知n→是平面α的法向量，a→是直線l的方向向量，若a→?n→=B．已知向量a→=（1，0，1），b→=（2，﹣4，6），則aC．已知a→，b→，c→是空間中的三個單位向量，若a→，b→，c→兩兩共面，則aD．已知{a→，b→，c→}是空間向量的一個基底，則{a→+（多選）14．（2024春?浙江期中）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面 B．若a→?b→C．已知向量{a→，b→，c→}組是空間的一個基底，則{2a→，bD．若對空間中任意一點O，有OP→=112OA→+14（多選）15．（2024春?南京期中）已知向量a→，bA．a(chǎn)→?c→ B．a(chǎn)→+三．填空題（共5小題）16．（2024春?酒泉期中）已知空間中三點A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），設(shè)AB→=a→，AC→=17．（2023秋?柯橋區(qū)期末）已知向量a→=（1，2，2），b→=18．（2023秋?合肥期末）已知A（3，﹣2，4），B（0，5，﹣1），若OC→=23AB→（19．（2024春?寶山區(qū)校級月考）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE=13BB1，DF=23DD1．若EF→=xAB→+yAD→+z20．（2023?九龍坡區(qū)校級開學(xué)）如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED，以{AB→，AC→，AD→}為基底，則四．解答題（共5小題）21．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）已知空間三點A（0，﹣2，3）、B（﹣2，﹣1，6）、C（1，1，5）．（1）若向量m→與AB→平行，且|m（2）求以CB、CA為鄰邊的平行四邊形的面積．22．（2023秋?河南月考）已知{a→，b→，c→}23．（2022秋?蓬江區(qū)校級期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=2（1）證明：A、E、C1、F四點共面．（2）若EF→=xAB→+yAD→+zAA24．（2021秋?無錫期末）定義：設(shè){a1→，a2→，a3→}是空間的一個基底，若向量p→=xa1→+ya2→+za3已知{a→，b→，c→}是空間的單位正交基底，{a→+b→，a→?b→（1）求向量p→在基底{a→，b→（2）求向量p→25．（2021春?江門期末）已知空間三點A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．（1）求△ABC的面積；（2）若向量CD→∥AB→，且

2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個性化分層教輔學(xué)困生篇《空間向量基本定理及坐標(biāo)表示》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?泊頭市校級月考）《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在第五卷《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．已知在塹堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=AA1=3，A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．1【考點】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系后計算即可．【解答】解：以A為坐標(biāo)原點，分別以AB、AC、AA1所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為AB=2，AC=AA所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，3，0)，A所以AE→所以AE→故選：B．【點評】本題考查了空間直角坐標(biāo)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2．（2024春?西青區(qū)校級期末）已知空間向量a→=（1，﹣1．﹣2），b→=（0，1，x），c→=（2，0，0），若a→A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或0【考點】空間向量線性運算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)共面向量基本定理即可求出x的值．【解答】解：∵a→，c∴存在實數(shù)λ，μ，使b→∴λ+2μ=0?λ=1?2λ=x，解得故選：A．【點評】本題考查了共面向量基本定理，向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運算，是基礎(chǔ)題．3．（2024春?濰坊期末）如圖，已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外任意一點，且平面ABC中的小方格均為邊長為1的正方形，＜OA→，AB→＞=＜OA→，AC→A．15 B．15 C．23 【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得出OP→=OA【解答】解：由題意知，＜OA→，AB→＞=＜OA→，所以O(shè)P→=OA所以O(shè)P→2=OA→2+4AB→2+AC→2所以|OP→|=故選：A．【點評】本題考查了空間向量的線性運算與數(shù)量積運算問題，是基礎(chǔ)題．4．（2023秋?濟(jì)南期末）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AC→=a→，AB→A．a(chǎn)→+b→?c→ B．【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】D【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義，相等向量和相反向量的定義即可得解．【解答】解：CB故選：D．【點評】本題考查了向量加法的幾何意義，相等向量和相反向量的定義，是基礎(chǔ)題．5．（2024春?淮安期末）已知空間向量a→=(2，1，0)，b→=(?1，t，3)，c→=(0，0，1)，若向量a→A．1 B．?12 C．﹣3 【考點】空間向量線性運算的坐標(biāo)表示；空間向量的共線與共面．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】由題意可知：b→【解答】解：若向量a→，b→，c→可得2λ=?1λ=tμ=3，解得λ=?12t=?故選：B．【點評】本題考查了空間向量共線的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024春?白銀期中）已知向量a→=(?3，0，?1)，bA．（﹣5，1，﹣2） B．（5，﹣1，2） C．（﹣8，1，﹣3） D．（8，﹣1，3）【考點】空間向量運算的坐標(biāo)表示；空間向量及其線性運算；空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】D【分析】由空間向量的坐標(biāo)運算求解即可．【解答】解：因為a→所以2a所以b→故選：D．【點評】本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024春?銅山區(qū)月考）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為CC1中點，BM→=2MC→，A．12 B．23 C．1 【考點】空間向量線性運算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】正方體中存在三條互相垂直的直線，故我們可以建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行計算．【解答】解：如圖建系，設(shè)棱長為6，則A（6，0，0），E（0，6，3），M（2，6，0），A1（6，0，6），N（6，6，6﹣6λ）A1N→∴?4x?6y=06x+6y=6?6λ=3y，解得故選：C．【點評】本題主要考查空間向量及其線性運算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023秋?合肥期末）已知a→=（1，﹣2，1），a→A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（﹣2，0，﹣2） D．（2，1，﹣3）【考點】空間向量線性運算的坐標(biāo)表示．【專題】對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，求出向量b→【解答】解：∵a→=（1，﹣2，1），∴b→故選：B．【點評】本題考查了空間向量的線性運算與坐標(biāo)表示的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．9．（2023秋?梅州期末）如圖，在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，AC＝2A1C1，M、N分別為AC、A1B1的中點，設(shè)AB→=a→，A．14a→?C．12a→【考點】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】由題意及向量的運算性質(zhì)，可得MN→【解答】解：在三棱臺ABC﹣A1B1C1中，AC＝2A1C1，可得A1C1又因為AB→M，N分別為AC、A1B1的中點，所以MN→故選：B．【點評】本題考查向量的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2023秋?信宜市期末）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1→=xAB→+2yBC→+3zA．1 B．76 C．56 【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用．【答案】B【分析】如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1→=AB→+BC→+C【解答】解：如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與AC1→=xAB→+2x＝1，2y＝1，﹣1＝3z．則x+y+z＝1+1故選：B．【點評】本題考查了空間平行六面體法則、空間向量基本定理、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024春?大荔縣期末）給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個向量都可以作為一個基底 B．已知向量a→∥b→，則aC．對空間任一向量p→，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得pD．如果a→，b→【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；命題的真假判斷與應(yīng)用；平面向量的概念與平面向量的模．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】BD【分析】根據(jù)共線向量、空間向量的基本定理、基底、單位向量概念等知識對選項進(jìn)行分析，由此確定正確答案．【解答】解：對于A，因為{a→，b→，c→}對于B，因為a→∥b→，所以a→與b→共線，故對于C，當(dāng){a→，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得p→=xa對于D，若a→，b→都是單位向量，則模長都為1，故|a故選：BD．【點評】本題主要考查基底的定義，空間向量基本定理，命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2024春?吉林期末）已知{aA．a(chǎn)→+2c→，a→+2b→，bC．a(chǎn)→?b→，a→+c→，【考點】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】BCD【分析】根據(jù)向量共面的定義分別判斷各選項．【解答】解：對于A選項：令a→+2c→=x(a→+2b→)+y(b→?c對于B選項：設(shè)a→+2b→=x(a→?b→)+y(對于C選項：設(shè)a→?b→=x(a→+c→)+y(對于D選項：設(shè)a→+b→=x(故選：BCD．【點評】本題考查的知識點：向量的基底，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．（多選）13．（2023秋?趙縣期末）下列四個命題中為假命題的是（）A．已知n→是平面α的法向量，a→是直線l的方向向量，若a→?n→=B．已知向量a→=（1，0，1），b→=（2，﹣4，6），則aC．已知a→，b→，c→是空間中的三個單位向量，若a→，b→，c→兩兩共面，則aD．已知{a→，b→，c→}是空間向量的一個基底，則{a→+【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，由平面法向量的定義分析A，由空間向量數(shù)量積的性質(zhì)分析B，舉出反例說明C錯誤，由空間向量基本定理分析D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，已知n→是平面α的法向量，a→是直線l的方向向量，若a→?n→=0，則l∥α或?qū)τ贐，a→?b→=2+6＝8＞0，當(dāng)a→與b→不共線，則a對于C，空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別與x、y、z軸同向的3個單位向量，兩兩共面，但3個向量不共面，C錯誤；對于D，由空間向量基本定理，{a→，b→，c→}是空間向量的一個基底，即a→、b→、c→不共面，則則{a→+b→，b→故選：ABC．【點評】本題考查命題真假的判斷，涉及空間向量基本定理以及空間向量數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）14．（2024春?浙江期中）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面 B．若a→?b→C．已知向量{a→，b→，c→}組是空間的一個基底，則{2a→，bD．若對空間中任意一點O，有OP→=112OA→+14【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量基本定理，以及基底的定義，即可求解．【解答】解：空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，故A正確；對于B，a→則＜a→，對于C，向量{a→，b→，若{2a→，b→，則2a→=λ則a→故{2a→，b→，c→對空間中任意一點O，有OP→112則P，A，B，C四點共面，故D正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查空間向量基本定理，以及基底的定義，屬于基礎(chǔ)題．（多選）15．（2024春?南京期中）已知向量a→，bA．a(chǎn)→?c→ B．a(chǎn)→+【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，即可判斷出結(jié)論．【解答】解：由m→=a→?b→，n→=所以得a→?c→與故a→?c→不能與故選：BCD．【點評】本題考查了空間向量的共面定理與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共5小題）16．（2024春?酒泉期中）已知空間中三點A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），設(shè)AB→=a→，AC→=【考點】空間向量運算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】（﹣2，﹣1，2）或（2，1，﹣2）．【分析】結(jié)合向量共線的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解．【解答】解：A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），則a→由于c→所以存在實數(shù)λ使c→|c所以|c所以c→=(?2，?1，2)或故答案為：（﹣2，﹣1，2）或（2，1，﹣2）．【點評】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，以及向量模公式，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023秋?柯橋區(qū)期末）已知向量a→=（1，2，2），b→=（2，3，2），則|【考點】空間向量運算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】52【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，以及向量模公式，即可求解．【解答】解：向量a→=（1，2，2），則a→故|a→+b故答案為：52【點評】本題主要考查向量的坐標(biāo)運算，以及向量模公式，是基礎(chǔ)題．18．（2023秋?合肥期末）已知A（3，﹣2，4），B（0，5，﹣1），若OC→=23AB→（O為坐標(biāo)原點），則C的坐標(biāo)是【考點】空間向量運算的坐標(biāo)表示．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】（﹣2，143，?【分析】根據(jù)題意，設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，y，z），求出AB→的坐標(biāo)，分析可得（x，y，z）=23（﹣3，7，﹣5）＝（﹣2，143，?103），求出【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)點C的坐標(biāo)為（x，y，z），則OC→=（x，y，A（3，﹣2，4），B（0，5，﹣1），則AB→又由OC→=23AB→，則（x，y，z）則有x=?2y=143z=?103，故點故答案為：（﹣2，143，?【點評】本題考查空間向量的坐標(biāo)表示，涉及向量的坐標(biāo)計算，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024春?寶山區(qū)校級月考）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE=13BB1，DF=23DD1．若EF→=xAB→+yAD→+zAA【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運算．【答案】1【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘的運算法則即可得解．【解答】解：EF=?1=?1=?AB∵EF→=xAB→+y∴x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+y+z=1故答案為：13【點評】本題考查空間向量的線性運算，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（2023?九龍坡區(qū)校級開學(xué)）如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED，以{AB→，AC→，AD→}為基底，則GE→【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)抽象．【答案】?1【分析】把向量GE→放在封閉圖形△AGE【解答】解：由題意，連接AE，則GE→=AE→?AG→=AB故答案為：?1【點評】本題考查空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題，解決這一類問題時，一定要把要求的向量放在封閉圖形中，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．四．解答題（共5小題）21．（2024春?廣陵區(qū)校級期中）已知空間三點A（0，﹣2，3）、B（﹣2，﹣1，6）、C（1，1，5）．（1）若向量m→與AB→平行，且|m（2）求以CB、CA為鄰邊的平行四邊形的面積．【考點】空間向量運算的坐標(biāo)表示．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）（﹣2，1，3）或（2，﹣1，﹣3）；（2）73【分析】（1）由已知可設(shè)m→=λAB→，其中λ∈R，利用向量的模長公式求出（2）利用空間向量的數(shù)量積可求出C的值，然后利用三角形的面積公式可求得以CB、CA為鄰邊的平行四邊形的面積．【解答】解：（1）由已知可得AB→因為向量m→與AB→平行，設(shè)m→=λ則|m→|=|λ|?|所以m→=AB（2）cosC=CA→?CB→|CA所以以CB、CA為鄰邊的平行四邊形的面積|CA【點評】本題考查的知識點：向量的坐標(biāo)運算，向量的模，向量的夾角運算，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．22．（2023秋?河南月考）已知{a→，b→，c→}【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；平面向量的基本定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】p→=?12（a→+b【分析】設(shè)p→=x(a【解答】解：設(shè)p→=x(a→+b→)+y(a→?b→)+zc→，整理可得：p→所以x+y=1x?y=?2z=?4，解得故p→=?12（a→+b【點評】本題考查用空間向量的基底求向量的方法，屬于基礎(chǔ)題．23．（2022秋?蓬江區(qū)校級期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=2（1）證明：A、E、C1、F四點共面．（2）若EF→=xAB→+yAD→+zAA【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示；平面的基本性質(zhì)及推論．【專題】平面向量及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由AB∥C1D1，AB＝C1D1，BE∥D1F，BE＝D1F，且平面ABE∥平面C1D1F，∠ABE＝∠C1D1F，知△ABE≌△C1D1F，進(jìn)而AE＝C1F，同理AF＝C1E，故AEC1F為平行四邊形，由此能夠證明A、E、C1、F四點共面．（2）結(jié)合圖形和向量的加法和減法運算進(jìn)行求解．【解答】證明：∵平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，BE=13BB1，DF=2∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，BE∥D1F，BE＝D1F，且平面ABE∥平面C1D1F，∠ABE＝∠C1D1F，∴△ABE≌△C1D1F，…（3分）∴AE＝C1F，同理AF＝C1E，故AEC1F為平行四邊形，∴A、E、C1、F四點共面．…（6分）（2）解：如圖所示：EF→=EB1→+B即x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+y+z=1【點評】本題考查四點共面的證明，平面向量基本定理及其應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地化空間幾何為平面幾何進(jìn)行求解，解題時要注意向量法的合理運用．24．（2021秋?無錫期末）定義：設(shè){a1→，a2→，a3→}是空間的一個基底，若向量p→=xa1→+ya2→+za3已知{a→，b→，c→}是空間的單位正交基底，{a→+b→，a→?b→（1）求向量p→在基底{a→，b→（2）求向量p→【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】計算題；整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）（6，﹣1，6），（2）73．【分析】根據(jù)向量p→在基底{a→+b【解答】解：向量p→在基底{a→+b（1）所以向量p→在基底{（2）p→模為6【點評】本題主要考查空間向量基本定理和向量的模的計算，屬于基礎(chǔ)題．25．（2021春?江門期末）已知空間三點A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．（1）求△ABC的面積；（2）若向量CD→∥AB→，且【考點】空間向量運算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）732．（2）CD→【分析】（1）根據(jù)已知條件，運用向量的夾角公式，可得θ=π（2））CD→∥AB→，可得CD【解答】解：（1）設(shè)向量AB→，AC→的夾角為由已知AB→=(?2，?1，3)，AC→|AC→|=∵0≤θ≤π，∴θ=π∴S△ABC（2）∵CD→∴CD→=λAB→∵|CD→|=21，即∴CD→即CD→=(?6【點評】本題主要考查了向量模公式和向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．

考點卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．平面向量的概念與平面向量的?！局R點的認(rèn)識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標(biāo)量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點、終點的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小寫字母a→、b→，…表示．有向向量的長度為模，表示為|向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|零向量長度為零的向量叫做零向量，記作0→單位向量長度為一個單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是相等向量長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．3．平面向量的基本定理【知識點的認(rèn)識】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．4．平面的基本性質(zhì)及推論【知識點的認(rèn)識】平面的基本性質(zhì)及推論：1．公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，則這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．2．公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面．①推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．②推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．③推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．【解題方法點撥】1．公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．3．公理3是判定兩個平面相交的依據(jù)．5．空間向量及其線性運算【知識點的認(rèn)識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為?5．平行的向量：兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大小．1．加減法的定義：空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量：A1（求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時，λa→與②當(dāng)λ＜0時，λa→與③當(dāng)λ＝0時，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→2．運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ(μ注意：實數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運算，但不能進(jìn)行加減運算，如λ±a6．空間向量的共線與共面【知識點的認(rèn)識】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x【解題方法點撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)λ，使a→=λb→成立，或充分利用空間向量的運算法則，結(jié)合具體圖形，通過化簡、計算得出（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使MP→=xMA→+yMB→．滿足這個關(guān)系式的點P證明三個向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個向量可表示成另兩個向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=?12C．x=16，y=?32分析：利用共線向量的條件b→=λa→，推出比例關(guān)系求出解答：∵a→=（2x，1，3）與b→故有2x1∴x=16，y故選C．點評：本題考查共線向量的知識，考查學(xué)生計算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點不共線，O是平面ABC外的任一點，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?OB→+p?OC解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯誤的，則D正確．故選D．點評：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力．是基礎(chǔ)題．7．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識點的認(rèn)識】1．空間向量基本定理如果三個向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e23．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點O和一個單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點O為原點，分別以e1→，e2→，e3其中，點O叫做原點，向量e1→，e24．空間向量的坐標(biāo)表示對于空間任意一個向量p→，一定可以把它平移，使它的起點與原點O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x，y，【解題方法點撥】1．基底的判斷判斷三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個基底，看是否存在一對實數(shù)λ、μ使得a→2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．3．用基底表示向量用基底表示向量時，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運算律進(jìn)行．（2）若沒給定基底時，首先選擇基底．選擇時，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．8．空間向量基本定理及空間向量的基底【知識點的認(rèn)識】空間向量基本定理如果三個向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，a→，b→，【解題方法點撥】基底的判斷判斷三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個基底，看是否存在一對實數(shù)λ、μ使得a→【命題方向】﹣向量定理和基底：考查如何應(yīng)用向量的基本定理以及如何選擇和使用空間的基底．9．空間向量基底表示空間向量【知識點的認(rèn)識】1．空間向量基本定理如果三個向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2【解題方法點撥】基底的判斷判斷三個向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個基底，看是否存在一對實數(shù)λ、μ使得a→﹣基底表示：任何空間向量v→都可以表示為基底向量的線性組合：v→=c1b→1+c2b﹣線性組合：通過解線性方程