云南“美美與共”民族中學(xué)聯(lián)盟聯(lián)考（一）高二數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁至第3頁，第Ⅱ卷第3頁至第6頁.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.滿分150分，考試用時120分鐘.第I卷（選擇題，共58分）注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)求解不等式得到，再利用交集的定義求解即可.【詳解】令，解得，則，因為，所以，故C正確.故選：C.2.設(shè)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.【詳解】由題意得，由共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)得，虛部為2，故B正確.故選：B.3.經(jīng)過，兩點的直線的方向向量為，則的值為（）A.3 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用斜率公式和單位向量的性質(zhì)建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】由題意可知，解得，故A正確.故選：A.4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)條件列式計算即可.【詳解】因為，，所以，又，，所以，解得.故選：B.5.若為圓的弦的中點，則直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，由垂徑定理得到，利用兩直線垂直斜率關(guān)系可以求出直線的斜率，利用點斜式寫出直線方程，最后化為一般式方程.【詳解】由題意知直線的斜率存在，且∴，∵，∴，直線的方程為，即，故選：C.6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對于A，由單調(diào)性可判斷，對于B，取，可判斷，對于C，取可判斷，對于D，由函數(shù)在上是減函數(shù)可判斷.【詳解】A.函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，例如當(dāng)，時，，但此時，所以A選項錯誤；B.當(dāng)，時，滿足，但此時，所以B選項錯誤；C.當(dāng)，，無意義；當(dāng)時，比如，，，所以C選項錯誤；D.因為函數(shù)在上是減函數(shù)，已知，根據(jù)減函數(shù)性質(zhì)，可得，即，所以D選項正確，故選：D.7.在空間向量中，我們給出了定義向量的“外積”運算規(guī)則：對于空間向量和，.已知，，平面的法向量，直線的方向向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直C.直線在平面內(nèi) D.相交但不垂直【答案】D【解析】【分析】由求出平面的法向量，利用空間向量的垂直和共線的坐標(biāo)性質(zhì)判斷平面的法向量與直線的方向向量之間的關(guān)系，判斷直線與平面的位置關(guān)系.【詳解】因為，，所以平面的法向量為，由題意可知，則，說明與不垂直.由，說明與不平行，與既不垂直也不平行，所以直線與平面相交但不垂直，故選：D.8.已知點，分別是橢圓左、右焦點，若直線橢圓相交于，兩點，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D..【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程求得，再由即可求解.【詳解】將直線方程代入橢圓的方程，可得.所以，，，，，，，.又，，故選：C.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）.9.給出下列命題，其中正確的命題有（）A.已知為空間的一個基底，若，則也是空間的基底B.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線C.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為D.若，則與的夾角是鈍角【答案】AC【解析】【分析】對于選項A：已知與不共面，依據(jù)向量共面知識，可直接判斷此條件對應(yīng)結(jié)論正確.對于選項B：算出，由向量垂直判定，得.直線方向向量垂直平面法向量時，直線與平面有平行或在平面內(nèi)兩種情況，所以該選項錯誤.

對于選項C：直線與平面所成角和直線方向向量與平面法向量夾角有關(guān)，即.通過計算得出，該選項正確.對于選項D：由，根據(jù)向量數(shù)量積公式，知與夾角范圍是，夾角可能為，不能確定夾角情況，該選項錯誤.【詳解】，則與共面，，與不共面，所以A正確；，，或，所以B錯誤；記直線與平面所成角為，，所以C正確；當(dāng)時，與的夾角也可以為，所以D錯誤，故選：AC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的值域為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為D.將圖象上各點縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再將所得圖象上各點向右平移個單位長度，得到的圖象，則【答案】ACD【解析】【分析】通過三角恒等變形得，通過求的值域可判斷A；通過代入驗證法可判斷B；由在上單調(diào)遞增，列不等式組可判斷C；求利用三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換得到函數(shù)的圖象可判斷D.【詳解】函數(shù)，對于A，值域，故A正確；對于B，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，故B不正確；對于C，函數(shù)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則，解得，故C正確；對于D，將圖象上各點縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，再將所得圖象上各點向右平移個單位長度，得到的圖象，故D正確，故選：ACD.11.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（）A.B.若點，則的最小值為4C.的最小值為9D.若拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為，則.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，列出韋達(dá)定理，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷A；根據(jù)拋物線的定義判斷B，根據(jù)焦半徑公式及基本不等式判斷C，求出，即可判斷D.【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，，，由，則，所以顯然成立，，，對于A：，故A錯誤；對于B：如圖，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號，故B正確；對于C：，由A知，，當(dāng)且僅當(dāng)，時“=”成立，此時，，故C正確；對于D：設(shè)，，，則，，D正確，故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）注意事項：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線上的點，且，，則雙曲線的方程為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，通過已知條件建立方程組求出雙曲線方程中的參數(shù)、的值，進而得到雙曲線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，且焦距為.依題意得，，.因此雙曲線的方程為.故答案為：.13.已知圓的面積為，則_______.【答案】【解析】【分析】先將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的半徑，再結(jié)合給定條件與圓的面積公式建立方程，求解參數(shù)即可.【詳解】因為，所以，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得到，因為圓的面積為，所以，解得，符合，滿足題意.故答案為：14.在正四棱臺中，，，該正四棱臺的外接球的表面積為，則該正四棱臺的表面積為______.【答案】或【解析】【分析】設(shè)正四棱臺上下底面所在圓面的半徑分別為，，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，，由，可得，，進而求得棱臺側(cè)高，即可求解.【詳解】設(shè)外接球的半徑為，由，得，設(shè)正四棱臺上下底面所在圓面的半徑分別為，（根據(jù)正方形外接圓半徑與邊長關(guān)系），設(shè)球心到上下底面的距離分別為，，由，可得，，則正四棱臺的高或，側(cè)面梯形的高或，正四棱臺的表面積，或正四棱臺的表面積.故答案為：或四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的6個小球，其中1個紅球、3個藍(lán)球、2個白球.（1）從中隨機抽取1個，求抽到紅球或藍(lán)球的概率；（2）若采用有放回方式連續(xù)抽取2次，每次隨機取1個，求兩次都抽到白球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意直接利用古典概型概率公式求解即可.（2）先求出每次抽到白球的概率，再結(jié)合獨立事件的概率公式求解即可.【小問1詳解】總共有6個球，其中紅球1個，藍(lán)球3個，抽到紅球或藍(lán)球的情況數(shù)為種，則由古典概型概率公式得抽到紅球或藍(lán)球的概率.【小問2詳解】由題意得總共有6個球，則每次抽到白球的概率為，因為是有放回抽取，兩次抽取相互獨立，所以兩次都抽到白球的概率.16.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）運用正弦定理進行邊角互化，結(jié)合和角公式化簡，得到，得解.（2）運用正弦定理得到，結(jié)合條件求出，結(jié)合等邊三角形面積公式計算.【小問1詳解】已知在中，，由正弦定理邊角互化得到，則，因為，所以，那么，故，展開得，即，得到，因為，所以，等式兩邊同時除以，可得.則，又因為，所以【小問2詳解】已知，，由正弦定理，將，代入可得，即，所以，又因為，所以，即，由于，所以，所以，可知是等邊三角形，，根據(jù)三角形面積公式，將代入可得.17已知直線與圓交于，兩點.（1）寫出直線恒過的定點，并求出過點且與圓相切的直線方程；（2）求出滿足“的面積為”的的所有值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求出直線恒過的定點，判斷該定點與圓的位置關(guān)系求出切線方程.（2）利用點到直線距離公式求出弦長，表示出三角形面積求出值.【小問1詳解】直線，對任意實數(shù)，當(dāng)時，恒成立，所以直線恒過定點；而定點在圓上，所以過點且與圓相切的直線只有一條，方程為.【小問2詳解】圓圓心為，半徑，圓心到直線的距離，，，解得或或或，所以所求的所有值為.18.在如圖所示的多面體中，四邊形是平行四邊形，平面，，且，.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在點，使得直線與所成角的余弦值為，若不存在，請說明理由；若存在，求線段的長.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，1【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，證明四邊形是平行四邊形，則，再根據(jù)線面平行得判定定理即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；（3）設(shè)，由題意可得，進而可得出答案.【小問1詳解】如圖，取的中點，連接，，因為，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以且，又因為且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】因為，，所以，所以，因為平面，，所以平面，所以，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則令得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，所以二面角的正弦值為；【小問3詳解】假設(shè)在棱存在點，使得直線與所成角的余弦值為，設(shè)，則，又，所以，即，所以，解得或（舍去），因此適合條件的點存在，且線段的長為1.19.已知點，分別是橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率為，點為橢圓上的一動點，且的最大值為3，過的直線與橢圓交于不同的兩點，.（1）求橢圓的方程；（2）若，求直線的方程；（3）在橢圓上是否存在點，使得四邊形是平行四邊形，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知條件列出方程組，求解出橢圓的基本參數(shù)、、，進而得到橢圓方程；（2）先設(shè)出直線方程，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和的值，再根據(jù)向量垂直的性質(zhì)列出方程，求解出直線方程中的參數(shù)，從而得到直線方程.（3）要判斷橢圓上是否存在點使四邊形MAOB是平行四邊形并求坐標(biāo).先根據(jù)已知得出線段AB中點坐標(biāo).

利用平行